彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)的建模與控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)(1)

1、華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告PAGE PAGE 29分 數(shù): _ 任課教師簽字：_ 華北電力大學(xué)研究生結(jié)課作業(yè) 學(xué) 年 學(xué) 期：第一學(xué)年第一學(xué)期課 程 名 稱：線性系統(tǒng)理論學(xué) 生 姓 名：學(xué) 號(hào)：提 交 時(shí) 間：2014.11.27 目錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc162 目錄 PAGEREF _Toc162 2 HYPERLINK l _Toc17810 1 研究背景及意義 PAGEREF _Toc17810 3 HYPERLINK l _Toc13720 2 彈簧-質(zhì)量-阻尼模型 PAGEREF _Toc13720 3 HYPERLINK

2、l _Toc23669 2.1 系統(tǒng)的建立 PAGEREF _Toc23669 4 HYPERLINK l _Toc10437 2.1.1 系統(tǒng)傳遞函數(shù)的計(jì)算 PAGEREF _Toc10437 5 HYPERLINK l _Toc20494 2.2 系統(tǒng)的能控能觀性分析 PAGEREF _Toc20494 7 HYPERLINK l _Toc2227 2.2.1 系統(tǒng)能控性分析 PAGEREF _Toc2227 8 HYPERLINK l _Toc6582 2.2.2 系統(tǒng)能觀性分析 PAGEREF _Toc6582 9 HYPERLINK l _Toc8835 2.3 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 P

3、AGEREF _Toc8835 10 HYPERLINK l _Toc20109 2.3.1 反饋控制理論中的穩(wěn)定性分析方法 PAGEREF _Toc20109 10 HYPERLINK l _Toc18771 2.3.2 利用Matlab分析系統(tǒng)穩(wěn)定性 PAGEREF _Toc18771 10 HYPERLINK l _Toc9669 2.3.3 Simulink仿真結(jié)果 PAGEREF _Toc9669 12 HYPERLINK l _Toc3534 2.4 系統(tǒng)的極點(diǎn)配置 PAGEREF _Toc3534 15 HYPERLINK l _Toc29314 2.4.1 狀態(tài)反饋法 PAGE

4、REF _Toc29314 15 HYPERLINK l _Toc28459 2.4.2 輸出反饋法 PAGEREF _Toc28459 16 HYPERLINK l _Toc13651 2.4.2 系統(tǒng)極點(diǎn)配置 PAGEREF _Toc13651 16 HYPERLINK l _Toc14626 2.5系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器 PAGEREF _Toc14626 18 HYPERLINK l _Toc19151 2.6 利用離散的方法研究系統(tǒng)的特性 PAGEREF _Toc19151 20 HYPERLINK l _Toc7849 2.6.1 離散化定義和方法 PAGEREF _Toc7849 20

5、 HYPERLINK l _Toc10217 2.6.2 零階保持器 PAGEREF _Toc10217 22 HYPERLINK l _Toc24435 2.6.3 一階保持器 PAGEREF _Toc24435 24 HYPERLINK l _Toc23015 2.6.4 雙線性變換法 PAGEREF _Toc23015 26 HYPERLINK l _Toc30342 3.總結(jié) PAGEREF _Toc30342 28 HYPERLINK l _Toc612 4.參考文獻(xiàn) PAGEREF _Toc612 28彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)的建模與控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)1 研究背景及意義彈簧、阻尼器、質(zhì)量塊是

6、組成機(jī)械系統(tǒng)的理想元件。由它們組成的彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)是最常見(jiàn)的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)，在生活中具有相當(dāng)廣泛的用途，緩沖器就是其中的一種。緩沖裝置是吸收和耗散過(guò)程產(chǎn)生能量的主要部件，其吸收耗散能量的能力大小直接關(guān)系到系統(tǒng)的安全與穩(wěn)定。緩沖器在生活中處處可見(jiàn)，例如我們的汽車減震裝置和用來(lái)消耗碰撞能量的緩沖器，其緩沖系統(tǒng)的性能直接影響著汽車的穩(wěn)定與駕駛員安全；另外，天宮一號(hào)在太空實(shí)現(xiàn)交會(huì)對(duì)接時(shí)緩沖系統(tǒng)的穩(wěn)定與否直接影響著交會(huì)對(duì)接的成功。因此，對(duì)彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)的研究有著非常深的現(xiàn)實(shí)意義。2 彈簧-質(zhì)量-阻尼模型數(shù)學(xué)模型是定量地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動(dòng)態(tài)特性之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。其中

7、，微分方程是基本的數(shù)學(xué)模型，不論是機(jī)械的、液壓的、電氣的或熱力學(xué)的系統(tǒng)等都可以用微分方程來(lái)描述。微分方程的解就是系統(tǒng)在輸入作用下的輸出響應(yīng)。所以，建立數(shù)學(xué)模型是研究系統(tǒng)、預(yù)測(cè)其動(dòng)態(tài)響應(yīng)的前提 。通常情況下，列寫機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程都是應(yīng)用力學(xué)中的牛頓定律、質(zhì)量守恒定律等。彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)是最常見(jiàn)的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)。機(jī)械系統(tǒng)如圖2.1所示，圖2-1彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖其中 QUOTE 、 QUOTE 表示小車的質(zhì)量， QUOTE 表示緩沖器的粘滯摩擦系數(shù)， QUOTE 表示彈簧的彈性系數(shù)， QUOTE 表示小車所受的外力，是系統(tǒng)的輸入即 QUOTE , QUOTE 表示小車的位移，

8、是系統(tǒng)的輸出，即 QUOTE ，i=1,2。設(shè)緩沖器的摩擦力與活塞的速度成正比，其中 QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE 。2.1 系統(tǒng)的建立由圖2.1，根據(jù)牛頓第二定律，分別分析兩個(gè)小車的受力情況，建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型如下：對(duì) QUOTE 有： QUOTE 對(duì) QUOTE 有： QUOTE 聯(lián)立得到：對(duì) QUOTE ： QUOTE 對(duì) QUOTE ： QUOTE 令 QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ; QUOTE ， QUOTE 得出狀態(tài)空間表達(dá)式：所以，狀態(tài)空間表達(dá)式為： Q

9、UOTE + QUOTE 由此可以得出已知： QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE 代入數(shù)據(jù)得：2.1.1 系統(tǒng)傳遞函數(shù)的計(jì)算在Matlab中，函數(shù)ss2tf給出了狀態(tài)空間模型所描述系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，其一般形式是num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)，其中iu是輸入值。用Matlab將狀態(tài)空間表達(dá)式表示為傳遞函數(shù)：在輸入1單獨(dú)作用的情況下A=0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5;B=0 0;0 0;1 0;0 0.5;C=1 0 0 0;0 1 0 0;D=0 0;0 0;n

10、um,den=ss2tf(A,B,C,D,1)運(yùn)行程序，得到：num = 0 -0.0000 1.0000 4.5000 200.0000 0 -0.0000 -0.0000 3.0000 150.0000den = 1.0e+004 * 0.0001 0.0014 0.0623 0.1800 3.5000在輸入2單獨(dú)作用的情況下：A=0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5;B=0 0;0 0;1 0;0 0.5;C=1 0 0 0;0 1 0 0;D=0 0;0 0;num,den=ss2tf(A,B,C,D,2)運(yùn)行程序，得到：num

11、= 0 -0.0000 -0.0000 3.0000 150.0000 0 -0.0000 0.5000 4.5000 200.0000den = 1.0e+004 *0.0001 0.0014 0.0623 0.1800 3.5000由此可知：位移 QUOTE 對(duì)外力 QUOTE 的傳遞函數(shù)是：位移 QUOTE 對(duì)外力 QUOTE 的傳遞函數(shù)是：位移 QUOTE 對(duì)外力 QUOTE 的傳遞函數(shù)是：位移 QUOTE 對(duì)外力 QUOTE 的傳遞函數(shù)是：2.2 系統(tǒng)的能控能觀性分析在反饋控制理論中只討論輸入量對(duì)輸出量的控制。而這兩個(gè)量的關(guān)系唯一地由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)所確定。一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)，一定能控。同

12、時(shí)，系統(tǒng)的輸出量本身就是我們想要控制的量，對(duì)于一個(gè)實(shí)際的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，輸出量當(dāng)然是可以被觀測(cè)到的，因此在反饋控制理論中沒(méi)有必要設(shè)立能控和能觀這兩個(gè)概念。然而在現(xiàn)代控制理論中，能控和能觀是兩個(gè)重要的基本概念。我們把反映系統(tǒng)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的狀態(tài)向量作為被控量，而且它們不一定是實(shí)際上可觀測(cè)到的物理量，至于輸出量則是狀態(tài)向量的線性組合，這就產(chǎn)生了從輸入量到狀態(tài)量的能控性問(wèn)題和從輸出量到狀態(tài)量的能觀測(cè)性問(wèn)題。在現(xiàn)代控制中，分析和設(shè)計(jì)一個(gè)控制系統(tǒng)，必須研究這個(gè)系統(tǒng)的能控性和能觀性。狀態(tài)方程描述了輸入 QUOTE U(t)引起狀態(tài)X（t）的變化過(guò)程；輸出方程則描述了由狀態(tài)變化引起的輸出Y（t）的變化。能控性和能觀

13、性正是分別分析 QUOTE U(t) QUOTE 對(duì)狀態(tài)X（t）的控制能力以及Y（t）對(duì)X（t）的反應(yīng)能力。2.2.1 系統(tǒng)能控性分析設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中 Ann矩陣 Bnr矩陣 Cmn矩陣 Dmr矩陣系統(tǒng)能控的充分必要條件為：能控判別陣 QUOTE 的秩R( QUOTE )=n，用Matlab計(jì)算能控矩陣的秩，從而對(duì)該系統(tǒng)的能控性進(jìn)行判別，程序?yàn)椋篈=0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5;B=0 0;0 0;1 0;0 0.5;C=1 0 0 0;0 1 0 0;D=0 0;0 0;Qc=ctrb(A,B)R1=rank(Qc

14、)運(yùn)行程序，得到：R1 = 4等于矩陣行數(shù)，由此可以判斷，系統(tǒng)是完全能控的。2.2.2 系統(tǒng)能觀性分析設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： QUOTE 式中 Ann矩陣 Bnr矩陣 Cmn矩陣 Dmr矩陣能觀的充分必要條件為：能觀判別陣 QUOTE 的秩R( QUOTE )=n，下面，用Matlab計(jì)算能控矩陣的秩，從而對(duì)該系統(tǒng)的能控性進(jìn)行判斷：A=0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5;B=0 0;0 0;1 0;0 0.5;C=1 0 0 0;0 1 0 0;D=0 0;0 0;Qo=obsv(A,C)R2=rank(Qo)運(yùn)行程序，得到：R2

15、 = 4滿秩，因此可以判斷，該系統(tǒng)是完全能觀的。綜上所述，這是一個(gè)既能控又能觀的系統(tǒng)。2.3 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析2.3.1 反饋控制理論中的穩(wěn)定性分析方法穩(wěn)定性是一個(gè)系統(tǒng)可以被采用的最基本的條件，是系統(tǒng)的固有屬性。穩(wěn)定系統(tǒng)的定義如下：設(shè)控制系統(tǒng)處于某一起始的平衡狀態(tài)，在外力的作用下，它離開(kāi)了平衡狀態(tài)，當(dāng)外作用消失后，如果經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間它能夠恢復(fù)到起始的平衡狀態(tài)，則稱這樣的系統(tǒng)為穩(wěn)定的系統(tǒng)，否則稱為不穩(wěn)定的系統(tǒng)。由穩(wěn)定性的定義可見(jiàn)，穩(wěn)定性是系統(tǒng)去掉外力作用后自身的一種恢復(fù)能力，所以是系統(tǒng)的一種固有特性。對(duì)于線性定常系統(tǒng)，它取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與初始條件和外界作用無(wú)關(guān)。線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的

16、充分必要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有特征根為負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)，即所有特征根位于復(fù)平面的左半平面。只要有一個(gè)閉環(huán)特征根分布在右半平面上，系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的；如果沒(méi)有右半平面的根，但有純虛根，則系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的；在工程上，處于不穩(wěn)定和臨界穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)是不能采用的1。在古典控制系統(tǒng)中，我們判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性經(jīng)常用勞斯-赫爾維茨代數(shù)判據(jù)、時(shí)域分析法、根軌跡法、頻域分析法等方法，但那只針對(duì)低階系統(tǒng)。實(shí)際的工業(yè)生產(chǎn)中，經(jīng)常會(huì)遇見(jiàn)一些特別復(fù)雜的系統(tǒng)。這時(shí)古典控制理論中的方法就有點(diǎn)捉襟見(jiàn)肘了。1892年俄國(guó)學(xué)者李雅普諾夫提出的穩(wěn)定性理論是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的更一般性理論，它采用了狀態(tài)向量描述，不僅

17、適用于單變量、線性、定常的系統(tǒng)，而且適用于多變量，非線性、時(shí)變的系統(tǒng)。李雅普諾夫理論在建立一系列關(guān)于穩(wěn)定性概念的基礎(chǔ)上，提出了判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的兩種方法：一種方法是利用線性系統(tǒng)微分方程的解來(lái)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，稱為李雅普諾夫第一法或間接法；另一種方法是首先利用經(jīng)驗(yàn)和技巧來(lái)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)，進(jìn)而利用李雅普諾夫函數(shù)來(lái)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，稱為李雅普諾夫第二法或直接法。2.3.2 利用Matlab分析系統(tǒng)穩(wěn)定性隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，在現(xiàn)代控制理論中，我們經(jīng)常采用Matlab判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于線性定常系統(tǒng)，典型的系統(tǒng)輸入信號(hào)類型有脈沖、階躍、斜坡、加速度、正弦信號(hào)。系統(tǒng)的穩(wěn)定性是對(duì)任何輸入信號(hào)而言，即若一個(gè)

18、系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則其在任何輸入信號(hào)情況下對(duì)應(yīng)的輸出曲線是收斂的。然而，階躍信號(hào)包含了另外幾種常見(jiàn)輸入信號(hào)的特性，所以我們常通過(guò)觀察系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線判斷判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是收斂的，則系統(tǒng)一般是收斂的；否則，是發(fā)散的。在Matlab中輸入相應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式矩陣來(lái)求取系統(tǒng)的特征值：A=0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5;B=0 0;0 0;1 0;0 0.5;C=1 0 0 0;0 1 0 0;D=0 0;0 0;eig(A)運(yùn)行程序，得到： ans = -5.7735 +22.3859i -5.7735 -22

19、.3859i -0.9765 + 8.0332i -0.9765 - 8.0332i由此可以知道，經(jīng)計(jì)算得出A陣的所有特征根均在復(fù)平面的左半平面，因此得出該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。給系統(tǒng)加起階躍信號(hào)：A=0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5;B=0 0;0 0;1 0;0 0.5;C=1 0 0 0;0 1 0 0;D=0 0;0 0;step(A,B,C,D)結(jié)果如下圖2-2 階躍響應(yīng)曲線由圖可以看出，在階躍響應(yīng)下，系統(tǒng)在一定時(shí)間內(nèi)收斂于某一固定值，因此可以判斷系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但同時(shí)我們也可以看出，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間比較長(zhǎng)，如果想要減少調(diào)節(jié)時(shí)間，那么需

20、要重新配置極點(diǎn)，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)。下面的章節(jié)將對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行極點(diǎn)的配置。2.3.3 Simulink仿真結(jié)果根據(jù)上述原理，用Matlab中的Simulink組件進(jìn)行仿真。根據(jù)狀態(tài)空間表達(dá)式，搭建系統(tǒng)模型如下圖所示：我們分別對(duì)只有輸入1作用下和只有輸入2作用下的系統(tǒng)使用Simulink進(jìn)行仿真，讓其與Matlab圖像進(jìn)行對(duì)比圖2-3 Simulink模型圖（1）僅有 QUOTE 作用時(shí)，系統(tǒng)的輸出如下圖所示圖2-4 u1作用時(shí)響應(yīng)曲線圖中，綠色為輸出1的曲線，藍(lán)色為輸出2的曲線。經(jīng)分析：此曲線與對(duì)應(yīng)Matlab曲線一致，系統(tǒng)穩(wěn)定，但是超調(diào)量較大，調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng)。（2）僅有 QUOTE 作用，系統(tǒng)的輸入如

21、下所示：圖2-5 u2作用時(shí)響應(yīng)曲線圖中，綠色為輸出1的曲線，藍(lán)色為輸出2的曲線。經(jīng)分析：同樣，此曲線與對(duì)應(yīng)的Matlab曲線一致，系統(tǒng)穩(wěn)定，但是超調(diào)量較大，調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng)。在 QUOTE 共同作用下，系統(tǒng)的輸出如下圖所示：圖2-6 u1、u2同時(shí)作用時(shí)響應(yīng)曲線圖中綠色為輸出1的曲線，藍(lán)色為輸出2的曲線。經(jīng)分析：此曲線與Matlab曲線一致，系統(tǒng)穩(wěn)定，但是超調(diào)量較大，調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng)。需要進(jìn)行極點(diǎn)配置，使系統(tǒng)得到更好的性能。2.4 系統(tǒng)的極點(diǎn)配置控制系統(tǒng)的性能主要取決于系統(tǒng)極點(diǎn)在根平面上的分布。因此，在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，通常是根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的品質(zhì)要求，規(guī)定閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)有的分布情況。所謂的極點(diǎn)配置就是，就是通過(guò)選

22、擇反饋矩陣K,將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好配置在根平面上所期望的位置，以獲得所希望的動(dòng)態(tài)性能。2.4.1 狀態(tài)反饋法極點(diǎn)問(wèn)題首先解決是否能通過(guò)狀態(tài)反饋來(lái)實(shí)現(xiàn)給定的極點(diǎn)配置，即在什么條件下才有可能按照規(guī)定的要求來(lái)配置極點(diǎn)。其次是，這樣的反饋陣如何確定的問(wèn)題。圖2-7 狀態(tài)反饋示意圖（1）采用狀態(tài)反饋配置系統(tǒng)極點(diǎn)條件：系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋，任意配置其閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的充要條件為：系統(tǒng)完全能控。若系統(tǒng)不是完全能控的，就必須按能控性分解，只能任意配置可控的極點(diǎn)。（2）極點(diǎn)配置的方法：若原系統(tǒng)可控，則采用狀態(tài)反饋陣，有可控。設(shè)原系統(tǒng)的特征方程為。其中，則有：，配置后的閉環(huán)特征方程為：；假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)希望的極點(diǎn)為，得到：。

23、為使系統(tǒng)達(dá)到希望性能，對(duì)比式（1）和式（2）中系數(shù)，使之相等，即可求得狀態(tài)反饋陣。采用狀態(tài)反饋配置系統(tǒng)極點(diǎn)不改變系統(tǒng)可控性，它不能影響系統(tǒng)中不可控部分模塊。2.4.2 輸出反饋法圖2-8 輸出反饋示意圖對(duì)于完全能控的單變量系統(tǒng)，不能采用輸出線性反饋來(lái)實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)任意配置。不能任意配置極點(diǎn)，正是輸出線性反饋的基本弱點(diǎn)。為了克服這個(gè)弱點(diǎn)，在經(jīng)典控制理論中，往往采取引入附加校正網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)增加開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)的方法改變根軌跡走向，從而使其落在指定的期望位置上。對(duì)于完全能控的單變量系統(tǒng)，通過(guò)帶動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的輸出反饋時(shí)限極點(diǎn)任意配置的充要條件是：1. 系統(tǒng)完全能觀測(cè)；2. 動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的階數(shù)為n-1。2.4.2

24、 系統(tǒng)極點(diǎn)配置在現(xiàn)代控制理論中是用系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)來(lái)描述系統(tǒng)的，所以經(jīng)常從系統(tǒng)的狀態(tài)引出信號(hào)作為反饋量。利用狀態(tài)反饋只能改變系統(tǒng)能控部分的極點(diǎn)，而不能改變不能控部分的極點(diǎn)，因此利用狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置的充分必要條件是系統(tǒng)必須是完全能控的。對(duì)一個(gè)可控系統(tǒng)，在采用狀態(tài)反饋后，可以實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)的任意配置，即通過(guò)狀態(tài)反饋的方法，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位于任意期望的位置上。對(duì)于 其中x是狀態(tài)變量（n維），u是控制信號(hào)，這里選取控制信號(hào)為 QUOTE 因此， QUOTE 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)特性由矩陣 QUOTE 的特征決定雖然理論上系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)離S左半平面越遠(yuǎn)越好，但是在工業(yè)生產(chǎn)實(shí)踐中，系統(tǒng)極點(diǎn)離左半平面

25、越遠(yuǎn)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)就變化的越快，這就要求執(zhí)行機(jī)構(gòu)快速運(yùn)作，即使再好的執(zhí)行元件也會(huì)短時(shí)間內(nèi)被損壞掉。所以新的極點(diǎn)的絕對(duì)值大約是原系統(tǒng)極點(diǎn)絕對(duì)值的3至4倍左右。取P1= -15+40i；P2= -15-40i；P3= -3+10i；P4= -3-10i；利用Matlab進(jìn)行極點(diǎn)配置，希望可以減小超調(diào)量，縮短穩(wěn)定時(shí)間以優(yōu)化系統(tǒng)。Matlab程序如下：A=0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5;B=0 0;0 0;1 0;0 0.5;C=1 0 0 0;0 1 0 0;D=0 0;0 0;p=-15+40i,-15-40i,-3+10i,-3-1

26、0i;k=place(A,B,p)step(A-B*k,B,C,D)運(yùn)行程序，得到：k = -234.6522 131.8512 14.4561 6.3957 643.3762 -89.9765 6.7658 36.0878 圖2-9 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線由響應(yīng)曲線可以看出該系統(tǒng)重新配置極點(diǎn)后，具有較快的調(diào)節(jié)時(shí)間，而且也減少了超調(diào)量，改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能。2.5系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器圖2-10 狀態(tài)觀測(cè)器示意圖通過(guò)狀態(tài)觀測(cè)器可以任意配置系統(tǒng)的極點(diǎn)，從而使閉環(huán)系統(tǒng)具有期望的穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)性能。但在工業(yè)生產(chǎn)中，系統(tǒng)的狀態(tài)變量并非都是物理量，或者是難以測(cè)得的量。這樣一來(lái)，系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量未必都可以直接測(cè)量

27、得到，因此，狀態(tài)反饋這種控制方式在許多實(shí)際控制問(wèn)題中往往難以直接應(yīng)用和實(shí)現(xiàn)。狀態(tài)觀測(cè)器就是利用系統(tǒng)的外部輸入輸出信息來(lái)確定系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)，進(jìn)而，在系統(tǒng)的極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋中，用觀測(cè)器得到的狀態(tài)估計(jì)值代替系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)。下圖為狀態(tài)觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)圖：圖2-11 狀態(tài)觀測(cè)器示意圖使用MATLAB為本系統(tǒng)設(shè)置狀態(tài)觀測(cè)器，選用極點(diǎn)配置時(shí)的極點(diǎn)，程序如下圖所示：A=0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5;B=0 0;0 0;1 0;0 0.5;C=1 0 0 0;0 1 0 0;D=0 0;0 0;p=-15+40i,-15-40i,-3+10i,-3-1

28、0i;K1=place(A,B,p)A1=A-B*K1L1=(place(A,C,p)A2=A-L1*CL2=(place(A1,C,p)A3=A1-L2*Csys2=ss(A2,B,C,D)sys2=ss(A3,B,C,D)運(yùn)行上面程序，得到：L1 = 7.0833 30.0895 -30.5796 15.4167 -41.6552 -96.5401 168.1877 200.0790A2 = -7.0833 -30.0895 1.0000 0 30.5796 -15.4167 0 1.0000 -358.3448 396.5401 -9.0000 6.0000 -18.1877 -400.

29、0790 3.0000 -4.5000L2 = 3.7432 -7.1200 -21.4563 -3.7432 190.9894 93.5822 115.5037 -24.2083A3 = -3.7432 7.1200 1.0000 0 21.4563 3.7432 0 1.0000 -655.5795 -119.9176 -18.2856 30.9515 -81.9216 -402.0612 -29.0527 -17.7144其中L1代表沒(méi)進(jìn)行狀態(tài)反饋時(shí)的狀態(tài)觀測(cè)反饋矩陣，L2代表進(jìn)行了狀態(tài)反饋的狀態(tài)觀測(cè)矩陣。2.6 利用離散的方法研究系統(tǒng)的特性2.6.1 離散化定義和方法利用數(shù)字計(jì)算機(jī)對(duì)線

30、性定常連續(xù)系統(tǒng)求數(shù)值解是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)研究中常用的一種方法，它不但方便，而且精確。由于實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中線性定常連續(xù)系統(tǒng)被控對(duì)象需要在線控制等，必須將連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程轉(zhuǎn)化為離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程，即將矩陣微分方程化成矩陣差分方程，這就是連續(xù)系統(tǒng)的離散化。根據(jù)離散系統(tǒng)的構(gòu)成設(shè)備不同可以將離散系統(tǒng)分為采樣控制系統(tǒng)和數(shù)字控制系統(tǒng)：a.采樣控制系統(tǒng)：控制系統(tǒng)的構(gòu)成中選擇了采樣開(kāi)關(guān)（或者含有開(kāi)關(guān)特性的設(shè)備）。b.數(shù)字控制系統(tǒng)：控制系統(tǒng)的控制器選擇了專用數(shù)字計(jì)算機(jī)。通常，把系統(tǒng)中的離散信號(hào)是脈沖序列形式的離散系統(tǒng)，稱為采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)；而把數(shù)字序列形式的離散系統(tǒng)，稱為數(shù)字控制系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。采

31、樣控制系統(tǒng)：采樣控制系統(tǒng)是對(duì)來(lái)自傳感器的連續(xù)信息在某些規(guī)定上的時(shí)間瞬時(shí)值上取值。例如，控制器系統(tǒng)中的誤差信號(hào)可以是斷續(xù)連續(xù)的脈沖信號(hào)，而相鄰兩個(gè)脈沖之間的誤差信息，系統(tǒng)并沒(méi)有收到。如果在有規(guī)律的間隔上，系統(tǒng)取得了離散信息，則這種采樣稱為周期采樣；反之，如果信息之間的間隔是時(shí)變的，或隨機(jī)的，則稱為非周期采樣，或隨機(jī)采樣。在采樣控制系統(tǒng)中，把連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖序列的過(guò)程稱為采樣過(guò)程，簡(jiǎn)稱采樣。實(shí)現(xiàn)采樣的裝置稱為采樣器，或采樣開(kāi)關(guān)。用表示采樣周期，單位為； QUOTE ，表示采樣頻率，單位為 QUOTE ； QUOTE 表示采樣角頻率，單位為 QUOTE 。在采樣控制系統(tǒng)中，把脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號(hào)

32、的過(guò)程稱為信號(hào)復(fù)現(xiàn)過(guò)程。實(shí)現(xiàn)復(fù)現(xiàn)過(guò)程的裝置稱為保持器。采樣周期的選擇滿足香農(nóng)采樣定理。采樣周期太大會(huì)使信號(hào)失真，采樣周期太小則容易造成計(jì)算過(guò)程的累積偏差或失去采樣系統(tǒng)的特性。香農(nóng)采樣定理是在設(shè)計(jì)離散系統(tǒng)時(shí)必須要遵循的準(zhǔn)則，它給出了自采樣的離散信號(hào)不失真地恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)所必需的理論上的最低采樣頻率。采樣頻率應(yīng)該滿足 QUOTE 即是采樣角頻率 QUOTE ，應(yīng)使其對(duì)連續(xù)信號(hào)中的最高頻率分量，在一個(gè)周期內(nèi)被采樣2次以上（上半周與下半周都至少采樣一次），則采樣后的脈沖序列中將包含了連續(xù)信號(hào)的全部信息。但是，在仿真中所遇到的大多數(shù)被再現(xiàn)信號(hào)是沒(méi)有頻帶限的，所以一般取采樣頻率再現(xiàn)信號(hào)主要頻帶中的最高頻率

33、的510倍。在離散控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過(guò)程中，采樣周期的確定依據(jù)的是現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)的被調(diào)量信號(hào)的頻率，對(duì)于頻率較高的信號(hào)，采樣周期的設(shè)定就小，而對(duì)于變化過(guò)程較慢的低頻信號(hào)，采樣周期的設(shè)定可以大一些。有關(guān)概念在工程上的實(shí)際應(yīng)用會(huì)有專門的內(nèi)容介紹。線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程離散化的實(shí)質(zhì)是將矩陣微分方程化為矩陣差分方程，它是描述多輸入多輸出離散系統(tǒng)的一種方便的數(shù)學(xué)模型。在推導(dǎo)離散化系統(tǒng)的方程時(shí)，假定系統(tǒng)是周期性采樣，并且采樣脈沖寬度遠(yuǎn)小于采樣周期，采樣周期T的選擇滿足香農(nóng)采樣定理，還假設(shè)系統(tǒng)具有零階保持特性，即在兩個(gè)采樣瞬間之間，采樣值不變，并等于前一個(gè)采樣時(shí)刻的值。通常離散化的方法有很多，例如歐拉法，梯形法，龍哥-

34、庫(kù)塔（Runge-Kutta）法，阿達(dá)姆斯（Adams）法等等。下面主要運(yùn)用三種方法來(lái)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行離散化并運(yùn)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬系統(tǒng)的特性，分析不同采樣周期對(duì)系統(tǒng)的影響效果。2.6.2 零階保持器零階保持器可以將脈沖序列變成連續(xù)的方波信號(hào)，即將前一個(gè)采樣周期的數(shù)值保留到下一個(gè)采樣點(diǎn)到來(lái)的時(shí)候。在Matlab中輸入函數(shù)如下：A=0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5;B=0 0;0 0;1 0;0 0.5;C=1 0 0 0;0 1 0 0;D=0 0;0 0;p=-15+40i,-15-40i,-3+10i,-3-10i;k=place(A,B,p);H,I,J,K=c2dm(A-B*k,B,C,D,0.1,zoh)dstep(H,I,J,K)分別設(shè)置采樣時(shí)間為0.1s，0.05s，0.01s，運(yùn)行程序，得到下圖：t=0.1st=0.05st=0.01s圖2-12 零階保持器離散化2.6.3 一階保持器采用一階保持