2022年河南省十所重點名校高考數(shù)學二模試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知，是平面內(nèi)三個單位向量，若，則的最小值（ ）ABCD52設復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)的對應點位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知數(shù)列，是首項為8，公比為得等比數(shù)列

2、，則等于（ ）A64B32C2D44設過拋物線上任意一點(異于原點)的直線與拋物線交于兩點，直線與拋物線的另一個交點為，則（ ）ABCD5如圖，中，點D在BC上，將沿AD旋轉得到三棱錐，分別記，與平面ADC所成角為，則，的大小關系是（ ）ABC，兩種情況都存在D存在某一位置使得6某幾何體的三視圖如圖所示，圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長為3，則該幾何體表面積為（ ）ABCD7已知復數(shù)，則（ ）ABCD28關于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）A函數(shù)的定義域為B函數(shù)一個遞增區(qū)間為C函數(shù)的圖像關于直線對稱D將函數(shù)圖像向左平移個單位可得函數(shù)的圖像9設、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則的一個充分條

3、件是（ ）A且B且C且D且10M、N是曲線y=sinx與曲線y=cosx的兩個不同的交點,則|MN|的最小值為()ABCD211已知直線：與圓：交于，兩點，與平行的直線與圓交于，兩點，且與的面積相等，給出下列直線：，.其中滿足條件的所有直線的編號有（ ）ABCD12設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，當時，則使得成立的的取值范圍是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知向量，滿足，則的取值范圍為_.14已知，且，則_15若正實數(shù)x，y，滿足x+2y=5，則x2-3x+1+2y2-1y的最大值是_16現(xiàn)有一塊邊長為a的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個邊長均為x的小正方形，然后做成

4、一個無蓋方盒，該方盒容積的最大值是_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在四棱錐中，底面是平行四邊形，底面（1）證明：；（2）求二面角的正弦值18（12分）在平面直角坐標系中，曲線，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系（1）求曲線、的極坐標方程；（2）在極坐標系中，射線與曲線，分別交于、兩點（異于極點），定點，求的面積19（12分）設直線與拋物線交于兩點，與橢圓交于兩點，設直線（為坐標原點）的斜率分別為，若.（1）證明：直線過定點，并求出該定點的坐標；（2）是否存在常數(shù)，滿足？并說明理由.20（12分）在直角坐標系中，

5、直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）設直線與曲線相交于兩點，的頂點也在曲線上運動，求面積的最大值.21（12分）已知.（1）求的單調區(qū)間；（2）當時，求證：對于，恒成立；（3）若存在，使得當時，恒有成立，試求的取值范圍.22（10分）已知函數(shù)，函數(shù).（）判斷函數(shù)的單調性；（）若時，對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最小值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】由于，且為單位向量，所以可令，再設出單位向量

6、的坐標，再將坐標代入中，利用兩點間的距離的幾何意義可求出結果【詳解】解：設，則，從而，等號可取到故選：A【點睛】此題考查的是平面向量的坐標、模的運算，利用整體代換，再結合距離公式求解，屬于難題2C【解析】化簡得到，得到答案.【詳解】，故，對應點在第三象限.故選：.【點睛】本題考查了復數(shù)的化簡和對應象限，意在考查學生的計算能力.3A【解析】根據(jù)題意依次計算得到答案.【詳解】根據(jù)題意知：，故，.故選：.【點睛】本題考查了數(shù)列值的計算，意在考查學生的計算能力.4C【解析】畫出圖形，將三角形面積比轉為線段長度比，進而轉為坐標的表達式。寫出直線方程，再聯(lián)立方程組，求得交點坐標，最后代入坐標，求得三角形面

7、積比.【詳解】作圖，設與的夾角為，則中邊上的高與中邊上的高之比為，設，則直線，即，與聯(lián)立，解得，從而得到面積比為.故選：【點睛】解決本題主要在于將面積比轉化為線段長的比例關系，進而聯(lián)立方程組求解，是一道不錯的綜合題.5A【解析】根據(jù)題意作出垂線段，表示出所要求得、角，分別表示出其正弦值進行比較大小，從而判斷出角的大小，即可得答案【詳解】由題可得過點作交于點，過作的垂線，垂足為，則易得，設，則有，可得，；，；，綜上可得，故選：【點睛】本題考查空間直線與平面所成的角的大小關系，考查三角函數(shù)的圖象和性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平6C【解析】幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1

8、，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，計算得到答案.【詳解】幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，故幾何體的表面積為.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.7C【解析】根據(jù)復數(shù)模的性質即可求解.【詳解】,故選：C【點睛】本題主要考查了復數(shù)模的性質，屬于容易題.8B【解析】化簡到，根據(jù)定義域排除，計算單調性知正確，得到答案.【詳解】，故函數(shù)的定義域為，故錯誤；當時，函數(shù)單調遞增，故正確；當，關于的對稱的直線為不在定義域內(nèi)，故錯誤.平移得到的函數(shù)定義域為，故不可能為，錯誤.故選：.【點睛】本題考查了三角恒等變換，

9、三角函數(shù)單調性，定義域，對稱，三角函數(shù)平移，意在考查學生的綜合應用能力.9B【解析】由且可得，故選B.10C【解析】兩函數(shù)的圖象如圖所示,則圖中|MN|最小,設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1=,x2=,|x1-x2|=,|y1-y2|=|sinx1-cosx2|=+=,|MN|=.故選C.11D【解析】求出圓心到直線的距離為：，得出，根據(jù)條件得出到直線的距離或時滿足條件，即可得出答案.【詳解】解：由已知可得：圓：的圓心為（0,0），半徑為2，則圓心到直線的距離為：，而，與的面積相等，或，即到直線的距離或時滿足條件，根據(jù)點到直線距離可知，滿足條件.故選：D.【點睛】本題考查直線與圓的

10、位置關系的應用，涉及點到直線的距離公式.12D【解析】構造函數(shù)，令，則，由可得，則是區(qū)間上的單調遞減函數(shù)，且，當x(0,1)時,g(x)0,lnx0,f(x)0;當x(1,+)時,g(x)0,f(x)0,(x2-1)f(x)0,(x2-1)f(x)0,(x2-1)f(x)0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項.點睛：函數(shù)的單調性是函數(shù)的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數(shù)學的教學之中某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調性無關，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質，那么運用函數(shù)的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用因此對函數(shù)的單調性進行全面、準確

11、的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的根據(jù)題目的特點，構造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】設，由，根據(jù)平面向量模的幾何意義，可得A點軌跡為以O為圓心、1為半徑的圓，C點軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓，為的距離，利用數(shù)形結合求解.【詳解】設，如圖所示：因為，所以A點軌跡為以O為圓心、1為半徑的圓，C點軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓，則即的距離，由圖可知，.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的模及運算的幾何意義，還考查了數(shù)形結合的

12、方法，屬于中檔題.14【解析】試題分析：因,故,所以，,應填.考點：三角變換及運用1583【解析】分析：將題中的式子進行整理，將x+1當做一個整體，之后應用已知兩個正數(shù)的整式形式和為定值，求分式形式和的最值的問題的求解方法，即可求得結果.詳解：x2-3x+1+2y2-1y=(x+1)2-2(x+1)-2x+1+2y-1y=x+1-2+2y-(2x+1+1y)=x+2y-1-16(2x+1+1y)(x+1+2y)=4-16(2+2+4yx+1+x+1y)4-16(4+24)=83，當且僅當2y=x+1=3等號成立，故答案是83.點睛：該題屬于應用基本不等式求最值的問題，解決該題的關鍵是需要對式子

13、進行化簡，轉化，利用整體思維，最后注意此類問題的求解方法-相乘，即可得結果.16【解析】由題意容積，求導研究單調性，分析即得解.【詳解】由題意：容積，則，由得或（舍去），令則為V在定義域內(nèi)唯一的極大值點也是最大值點，此時.故答案為：【點睛】本題考查了導數(shù)在實際問題中的應用，考查了學生數(shù)學建模，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）見解析（2）【解析】（1）利用正弦定理求得，由此得到，結合證得平面，由此證得.（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值，再轉化為正弦值.【詳解】（1）在中，由正弦定理

14、可得：， ，底面，平面， ； （2）以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系， 設平面的法向量為，由可得：，令，則， 設平面的法向量為，由可得:，令，則， 設二面角的平面角為，由圖可知為鈍角，則， ，故二面角的正弦值為.【點睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查空間向量法求二面角，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18（1），；（2）.【解析】（1）先把參數(shù)方程化成普通方程，再利用極坐標的公式把普通方程化成極坐標方程；（2）先利用極坐標求出弦長，再求高，最后求的面積【詳解】（1）曲線的極坐標方程為： ，因為曲線的普通方程為： ， 曲線的極坐標方程為；（2） 由（1）得：點的極坐標為，

15、 點的極坐標為，點到射線的距離為 的面積為 .【點睛】本題考查普通方程、參數(shù)方程與極坐標方程之間的互化，同時也考查了利用極坐標方程求解面積問題，考查計算能力，屬于中等題.19（1）證明見解析（0，2）；（2）存在，理由見解析【解析】（1）設直線l的方程為y=kx+b代入拋物線的方程，利用OAOB，求出b，即可知直線過定點（2）由斜率公式分別求出，聯(lián)立直線與拋物線，橢圓，再由根與系數(shù)的關系得，代入，化簡即可求解.【詳解】（1）證明：由題知，直線l的斜率存在且不過原點，故設由可得，.，故所以直線l的方程為故直線l恒過定點.（2）由（1）知設由可得，即存在常數(shù)滿足題意.【點睛】本題主要考查了直線與拋

16、物線、橢圓的位置關系，直線過定點問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題20（1）：，：；（2）【解析】（1）由直線參數(shù)方程消去參數(shù)即可得直線的普通方程，根據(jù)極坐標方程和直角坐標方程互化的公式即可得曲線的直角坐標方程；（2）由即可得的底，由點到直線的距離的最大值為即可得高的最大值，即可得解.【詳解】（1）由消去參數(shù)得直線的普通方程為，由得，曲線的直角坐標方程為；（2）曲線即，圓心到直線的距離，所以，又 點到直線的距離的最大值為，所以面積的最大值為.【點睛】本題考查了參數(shù)方程、極坐標方程和直角坐標方程的互化，考查了直線與圓的位置關系，屬于中檔題.21（1）單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為；（2）詳

17、見解析；（3）.【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求導后，利用導數(shù)和單調性的關系，可求得函數(shù)的單調區(qū)間.（2）構造函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)在上遞減，且，則，故原不等式成立.（3）同（2）構造函數(shù)，對分成三類，討論函數(shù)的單調性、極值和最值，由此求得的取值范圍.試題解析：（1），當時，.解得當時，解得所以單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為（2）設，當時，由題意，當時，恒成立，當時，恒成立，單調遞減又，當時，恒成立，即對于，恒成立（3）因為由（2）知，當時，恒成立，即對于，不存在滿足條件的；當時，對于，此時，即恒成立，不存在滿足條件的；當時，令，可知與符號相同，當時，單調遞減當時，即恒成立綜上，的取值范圍為點睛：本題主要考查導數(shù)和單調區(qū)間，導數(shù)與不等式的證明，導數(shù)與恒成立問題的求解方法.第一問求函數(shù)的單調區(qū)間，這是導數(shù)問題的基本題型，也是基本功，先求定義域，然后求導，要注意通分和因式分解.二、三兩問一個是恒成立問題，一個是存在性問題，要注意取值是最大值還是最小值.22 (1) 故函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減;(2). 【解析】試題分析：（）根據(jù)題意得到的解析式和定義域，求導后根據(jù)導