2018_2019學年高中數(shù)學第1章導數(shù)及其應用1.1導數(shù)的概念1.1.1平均變化率講義含解析蘇教版

1、11.1平均變化率假設(shè)下圖是一座山的剖面示意圖，并在上面建立平面直角坐標系A(chǔ)是出發(fā)點，H是山頂爬山路線用函數(shù)yf(x)表示yxyy1y0 xx1x0yy1y0 xx1x0yyxxx1一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間x1，x2上的平均變化率為f(x2)f(x1).(2)在式子f(x2)f(x1)x2x1自變量x表示某旅游者的水平位置，函數(shù)值yf(x)表示此時旅游者所在的高度設(shè)點A的坐標為(x0，y0)，點B的坐標為(x1，y1)問題1：若旅游者從A點爬到B點，則自變量x和函數(shù)值y的改變量x，y分別是多少？提示：xx1x0，yy1y0.問題2：如何用x和y來刻畫山路的陡峭程度？提示：對于山坡AB，可用來

2、近似刻畫山路的陡峭程度問題3：試想的幾何意義是什么？提示：表示直線AB的斜率問題4：從A到B，從A到C，兩者的相同嗎？的值與山路的陡峭程度有什么關(guān)系？y提示：不相同.的值越大，山路越陡峭x2x12平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，或者說，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”在函數(shù)平均變化率的定義中，應注意以下幾點：(1)函數(shù)在x1，x2上有意義；中，x2x10，而f(x2)f(x1)的值可正、可負、可為0.(3)在平均變化率中，當x1取定值后，x2取不同的數(shù)值時，函數(shù)的平均變化率不一定相同；同樣的，當x2取定值后，x1取不同的數(shù)值時，函數(shù)的平均變化率也不一定相同對應學生用書P3求函數(shù)在某區(qū)

3、間的平均變化率例1(1)求函數(shù)f(x)3x22在區(qū)間2,2.1上的平均變化率；(2)求函數(shù)g(x)3x2在區(qū)間2，1上的平均變化率思路點撥求出所給區(qū)間內(nèi)自變量的改變量及函數(shù)值的改變量，從而求出平均變化率精解詳析(1)函數(shù)f(x)3x22在區(qū)間2,2.1上的平均變化率為：f(2.1)f(2)(32.122)(3222)2.120.112.3.(2)函數(shù)g(x)3x2在區(qū)間2，1上的平均變化率為g(1)g(2)(1)(2)(5)(8)3.f(x2)f(x1)x2x1424223(1)23(2)2(1)(2)12一點通求函數(shù)平均變化率的步驟為：第一步：求自變量的改變量x2x1；第二步：求函數(shù)值的改變

4、量f(x2)f(x1)；第三步：求平均變化率.1函數(shù)g(x)3x在2,4上的平均變化率是_g(4)g(2)34(3)2解析：函數(shù)g(x)3x在2,4上的平均變化率為1263.答案：32.如圖是函數(shù)yf(x)的圖象，則：(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上的平均變化率為_；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上的平均變化率為_解析：(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上的平均變化率為f(1)f(1)2111(1)22.x3(2)由函數(shù)f(x)的圖象知，f(x)2，1x1，f(2)f(0)23所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上的平均變化率為.242121213.21(1t)1tx1，1x3.33202413答案：(

5、1)(2)3本例條件不變，分別計算f(x)與g(x)在區(qū)間1,2上的平均變化率，并比較變化率的大小f(2)f(1)3222(3122)解：(1)9.g(2)g(1)322(312)(2)f(x)比g(x)在1,2上的平均變化率大實際問題中的平均變化率例2物體的運動方程為St1(位移單位：m；時間單位：s)，求物體在t1s到t(1t)s這段時間內(nèi)的平均速度思路點撥求物體在某段時間內(nèi)的平均速度，就是求位移的改變量與時間的改變量的比值精解詳析物體在1,1t內(nèi)的平均速度為S(1t)S(1)(1t)111tt(2t2)2t2(2t2)(2t2)1(m/s)2t2即物體在t1s到t(1t)s這段時間內(nèi)的平

6、均速度為12t2m/s.一點通平均變化率問題在生活中隨處可見，常見的有求某段時間內(nèi)的平均速度、加速度、膨脹率、經(jīng)濟效益等分清自變量和因變量是解決此類問題的關(guān)鍵4圓的半徑r從0.1變化到0.3時，圓的面積S的平均變化率為_解析：Sr2，圓的半徑r從0.1變化到0.3時，0.20.4.0.30.1圓的面積S的平均變化率為S(0.3)S(0.1)0.320.12答案：0.45在F1賽車中，賽車位移(單位：m)與比賽時間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系S10t5t2，則賽車在20,20.1上的平均速度是多少？解：賽車在20,20.1上的平均速度為S(20.1)S(20)20.12020.1200.1(102

7、0.1520.12)(10205202)21.05210.5(m/s)函數(shù)平均變化率的應用例3甲、乙兩人走過的路程s1(t)，s2(t)與時間t的關(guān)系如圖所示，試比較兩人的速度哪個大？思路點撥要比較兩人的速度，其實就是比較兩人走過的路程對時間的平均變化率，通過平均變化率的大小關(guān)系得出結(jié)論精解詳析在t0處s1(t0)s2(t0)，s1(t0)s1(t0t)s2(t0)s2(t0t)tt但，解析：v1s(t1)s(t0)kOA，所以在單位時間內(nèi)乙的速度比甲的速度大，因此，在如圖所示的整個運動狀態(tài)中乙的速度比甲的速度大一點通平均變化率的絕對值反映函數(shù)在給定區(qū)間上變化的快慢，平均變化率的絕對值越大，函

8、數(shù)在區(qū)間上的變化率越快；平均變化率的絕對值越小，函數(shù)在區(qū)間上的變化率越慢6.汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖象如圖所示在時間段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分別為v1，v2，v3，則三者的大小關(guān)系是_t1t0s(t2)s(t1)t2t1v2kAB，s(t3)s(t2)t3t2v3kBC，由圖象知：kOAkABv2v1.答案：v3v2v1AB7、兩機關(guān)開展節(jié)能活動，活動開始后，兩機關(guān)每天的用電情況如圖所示，其中W1(t)、W2(t)分別表示A、B兩機關(guān)的用電量與時間第t天的關(guān)系，則下列說法一定正確的是_(填序號)W1(t0)W1(0)W2(t0)W2(0)t0t0W1(t0)

9、W1(0)W2(t0)W2(0)t0t0且.兩機關(guān)節(jié)能效果一樣好；A機關(guān)比B機關(guān)節(jié)能效果好；A機關(guān)在0，t0上的用電平均變化率比B機關(guān)在0，t0上的用電平均變化率大；A機關(guān)與B機關(guān)自節(jié)能以來用電量總是一樣大解析：由圖可知，在t0時，W1(0)W2(0)，當tt0時，W1(t0)W2(t0)，所以1，a4.答案：4二、解答題6已知函數(shù)f(x)2x21.求函數(shù)f(x)在區(qū)間2,2.01上的平均變化率22.012122212.012之間和到之間的平均變化率，并比較它們的大小sinsin03解：在0到之間的平均變化率為；0sinsin在到之間的平均變化率為.2333(23)23，3之間的平均變化率為，在到之間的平均變化率為3(23)，故在0到之間的平均變化率較大8已知氣球的表面積S(單位：cm2)與半徑r(單位：cm)之間的函數(shù)關(guān)系是S(r)4r2.求：(1)氣球表面積S由10cm2膨脹到20cm2時的平均膨脹率即氣球膨脹過程中半徑的增量與表面積增量的比值；(2)氣球表面積S由30cm2膨脹到40cm2時的平均膨脹率解：根據(jù)函數(shù)的增量來證明由S(r)4r2，r0，把r表示成表面積S的函數(shù)：