全國(guó)第八屆青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課教學(xué)設(shè)計(jì)正弦定理

1、2016年全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課教學(xué)設(shè)計(jì)第一課時(shí)正弦定理一、教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)課正弦定理第一課時(shí)，出自新人教A版必修5第一章第一節(jié)正弦定理和余弦定理。課程安排在“三角、向量”知識(shí)之后，是三角函數(shù)知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用，更是初中“三角形邊角關(guān)系”和“解直角三角形”內(nèi)容的直接延續(xù)和拓展，同時(shí)也是處理可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算的其他數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)生活實(shí)際問題的重要工具。本節(jié)課的內(nèi)容共分為三個(gè)層次：第一，從實(shí)際問題導(dǎo)入，在解直角三角形的邊角關(guān)系的基礎(chǔ)上，觸碰解斜三角形的思維困惑點(diǎn)，自然生成疑問，激發(fā)學(xué)生探究欲望，從熟悉的解直角三角形順利過渡到即將要面對(duì)的解任意三角形，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的螺旋式上升，符合學(xué)生的認(rèn)知思

2、維；第二，帶著疑問，在探究得到直角三角形邊角量化關(guān)系的基礎(chǔ)上，以此作為啟發(fā)點(diǎn)，首先對(duì)特殊的斜三角形邊角量化關(guān)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。其次是嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明，得到正弦定理，以解直角三角形為知識(shí)基礎(chǔ)，驗(yàn)證和證明，教學(xué)過程中充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想；第三，解決引例，首尾呼應(yīng)，并學(xué)以致用。正弦定理其實(shí)是把“大邊對(duì)大角、小邊對(duì)小角”這一幾何關(guān)系的解析化。從三角學(xué)的歷史發(fā)展來看，三角函數(shù)其實(shí)就是有關(guān)三角形、圓的性質(zhì)的解析表達(dá)。這樣在悄無聲息中，滲透了學(xué)科發(fā)展中研究觀點(diǎn)和研究方法的嬗變。這其實(shí)是一個(gè)推陳出新的過程。通過這三個(gè)層次：探索發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)證明實(shí)際應(yīng)用。從實(shí)際中來，到實(shí)際中去。課堂上，引導(dǎo)學(xué)生充分體驗(yàn)、直觀感知、

3、大膽猜想、實(shí)驗(yàn)探究、理論驗(yàn)證以及實(shí)際應(yīng)用。二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于本節(jié)課的課程目標(biāo)要求是：“在本章中，學(xué)生將在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長(zhǎng)和角度之間的”數(shù)量關(guān)系，并認(rèn)識(shí)運(yùn)用它們可以解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。根據(jù)課程目標(biāo)，依據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生情況，確定本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)為：1、通過觀察、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證、猜想、證明，從特殊到一般得到正弦定理；2、證明正弦定理，了解正弦定理的一些推導(dǎo)方法；3、初步熟知正弦定理的兩個(gè)重要應(yīng)用。另外，學(xué)生通過親身經(jīng)歷正弦定理的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證、證明，體會(huì)“陌生的知識(shí)借助熟悉的知識(shí)處理”轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)

4、現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力；通過自主探究、合作交流，親身體驗(yàn)正弦定理的發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱難的思維品質(zhì)和個(gè)人素養(yǎng)；培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法。三、學(xué)生學(xué)情分析1、學(xué)生具有的基礎(chǔ)本節(jié)課內(nèi)容安排在高二上學(xué)期講授，學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)過平面幾何的相關(guān)知識(shí)，并能夠較為熟練地解直角三角形，必修四中也剛剛學(xué)過三角函數(shù)，在本章節(jié)的理解上不會(huì)有太大問題。2、即將面臨的問題學(xué)生雖然有一定的觀察分析和解決問題的能力，但是在前后知識(shí)的串聯(lián)上會(huì)有一定的難度，學(xué)生對(duì)解直角三角形熟悉，但是面對(duì)一般的解三角形問題，解決起來有一定難度。因此，我確定本節(jié)課的難點(diǎn)是借助熟知的解

5、直角三角形知識(shí)生成正弦定理的過程。3、難點(diǎn)突破技巧在教學(xué)過程中，我特別注重提升學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，盡量多得設(shè)置思維引導(dǎo)點(diǎn)，帶領(lǐng)學(xué)生一起分析并解決問題；在問題的處理上，更加注重前后知識(shí)的串聯(lián)，用已有知識(shí)解決新問題，并得到新知識(shí)；學(xué)習(xí)過程的推進(jìn)也是逐步實(shí)現(xiàn)，環(huán)環(huán)相扣，循序漸進(jìn)。四、教學(xué)策略分析本節(jié)課采用問題探究式教學(xué)模式，循序漸進(jìn)，用問題驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)，在老師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生探究、合作、交流、展示，盡可能多的質(zhì)疑、探究、討論，多參與課堂知識(shí)的生成和發(fā)現(xiàn)的過程，形成思維。五、教學(xué)過程學(xué)習(xí)目標(biāo)展示1、通過觀察、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證、猜想、證明，從特殊到一般得到正弦定理；2、證明正弦定理，了解正弦定理的一些推導(dǎo)方法；

6、3、初步熟知正弦定理的兩個(gè)重要應(yīng)用.學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)評(píng)價(jià)任務(wù)獲取學(xué)生解學(xué)習(xí)活動(dòng)引例1：如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的設(shè)計(jì)意圖引例1：引導(dǎo)學(xué)直角三角形的知識(shí)的掌握情況，評(píng)兩岸，測(cè)繪人員只有皮尺和測(cè)角儀兩種工生從熟知的直角三具，沒法跨河測(cè)量，利用現(xiàn)有工具，你能角形出發(fā)，解決實(shí)價(jià)學(xué)生設(shè)計(jì)方案的合理性。利用所學(xué)的解三角形知識(shí)設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量A、B兩點(diǎn)距離的方案嗎？（學(xué)生發(fā)散思維，老師提問發(fā)言）際問題，為后續(xù)處理一般三角形埋下伏筆。（一）實(shí)例引入目標(biāo)1激發(fā)動(dòng)機(jī)觀察學(xué)生的解決問題的完成（老師追問）引例2：如果測(cè)量人員任意選取C引例2：對(duì)于一般三角形，學(xué)生比過程，并讓學(xué)生分點(diǎn)，測(cè)出BC的距離是54m，較熟悉轉(zhuǎn)化為直角

7、享展示結(jié)果，評(píng)價(jià)學(xué)生的轉(zhuǎn)化化歸能力，對(duì)后續(xù)證明B45,C60.問根據(jù)這些數(shù)據(jù)能解決測(cè)量者的問題嗎？三角形解決，轉(zhuǎn)化化歸的思想為后續(xù)正弦定理證明埋下的影響。伏筆。學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)評(píng)價(jià)任務(wù)評(píng)價(jià)學(xué)生前后知識(shí)串聯(lián)的熟練學(xué)習(xí)活動(dòng)在引例2數(shù)學(xué)模型：ABC中，BC54，B45,C60.求邊長(zhǎng)AB.設(shè)計(jì)意圖培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思維。程度和對(duì)新問題（一）實(shí)例引入的探究欲望。問題：再看這個(gè)數(shù)學(xué)問題，已知三角形的部分邊長(zhǎng)和內(nèi)角，求其他邊長(zhǎng)和內(nèi)在新問題產(chǎn)生時(shí)，學(xué)生根據(jù)已有激發(fā)動(dòng)機(jī)目標(biāo)1角。這個(gè)問題其實(shí)是解斜三角形的邊角關(guān)的知識(shí)是迷茫的，系問題。但是沒有學(xué)過，我們知道在任意有疑惑的，這時(shí)也三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的

8、關(guān)是產(chǎn)生知識(shí)缺陷，系，那么我們是否能夠得到這個(gè)邊、角關(guān)急需新知的時(shí)候，系準(zhǔn)確量化的表示呢？恰如其分的勾起了學(xué)生的求知欲。3,對(duì)應(yīng)邊的邊長(zhǎng)（二）實(shí)驗(yàn)探究目標(biāo)1猜想證明目標(biāo)2評(píng)價(jià)學(xué)生利用三角函數(shù)定義串聯(lián)三邊和三個(gè)內(nèi)角數(shù)量關(guān)系是否準(zhǔn)確合理。探究一：直角三角形邊角數(shù)量關(guān)系（引導(dǎo)學(xué)生利用正弦函數(shù)定義，關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生把兩個(gè)正弦等式absinA;sinB糅合在一起。）cc探究二：斜三角形邊角數(shù)量關(guān)系實(shí)驗(yàn)1：如圖，在等邊ABC中，ABCa:b:c1:1:1，驗(yàn)證從已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)，不讓學(xué)生在思維上出現(xiàn)跳躍，逐層遞進(jìn)，通過已經(jīng)熟悉的直角三角形的邊角關(guān)系的探究作為切入點(diǎn)，再對(duì)特殊的斜三角形進(jìn)行驗(yàn)證，學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)

9、目標(biāo)目標(biāo)1評(píng)價(jià)任務(wù)評(píng)價(jià)學(xué)生實(shí)驗(yàn)的完成情況，和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確abc是否成立？sinAsinBsinC學(xué)習(xí)活動(dòng)實(shí)驗(yàn)2：如圖，在等腰ABC中，AB30,C120，對(duì)應(yīng)邊的邊長(zhǎng)a:b:c1:1:3，驗(yàn)證過渡到一般的斜三設(shè)計(jì)意圖角形邊角關(guān)系的探究。讓學(xué)生親自體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究的目標(biāo)2性，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的abcsinAsinBsinC是否成立？過程，逐層遞進(jìn)，認(rèn)可。體會(huì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的歸納和演繹推理兩個(gè)側(cè)面。（二）評(píng)價(jià)展示過實(shí)驗(yàn)3：借助多媒體動(dòng)態(tài)演示，引導(dǎo)多媒體技術(shù)的實(shí)驗(yàn)探究程，觀察學(xué)生的感發(fā)現(xiàn)隨著三角形的任意變換，引入演示，讓學(xué)生、的值相等。猜想證明目標(biāo)1目標(biāo)2知情況，把握信息的情況。abcsinAsinBsinC

10、更加直觀感受到變換，加深理解。猜想：通過這樣的一些實(shí)驗(yàn)，我們可以猜想對(duì)于任意的斜三角型也存在這樣的邊角數(shù)量關(guān)系：abc；sinAsinBsinC大膽猜想，激發(fā)學(xué)生探索未知世界的勇氣。經(jīng)歷猜想到證問題：但是并沒有經(jīng)過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推明的過程，讓學(xué)生導(dǎo)，那么如何證明這個(gè)結(jié)論呢？體會(huì)到數(shù)學(xué)新知識(shí)的獲得僅僅靠猜想學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)目標(biāo)1目標(biāo)2評(píng)價(jià)任務(wù)評(píng)價(jià)學(xué)生證明過程的展示，證明方法和解決思學(xué)習(xí)活動(dòng)證明方法1作高法和面積法引導(dǎo)學(xué)生利用熟悉的解直角三角形知識(shí)對(duì)銳角三角形邊角數(shù)量關(guān)系進(jìn)行證設(shè)計(jì)意圖和演繹推理是不夠的，必須經(jīng)過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)進(jìn)行證路的能力。明，學(xué)生展示證明過程，并用不同的方法明才可以。在這個(gè)進(jìn)行說明

11、。過程中，也進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提升。（二）概念生成：展示正弦定理的定義：我們把三角形讓學(xué)生加深對(duì)sinAsinBsinC。實(shí)驗(yàn)探究目標(biāo)1猜想證明評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)生成概念的理解的準(zhǔn)確程度。邊角關(guān)系的這條性質(zhì)稱為正弦定理（law正弦定理概念的準(zhǔn)ofsines），即在任意一個(gè)三角形中，各邊確理解和它所對(duì)的角的正弦的比相等，即abc證明方法2外接圓法目標(biāo)1評(píng)價(jià)學(xué)生證多種方法的證引導(dǎo)學(xué)生思考外接圓中直角的生目標(biāo)2明正弦定理的方明，拓寬學(xué)生思維，成，并進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生課下對(duì)其他證明方法的掌握程度。進(jìn)一步加深對(duì)正弦學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)評(píng)價(jià)任務(wù)法的搜集和整理。學(xué)習(xí)活動(dòng)帶領(lǐng)學(xué)生利用正弦定理解三角形，演定理的理解。

12、設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生了解三示解題過程，解決引例中的疑問，引導(dǎo)學(xué)角形的概念，形成生對(duì)前后方法進(jìn)行對(duì)比，體會(huì)正弦定理的知識(shí)的完備性?；兀ㄈ┰u(píng)價(jià)學(xué)生正應(yīng)用。過頭來，解決引例首尾呼應(yīng)目標(biāo)1弦定理解決引例借助解決過程給出定義：一般地，把中的問題，讓學(xué)生解決引例目標(biāo)3的情況，和前后不三角形的三個(gè)角A、B、C和它們的對(duì)體會(huì)學(xué)習(xí)正弦定理同解決方法對(duì)比的優(yōu)越性。關(guān)注學(xué)生能夠使用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)表述解邊a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形。引導(dǎo)學(xué)生利用正弦定理解決例題并展示，教師展示規(guī)范的解題過程。例1：在ABC中，已知A30新知識(shí)解決實(shí)際問題的方便，激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識(shí)

13、的欲望。通過例題歸納出正弦定理在解三（四）學(xué)以致用目標(biāo)1題過程，能夠順利使用正弦定理，體BA30，45，a2,求C、b、c.。角形中的兩個(gè)主要引導(dǎo)學(xué)生歸納正弦的第一個(gè)主要應(yīng)應(yīng)用，形成用正弦歸類總結(jié)目標(biāo)3現(xiàn)正弦定理的工用定理解三角形的思具性。評(píng)價(jià)學(xué)生利用正弦定理解決問題的掌握情況。路，解決問題，提例2：在ABC中，已知升學(xué)習(xí)熱情，體驗(yàn)23a2，b2，A45，解三角形。學(xué)習(xí)樂趣。引導(dǎo)學(xué)生歸納正弦的第二個(gè)主要應(yīng)用。學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)目標(biāo)1目標(biāo)3評(píng)價(jià)任務(wù)了解學(xué)生對(duì)正弦定理解三角形的理解深度，并引導(dǎo)后續(xù)的學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)活動(dòng)問題：解三角形還有其他情況嗎？如：已知兩邊和夾角。提問學(xué)生，總結(jié)分享收獲：設(shè)計(jì)意圖串聯(lián)前后知識(shí)，形成知識(shí)串，激發(fā)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的興趣。有助于加深學(xué)（五）目標(biāo)1總結(jié)升華目標(biāo)2提升素養(yǎng)目標(biāo)3評(píng)價(jià)學(xué)生的分享內(nèi)容，把握學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解程度。生對(duì)本節(jié)課重點(diǎn)核心知識(shí)和數(shù)學(xué)思想通過學(xué)生的總結(jié)，突出本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)方法的把握，提升和技能，提煉學(xué)習(xí)過程中滲透的數(shù)學(xué)思想學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。方法，感受學(xué)習(xí)成功的喜悅。1、正弦定理的其他證明方法；課堂的學(xué)習(xí)時(shí)2、通過以