北京市中考數(shù)學(xué)專題突破六：圓的有關(guān)計(jì)算(含答案)

1、專題突破(六)圓中有關(guān)計(jì)算圓的中檔解答題分值為5分，難度中等偏上，是每一位考生力爭(zhēng)滿分的題型之一，所考查知識(shí)點(diǎn)相對(duì)穩(wěn)定，主要考查學(xué)生對(duì)圓、相似、解直角三角形等內(nèi)容的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力從題目本身來看，一般都采取標(biāo)準(zhǔn)的兩問式子.2015年隨著考試改革，本題的位置調(diào)整為23題，難度等同于去年年份20112012201320142015題號(hào)202123考點(diǎn)圓周角定理；切線的判定；相似三角形的性質(zhì)與判定；解直角三角形垂徑定理；切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)與判定；解直角三角形切線長(zhǎng)定理；相似三角形的性質(zhì)和判定；勾股定理的應(yīng)用切線的性質(zhì)；等腰三角形的判定；全等三角形的性質(zhì)與判定；勾股定理的應(yīng)用切線

2、的性質(zhì)；等邊三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理的應(yīng)用12015北京 如圖Z61，AB是O的直徑，過點(diǎn)B作O的切線BM，弦CDBM，交AB于點(diǎn)F，且eq o(DA,sup8()eq o(DC,sup8()，連接AC，AD，延長(zhǎng)AD交BM于點(diǎn)E.(1)求證：ACD是等邊三角形；(2)連接OE，若DE2，求OE的長(zhǎng)圖Z6122014北京 如圖Z62，AB是O的直徑，C是eq o(AB,sup8()的中點(diǎn)，O的切線BD交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，E是OB的中點(diǎn)，CE的延長(zhǎng)線交切線BD于點(diǎn)F，AF交O于點(diǎn)H，連接BH.(1)求證：ACCD；(2)若OB2，求BH的長(zhǎng)圖Z6232013北京 如圖Z63，AB是O的直徑

3、，PA，PC分別與O相切于點(diǎn)A，C，PC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，DEPO交PO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證：EPDEDO；(2)若PC6，tanPDAeq f(3,4)，求OE的長(zhǎng)圖Z6342012北京 如圖Z64，已知AB是O的直徑，C是O上的一點(diǎn)，ODBC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作O的切線，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BE.(1)求證：BE與O相切；(2)連接AD并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)F，若OB9，sinABCeq f(2,3)，求BF的長(zhǎng)圖Z6452011北京 如圖Z65，在ABC中，ABAC，以AB為直徑的O分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，且CBFeq f(1,2)CAB.(1)求證：直線

4、BF是O的切線；(2)若AB5，sinCBFeq f(r(5),5)，求BC和BF的長(zhǎng)圖Z6512014東城一模 如圖Z66，AB是O的直徑，點(diǎn)E是eq o(BD,sup8()上的一點(diǎn)，DACAED.(1)求證：AC是O的切線；(2)若點(diǎn)E是eq o(BD,sup8()的中點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F，當(dāng)BD5，CD4時(shí)，求DF的值圖Z6622014海淀一模 如圖Z67，在ABC中，ABAC，以AB為直徑的O與邊BC，AC分別交于D，E兩點(diǎn)，DFAC于點(diǎn)F. (1)求證：DF為O的切線；(2)若cosCeq f(3,5)，CF9，求AE的長(zhǎng)圖Z6732014西城一摸 如圖Z68，在ABC中，ABA

5、C，以AB為直徑作O，交BC于點(diǎn)D，連接OD，過點(diǎn)D作O的切線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F.(1)求證：ODAC；(2)當(dāng)AB10，cosABCeq f(r(5),5)時(shí)，求AF及BE的長(zhǎng)圖Z6842015東城一模 如圖Z69，在O中，AB為直徑，OCAB，弦CD與OB交于點(diǎn)F，過點(diǎn)D，A分別作O的切線交于點(diǎn)G，且GD與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.(1)求證：12；(2)已知OFOB13，O的半徑為3，求AG的長(zhǎng)圖Z6952015海淀二模 如圖Z610，AB為O的直徑，C，D為O上不同于A，B的兩點(diǎn)，ABD2BAC，連接CD.過點(diǎn)C作CEDB，垂足為E，直線AB與CE相交于點(diǎn)F.(1)求證：

6、CF為O的切線；(2)當(dāng)BF5，sinFeq f(3,5)時(shí)，求BD的長(zhǎng)圖Z61062015青山區(qū)一模 如圖Z611，AB是O的直徑，BC交O于點(diǎn)D，E是eq o(BD,sup8()的中點(diǎn)，連接AE交BC于點(diǎn)F，ACB2EAB.(1)求證：AC是O的切線；(2)若cosCeq f(2,3)，AC6，求BF的長(zhǎng)圖Z61172015朝陽一模 如圖Z612，ABC內(nèi)接于O，AB為直徑，點(diǎn)D在O上，過點(diǎn)D作O的切線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，EDBC，連接AD交BC于點(diǎn)F.(1)求證：BADDAE；(2)若AB6，AD5，求DF的長(zhǎng)圖Z61282015豐臺(tái)一模 如圖Z613，O的直徑AB垂直于弦CD，垂足

7、為E，過點(diǎn)C作O的切線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接PD.(1)判斷直線PD與O的位置關(guān)系，并加以證明；(2)連接CO并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)F，連接FP交CD于點(diǎn)G.如果CF10，cosAPCeq f(4,5)，求EG的長(zhǎng)圖Z61392015海淀一模 如圖Z614，在ABC中，ABAC，ADBC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作O與邊AB相切于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，CE為O的直徑(1)求證：ODCE；(2)若DF1，DC3，求AE的長(zhǎng)圖Z614102015西城一模 如圖Z615，AB為O的直徑，M為O外一點(diǎn)，連接MA與O交于點(diǎn)C，連接MB并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)D，經(jīng)過點(diǎn)M的直線l與MA所在直線關(guān)于直線MD對(duì)稱作BEl于點(diǎn)E，連接A

8、D，DE.(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)在不添加新的線段的條件下，寫出圖中與BED相等的角，并加以證明圖Z615參考答案北京真題體驗(yàn)1.解：(1)證明：BM是O的切線，AB為O的直徑，ABBM.BMCD，ABCD，eq o(AD,sup8()eq o(AC,sup8()，ADAC.eq o(DA,sup8()eq o(DC,sup8()，DCAD，ADCDAC，ACD為等邊三角形(2)ACD為等邊三角形，ABCD，DAB30.連接BD.AB為O的直徑，BDAD，EBDDAB30.DE2，BE4，BD2 eq r(3)，AB4 eq r(3)，OB2 eq r(3).在RtOBE中，OEeq r(

9、OB2BE2)eq r(1216)2 eq r(7).2.解：(1)證明：如圖，連接OC.C是eq o(AB,sup8()的中點(diǎn)，AB是O的直徑，OCAB.BD是O的切線，BDAB，OCBD.AOBO，ACCD.(2)E是OB的中點(diǎn)，OEBE.在COE與FBE中，CEOFEB，OEBE，COEFBE，COEFBE(ASA)，COBF.OB2，BFOC2，AFeq r(4222)2 eq r(5).AB是O的直徑，BHAF，ABFBHF，ABBFAFBH，BHeq f(ABBF,AF)eq f(42,2 r(5)eq f(4 r(5),5).3解：(1)證明：PA，PC與O分別相切于點(diǎn)A，C，A

10、POEPD，PAAO，即PAO90.AOPEOD，PAOE90，APOEDO，EPDEDO.(2)連接OC.PAPC6，tanPDAeq f(3,4)，在RtPAD中，AD8，PD10，CD4.tanPDAeq f(3,4)，在RtOCD中，OC3，OD5.EPDEDO，OEDDEP，eq f(PD,OD)eq f(DE,OE)eq f(10,5)eq f(2,1)，DE2OE.在RtOED中，OE2DE252，OEeq r(5).4解：(1)證明：連接OC.EC與O相切，C為切點(diǎn)，ECO90.OBOC，OCBOBC.ODBC，DBDC，直線OE是線段BC的垂直平分線，EBEC，ECBEBC，

11、ECOEBO，即EBO90.AB是O的直徑，BE與O相切(2)過點(diǎn)D作DMAB于點(diǎn)M，則DMFB.在RtODB中，ODB90，OB9，sinABCeq f(2,3)，ODOBsinABC6.由勾股定理，得BDeq r(OB2OD2)3 eq r(5).在RtDMB中，同理得DMBDsinABC2 eq r(5)，BMeq r(BD2DM2)5.O是AB的中點(diǎn)，AB18，AMABBM13.DMFB，AMDABF，eq f(MD,BF)eq f(AM,AB)，BFeq f(MDAB,AM)eq f(36 r(5),13).5解：(1)證明：如圖，連接AE.AB是O的直徑，AEB90，1290.AB

12、AC，1eq f(1,2)CAB.CBFeq f(1,2)CAB，1CBF，CBF290，即ABF90.AB是O的直徑，直線BF是O的切線(2)如圖，過點(diǎn)C作CGAB于點(diǎn)G.sinCBFeq f(r(5),5)，1CBF，sin1eq f(r(5),5).AEB90，AB5，BEABsin1eq r(5).ABAC，AEB90，BC2BE2 eq r(5).在RtABE中，由勾股定理，得AE2 eq r(5)，sin2eq f(2 r(5),5)，cos2eq f(r(5),5).在RtCBG中，可求得GC4，GB2，AG3.GCBF，AGCABF，eq f(GC,BF)eq f(AG,AB)

13、，BFeq f(GCAB,AG)eq f(20,3).北京專題訓(xùn)練1.解：(1)證明：AB是O的直徑，ADBADC90.BAEDCAD，CC，CCADCB90，BACADC90.又AB是O的直徑，AC是O的切線(2)可證ADCBAC，eq f(AC,BC)eq f(CD,AC)，即AC2BCCD36.解得AC6.E是eq o(BD,sup8()的中點(diǎn)，DAEBAE.CAFCADDAEABFBAEAFD，CACF6，DFCFCD2.2解：(1)證明：如圖，連接OD，AD.AB是O的直徑，ADB90.又ABAC，D為BC的中點(diǎn)又O為AB的中點(diǎn)，ODAC.DFAC，DFOD.又OD為O的半徑，DF為

14、O的切線(2)如圖，連接BE.DFAC，CF9，cosCeq f(CF,CD)，CDeq f(CF,cosC)9eq f(3,5)15.ADB90，ADC90，cosCeq f(CD,AC)，ACeq f(CD,cosC)15eq f(3,5)25.AB是O的直徑，AEB90.又DFAC，DFBE，eq f(CF,EF)eq f(CD,BD)1，EFCF9，AEACEFCF25997.3解：(1)證明：如圖，連接AD.AB是O的直徑，ADB90，ADBC.ABAC，12.又OAOD，1ODA，2ODA，ODAC.(2)EF是O的切線，ODE90.由(1)知ODAC，12，ADB90，AFEOD

15、E90，ADFABC.在RtADB中，AB10，cosABCeq f(r(5),5)，AD4 eq r(5)，BD2 eq r(5)，OD5.在RtAFD中，cosADFcosABCeq f(r(5),5)，DF4，AF8.ODAC，eq f(OD,AF)eq f(OE,AE)，即eq f(5,8)eq f(BE5,BE10)，BEeq f(10,3).4解：(1)證明：如圖，連接OD.DE為O的切線，OD為O的半徑，ODDE，ODE90，即2ODC90.OCOD，CODC，2C90.而OCOB，3C90，23.13，12.(2)OFOB13，O的半徑為3，OF1.12，EFED.在RtODE

16、中，OD3，設(shè)DEx，則EFx，OE1x.OD2DE2OE2，32x2eq blc(rc)(avs4alco1(x1)eq sup12(2)，解得x4，DE4，OE5.AG為O的切線，OA為O的半徑，GD為O的切線，AGAE，GAGD，GAE90.在RtAGE中，設(shè)DGAGt，則GEt4.AG2AE2GE2，t282eq blc(rc)(avs4alco1(t4)eq sup12(2)，解得t6，AG6.5.解：(1)證明：如圖，連接OC.OAOC，12.又312，321.又421，43，OCDB.CEDB，OCCF.又OC為O的半徑，CF為O的切線(2)如圖，連接AD.在RtBEF中，BEF

17、90，BF5，sinFeq f(3,5)，BE3.OCBE，F(xiàn)BEFOC，eq f(FB,FO)eq f(BE,OC).設(shè)O的半徑為r，eq f(5,5r)eq f(3,r)，解得req f(15,2).AB為O的直徑，AB15，ADB90.4EBF，F(xiàn)BAD，sinBADeq f(BD,AB)sinFeq f(3,5)，eq f(BD,15)eq f(3,5)，BD9.6解：(1)證明：如圖，連接AD.E是eq o(BD,sup8()的中點(diǎn)，eq o(DE,sup8()eq o(BE,sup8()，EABEAD.ACB2EAB，ACBDAB.AB是O的直徑，ADB90，DACACB90，DA

18、CDAB90，即BAC90，ACAB.又AB是O的直徑，AC是O的切線(2)如圖，過點(diǎn)F作FHAB于點(diǎn)H.在RtACD中，cosCeq f(CD,AC)eq f(2,3)，AC6，CDeq f(2,3)64.在RtACB中，cosCeq f(AC,BC)eq f(2,3)，BCeq f(3,2)69，BDBCCD945.EABEAD，即AF平分BAD，而FDAD，F(xiàn)HAB，F(xiàn)DFH.設(shè)BFx，則DFFH5x.FHAC，HFBC.在RtBFH中，cosBFHcosCeq f(2,3)eq f(FH,BF)，eq f(5x,x)eq f(2,3)，解得x3，即BF的長(zhǎng)為3.7解：(1)如圖，連接O

19、D.ED為O的切線，ODED.AB為O的直徑，ACB90.BCED，ACBEEDO90，AEOD，DAEADO.OAOD，BADADO，BADDAE.(2)如圖，連接BD.AB是O的直徑，ADB90.AB6，AD5，BDeq r(AB2AD2)eq r(11).BADDAECBD，tanCBDtanBADeq f(r(11),5).在RtBDF中，DFBDtanCBDeq f(11,5).8解：(1)PD與O相切證明：如圖，連接OD.在O中，ODOC，ABCD于點(diǎn)E，12.又OPOP，OCPODP，OCPODP.又PC切O于點(diǎn)C，OC為O的半徑，OCPC，OCP90，ODP90，ODPD.又點(diǎn)D在O上，PD與O相切于點(diǎn)D.(2)如圖，過點(diǎn)F作FMAB于點(diǎn)M.OCP90，CEOP于點(diǎn)E，3490，APC490，3APC.cosAPCeq f(4,5)，RtOCE中，cos3eq f(CE,OC)eq f(4,5).CF10，OFOCeq f(1,2)CF5，CE4，OE3.又FMAB，ABCD，F(xiàn)MOCEO90.51，OFOC，OFMOCE，F(xiàn)MCE4，OMO