《開題報(bào)告》word版

1、中國計(jì)量學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）開題報(bào)告學(xué)生姓名： 陳靜莉 學(xué) 號(hào)： 0700802116 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí)： 07數(shù)學(xué)（1）班 設(shè)計(jì)（論文）題目： Taylor公式的一些應(yīng)用 指導(dǎo)教師： 羅先發(fā) 二級(jí)學(xué)院： 理學(xué)院 2010年 3月 24日Taylor公式的一些應(yīng)用一、課題的背景和意義課題背景多項(xiàng)式函數(shù)是各類函數(shù)中最簡(jiǎn)單的一種，用多項(xiàng)式逼近函數(shù)是近似計(jì)算和理論分析的一個(gè)重要內(nèi)容；而在數(shù)學(xué)中，泰勒公式是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)足夠光滑的話，在已知函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來近似函數(shù)在這一點(diǎn)的鄰域中的值

2、；因此可以利用泰勒公式解決這一類的廣泛?jiǎn)栴}，泰勒公式成為數(shù)學(xué)分析中應(yīng)用非常豐富的重要內(nèi)容；（二）課題意義泰勒公式作為數(shù)學(xué)分析最基礎(chǔ)最重要的內(nèi)容，作為一種研究將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)的有效工具，是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的必備知識(shí)。本課題論文主要介紹了泰勒公式并歸納其在各領(lǐng)域的應(yīng)用方法，從泰勒公式在近似計(jì)算、求極限問題、解決中值問題、估計(jì)無窮?。ù螅┝康碾A、判定級(jí)數(shù)的斂散性、研究函數(shù)的泰勒展開等方面闡述泰勒公式的一些應(yīng)用，使我們能夠?qū)μ├展郊捌鋺?yīng)用有一個(gè)總體上的認(rèn)識(shí)，這對(duì)我們學(xué)習(xí)泰勒公式及其應(yīng)用理論的理解和掌握有非常重要的意義。二、泰勒公式定義及分類首先闡述泰勒公式的定義，并從定性與

3、定量?jī)煞矫驷槍?duì)泰勒余項(xiàng)對(duì)泰勒公式分類,以及介紹幾個(gè)常見且最基本的泰勒展開式，對(duì)泰勒公式的內(nèi)涵作初步了解；（一）泰勒公式的定義定義 SKIPIF 1 0 ：對(duì)于一般函數(shù) SKIPIF 1 0 ，設(shè)它在點(diǎn) SKIPIF 1 0 存在直到 SKIPIF 1 0 階的導(dǎo)數(shù)，由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個(gè) SKIPIF 1 0 次多項(xiàng)式: SKIPIF 1 0 稱為函數(shù) SKIPIF 1 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 0 處的泰勒(Taylor)多項(xiàng)式， SKIPIF 1 0 的各項(xiàng)系數(shù): SKIPIF 1 0 稱為泰勒級(jí)數(shù)；（二）泰勒公式的分類1、帶有佩亞諾（Peano）型余項(xiàng)的泰勒公式定理 SKIPIF 1 0

4、：若函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 存在直至 SKIPIF 1 0 階導(dǎo)數(shù),則有 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （1）稱(1)式為函數(shù) SKIPIF 1 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 0 處的泰勒公式， SKIPIF 1 0 稱為泰勒公式的余項(xiàng)，形如 SKIPIF 1 0 的余項(xiàng)為佩亞諾（Peano）型余項(xiàng),所以（1）式又稱為帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式。若 SKIPIF 1 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 0 附近滿足 SKIPIF 1 0 （2）其中 SKIPIF 1 0 ，這時(shí)并不意味著 SKIPIF 1 0 必定就是 SKIPIF

5、 1 0 的泰勒多項(xiàng)式 SKIPIF 1 0 ；滿足（2）式要求（即帶有佩亞諾型誤差）的 SKIPIF 1 0 次逼近多項(xiàng)式 SKIPIF 1 0 是唯一的；當(dāng) SKIPIF 1 0 =0時(shí)的特殊形式： SKIPIF 1 0 它也稱為（帶有佩亞諾余項(xiàng)的）麥克勞林（Maclaurin）公式。2、帶有拉格朗日（Lagrange）型余項(xiàng)的泰勒公式定理 SKIPIF 1 0 （泰勒定理）若函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上存在直至 SKIPIF 1 0 階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在 SKIPIF 1 0 內(nèi)存在 SKIPIF 1 0 階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的 SKIPIF 1 0 ，至少存

6、在一點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，使得： SKIPIF 1 0 （3）（3）式同樣稱為泰勒公式，它的余項(xiàng)為： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，稱為拉格朗日（Lagrange）型余項(xiàng)，所以（3）式又稱為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式。 SKIPIF 1 0 時(shí)，（3）式即為拉格朗日中值公式 SKIPIF 1 0 ，所以，泰勒公式也可以看做拉格朗日中值定理的推廣；當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，得到泰勒公式： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 稱為（帶有拉格朗日余項(xiàng)的）麥克勞林公式。泰勒公式的佩亞諾型余項(xiàng)只是定性地告訴我們：當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，

7、逼近誤差是較 SKIPIF 1 0 高階的無窮小量，而泰勒公式的拉格朗日型余項(xiàng)是一個(gè)定量形式的余項(xiàng)，以便于對(duì)逼近誤差進(jìn)行具體的計(jì)算或估計(jì)。（三）常見函數(shù)的泰勒展開式（文獻(xiàn) SKIPIF 1 0 ）： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 以上五個(gè)泰勒展開式為最基本的泰勒展開式，對(duì)之后研究的泰勒公式有著非常大的作用，是解決問題的基礎(chǔ)公式；三、泰勒公式的應(yīng)用 若把 SKIPIF 1 0 看成定點(diǎn)， SKIPIF 1 0 看成動(dòng)點(diǎn),則（1）、（3）式通過定點(diǎn) SKIPIF 1 0 處的函數(shù)值 SKIPIF 1 0 及導(dǎo)數(shù)值 SK

8、IPIF 1 0 表達(dá)動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 0 處的函數(shù)值 SKIPIF 1 0 ；當(dāng)問題涉及到2階以上的導(dǎo)數(shù)時(shí)，通常可考慮用泰勒（Taylor）公式求解，這里關(guān)鍵在于選取函數(shù) SKIPIF 1 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，展開的階次 SKIPIF 1 0 ，以及余項(xiàng)形式，根據(jù)需要，一般應(yīng)選在選在有特點(diǎn)的地方，例如使某 SKIPIF 1 0 的地方等（文獻(xiàn)2）； 以下從六個(gè)方面來介紹我要研究的應(yīng)用；（一）泰勒公式在近似計(jì)算上的應(yīng)用利用泰勒公式可以得到函數(shù)的近似計(jì)算式和一些數(shù)值的近似計(jì)算,這類問題，我主要研究利用 SKIPIF 1 0 麥克勞林展開得到函數(shù)的近似計(jì)算式 SKIPIF 1

9、0 ,其誤差是余項(xiàng) SKIPIF 1 0 ；從而得到問題的結(jié)果；（二）泰勒公式在求極限的應(yīng)用求未定式的極限利用羅必達(dá)法則是很有效的，但是對(duì)某些未定式的極限并不方便，甚至不能求出，此時(shí)可利用帶余項(xiàng)的泰勒展開式再配合中值定理加以解決，利用羅必達(dá)法則求未定式的極限時(shí)，其結(jié)果是化成某階導(dǎo)數(shù)的比，而泰勒公式的各項(xiàng)系數(shù)正分別含著各階導(dǎo)數(shù)的值，羅必達(dá)法則所肯定的結(jié)論可以在特殊條件下， 用泰勒展開式推導(dǎo)出來。 所以可利用已知函數(shù)的泰勒公式求未定式的極限（文獻(xiàn)8） 因此對(duì)于這類問題，我主要的研究方法為：用泰勒展開式來代替其中的一項(xiàng)，使得原來的函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式有理分式的極限問題；（三）泰勒公式在解決中值

10、問題上的應(yīng)用二元函數(shù)的中值定理和泰勒公式與一元函數(shù)的拉格朗日公式和泰勒公式相仿，對(duì)于 SKIPIF 1 0 元函數(shù)（ SKIPIF 1 0 ）也有同樣的公式，只是形式上更復(fù)雜一些；定理 SKIPIF 1 0 （中值定理）：設(shè)二元函數(shù) SKIPIF 1 0 在凸開域 SKIPIF 1 0 上連續(xù)，在 SKIPIF 1 0 的所有內(nèi)點(diǎn)都可微，則對(duì) SKIPIF 1 0 內(nèi)任意兩點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，存在其 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 （4）注、公式（4）也稱為二元函數(shù)（在凸域上）的中值公式； 定理 SKIPIF 1 0 （泰勒公式）：若函數(shù) SKIPIF 1 0 在點(diǎn)

11、 SKIPIF 1 0 的某鄰域 SKIPIF 1 0 內(nèi)有直到 SKIPIF 1 0 階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì) SKIPIF 1 0 在任一點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，存在相應(yīng)的 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 (5)(5)式稱為二元函數(shù) SKIPIF 1 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 0 的 SKIPIF 1 0 階泰勒公式，其中 SKIPIF 1 0 ；注、易見公式（4）正是泰勒公式（5）在 SKIPIF 1 0 時(shí)的特殊情形； 這類應(yīng)用上，我主要研究利用上述定理處理有關(guān)中值定理的證明問題；（四）泰勒公式在估計(jì)無窮?。ù螅┝康碾A上的應(yīng)用 如何估計(jì)無窮(小) 大量的階, 對(duì)于

12、簡(jiǎn)單函數(shù)可用估猜法, 但對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)就無能為力了, 但用帶佩亞諾（Peano） 型余項(xiàng)的Taylor公式就可迎刃而解（文獻(xiàn)13）；這類問題，我主要研究用帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式解決相對(duì)復(fù)雜函數(shù)中估計(jì)無窮（小）大量的階，如對(duì)于多個(gè)函數(shù)的相加，我研究的解決方式為；分解函數(shù)，將函數(shù)分別用泰勒公式代入，最后得出無窮?。ù螅┑碾A；（五）泰勒公式在判斷級(jí)數(shù)斂散性的應(yīng)用在級(jí)數(shù)斂散性的判斷方面, 除了直接使用Taylor公式外, 有時(shí)還使用Taylor公式的中值形式，且在解決一些復(fù)雜問題時(shí)可能連續(xù)多次使用Taylor公式（文獻(xiàn)7）；對(duì)于這類問題，我主要研究解決方法如下：利用泰勒公式把一些級(jí)數(shù)的通項(xiàng) SKIP

13、IF 1 0 近似表示成冪函數(shù) SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的線性組合，誤差為高階無窮小，再根據(jù)級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的收斂情況判別級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 的斂散性；（五）泰勒公式在研究函數(shù)的泰勒展開上的應(yīng)用函數(shù)的Taylor展 式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中起著非常重要的作用，例如計(jì)算數(shù)學(xué)中的數(shù)值逼近和數(shù)值計(jì)算時(shí)，進(jìn)行誤差分析，為獲得截?cái)嗾`差時(shí)，它是一種十分常見而強(qiáng)有力的工具（文獻(xiàn)4）定義 SKIPIF 1 0 :如果函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 處存在任意階的導(dǎo)數(shù)，這時(shí)稱形式為 SKIPIF 1 0 的級(jí)數(shù)為函數(shù) SKIPIF

14、 1 0 在 SKIPIF 1 0 的泰勒級(jí)數(shù)； 定理 SKIPIF 1 0 ：設(shè) SKIPIF 1 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 0 具有任意階的導(dǎo)數(shù)，那么 SKIPIF 1 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 0 內(nèi)等于它的泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù)的充分條件：對(duì)一切滿足不等式 SKIPIF 1 0 的 SKIPIF 1 0 ，有 SKIPIF 1 0 ，這里 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 的泰勒公式余項(xiàng)；定義 SKIPIF 1 0 ：如果 SKIPIF 1 0 能在 SKIPIF 1 0 的某鄰域上等于其泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則稱函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SK

15、IPIF 1 0 的這一鄰域內(nèi)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)，并稱等式 SKIPIF 1 0 （6）的右邊為 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 處的泰勒展開式，或稱冪級(jí)數(shù)展開式；由級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)可推得：若 SKIPIF 1 0 為冪級(jí)數(shù)在實(shí)際應(yīng)用上，主要討論函數(shù)在處的展開式，這時(shí)（6）式可以寫作 SKIPIF 1 0 ，稱為麥克勞林級(jí)數(shù)；對(duì)這類問題的應(yīng)用我的研究如下：1）少數(shù)比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其冪級(jí)數(shù)展開式直接從定義中出發(fā)，并根據(jù)定理 SKIPIF 1 0 求得；2）更多的情況是比較復(fù)雜的，需要從已知的展開式出發(fā)，通過變量代換、四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法，間接地求得函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開

16、式；（六）泰勒公式的其他方面應(yīng)用除以上應(yīng)用外，泰勒公式在判斷函數(shù)凹凸點(diǎn)及拐點(diǎn)、證明不等式、求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值、證明根的唯一存在性、求行列式的值等方面也有著重要的應(yīng)用；四、工作進(jìn)度安排3月01日-3月11日按任務(wù)書要求收集相關(guān)材料閱讀文獻(xiàn)并撰寫綜述3月12日-3月14日完成一篇英文文獻(xiàn)翻譯3月21日-3月25日撰寫開題報(bào)告3月28日-4月8日開題報(bào)告修改定稿；組織開題答辯4月26日-5月07日完成論文初稿，呈老師審閱5月10日-5月14日畢業(yè)論文中期檢查，填寫論文進(jìn)展情況調(diào)查表5月17日-5月21日完成論文修改稿，呈老師審閱5月24日-5月28日完成論文終稿，呈老師審閱5月30日-6月03

17、日裝訂論文終稿，呈導(dǎo)師和評(píng)閱教師審閱；論文答辯參考文獻(xiàn)：1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（上，下冊(cè)）M. 上海:高等教育出版社，1996.2裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M.北京：高等教育出版社，2006：437-440.3謝惠民等.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義（上、下冊(cè)）M.北京:高等教育出版社，2003.4聶存云,譚敏.關(guān)于一階Taylor展開余項(xiàng)表達(dá)形式的一點(diǎn)探討J.湖南工程學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008,18(3):51-52.5韓寶燕.泰勒公式及其應(yīng)用J.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2010,1(5):105-105.6王友國.Taylor公式在級(jí)數(shù)判斂中的應(yīng)用J.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,2008,28(4

18、):96-98.7黨振才,李晉忠.Taylor公式在判斷級(jí)數(shù)斂散性時(shí)的應(yīng)用J.高等數(shù)學(xué)研究,2009,12(3):63-64.8謝黎東.利用中值定理和泰勒公式求函數(shù)極限J.和田師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào), 2007,27(2):198-199.9譚康.泰勒公式及泰勒級(jí)數(shù)之妙用J. 高等數(shù)學(xué)研究,2010,13(3):11-12.10劉新波等.數(shù)學(xué)分析選講M.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2009：138-139.11陳麗,王海霞. Taylor公式的應(yīng)用J.廊坊師范學(xué)院報(bào),2009,9(2):20-23.12陳明. 泰勒公式在判定二元函數(shù)極限存在性中的應(yīng)用J.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2004，24(4):67-69.13方繼光,項(xiàng)明寅.談帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用J.安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào) ,2003，9(2):99-102.14陳文生.Taylor公式余項(xiàng)的幾種形式及應(yīng)用J. 寧德師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2010,22(3):230-232.15嚴(yán)振祥,沈家驊. 泰勒公式在函數(shù)凹凸性及拐點(diǎn)判斷中的應(yīng)用J. 重慶交通大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,