數(shù)字信號(hào)處理：第5章 有限長(zhǎng)離散變換

1、第5章 有限長(zhǎng)離散變換正交變換DFT定義DTFT與DFT的關(guān)系DFT的性質(zhì)DFT的快速算法：FFT基序列定義5.1 正交變換特性：能量保持分析式綜合式時(shí)域周期延拓頻率采樣離散時(shí)間傅立葉變換DTFT離散傅立葉變換DFT5.2 離散傅里葉變換DTFTDFT正變換N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列IDTFTIDFT反變換離散傅立葉變換 Discrete Fourier Transform DFT 定義IDFT證明證明:DFT幅度譜DFT相位譜性質(zhì)定義周期性快速算法直流圓周時(shí)反證明：DFT的周期性N為xn的長(zhǎng)度DFT的運(yùn)算量DFTIDFTN2N*(N-1)DFT、IDFT復(fù)數(shù)乘法DFT、IDFT復(fù)數(shù)加法例1：正頻率負(fù)頻率

2、Xk的DFT頻譜5.3 DTFT與DFT的關(guān)系離散連續(xù)插值插值公式DFT用于DTFT的數(shù)值估算 估計(jì)N點(diǎn)序列補(bǔ)零M大小對(duì)Xk的影響? 解:(1)(2)增大M可以提高信號(hào)DFT的頻率分辨率N大小對(duì)信號(hào)周期估計(jì)的影響? N=128和N=129時(shí)的DFT頻譜N為周期的整數(shù)倍頻譜的尖峰為正弦的頻率N不是周期的整數(shù)倍出現(xiàn)模糊單頻模擬信號(hào)DFT寬頻DFT頻譜原因？ 129點(diǎn)128點(diǎn)時(shí)域上看周期延拓周期延拓波形的突變產(chǎn)生多種頻率分量頻域上看128點(diǎn)129點(diǎn)yn與xn的關(guān)系？ 頻域采樣離散連續(xù)例：對(duì) 進(jìn)行8點(diǎn)均勻抽樣 其逆變換若做4點(diǎn)抽樣其逆變換混疊頻域采樣率不夠，時(shí)域信號(hào)會(huì)發(fā)生混疊序列的循環(huán)移位5.4 圓周

3、卷積移位與循環(huán)移位0N-10N-1循環(huán)移2位周期延拓移2位循環(huán)移位的周期循環(huán)移位的時(shí)反性質(zhì)圓周卷積回顧：N點(diǎn)序列的線性卷積yLn的長(zhǎng)度？N點(diǎn)序列的圓周卷積yCn的長(zhǎng)度？LM+N-10N-10M-1L0N-1LM+N-10M-1L0M-1xn0N-1hn線性卷積與圓周卷積的關(guān)系線性卷積圓周卷積00M+N-1yn0L=M+N-1點(diǎn) 圓周卷積 = 線性卷積5.5 有限長(zhǎng)序列的分類(lèi)共軛對(duì)稱：共軛反對(duì)稱：任意復(fù)序列可分解為共軛對(duì)稱和共軛反對(duì)稱部分共軛對(duì)稱部分共軛反對(duì)稱部分特例：實(shí)序列偶對(duì)稱：奇對(duì)稱：任意實(shí)序列可分解為偶對(duì)稱和奇對(duì)稱部分偶對(duì)稱部分奇對(duì)稱部分圓周共軛對(duì)稱：圓周共軛反對(duì)稱：N點(diǎn)序列可分解為圓周

4、共軛對(duì)稱和圓周共軛反對(duì)稱部分圓周共軛對(duì)稱部分圓周共軛對(duì)稱部分幾何對(duì)稱：幾何反對(duì)稱：對(duì)稱中心：(N-1)/25.6 DFT的對(duì)稱關(guān)系復(fù)序列DFT的對(duì)稱關(guān)系序列DFT頻譜共軛、時(shí)反實(shí)部、虛部圓對(duì)稱、反對(duì)稱實(shí)序列DFT的對(duì)稱關(guān)系DFT頻譜對(duì)稱關(guān)系 偶對(duì)稱、奇對(duì)稱序列DFT頻譜xn=cos(0.1n)的DFT頻譜例：xn=cos(0.1n)的DFT頻譜5.7 DFT定理已知線性：循環(huán)時(shí)移時(shí)移DTFTDFT幅度(功率)譜不變，僅影響相位譜循環(huán)頻移頻移DFT對(duì)偶：DFTN點(diǎn)圓周卷積DTFT卷積調(diào)制(加窗)DFTDTFT帕斯瓦爾公式DFTDTFT兩個(gè)實(shí)序列DFT的計(jì)算5.9 實(shí)序列DFT的計(jì)算DFT的對(duì)稱性

5、基本思想：利用DFT的對(duì)稱性2N點(diǎn)實(shí)序列DFT的計(jì)算2N點(diǎn)實(shí)序列vn偶數(shù)點(diǎn)奇數(shù)點(diǎn)GK和Hk可用前一方法兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的線性卷積5.10 用DFT計(jì)算線性卷積補(bǔ)零補(bǔ)零基本思想：線性卷積圓周卷積 DFT計(jì)算循環(huán)前綴XN-M+1, XN-1X0, , XN-M, XN-M+1, XN-1循環(huán)前綴線性卷積圓周卷積用途：只需計(jì)算線性卷積的部分值有限長(zhǎng)序列與無(wú)限長(zhǎng)序列的線性卷積基本思想：無(wú)限長(zhǎng)卷積有限長(zhǎng)卷積之和0M-1 0 xnhn1. 重疊相加法N-1線性卷積0與hn 做L=M+N-1 點(diǎn)圓周卷積N-12N-1重疊相加0yn2個(gè) (M+N-1)點(diǎn) DFT0M-1 0 xnhn2. 重疊保留法N-1線性卷

6、積與hn 做L=N3 圓計(jì)算量 線計(jì)算量N=128 圓計(jì)算量 = 8% 線計(jì)算量5.11 短時(shí)(加窗)傅立葉變換基音周期不同加窗語(yǔ)譜圖 三維短時(shí)功率譜聲音 九色鹿tf短時(shí)DFT顏色表示幅度語(yǔ)譜圖tftf短時(shí)DFT清音頻譜能量分布在整個(gè)頻率段內(nèi)、無(wú)明顯衰減濁音頻譜能量集中在低頻率區(qū)、衰減較快基于語(yǔ)譜圖的清濁音分析靜音頻譜能量很小jiuselu頻率與樂(lè)譜樂(lè)音：發(fā)音物體有規(guī)律地振動(dòng)而產(chǎn)生的具有固定音高的音 A ., 441 ,.B ., 495 ,. C ., 556 ,. D ., 589 ,.E ., 661 ,.F ., 742 ,.G ., 833 ,.音符頻率表(Hz)中音頻率組合表示五線

7、譜簡(jiǎn)譜五線譜與短時(shí)傅立葉分析f0頻率時(shí)間DFT的運(yùn)算量DFTIDFTN2N*(N-1)DFT、IDFT復(fù)數(shù)乘法DFT、IDFT復(fù)數(shù)加法快速傅立葉變換FFT(第11章) 1965年，J.W.Cooley 和 J.W.Tukey 首次提出了DFT運(yùn)算的一種快速算法此后相繼出現(xiàn)了各種用于計(jì)算機(jī)平臺(tái)的改進(jìn)FFT 算法FFT使DFT的運(yùn)算時(shí)間可縮短一、二個(gè)數(shù)量級(jí)，使DFT的運(yùn)算可以應(yīng)用到實(shí)際中按時(shí)間抽取法DFT頻域分為前后兩半偶數(shù)點(diǎn)奇數(shù)點(diǎn)N/2點(diǎn)DFT時(shí)間抽取法蝶形運(yùn)算一次乘法，兩次加法偶部奇部N點(diǎn)DFT分解N點(diǎn)N/2點(diǎn)N/2點(diǎn)N/4點(diǎn)N/4點(diǎn)N/4點(diǎn)N/4點(diǎn)2點(diǎn)2點(diǎn)2點(diǎn)2點(diǎn)log2N2點(diǎn)DFT例：偶部

8、奇部可繼續(xù)分解N=8 按時(shí)間抽取的FFT運(yùn)算流圖時(shí)間抽取FFT的特點(diǎn)：1、奇偶抽取與比特逆序例：N=8二進(jìn)制0 000 010 100 111 001 011 101 11二進(jìn)制00 001 010 011 000 101 110 111 1原序01234567奇偶抽取02461357偶部奇部比特逆序例：N=8輸入順序01234567二進(jìn)制碼000001010011100101110111碼位倒讀000100010110001101011111輸出順序04261537時(shí)間抽取法流程比特逆序蝶形運(yùn)算2、原位運(yùn)算：頻率抽取法前半部后半部按k的奇偶將Xk分為兩部分 N/2點(diǎn)DFT偶序奇序頻率抽取法蝶形運(yùn)算按頻率抽取的FFT（N=8）信號(hào)流圖頻率抽取法中的比特逆序例：N=8二進(jìn)制0 000 010 100 111 001 011 101 11二進(jìn)制00 001 010 011 000 101 110 111 1前半部后半部原序01234567蝶形運(yùn)算02461357頻率抽取法流程蝶形運(yùn)算比特逆序IFFT算法IDFTDFTIFFT取共軛可用FFT計(jì)算取共軛運(yùn)算量分析： 乘法 加法 DFT N2 N(N+1) FFT (N/2)log2N Nlog2N 改善比 2N/log2N (N+1)/log2N例： DFT FFT 乘法 加法 乘法 加法