信陽市2017-2018學年高二下學期期末數(shù)學試卷(理科)(含解析)

1、2017-2018 學年河南省信陽市高二（下）期末數(shù)學試卷（理科）一、選擇題 ( 每小題5 分，共60分 )1若函數(shù) f（x） =sin1 cosx，則 f （ 1）=（）A sin1+cos1 Bcos1 C sin1D sin1cos12設隨機變量2） N（ ， ），且 P（ 1） =P（ 2） =0.3，則 P（ 2+1） =（A0.4B 0.5C 0.6 D 0.73“a b cdRa b=1c d=1，且ac bd1abc d中至用反證法證明命題：， ， ，+，+，則， ，少有一個負數(shù) ”時的假設為（）A a， b， c， d 中至少有一個正數(shù)B a， b， c， d 全為正數(shù)C a

2、， b， c， d 全都大于等于0 D a， b， c，d 中至多有一個負數(shù)4若 A=8C，則 n 的值為（）A 6B 7C 8D 95在復平面內， 若復數(shù) z1 和 z2 對應的點分別是A（ 2， 1）和 B（ 0，1），則=（）A i B i C + i D + i6展開式中的常數(shù)項為（）A第 5項B第 6項C第 5 項或第6 項D不存在7已知 ABC 的周長為 c，它的內切圓半徑為r，則 ABC 的面積為cr運用類比推理可知，若三棱椎D ABC 的表面積為6，內切球的半徑為，則三棱錐 D ABC 的體積為（）A BC 3D 28小張、小王、小李三名大學生到三個城市去實習，每人只去一個城市

3、，設事件A 為“三個人去的城市都不同”B“”PAB）=（）事件為 小張單獨去了一個城市，則（|A BCD9若函數(shù) f（ x）=x3 ax2 ax 在區(qū)間（ 0，1）內只有極小值， 則實數(shù) a 的取值范圍是 （）A0 ）B 1）C 01D（02（ ，+（， +（， ）， ）10甲、乙兩人進行射擊比賽，他們擊中目標的概率分別為和（兩人是否擊中目標相互獨立），若兩人各射擊2 次，則兩人擊中目標的次數(shù)相等的概率為（）A BCD11fx）是偶函數(shù)f（xx00+）的導函數(shù)，f（1）=0，設函數(shù)（）（ ， ）（ ，當 x 0時， xf （ x） f（ x） 0，則使得 f（ x） 0 成立的x 的取值范圍是

4、（）A （ ， 1）（ 0， 1）B （ 1， 0）（ 1， +）C（ 1， 0）（ 0， 1）D011（，）（，+）12定義： 分子為 1 且分母為正整數(shù)的分數(shù)叫做單位分數(shù)，我們可以把1 拆分成多個不同的單位分數(shù)之和例如：1=+， 1=+， 1=+， ，依此拆分法可得 1=+，其中 m，nN * ，則 m n=（）A 2B4C6D8二、填空題 ( 每題 5 分，共20 分)13對具有線性相關關系的變量x，y，有一組觀測數(shù)據(jù)（xi ，yi）（ i=1 ，2， ，8），其回歸直線方程是= x+，且xx xx8=3（yyyy8）=6，則=1+ 2+ 3+1+2+3+14某單位在周一到周六的六天中安

5、排4 人值夜班，每人至少值一天，至多值兩天，值兩天的必須是相鄰的兩天，則不同的值班安排種數(shù)為（用數(shù)字作答） 15（理）設整數(shù) m 是從不等式 x2 2x 8 0 的整數(shù)解的集合S 中隨機抽取的一個元素，記隨機變量 =m2，則 的數(shù)學期望 E=eb=2a16e是自然對數(shù)的底數(shù)，實數(shù)ab滿足32ab1| 的最小值已知， ，則|為三、解答題17已知復數(shù) z=k 2i（ k R）的共軛復數(shù)，且 z（ i） = 2i（）求 k 的值；（）若過點（0， 2）的直線 l 的斜率為 k，求直線 l 與曲線 y=以及 y 軸所圍成的圖形的面積18為研究心理健康與是否是留守兒童的關系，某小學在本校四年級學生中抽取

6、了一個110人的樣本， 其中留守兒童有40人，非留守兒童有70 人，對他們進行了心理測試，并繪制了如圖的等高條形圖，試問：能否在犯錯誤的概率不超過0.001 的前提下認為心理健康與是否是留守兒童有關系？參考數(shù)據(jù)：P（K 20.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k）k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K 2=（n=a b c d+ + +）19已知函數(shù)f （ x） =（）求f （ x）的極值；（）試比較20182018 與 20182018 的大小，并說明理由20甲、乙、丙三人準

7、備報考某大學，假設甲考上的概率為，甲，丙兩都考不上的概率為，乙，丙兩都考上的概率為，且三人能否考上相互獨立（）求乙、丙兩人各自考上的概率；（）設 X 表示甲、乙、丙三人中考上的人數(shù)與沒考上的人數(shù)之差的絕對值，求X 的分布列與數(shù)學期望21對于任意實數(shù)x，符號 x 表示不超過 x 的最大整數(shù)，如 2.2 =2， 3.5= 4，設數(shù)列 an 的通項公式為an= log21+ log22+ log 23+ log 2（2n 1） （）求 a1?a2?a3 的值；nN *（）是否存在實數(shù)aaa n），并說明理由，使得n=（ n 2）?2+ （22已知函數(shù) f （ x） =ex+ax+b（ a 0， b

8、0）（）若函數(shù) f （ x）的圖象在點（0， f （ 0）處的切線方程為 y=2，求 f（ x）在區(qū)間 2，1 上的最值；（）若 a=b，試討論函數(shù)f （x）在區(qū)間（1， +）上零點的個數(shù)2017-2018 學年河南省信陽市高二 （下）期末數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題 ( 每小題 5 分，共 60 分 )1若函數(shù)f（x） =sin1 cosx，則 f （ 1）=（）A sin1+cos1 Bcos1 C sin1 D sin1cos1【考點】 導數(shù)的運算【分析】 先求出函數(shù)的導數(shù) f （x）的解析式， 再把 x=1 代入 f （ x）的解析式運算求得結果【解答】 解：函數(shù) f

9、（x） =sin1 cosx，f （ x）=sinx ，f （ 1） =sin1，故選： C2P 1=P 2 =0.3，則P 2 1）=（）2設隨機變量 N（ ， ），且（ ）（ ）（ +A 0.4B 0.5C 0.6D 0.7【考點】 正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義2【分析】 隨機變量 服從正態(tài)分布 N（ ， ），且 P（ 1） =P（ 2） =0.3，到曲線關于 x=0.5 對稱，利用 P（ 2） =0.3，根據(jù)概率的性質得到結果2【解答】 解：隨機變量服從正態(tài)分布N（ ， ），且 P（ 1） =P（ 2） =0.3，曲線關于x=0.5 對稱，P（ 2） =0.3，P（ 2+1） =

10、P（ 2）=0.7，故選： D3“a b cd Ra b=1c d=1，且ac bd1a bc d中至用反證法證明命題：， ， ， +， +，則， ，少有一個負數(shù) ”時的假設為（）A a， b， c， d 中至少有一個正數(shù)B a， b， c， d 全為正數(shù)C a， b， c， d 全都大于等于 0 D a， b， c，d 中至多有一個負數(shù)【考點】 反證法【分析】 用反證法證明數(shù)學命題時，應先假設結論的否定成立【解答】 解： “a， b， c， d 中至少有一個負數(shù)”的否定為 “a， b，c， d 全都大于等于 0”，由用反證法證明數(shù)學命題的方法可得，應假設“a， b， c，d 全都大于等于0”

11、，故選 C4若A=8C，則n 的值為（）A6B7C8【考點】 排列及排列數(shù)公式D 9【分析】 根據(jù)排列與組合的公式，列出方程，求出解即可32n（ n 1）（ n 2）=8，即 n 2=4 ；解得 n=6 故選： A5在復平面內， 若復數(shù) z1 和 z2 對應的點分別是A（ 2， 1）和 B（ 0，1），則=（）A i B i C + i D + i【考點】 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【分析】 由復數(shù) z和 z對應的點分別是A （ 2，1）和 B （ 0，1），得 z =2iz =i，121， 2然后把 z1， z2 的值代入，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，則答案可求【解答】 解：由復數(shù)z1 和

12、z2 對應的點分別是A （ 2， 1）和 B（ 0， 1），得 z1= 2 i ， z2=i 則=故選： A6展開式中的常數(shù)項為（）A第 5項B第 6項C第 5 項或第 6 項 D不存在【考點】 二項式系數(shù)的性質【分析】 根據(jù)題意，寫出展開式中的通項為Tr+1 ，令 x 的指數(shù)為0，可得 r 的值，由項數(shù)與 r的關系，可得答案【解答】 解：根據(jù)題意，展開式中的通項為Tr+1=C10r（ x） 10 r（）r=C 10r（x）10 2r，令 10 2r=0 ，可得 r=5 ；則其常數(shù)項為第 5+1=6 項；故選 B7已知 ABC 的周長為c，它的內切圓半徑為r，則 ABC 的面積為cr運用類比推

13、理可知，若三棱椎D ABC 的表面積為6，內切球的半徑為，則三棱錐D ABC 的體積為（）ABC3D2【考點】 棱柱、棱錐、棱臺的體積【分析】 根據(jù)平面與空間之間的類比推理，由點類比點或直線，由直線類比直線或平面，由內切圓類比內切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可【解答】 解：設四面體的內切球的球心為O，則球心 O 到四個面的距離都是R，四面體的體積等于以O 為頂點，分別以四個面為底面的4 個三棱錐體積的和則四面體的體積為V 四面體A BCD=（ S1+S2+S3+S4）RV=故選：B8小張、小王、小李三名大學生到三個城市去實習，每人只去一個城

14、市，設事件A 為“三個人去的城市都不同”B“”PAB）=（）事件為 小張單獨去了一個城市，則（|A BCD【考點】 條件概率與獨立事件【分析】 這是求小張單獨去了一個城市的前提下，三個人去的城市都不同的概率，求出相應基本事件的個數(shù)，即可得出結論【解答】 解：小張單獨去了一個城市，則有3 個城市可選，小王、小李只能在小張剩下的兩個城市中選擇，可能性為22=4所以小張單獨去了一個城市的可能性為32 2=12因為三個人去的城市都不同的可能性為3 2 1=6，所以 P（A| B）= 故選： D9若函數(shù) f（ x）=x3 ax2 ax 在區(qū)間（ 0，1）內只有極小值， 則實數(shù) a 的取值范圍是 （）A0

15、 B 1）C 01D02（，+ ）（， +（， ）（， ）【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【分析】 求出函數(shù)的導數(shù)， 根據(jù)二次函數(shù)的性質以及極值的意義得到關于a 的不等式組， 解出即可【解答】 解：函數(shù) f（ x）=x 3 ax2ax，f （ x） =3x2 2ax a，若 f （x）在區(qū)間（ 0， 1）內只有極小值，則即，解得： 0 a 1，故選： C10甲、乙兩人進行射擊比賽，他們擊中目標的概率分別為和（兩人是否擊中目標相互獨立），若兩人各射擊2 次，則兩人擊中目標的次數(shù)相等的概率為（）ABCD【考點】 互斥事件的概率加法公式；相互獨立事件的概率乘法公式【分析】 先求出兩個人都擊中一次的概

16、率、兩個人都擊中2次的概率，相加，即得所求【解答】 解：兩個人都擊中一次的概率為 = ，兩個人都擊中222 次的概率為 （ ） ?（） = ，故兩人命中目標的次數(shù)相等的概率為+=故選： C11設函數(shù)f （ x）是偶函數(shù)f（ x）（x（ ， 0）（ 0， +）的導函數(shù)， f （ 1） =0，當 x 0 時， xf （ x） f（ x） 0，則使得 f（ x） 0 成立的 A （ ， 1）（ 0， 1） B （ 1， 0）（ 1， +）x 的取值范圍是（C（ 1， 0）（）0， 1）D（ 0， 1）（ 1， +）【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；函數(shù)奇偶性的性質【分析】 由已知當x 0 時總有x

17、f （ x） f（ x） 0 成立，可判斷函數(shù)g（ x）=在（ 0，+）上為減函數(shù)，由已知 f（ x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，可證明 g（ x）在（ ， 0）上為減函數(shù)，不等式 f（ x） 0 等價于 x?g（ x） 0，分類討論即可得到答案【解答】 解：令g（x） =，則 g（ x） =，xf （ x） f（ x） 0，g（ x） 0，g（ x）在（ 0， +）上為減函數(shù)，又 g（ x） = g（x），函數(shù) g（x）為定義域上的奇函數(shù)，g（ x）在（ ，0）上為減函數(shù)又 g（ 1） =0，g（ 1） =0，不等式f （ x） 0? x?g（ x） 0，x 0， g（ x） 0 或 x 0，

18、g（ x） 0，0 x 1 或 1 x 0，f （x） 0 成立的 x 的取值范圍是（ 1，0）（ 0， 1），故選： C12定義： 分子為 1 且分母為正整數(shù)的分數(shù)叫做單位分數(shù)，我們可以把1 拆分成多個不同的單位分數(shù)之和例如：1=+， 1=+， 1=+ +， ，依此拆分法可得 1= +，其中 m，n N * ，則 m n=（）A 2B 4C 6D 8【考點】 歸納推理【分析】 結合裂項相消法，可得+ =+ =+，解得 m， n 值，可得答案【解答】 解： 1=+，2=1 2，6=2 3，30=5 6，42=6 7，56=7 8，72=8 9，90=9 10，110=10 11，132=111

19、2，156=12 13，182=13 141=+ + +=（1 ） +（），+ =+=+，m=14 ， n=20 ，m n= 6，故選： C二、填空題( 每題5 分，共20 分)13對具有線性相關關系的變量x，y，有一組觀測數(shù)據(jù)（xi ，yi）（ i=1 ，2， ，8），其回歸直線方程是=x+，且x1+x2 +x3+x8=3（y1+y2+y3 +y8） =6，則=【考點】 線性回歸方程【分析】 由題意求得樣本中心點（，），代入回歸直線方程即可求得的值【解答】 解：由 x1+x2+x3+x8=3（y1+y2+y3+y8） =6 ，=（ x1+x2+x3+x8）=，=（ y1+y2+y3+y8）

20、=，由回歸直線方程過樣本中心點（，），=，故答案為：14某單位在周一到周六的六天中安排4 人值夜班，每人至少值一天，至多值兩天，值兩天的必須是相鄰的兩天，則不同的值班安排種數(shù)為144（用數(shù)字作答） 【考點】 排列、組合及簡單計數(shù)問題【分析】 依題意，先求出相鄰2 天的所有種數(shù)，再選2 名值相鄰的2 天，剩下2 人各值 1天利用分步乘法計數(shù)原理即可求得答案【解答】 解：單位在周一到周六的六天中安排4 人值夜班，每人至少值一天，至多值兩天，值兩天的必須是相鄰的兩天故相鄰的有12， 34， 5， 6 和12，3， 45， 6 和 12， 3，4， 56 和1，23， 45， 6 和1， 23， 4，

21、56 和 1， 2， 34， 56，共 6 種情形，2選 2 名值相鄰的 2 天，剩下 2 人各值 1 天，故有 6A 4 A 2 =144 種，故答案為： 14415（理）設整數(shù) m 是從不等式 x2 2x 8 0 的整數(shù)解的集合 S 中隨機抽取的一個元素，記隨機變量 =m2，則 的數(shù)學期望 E= 5 【考點】 離散型隨機變量的期望與方差；二次函數(shù)的性質【分析】 先解不等式 x2 2x 8 0 的整數(shù)解的集合S，再由隨機變量=m2，求出分布列，用公式求出期望【解答】 解：由x22x8 02 x4，符合條件的整數(shù)解的集合S=210 1 得 ， ， ，2， 3， 4=m2，故變量可取的值分別為0

22、，1， 4， 9， 16，相應的概率分別為， ，的數(shù)學期望 E=0 +1+4+9 +16=5故答案為：516ea bb32a b13是自然對數(shù)的底數(shù)，實數(shù)滿足e =2a| 的最小值為已知， ，則|【考點】 導數(shù)在最大值、 最小值問題中的應用；函數(shù)的最值及其幾何意義；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性【分析】 利用已知條件化簡表達式，利用構造法以及函數(shù)的導數(shù)求解函數(shù)的最值【解答】 解：e 是自然對數(shù)的底數(shù)，實數(shù) a，b 滿足 eb=2a 3，2a 3 0，可得 b=ln（2a 3），| 2a b 1| =| 2a ln（ 2a3） 1|，令 2a 3=x，上式化為 | x lnx +2| ，令y=xlnx

23、 2y =1y =0 x=1，當x01）時，y0，函數(shù)是減函+ ，可得 ，由 ，可得（ ，數(shù)，x 1 時， y0，函數(shù)是增函數(shù)，x=1 時， y=x lnx 取得最小值：3則| 2a b1| 的最小值為 3故答案為： 3三、解答題17已知復數(shù) z=k 2i（ k R）的共軛復數(shù)，且 z（ i） = 2i（）求 k 的值；（）若過點（ 0， 2）的直線 l 的斜率為 k，求直線 l 與曲線 y=以及 y 軸所圍成的圖形的面積【考點】 復數(shù)代數(shù)形式的混合運算；復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義【分析】（）利用復數(shù)相等與代數(shù)運算，列出方程求出k 的值；（）寫出直線 l 的方程，求出直線l 與曲線 y=的交

24、點，再利用積分求對應的面積【解答】 解：（）復數(shù) z=k 2i 的共軛復數(shù)=k+2i，且 z（ i） =2i，（k2i）（i）=k 2i2i，（+）（ k） i=ki ，即 k = k，解得 k=1 ；（）過點（ 0， 2）的直線l 的斜率為k=1，直線 l 的方程為： y=x 2；令，解得，直線 l 與曲線 y=的交點為（ 4， 2）；如圖所示，曲線 y=與直線 y=x 2 以及 y 軸所圍成的圖形的面積為：24x 2）dx=22+（x2 2x）=SOBC+dx+2（ + +018為研究心理健康與是否是留守兒童的關系，某小學在本校四年級學生中抽取了一個110人的樣本， 其中留守兒童有 40人

25、，非留守兒童有70 人，對他們進行了心理測試，并繪制了如圖的等高條形圖，試問：能否在犯錯誤的概率不超過0.001 的前提下認為心理健康與是否是留守兒童有關系？參考數(shù)據(jù)：P（K 20.500.400.250.150.100.050.0100.0050.001k）0.025k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K 2=（ n=a+b+c+d）【考點】 獨立性檢驗的應用【分析】 根據(jù)等高條形圖，可得留守兒童有28 人，非留守兒童有70 人，心理健康的有40 人，心理健康的有56 人，心理不健康的有12 人，心理不健康的有14 人，把數(shù)

26、據(jù)代入公式，求出觀測值，把觀測值同臨界值進行比較，得到結論【解答】 解：根據(jù)等高條形圖，可得留守兒童有40 人，心理健康的有有 28 人，非留守兒童有70 人，心理健康的有56 人，心理不健康的有12 人，心理不健康的14 人，K 2= 26.96 10.828，在犯錯誤的概率不超過0.001 的前提下認為心理健康與是否是留守兒童有關系19已知函數(shù)f （ x） =（）求f （ x）的極值；20182018（）試比較2018與 2018的大小，并說明理由【分析】（）求出 f （ x）的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（）根據(jù)函數(shù)的單調性判斷即可【解答】 解

27、：（） f（ x） =的定義域是（ 0， +），f （ x） =，令 f （ x） 0，解得： x e，令 f （ x） 0，解得： x e， f （x）在（ 0， e）遞增，在（ e， +）遞減，f （x） 極大值 =f （ e） = ，無極小值；（） f（ x）在（ ， +）遞減，2018ln2018 2018ln2018 ，2018 2018 2018201820甲、乙、丙三人準備報考某大學，假設甲考上的概率為，甲，丙兩都考不上的概率為，乙，丙兩都考上的概率為，且三人能否考上相互獨立（）求乙、丙兩人各自考上的概率；（）設 X 表示甲、乙、丙三人中考上的人數(shù)與沒考上的人數(shù)之差的絕對值，求X

28、 的分布列與數(shù)學期望【考點】 離散型隨機變量的期望與方差；相互獨立事件的概率乘法公式；離散型隨機變量及其分布列【分析】（）設 A 表示 “甲考上 ”， B 表示 “乙考上 ”， C 表示 “丙考上 ”，由已知條件利用對立事件概率計算公式和相互獨立事件概率乘法公式能求出乙、丙兩人各自考上的概率（）由題意 X 的可能取值為 1，3，分別求出相應的概率， 由此能求出 X 的分布列和期望【解答】 解：（）設 A 表示 “甲考上 ”， B 表示 “乙考上 ”，C 表示 “丙考上 ”，則 P（A）=，且，解得 P（C） =，P（B）=乙考上的概率為，丙考上的概率為（）由題意X 的可能取值為1， 2，P（

29、X=1 ）=+=，P（X=2 ）=，X 的分布列為：X12PEX= 21對于任意實數(shù)x，符號 x 表示不超過x 的最大整數(shù)，如 2.2 =2， 3.5 = 4，設數(shù)列 an 的通項公式為 an= log21+ log22+ log 23+ log 2（ 2n 1） （）求 a1?a2?a3 的值；（）是否存在實數(shù)aana nN*），并說明理由，使得n=（ n2）?2+ （【考點】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式【分析】（ 1）計算 a =0，故a ?a ?a =0；11 2 32）根據(jù)對數(shù)性質得出 an=1?0+2?1+22?2+23?3+2n1 ?（ n 1），使用錯位相減法求出 an，得出 a 的值【解答】 解：（ I） a1= log 21 =0， a2= log21+ log 22+ log 23 =0 +1+1=2 ，a3= log 21+ log22+ log23+ + log 27 =0 +1+1+2+2+2+2=10a1?a2?a3=0 II ）當 2n1 x 2n 1 時， log2x =n 1 log22n 1+ log22n1+1+ log22n1+2+ + log2（ 2n 1） =（ n