2020高考文科數(shù)學(xué)(人教版)一輪復(fù)習(xí)講義第47講 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及三視圖、直觀圖

1、1空間幾何體(1)認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)(2)能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖(3)會用平行投影畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式(4)了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式2空間直角坐標(biāo)系(1)了解空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)表示點的位置(2)會簡單應(yīng)用空間兩點間的距離公式3點、直線、平面之間的位置關(guān)系(1)理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理公理1：如果一

2、條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點在此平面內(nèi)公理2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么他們有且只有一條過該點的公共直線公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)(2)以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，認(rèn)識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理理解以下判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂

3、直如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明：如果一條直線與一個平面平行，那么經(jīng)過該直線的任一個平面與此平面的交線和該直線平行如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線相互平行垂直于同一個平面的兩條直線平行.如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于他們交線的直線與另一個平面垂直(3)能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題120142018年全國卷的考查情況年份2014考查內(nèi)容第8題三視圖表示的幾何體第19題(1)證線線垂直(2)求三棱柱的高分值5分12分2015201620172018第6題實際問題、錐體的體積計算第11題

4、三視圖、表面積第18題(1)證面面垂直(2)計算側(cè)面積第7題三視圖、表面積第11題異面直線所成角的正弦值第18題(1)證明G是AB的中點(2)作投影求體積第6題判定線面平行第16題三棱錐的體積、球的表面積第18題(1)證明面面垂直(2)求四棱錐的側(cè)面積第5題圓柱的表面積第9題三視圖、最短路徑第10題線面角、長方體的體積第18題(1)證明面面垂直5分5分12分5分5分12分5分5分12分5分5分5分12分(2)求三棱錐的體積2.20142018年全國卷的考查情況年份考查內(nèi)容第6題三視圖、體積分值5分20142015201620172018第7題求三棱錐的體積第18題(1)證線面平行(2)求點到面

5、的距離第6題三視圖、體積第9題球的表面積第19題(1)作圖問題(2)計算體積比第4題切、接問題第7題三視圖、表面積第19題(1)證線線垂直(2)求錐體的體積第6題三視圖、體積第15題長方體外接球的表面積第18題(1)證線面平行(2)求錐體的體積第9題異面直線所成的角第16題圓錐的體積第19題(1)證線面垂直5分12分5分5分12分5分5分12分5分5分12分5分5分12分(2)求點到平面的距離立體幾何是每年高考必考內(nèi)容，在2014年至2018年卷和卷的10套試題中，除2014年卷是“一小一大”，2018年卷是“三小一大”外，其他各套試題都是“兩小一大”，占22分客觀題主要考查三視圖，球的表面積

6、或體積、多面體、組合體的有關(guān)計算，其中三視圖是高考的熱點，每年都考查一道小題客觀題主要以選擇題為主，選擇題一般在第6至11題之間，填空題一般在第15題或第16題的位置，一般是中等難度或偏難的試題解答題都是設(shè)置兩問，其中第一問主要是位置關(guān)系的證明，主要涉及線線垂直、線面平行、面面垂直、線段相等及作圖等，第二問主要涉及體積與表面積的計算，以幾何體的體積計算為主，包括直接求體積、間接求體積(如用等體積法求點到面的距離、求體積之比等)立體幾何解答題一般在第18題或第19題，是中等難度的試題立體幾何是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和邏輯推理能力的良好素材，主要以三個載體(三視圖、直觀圖、點線面的位置關(guān)系)來幫助學(xué)

7、生認(rèn)識空間圖形及其位置關(guān)系，提升空間想象能力并在幾何直觀的基礎(chǔ)上，初步形成對空間圖形的邏輯推理能力在復(fù)習(xí)時要注意如下幾個方面：1三視圖是高考的重點和熱點，在學(xué)習(xí)時可以通過“實物模型三視圖直觀圖”這樣一個相互轉(zhuǎn)化的過程來認(rèn)識空間幾何體，要求能夠畫出空間幾何體的三視圖和直觀圖，從三視圖想象出它的實物圖和直觀圖注重培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力和空間想象能力，幫助學(xué)生更全面地把握空間幾何體2空間位置關(guān)系特別是空間中平行與垂直關(guān)系的判斷與證明是高考必考內(nèi)容，要求熟練掌握平行與垂直的判定定理及性質(zhì)定理，要能根據(jù)問題的特點迅速聯(lián)想相應(yīng)的問題進(jìn)行證明，提高空間想象能力和邏輯推理論證能力3明確柱、錐、臺、球的幾

8、何特征，并能進(jìn)行表面積、體積的運(yùn)算高考常以此為載體考查空間想象能力及運(yùn)算能力第47講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及三視圖、直觀圖1了解柱、錐、臺、球的定義、性質(zhì)及它們之間的關(guān)系2掌握柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征)3能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等及其簡易組合的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖知識梳理1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征名稱結(jié)構(gòu)特征圖例棱柱兩底面相互平行，其余各面都是平行四邊形，側(cè)棱平行且相等棱錐底面是多邊形，各側(cè)面均是三角形，各側(cè)面有一個公共頂點續(xù)表名稱結(jié)構(gòu)特征圖例棱臺圓柱圓錐圓臺球兩底面相互平行；是用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之

9、間的部分兩底面相互平行；側(cè)面的母線平行于圓柱的軸；是以矩形的一邊所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體底面是圓；是以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體兩底面互相平行；是用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分球心到球面上各點的距離相等；是以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體2.三視圖(1)正視圖是光線自物體的前面向后面正投影所得的投影圖俯視圖是光線自物體的上面向下面正投影所得的投影圖側(cè)視圖是光線自物體的左面向右面正投影所得的投影圖(2)三視圖的排列規(guī)則：先畫正視圖，俯視圖畫在正視圖的下方，長度與正視圖相等

10、，側(cè)視圖則安排在正視圖的正右方，高度與正視圖相同.3直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測法來畫，基本步驟是：(1)畫幾何體的底面在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x軸與y軸，兩軸相交于O點，且使xOy45(或135).已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中，分別畫成平行于x軸或y軸的線段在已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半.(2)畫幾何體的高在已知圖形中過O點作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對應(yīng)的z軸也垂直xOy平面，已知圖形中平行于z軸的線段在直觀圖中仍平行于z軸且長度相等.(3)成圖根據(jù)

11、實際圖形，順次連接線段的端點，并整理(去掉輔助線，將被遮擋部分改為虛線)，就得到了幾何體的直觀圖1根據(jù)三視圖確定直觀圖的常用結(jié)論(1)三視圖為三個三角形，對應(yīng)三棱錐；(2)三視圖為兩個三角形，一個四邊形，對應(yīng)四棱錐；(3)三視圖為兩個三角形，一個帶圓心的圓，對應(yīng)圓錐；(4)三視圖為一個三角形，兩個四邊形，對應(yīng)三棱柱；(5)三視圖為兩個四邊形，一個圓，對應(yīng)圓柱42用斜二測畫法畫出的水平放置的平面圖形的直觀圖的面積是原圖形面積的熱身練習(xí)1下列四個命題：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱；各個面都是三角形的幾何體是三棱錐；用一個平面去截棱錐，棱錐的底面與截面之間的部分是棱臺；兩個面互

12、相平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺其中正確的命題有(A)A0個B1個C2個D3個假，如棱臺有兩個面互相平行，其余各面是四邊形；由圖1至圖3可知、都是錯誤的2.A是錯誤的，以直角三角形的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)體才是圓錐；B是錯誤的以直角梯形的垂直于底的腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；C是正確；D是錯誤的，圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個扇形2下列說法正確的是(C)A以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺C以半圓的直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體是球D圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑所在圓的半徑等于圓錐的母線

13、長故選C.3下列幾何體的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是(D)ABCD圓錐和正四棱錐的正視圖和側(cè)視圖都是等腰三角形4(2018全國卷)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來構(gòu)件榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭若如圖擺某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖的凸出部分叫放的木構(gòu)件與可以是(A)由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，A12B12C22D.由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A.5如果一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45，腰和上底長均為1的等腰梯形，那么這個平面圖形的面積是(C)21222先畫出直觀圖：圖(1)對應(yīng)的平面圖形：圖(2)，2

14、22.可知平面圖形是一個直角梯形，其中AD2，DC1，AB21，所以其面積S1212空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(經(jīng)典真題)若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值A(chǔ)至多等于3B至多等于4C等于5D大于5根據(jù)n的取值構(gòu)造相應(yīng)的幾何圖形或幾何體求解n2時，可以；n3時，為正三角形，可以；n4時，為正四面體，可以；n5時，為四棱錐，側(cè)面為正三角形，底面為菱形且對角線長與邊長不可能相等B本題考查了空間想象能力和推理論證能力，試題有較大的難度根據(jù)題目特點善于構(gòu)造幾何圖形和空間幾何體是解決這類問題的關(guān)鍵1在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點，這些幾何體是.(寫出所有正確結(jié)

15、論的編號)矩形；不是矩形的平行四邊形；有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體；每個面都是等邊三角形的四面體；每個面都是直角三角形的四面體作出正方體ABCDABCD.顯然可能；不可能；取一個頂點處的三條棱，連接各棱端點構(gòu)成的四面體；取正方體中對面上的兩條異面直線對角線的四個端點構(gòu)成的四面體，如BACD；取DBBC時各面均為直角三角形空間幾何體的三視圖如圖，四面體ABCD的四個頂點是長方體的四個頂點(長方體是虛擬圖形，起輔助作用)，則四面體ABCD的三視圖分別是(代表圖形)()ABCD由四面體ABCD四個頂點是長方體的四個頂點，可得四面體ABCD的正視圖為，側(cè)視圖為，俯視圖為.故四

16、面體ABCD的三視圖分別為.B(1)解決三視圖問題，要從以下幾個方面加以把握：搞清正視、側(cè)視、俯視的方向，同一物體由于正視、側(cè)視的方向不同或放置的位置不同，所畫的三視圖可能不同遵循“長對正、高平齊、寬相等”的原則注意幾何體中與投影面垂直或平行的線段在三視圖中的特點要注意實線、虛線的畫法，可視輪廓線畫成實線，不可視的畫成虛線(2)畫三視圖時，要注意所給幾何體與熟知的幾何體的聯(lián)系，如將幾何體放置在正方體或長方體)中或補(bǔ)形成正方體等，有利用發(fā)現(xiàn)線、面與投影面的位置關(guān)系，從而準(zhǔn)確作出相應(yīng)的三視圖2(1)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，一個四面體的頂點坐標(biāo)分別是(0,0,2)，(2,2,0)，(1

17、,2,1)，(2,2,2)給出編號為、的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為(D)A和B和C和D和(2)已知三棱錐的底面是邊長為1的正三角形，其正視圖與俯視圖如圖的面積為(C)所示，則其側(cè)視圖A.B.343243C.D1(1)在空間直角坐標(biāo)系中構(gòu)建棱長為2的正方體，設(shè)A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)，則ABCD即為滿足條件的四面體，得出正視圖和俯視圖分別為和.(2)由圖可知其側(cè)視圖為三角形，根據(jù)三視圖的“高平齊”得側(cè)視圖的高為3，又由“寬相等”可知側(cè)視2圖的寬度和俯視圖的寬度相等，得側(cè)視圖的底為1sin603.所以側(cè)視圖的面積為S3.133224由三視

18、圖得到空間幾何體的直觀圖(2017北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為()A32B23C22D2在正方體中還原該四棱錐，如圖所示，可知SD為該四棱錐的最長棱由三視圖可知正方體的棱長為2，故SD22222223.B將三視圖還原為直觀圖時，若能將其放置到“正方體”或“長方體”中去研究，不僅能較易得到直觀圖，同時還能發(fā)現(xiàn)各元素之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，便于問題的解決3(2017全國卷)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為(B)A10B12C14D16將三視圖還原為直觀圖，如圖：可知該多面體是由直三棱柱和三棱錐組合而成的，且直三棱柱的底面是直