習(xí)題分析和解答

1、習(xí)題分析和解答說(shuō)明：本欄內(nèi)容對(duì)學(xué)生是有條件地開(kāi)放第一章1.3.6一抽氣機(jī)轉(zhuǎn)速，抽氣機(jī)每分鐘能抽出氣體20l(升)。設(shè)容器的容積V0=2.01，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后才能使容器內(nèi)的壓強(qiáng)由0.101Mpa降為133Pa。設(shè)抽氣過(guò)程中溫度始終不變。分析：抽氣機(jī)每打開(kāi)一次活門,容器內(nèi)氣體的容積在等溫條件下擴(kuò)大了V,因而壓強(qiáng)有所降低?；铋T關(guān)上以后容器內(nèi)氣體的容積仍然為V0。下一次又如此變化，從而建立遞推關(guān)系。解：抽氣機(jī)抽氣體時(shí)，由玻意耳定律得：活塞運(yùn)動(dòng)第一次：活塞運(yùn)動(dòng)第二次：活塞運(yùn)動(dòng)第n次：（1）抽氣機(jī)每次抽出氣體體積將上述數(shù)據(jù)代入（1）式，可解得。則1.3.8兩個(gè)貯著空氣的容器A和B，以備有活塞之細(xì)管相連接

2、。容器A浸入溫度為的水槽中，容器B浸入溫度為的冷卻劑中。開(kāi)始時(shí)，兩容器被細(xì)管中之活塞分隔開(kāi)，這時(shí)容器A及B中空氣的壓強(qiáng)分別為，。它們的體積分別為試問(wèn)把活塞打開(kāi)后氣體的壓強(qiáng)是多少？分析：把活塞打開(kāi)后兩容器中氣體混合而達(dá)到新的力學(xué)平衡以后，A和B中氣體壓強(qiáng)應(yīng)該相等。但是應(yīng)注意到,由于A和B的溫度不相等，所以整個(gè)系統(tǒng)仍然處于非平衡態(tài)。我們不能把A和B氣體的整體作為研究對(duì)象,而先把從A流入B的那部分氣體作為研究對(duì)象，求出它的物質(zhì)的量（即mol數(shù)），然后按照混合前后A和B總的物質(zhì)的量不變這一點(diǎn)列出方程。解：設(shè)原容器A中有體積的氣體進(jìn)入容器B，且打開(kāi)活塞后氣體壓強(qiáng)為p。對(duì)原容器A中剩下的體積的氣體進(jìn)行研究

3、，它們將等溫膨脹到體積，因而有（1）按照理想氣體方程,有關(guān)系，原容器A中體積的氣體和原容器B中體積的氣體進(jìn)行研究，它們合并前后物質(zhì)的量應(yīng)該不變，所以（2）由（1）式、（2）兩式化簡(jiǎn)可得代入上述數(shù)據(jù)，可以得到活塞打開(kāi)后氣體的壓強(qiáng)。1.3.10一端開(kāi)口，橫截面積處處相等的長(zhǎng)管中充有壓強(qiáng)p的空氣。先對(duì)管子加熱，使從開(kāi)口端溫度1000K均勻變?yōu)殚]端200K的溫度分布，然后把管子開(kāi)口端密封，再使整體溫度降為100K，試問(wèn)管中最后的壓強(qiáng)是多大？分析：開(kāi)始時(shí)長(zhǎng)管中氣體有溫度分布，所以它不處于平衡態(tài)。但是整體溫度降為100K以后,長(zhǎng)管中氣體處于平衡態(tài)了。關(guān)鍵是求出開(kāi)始時(shí)長(zhǎng)管中氣體的總的分子數(shù)，而它是和整體溫度

4、降為100K以后的分子數(shù)相等的。在計(jì)算分子數(shù)時(shí)要先求出長(zhǎng)管中的溫度分布，然后利用p=nkT公式。解：因?yàn)楣茏邮且欢碎_(kāi)口的，所以。顯然，管子中氣體的溫度分布應(yīng)該是（1）由于各處溫度不同，因而各處氣體分子數(shù)密度不同?？紤]xx+dx一段氣體,它的分子數(shù)密度為n(x),設(shè)管子的橫截面積為S,考慮到p=nkT,則這一小段中的氣體分子數(shù)為管子中氣體總分子數(shù)為利用（1）式可得管中氣體最后的壓強(qiáng)是p1（）,溫度是T，.則由上面兩式相等,最后可以計(jì)算出即：管中氣體最后的壓強(qiáng)為。1.4.1在什么溫度下，下列一對(duì)溫標(biāo)給出相同的讀數(shù)（如果有的話）：(1)華氏溫標(biāo)和攝氏溫標(biāo)；（2）華氏溫標(biāo)和熱力學(xué)溫標(biāo)；（3）攝氏溫標(biāo)和

5、熱力學(xué)溫標(biāo)?提示：利用，。答：（1）40；（2）575K；（3）沒(méi)有。1.4.2定體氣體溫度計(jì)的測(cè)溫泡浸在水的三相點(diǎn)槽內(nèi)時(shí)，其中氣體的壓強(qiáng)為。（1）用溫度計(jì)測(cè)量300K的溫度時(shí)，氣體的壓強(qiáng)是多少？（2）當(dāng)氣體的壓強(qiáng)為時(shí)，待測(cè)溫度是多少？提示：。利用如下公式進(jìn)行計(jì)算：(體積不變)答：（1）；（2）371K。1.4.3用定體氣體溫度計(jì)測(cè)得冰點(diǎn)的理想氣體溫度為273.15K，試求溫度計(jì)內(nèi)的氣體在冰點(diǎn)時(shí)的壓強(qiáng)與該氣體在水的三相點(diǎn)時(shí)壓強(qiáng)之比的極限值。解：利用公式.所以1.5.2試估計(jì)水的分子互作用勢(shì)能的數(shù)量級(jí)，可近似認(rèn)為此數(shù)量級(jí)與每個(gè)分子所平均分配到的汽化熱數(shù)量級(jí)相同。再估計(jì)兩個(gè)鄰近水分子間的萬(wàn)有引力勢(shì)

6、能的數(shù)量級(jí)，判斷分子力是否可來(lái)自萬(wàn)有引力。分析：水中的分子熱運(yùn)動(dòng)而不分散開(kāi),是因?yàn)榉肿又g有作用力。水的汽化是某些水分子有足夠大的熱運(yùn)動(dòng)能量，足以克服分子之間作用力而跑到外面成為自由的氣體分子。我們知道分子之間作用力勢(shì)能是負(fù)的,氣體分子的勢(shì)能為零。所以汽化熱是用來(lái)增加分子之間作用力勢(shì)能的。另外也要考慮到,液體轉(zhuǎn)變?yōu)闅怏w時(shí)體積擴(kuò)大作等壓膨脹要對(duì)外做功，它所需要的能量也由汽化熱提供。但是一般說(shuō)來(lái)這兩者的數(shù)量級(jí)差不多相等，而且后者小于前者。所以可以利用前者來(lái)估計(jì)分子互作用勢(shì)能的數(shù)量級(jí)。解：水的汽化熱為，它的摩爾汽化熱為每摩爾有NA個(gè)分子，每個(gè)分子平均分?jǐn)偟降钠療釣榭梢哉J(rèn)為就是水的分子互作用勢(shì)能的數(shù)

7、量級(jí)。至于水中兩鄰近分子的萬(wàn)有引力勢(shì)能的數(shù)量級(jí)，可以利用萬(wàn)有引力勢(shì)能公式來(lái)估計(jì)。假定水中兩最鄰近分子質(zhì)量中心之間的距離為（利用上題的結(jié)果），則每個(gè)分子所平均分?jǐn)偟降娜f(wàn)有引力勢(shì)能的數(shù)量級(jí)為。討論：我們發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力勢(shì)能的數(shù)量級(jí)要比分子互作用勢(shì)能小。由于分子互作用勢(shì)能來(lái)自電磁相互作用，這說(shuō)明萬(wàn)有引力相互作用要比電磁相互作用弱得多。1.6.3一容積為的真空系統(tǒng)已被抽到1.3310-3Pa的真空。為了提高其真空度，將它放在溫度為的烘箱內(nèi)烘烤，使器壁釋放出所吸附的氣體。若烘烤后壓強(qiáng)增為1.33Pa，問(wèn)器壁原來(lái)吸附了多少個(gè)氣體分子？分析：烘烤時(shí)溫度上升,器壁所吸附的氣體分子有足夠大的能量克服器壁對(duì)它的吸引力

8、而釋放出來(lái)。真空系統(tǒng)的壓強(qiáng)相應(yīng)增加。利用公式可以計(jì)算出吸附氣體分子數(shù)。答：。1.6.4一容器內(nèi)貯有氧氣，其壓強(qiáng)為，溫度為，試求：（1）單位體積內(nèi)的分子數(shù)；(2)氧氣的密度；(3)分子間的平均距離：(4)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能。分析：利用公式可以得到單位體積內(nèi)的分子數(shù)。利用和公式可以得到氧氣的密度和分子質(zhì)量。利用和可以分別求得分子間的平均距離和分子的平均平動(dòng)動(dòng)能。答：（1）；（2）；（3）；（4）。第二章222量的概率分布函數(shù)具有形式,式中A和是常數(shù)，試寫(xiě)出的值出現(xiàn)在7.9999到8.0001范圍內(nèi)的概率P的近似表示式。解：歸一化，在上述積分中考慮到f(x)是偶函數(shù)，所以有可以知道處于7.99998

9、.0001范圍內(nèi)概率為2.3.1求下的氮?dú)庵兴俾试诘街g的分子數(shù)。分析：這是一個(gè)在麥克斯韋速率分布中求某一速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)的問(wèn)題,應(yīng)該用相對(duì)于最概然速率的麥克斯韋速率分布,即使用誤差函數(shù)來(lái)求解。但是注意到,到之間僅僅差，它要比小得多?？梢哉J(rèn)為在到范圍內(nèi)麥克斯韋速率分布是不變的。它的概率等于在橫坐標(biāo)為到之間的麥克斯韋速率分布曲線線段下面的面積（這個(gè)梯形可以看作矩形）。解：設(shè)下，中的理想氣體分子數(shù)為,利用洛施密特常量可以得到利用麥克斯韋速率分布可以得到速率在之間的分子數(shù)為（1）現(xiàn)在其中的,氮?dú)鉁囟?，而氮分子質(zhì)量。將它們代入（1）式即得到在到之間的分子數(shù)為。,利用洛施密特常量可以得到利用麥克斯韋速率

10、分布可以得到速率在之間的分子數(shù)為（1）現(xiàn)在其中的,氮?dú)鉁囟龋肿淤|(zhì)量。將它們代入（1）式即得到在到之間的分子數(shù)為。2.4.1因?yàn)楣腆w的原子和氣體分子之間有作用力，所以在真空系統(tǒng)中的固體表面上會(huì)形成厚度為一個(gè)分子直徑的那樣一個(gè)單分子層，設(shè)這層分子仍可十分自由地在固體表面上滑動(dòng)，這些分子十分近似地形成2維理想氣體。如果這些分子是單原子分子，吸附層的溫度為，試給出表示分子處于速率為v到v+dv范圍內(nèi)的概率f(v)dv表達(dá)式。解：我們知道,通常的麥克斯韋速度分布是3維的（1）其中速度在的3個(gè)分量上的分布函數(shù)都具有如下形式：（2）顯然，只能在XY平面上運(yùn)動(dòng)的2維理想氣體的麥克斯韋速度分布應(yīng)該是（3）

11、這就是2維理想氣體的麥克斯韋速度分布公式。（3）式也可以寫(xiě)為（4）其中實(shí)際上就是在2維速度空間中位置在，范圍內(nèi)的正方形這一微分元的面積，而是氣體分子的代表點(diǎn)在這一微分元上的分布概率。設(shè)在2維速度空間中位置在，范圍內(nèi)的這一微分元上的分子代表點(diǎn)數(shù)為。顯然它被除以微分元的面積，就是在2維速度空間中的分子代表點(diǎn)的數(shù)密度，所以（5）下面我們從速度分布導(dǎo)出速率分布。我們知道2維理想氣體的麥克斯韋速率分布表示了分子處在2維速度空間中,半徑為的圓環(huán)內(nèi)的概率。是在半徑為的圓環(huán)內(nèi)的分子代表點(diǎn)數(shù)。它等于圓環(huán)面積乘上分子代表點(diǎn)的數(shù)密度。利用（5）式可以得到所以分子處于速率為v到v+dv范圍內(nèi)的概率f(v)dv的表達(dá)式

12、為（7）它就是2維理想氣體的麥克斯韋速率分布。2.4.2分子質(zhì)量為m的氣體在溫度T下處于平衡。若以及分別表示分子速度的x、y、z三個(gè)分量及其速率，試求下述平均值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。分析：在求上述統(tǒng)計(jì)平均值時(shí)要用到概率的基本性質(zhì),即互相排斥事件概率相加法則和相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的事件概率相乘法則。另外,因?yàn)辂溈怂鬼f速度分布函數(shù)是個(gè)偶函數(shù),所以在積分時(shí)要區(qū)分被積函數(shù)是偶函數(shù)還是奇函數(shù)。對(duì)于偶函數(shù)，因?yàn)榉e分范圍是對(duì)稱區(qū)間,所以應(yīng)該分區(qū)間積分。解：（1）麥克斯韋的速度的x、y、z三個(gè)分量分布可以表示為.（3）由于vx和v2相互獨(dú)立,利用概率相乘法則,并且考慮到vx的平均值等于零,則有（4

13、）同樣vx,vy相互獨(dú)立,和“（3）”類似（5）利用概率相加法則2.5.1一容積為1升的容器，盛有溫度為300K，壓強(qiáng)為的氬氣，氬的摩爾質(zhì)量為0.040kg。若器壁上有一面積為1.010-32的小孔，氬氣將通過(guò)小孔從容器內(nèi)逸出，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間容器里的原子數(shù)減少為原有原子數(shù)的？分析：這是一個(gè)瀉流問(wèn)題,可以應(yīng)用氣體分子碰壁數(shù)來(lái)解。應(yīng)該注意,容器內(nèi)的分子數(shù)(或者說(shuō)容器內(nèi)的分子數(shù)密度)是隨時(shí)間而減少的,所以是個(gè)變量?；蛘哒f(shuō)相等時(shí)間內(nèi)流出去的分子數(shù)是不相等的，應(yīng)該建立微分方程。考慮在到時(shí)間內(nèi),容器內(nèi)的分子數(shù)由于瀉流從變化為,其中就是在時(shí)間內(nèi)瀉流流出去的分子數(shù),列出和之間的關(guān)系,這就是解本題所需要的微分方程

14、。經(jīng)過(guò)分離變量,積分,就可以得到所需要的結(jié)果。解：在時(shí)間內(nèi)在面積為的小孔中流出的分子數(shù)為其中為氣體分子數(shù)密度?？紤]到氣體的流出使得分子數(shù)減少,所以在上式中加一負(fù)號(hào)?，F(xiàn)在在上式兩邊都除以容器體積,并且在0到之間進(jìn)行積分現(xiàn)在要求容器中的原子數(shù)最后減少到1/e,即即：經(jīng)過(guò)100s容器內(nèi)原子數(shù)減為原來(lái)的。.2.5.2一容器被一隔板分成兩部分，其中氣體的壓強(qiáng)分別為。兩部分氣體的溫度均為，摩爾質(zhì)量均為。試證明：如果隔板上有一面積為A的小孔，則每秒通過(guò)小孔的氣體質(zhì)量為分析：容器被隔板分成兩部分以后,隔板左右兩邊的氣體都可以通過(guò)小孔從一邊流向另一邊,和上一題一樣利用氣體分子碰壁數(shù)來(lái)解。解：利用平均速率公式可以

15、把氣體分子碰壁數(shù)公式變換為現(xiàn)在分別用下標(biāo)1，2分別表示隔板左、右氣體的各個(gè)物理量。在時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積小孔,隔板左邊凈增加的分子數(shù)為在內(nèi)通過(guò)小孔的氣體質(zhì)量為2.5.3處于低溫下的真空容器器壁可吸附氣體分子，這叫做“低溫泵”，它是提高真空度的一種簡(jiǎn)便方法?？紤]一半徑為的球形容器，器壁上有一面積為的區(qū)域被冷卻到液氮溫度(77K)，其余部分及整個(gè)容器均保持300K。初始時(shí)刻容器中的水蒸氣壓強(qiáng)為，設(shè)每個(gè)水分子碰到這一小區(qū)域上均能被吸附或被凝結(jié)在上面，試問(wèn)要使容器的壓強(qiáng)減小為，需多少時(shí)間?解：設(shè)t時(shí)刻分子數(shù)密度為，則時(shí)間內(nèi)碰在面積上的分子數(shù)為利用p=nkT公式,它可以化為經(jīng)過(guò)積分,可以得到2.5.5若使

16、氫分子和氧分子的等于它們?cè)诘厍虮砻嫔系奶右菟俾?，各需多高的溫?若使氫分子和氧分子的等于月球表面上的逃逸速率，各需多高的溫度?已經(jīng)知道月球的半徑為地球半徑的0.27倍,月球的重力加速度為地球的0.165倍。分析：在離地球中心距離為R的高層大氣中，必有某些氣體分子的速率大于從該處脫離地球引力而逃逸的最小速率vmin（它稱為逃逸速率）,這些分子向上運(yùn)動(dòng)時(shí),只要不和其它分子碰撞,就可以逃逸出大氣層。其逃逸速率滿足在忽略重力加速度隨高度的變化的情況下,可以用地球表面的數(shù)據(jù)替代,則（1）其中是地球重力加速度，ME是地球質(zhì)量,是地球半徑。同樣，在月球表面上也有逃逸速率。和（1）式類似,有如下表達(dá)式（2）其

17、中下標(biāo)M表示月球的各物理量。答：氫分子和氧分子的分別等于地球表面上的逃逸速率時(shí)的氫氣和氧氣的溫度分別為,.氫分子和氧分子的分別等于它們?cè)谠虑虮砻嫔系奶右菟俾蕰r(shí)的氫氣和氧氣溫度分別為，261試證若認(rèn)為地球的大氣是等溫的,則把所有大氣分子壓縮為一層環(huán)繞地球表面的、壓強(qiáng)為一個(gè)大氣壓的均勻氣體球殼，這層球殼厚度就是大氣標(biāo)高。分析：在離地高為的范圍內(nèi)的球殼體積為（1）說(shuō)明：這是因?yàn)榈厍虼髿鈽?biāo)高只有8km,它比地球半徑RE要小得多,所以那一層球殼相對(duì)于地球來(lái)講相當(dāng)于一層“紙”。而“紙”的體積就等于球面面積再乘以“紙”的高度。當(dāng)然,我們也可以如下更清楚地求出：忽略dz的二次方和三次方項(xiàng),同樣有解：若設(shè)在海平

18、面處的氣體分子數(shù)密度為n(0),在球殼體積dV(z)范圍內(nèi)的分子數(shù)令稱為大氣標(biāo)高,設(shè)在海平面處的氣體分子數(shù)密度為，所有大氣的總分子數(shù)為，則：（2）現(xiàn)在來(lái)估計(jì)的數(shù)量級(jí)。設(shè)地球大氣為平均溫度T=273K的等溫大氣，而且（3）利用（3）式可以看到,（2）式的方括號(hào)中的第二項(xiàng)比第一項(xiàng)小3個(gè)數(shù)量級(jí),第三項(xiàng)又比第二項(xiàng)小3個(gè)數(shù)量級(jí)。我們完全可以忽略其中的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)。顯然，用近似方法進(jìn)行計(jì)算要簡(jiǎn)便得多。這時(shí)其中為大氣標(biāo)高。由此看來(lái)，把地球的所有大氣分子壓縮為一層環(huán)繞地球表面的、壓強(qiáng)為一個(gè)大氣壓的均勻氣體球殼，這層球殼厚度就是大氣標(biāo)高。2.6.2試估計(jì)質(zhì)量為的砂粒能像地球大氣一樣分布的等溫大氣溫度的數(shù)量級(jí)。

19、分析：（1）我們知道，布朗粒子和分子之間沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，僅不過(guò)布朗粒子的質(zhì)量比一般的分子大幾個(gè)數(shù)量級(jí)。從能量均分定理可以知道，若布朗粒子和分子分別處于相同溫度的系統(tǒng)中，則布朗粒子的均方速率要比分子的均方速率小好幾個(gè)數(shù)量級(jí)。同樣，砂粒和布朗粒子之間也沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，也僅不過(guò)砂粒的質(zhì)量比一般的布朗粒子大十幾個(gè)數(shù)量級(jí)，相應(yīng)地其均方速率要小十幾個(gè)數(shù)量級(jí)。當(dāng)砂粒的均方速率小到如此情況，它在1秒內(nèi)的均方位移也要比砂粒本身的大小還要小數(shù)個(gè)數(shù)量級(jí)時(shí)，其宏觀位移根本測(cè)量不出,則砂粒的布朗運(yùn)動(dòng)（或者說(shuō)無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)）可以不必考慮?？梢怨烙?jì)到，當(dāng)溫度上升的足夠高時(shí)，砂粒也會(huì)像分子那樣作熱運(yùn)動(dòng)的。（2）布朗粒子或者砂粒在地球重

20、力作用下能夠像地球大氣一樣分布的條件是它們的大氣標(biāo)高kT/mg應(yīng)該都相同。答：。2.7.1求常溫下質(zhì)量M1=3.00g的水蒸氣與M2=3.00g的氫氣組成的混合理想氣體的摩爾定體熱容。分析：顯然，3.00g水蒸氣的物質(zhì)的量是，3.00g氫氣的物質(zhì)的量是。由于氫氣有5個(gè)自由度，水蒸氣有6個(gè)自由度，根據(jù)能量均分定理，氫氣的內(nèi)能為，水蒸氣的內(nèi)能為。M1=3.00g的水蒸氣與M2=3.00g的氫氣組成的混合理想氣體的內(nèi)能為。混合理想氣體的物質(zhì)的量為，所以這種混合理想氣體的內(nèi)能為氣體的定體熱容2.7.3一粒小到肉眼恰好可見(jiàn)、質(zhì)量約為kg的灰塵微粒落人一杯冰水中。由于表面張力而浮在液體表面作二維自由運(yùn)動(dòng)，

21、試問(wèn)它的方均根速率是多大?分析：灰塵微粒作二維布朗運(yùn)動(dòng)，它應(yīng)該有如下關(guān)系按照能量均分定理答：。第三章3.1.1一細(xì)金屬絲將一質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)圓盤沿中心軸鉛垂吊住。盤能繞軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。盤面平行于一水平板，盤與平板間充滿黏度為h的液體。初始時(shí)盤以角速度旋轉(zhuǎn)。圓盤面與大平板間距離為d，且在圓盤下方任一豎直直線上液體的速度梯度處處相等。試求t秒時(shí)盤的旋轉(zhuǎn)角速度。分析：因?yàn)閳A盤與水平板之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，故存在如下的黏性力，在不同r處的線速度不同，但是圓盤下方任一豎直直線上的速度梯度都處處相等，所以在r處任一豎直直線上液體的速度梯度是?，F(xiàn)在以離開(kāi)中心軸距離的小圓環(huán)上，中心角為的一小塊圓盤為研究對(duì)象（

22、它的面積時(shí)可以近似認(rèn)為它是底邊為高為的矩形）。計(jì)算它受到的黏性力以及這一黏性力所施予中心軸的力矩。解：圓盤受到的黏性力以及這一黏性力所施予中心軸的力矩分別為對(duì)上式中的從積分，再對(duì)從0R積分?？梢缘玫剑?）利用剛體動(dòng)力學(xué)中的轉(zhuǎn)動(dòng)定律，其中J為圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，現(xiàn)在。把（1）式代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律分離變量后兩邊積分，最后得到t秒時(shí)圓盤的旋轉(zhuǎn)角速度為3.3.3兩個(gè)長(zhǎng)圓筒共軸套在一起，兩筒的長(zhǎng)度均為，內(nèi)筒和外筒的半徑分別為R1和R2，內(nèi)筒和外筒分別保持在恒定的溫度T1和T2，且T1T2，已知兩筒間空氣的導(dǎo)熱系數(shù)為，試證明每秒由內(nèi)筒通過(guò)空氣傳到外筒的熱量為分析：在這里的溫度梯度不是常數(shù)，即否則,若把內(nèi)筒和外筒之間的

23、空間分割為一系列厚度相等的圓柱殼層。按照這一計(jì)算公式,從逐步變化到,則在時(shí)間內(nèi),由內(nèi)筒向外傳遞的熱量將逐步增加。這不符合穩(wěn)態(tài)傳熱（在時(shí)間內(nèi),在每一圓柱面上通過(guò)的熱量應(yīng)該是相等的）條件。唯一的可能是在內(nèi)筒和外筒之間的溫度梯度不是常數(shù)。為此必須取半徑為的某一圓柱殼層為對(duì)象，研究它的傳熱過(guò)程。解：設(shè)在時(shí)間內(nèi),由內(nèi)筒向外傳遞的熱量為常量?，F(xiàn)在取半徑的某一圓柱殼層為研究對(duì)象。則兩邊積分，可以得到3.3.6兩根金屬棒A、B尺寸相同，A的導(dǎo)熱系數(shù)是B的兩倍，用它們來(lái)導(dǎo)熱。設(shè)高溫處與低溫處的溫度保持恒定，求將A、B并聯(lián)使用和串聯(lián)使用時(shí)熱傳遞能量之比(設(shè)棒的側(cè)面是絕熱的)。分析：對(duì)于一個(gè)存在穩(wěn)定熱流的均勻棒可以

24、將傅里葉定律表示為熱歐姆定律，也就是說(shuō)（其中分別是金屬棒的熱導(dǎo)系數(shù)、長(zhǎng)度和截面積）可以被改寫(xiě)為（1）其中稱為溫壓差（相當(dāng)于歐姆定律中的電勢(shì)差），稱為熱阻（相當(dāng)于電阻），稱為熱流（相當(dāng)于電流）。（1）式稱為熱歐姆定律。我們可以利用它來(lái)解決一些類似于串、并聯(lián)的傳熱問(wèn)題。解：設(shè)A、B金屬棒的導(dǎo)熱系數(shù)分別是，熱阻分別是，它們的串聯(lián)熱阻和并聯(lián)熱阻分別為?？紤]到，則（2）（3）（2）式被（3）式除，可以得到3.3.7半徑的鈾球，在原子裂變過(guò)程中以體積熱產(chǎn)生率均勻地、恒定不變地散發(fā)出熱量。已知鈾的熱導(dǎo)率，試問(wèn)達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)，鈾球的中心與外表面間的溫度差是多少?分析：對(duì)于球體內(nèi)部有恒定不變地均勻散發(fā)出熱量的傳熱問(wèn)題

25、，它達(dá)到穩(wěn)態(tài)的條件是：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，從半徑為的球殼向外傳遞的熱量，應(yīng)該等于單位時(shí)間內(nèi)以為半徑的球內(nèi)所產(chǎn)生的總的熱量。假如前者小于后者，鈾球內(nèi)部溫度會(huì)升高，穩(wěn)態(tài)尚未達(dá)到；假如后者小于前者，鈾球內(nèi)部溫度會(huì)降低，穩(wěn)態(tài)仍然未達(dá)到。解：現(xiàn)在以半徑為的球殼為研究對(duì)象，設(shè)及處的溫度分別為。由于球殼內(nèi)、外表面之間存在溫度梯度，有熱量從球殼向外傳輸，球殼通過(guò)的熱量達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)球殼在單位時(shí)間內(nèi)透過(guò)的熱流應(yīng)該等于以為半徑的鈾球在單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱量（假如前者小于后者，鈾球內(nèi)部溫度會(huì)升高，穩(wěn)態(tài)尚未達(dá)到），所以3.5.1熱容為C的物體處于溫度為的媒質(zhì)中，若以的功率加熱，它所能達(dá)到的最高溫度為。設(shè)系統(tǒng)的漏熱遵從牛頓冷卻定律，

26、試問(wèn)加熱電路切斷后，物體溫度從降為時(shí)所需的時(shí)間是多少?分析：牛頓冷卻定律可以表示為其中為環(huán)境溫度。若以的功率加熱，它所能達(dá)到的最高溫度為,這說(shuō)明的功率加熱恰好被溫度時(shí)物體向環(huán)境的漏熱相平衡,因而溫度不再上升，由此可以定出。解：從上面的分析可以得到如下關(guān)系：，另外又有將上述3個(gè)公式聯(lián)立后積分，最后得到3.6.5試估計(jì)宇宙射線中質(zhì)子抵達(dá)海平面附近與空氣分子碰撞時(shí)的平均自由程。設(shè)質(zhì)子直徑為1015m，宇宙射線速度很大。分析：這個(gè)問(wèn)題的情況和上一題十分類似，碰撞截面可以利用公式，平均自由程可以利用公式。這里的就是空氣分子的有效直徑，簡(jiǎn)單地認(rèn)為。而是空氣的分子數(shù)密度，簡(jiǎn)單認(rèn)為。答：。3.6.6從反應(yīng)堆(

27、溫度)中逸出一個(gè)氫分子(有效直徑為)以方均根速率進(jìn)入一個(gè)盛有冷氬氣(氬原子的有效直徑為，氬氣溫度為300K)的容器，氬原子的數(shù)密度為。試問(wèn)：(1)若把氫分子與氬原子均看作剛性球，它們相碰時(shí)質(zhì)心間最短距離是多少?（2）氫分子在單位時(shí)間內(nèi)受到的碰撞次數(shù)是多少?分析：（1）分子之間相碰時(shí)質(zhì)心間最短距離就是分子碰撞有效直徑，對(duì)于剛性分子，它就是兩個(gè)相碰分子的半徑之和。（2）在計(jì)算分子之間碰撞的平均頻率時(shí)要用到相對(duì)運(yùn)動(dòng)平均速率。對(duì)于溫度相同的同種分子，但是對(duì)于異種分子，特別是平均速率不相同的分子之間的碰撞，我們可以這樣利用近似方法得到它。把1分子相對(duì)于2分子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度矢量寫(xiě)為其相對(duì)運(yùn)動(dòng)速率的平方（1

28、）取平均值（2）上式最右邊第二項(xiàng)表示一個(gè)分子的速度在另一個(gè)分子速度方向上的投影的平均值的2倍，而（3）因?yàn)椋?）式中的余弦函數(shù)是偶函數(shù)，它的平均值為零，所以（1）式可以表示為又有如下近似條件可以利用，所以（4）利用這一公式可以計(jì)算相對(duì)運(yùn)動(dòng)平均速率。解：（1）對(duì)于剛性分子，氫分子與氬原子相碰時(shí)質(zhì)心間最短距離也就是氫分子與氬原子碰撞的有效直徑（5）（2）從反應(yīng)堆中逸出的一個(gè)氫分在單位時(shí)間內(nèi)受到的氬原子平均碰撞總次數(shù)為（6）在上面的式子中，所有下標(biāo)表示是氫分子的物理量，所有下標(biāo)表示氬原子的各物理量，下標(biāo)表示氫分子相對(duì)于氫原子的各物理量，下標(biāo)表示氫分子相對(duì)于氬原子的各物理量。顯然，（7）因?yàn)橐阎獨(dú)浞肿?/p>

29、是以方均根速率從反應(yīng)堆逸出，所以（8）利用（4）式可以得到分子束中的氫分子相對(duì)于氬原子的平均速率為（9）現(xiàn)在已經(jīng)知道，。將上述數(shù)據(jù)以及（5）式、（7）式、（9）式一起代入（6）式可以得到氫分子在單位時(shí)間內(nèi)受到的平均碰撞總次數(shù)3.7.1某種氣體分子的平均自由程為10cm，在10000段自由程中，（1）有多少段長(zhǎng)于10cm?（2）有多少段長(zhǎng)于50cm?（3）有多少段長(zhǎng)于5cm而短于10cm?（4）有多少段長(zhǎng)度在9.9cm與10cm之間?（5）有多少段長(zhǎng)度剛好為10cm?分析：以下兩個(gè)有關(guān)概率的概念是等價(jià)的：“一個(gè)分子自一次碰撞后又行進(jìn)路程x而還沒(méi)有被碰撞的概率”；“在許多段長(zhǎng)度不同的自由程中，長(zhǎng)度

30、大于自由程x的概率”。因此，分子按照自由程的分布也可以理解為：在段自由程中，長(zhǎng)度大于x的自由程數(shù)為。解：（1）在10000段自由程中，其自由程長(zhǎng)于10cm的段數(shù)為（2）在10000段自由程中，其自由程長(zhǎng)于50cm的段數(shù)為（3）在10000段自由程中，其自由程長(zhǎng)于5cm，短于10cm的段數(shù)為（4）因?yàn)?，所以?0000段自由程中，自由程長(zhǎng)度在9.9cm與10cm之間的段數(shù)為（5）不能這樣提問(wèn)，因?yàn)榘凑崭怕史植己瘮?shù)（即隨機(jī)變量為連續(xù)變量的概率分布）的概念，只存在隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率，而不存在隨機(jī)變量為某一確定數(shù)值的概率。3.7.3由電子槍發(fā)出一束電子射人壓強(qiáng)為p的氣體中，在電子槍前相距x處放

31、置一收集電極，用來(lái)測(cè)定能自由通過(guò)(即不與氣體分子相碰)這段距離的電子數(shù)。已知電子槍發(fā)射的電子流強(qiáng)度為100mA，當(dāng)氣壓、x=10cm時(shí)，到達(dá)收集極的電子流強(qiáng)度為37mA。(1)電子的平均自由程為多大?(2)氣壓降到時(shí)，到達(dá)收集極的電子流強(qiáng)度是多少?分析：由于電子槍發(fā)射的電子流強(qiáng)度為100mA，在氣壓、x=10cm時(shí)，到達(dá)收集極的電子流強(qiáng)度為37mA，說(shuō)明有（10037）/100100%的電子在10cm以前被碰。而（37/100）則是在10cm處電子的殘存概率。由此可以求出時(shí)電子的平均自由程為；同時(shí)也可以求出氣壓降到時(shí)的平均自由程為。當(dāng)氣壓降到時(shí)在10cm處電子的殘存概率可以由求得，而電子的殘存

32、概率是直接和到達(dá)收集極的電子流強(qiáng)度相對(duì)應(yīng)的。解：（1）設(shè)電子的平均自由程為。則電子束行進(jìn)距離時(shí)的殘存概率為因而有：得到電子的平均自由程為。（2）因?yàn)?說(shuō)明溫度相同時(shí)和成反比。而。氣壓降到時(shí)電子的平均自由程為在平均自由程為時(shí)，在處的殘從而求出電子流強(qiáng)度第四章氣體作準(zhǔn)靜態(tài)等溫膨脹，由初體積變成終體積，試計(jì)算這過(guò)程中所做的功。若物態(tài)方程式是（1）（是常數(shù)）（2）常數(shù)，解：（1）因?yàn)?，即。?）因?yàn)?，?所以圖表示有一除底部外都是絕熱的氣筒，被一位置固定的導(dǎo)熱板隔成相等的兩部分A和B，其中各盛有一摩爾的理想氣體氮。今將334.4J的熱量緩慢地由底部供給氣體，設(shè)活塞上的壓強(qiáng)始終保持為，求A部和B部溫度的

33、改變以及各吸收的熱量(導(dǎo)熱板的熱容可以忽略)。若將位置固定的導(dǎo)熱板換成可以自由滑動(dòng)的絕熱隔板，重復(fù)上述討論。分析：1，若隔板的位置是固定的而且是導(dǎo)熱的，則B部吸收熱量后按照等壓過(guò)程變化；A部既吸收熱量，又向B部放熱，同時(shí)它按照等體過(guò)程變化。A部吸收的熱量等于A部?jī)?nèi)能的增加加上向B部釋放的熱量。2，若隔板是可以自由滑動(dòng)的而且是絕熱的，則A部吸收熱量后按照等壓過(guò)程變化；B部不吸收熱量，也不做功（因?yàn)樗ㄟ^(guò)活塞和外界相連接，它的壓強(qiáng)始終和外界相等），按照熱力學(xué)第一定律，其內(nèi)能不變，狀態(tài)也不變。A部吸收的熱量全部用于A部?jī)?nèi)能的增加和它對(duì)外作的等壓功。解：（1）隔板是固定的并且是可導(dǎo)熱的。設(shè)A部和B部?jī)?/p>

34、吸收的熱量分別為、。A部在定體條件下既吸熱又放熱，但是其凈吸收的熱量是。而B(niǎo)部是在定壓條件下吸熱，其吸的熱等于焓的增加。注意到A部和B部的氣體都是1摩爾。我們規(guī)定：下標(biāo)“”或者“”表示定體積過(guò)程或者定壓過(guò)程，下標(biāo)“”表示是1摩爾的物理量，則A部從加熱器吸收的熱量為兩邊積分得： 這就是A部的溫度改變。因?yàn)楦舭迨菍?dǎo)熱的，B部的溫度改變和A部相等。下面求A部和B部?jī)粑盏臒崃?。兩邊積分兩邊積分（2）若隔板換成可以自由滑動(dòng)的絕熱隔板，則A部和B部的壓強(qiáng)始終相等，并且等于大氣壓強(qiáng)，這時(shí)A部?jī)粑盏臒崃緼部的溫度改變對(duì)于B部，由于隔板是絕熱的，所以，。B部狀態(tài)不變化，其溫度不變。4.5.5室溫下定量理想氣

35、體氧的體積為（升），壓強(qiáng)為，經(jīng)過(guò)某一多方過(guò)程后體積變?yōu)?，壓?qiáng)為。試求：(1)多方指數(shù)；(2)內(nèi)能的變化；(3)吸收的熱量；(4)氧膨脹時(shí)對(duì)外界所作的功。設(shè)氧的。解：（1）多方過(guò)程方程為，兩邊取對(duì)數(shù)，則有（1）（2），而，（3）由此得到（內(nèi)能減少）（4）（3）多方過(guò)程熱容（5）多方過(guò)程中吸收的熱量（6）聯(lián)立（3）、（5）、（6）式得到（吸收熱量）。（4）氣體膨脹，它對(duì)外作的功4.5.8利用大氣壓隨高度變化的微分公式，證明高度處的大氣壓強(qiáng)為其中和分別為地面的溫度和壓強(qiáng)，為空氣的平均摩爾質(zhì)量。假設(shè)上升空氣的膨脹是準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程。分析：在課本中推導(dǎo)的大氣壓強(qiáng)公式是假定整個(gè)大氣處于溫度處處相等的平衡態(tài)的

36、。實(shí)際上大氣溫度是隨高度而變化的。在貼近地面的對(duì)流層中，如果不考慮大氣環(huán)流，則影響大氣溫度垂直變化的原因是重力和上升空氣的準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹。解：因?yàn)樯仙諝獾呐蛎浭菧?zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程，滿足準(zhǔn)靜態(tài)絕熱方程（1）大氣壓隨高度變化的微分公式（2）由（1）式、（2）式化簡(jiǎn)，兩邊積分，可以得到最后得到4.5.11用絕熱壁做成一圓柱形的容器，在容器中間放置一無(wú)摩擦的、絕熱的可動(dòng)活塞，活塞兩側(cè)各有的理想氣體。設(shè)氣體定體摩爾熱容為常數(shù)，。將一通電線圈放在活塞左側(cè)氣體中，對(duì)氣體緩慢加熱。左側(cè)氣體膨脹，同時(shí)通過(guò)活塞壓縮右方氣體，最后使右方氣體壓強(qiáng)增為。試問(wèn)：(1)對(duì)活塞右側(cè)氣體作了多少功?(2)右側(cè)氣體的終溫是多少?(

37、3)左側(cè)氣體的終溫是多少?(4)左側(cè)氣體吸收了多少熱量?分析：圓柱形容器和活塞都是絕熱的，所以活塞右方氣體經(jīng)歷的是絕熱過(guò)程；而活塞左側(cè)有通電線圈加熱。左方氣體吸收熱量后不僅增加它自己的內(nèi)能，同時(shí)還對(duì)右方氣體做功。這個(gè)功全部用來(lái)增加右方氣體的內(nèi)能（或者說(shuō)使得它的溫度升高）。另外，可以認(rèn)為在初始時(shí)刻活塞位于圓柱形容器的正中央，左、右方氣體的物質(zhì)的量、體積、壓強(qiáng)都相等，因而溫度也相等。解：（1）顯然初始時(shí)刻活塞左、右側(cè)氣體的壓強(qiáng)都是，最終左、右側(cè)氣體壓強(qiáng)分別為、，溫度分別、，體積分別為、。該過(guò)程中左側(cè)氣體對(duì)右側(cè)氣體（視作理想氣體）所做準(zhǔn)靜態(tài)絕熱壓縮功為（2）絕熱過(guò)程中有如此關(guān)系：，所以右側(cè)氣體的終溫

38、為（3）左側(cè)氣體經(jīng)歷的既不是絕熱也不是等壓過(guò)程，要求出終溫，必須知道、，然后通過(guò)狀態(tài)方程求出。但是如果要求出，必須先知道，（因?yàn)椋６覀?cè)氣體的絕熱過(guò)程有關(guān)系，所以又， 由此我們可以得到左側(cè)氣體的這最終溫度為4.6.1已知某種理想氣體在圖上的等溫線與絕熱線的斜率之比為0.714，現(xiàn)一摩爾該種理想氣體在圖上經(jīng)歷如右圖所示的循環(huán)。試問(wèn)：(1)該氣體的是多少?(2)循環(huán)功是多少?(3)循環(huán)效率是多少?分析：（1）它的等溫過(guò)程方程為，絕熱過(guò)程方程為，只要分別對(duì)上述方程的兩邊取微分，就可以求出在圖上過(guò)程曲線的斜率。（2）在求循環(huán)功和循環(huán)效率時(shí)應(yīng)該注意到，上圖畫(huà)的是圖，而不是圖。若要避免錯(cuò)誤，可以先把它轉(zhuǎn)

39、換為圖，然后進(jìn)行計(jì)算。解：（1）分別對(duì)等溫過(guò)程方程和絕熱過(guò)程方程的兩邊取微分，可以得到它們?cè)趫D上過(guò)程曲線的斜率，以下標(biāo)和下標(biāo)分別表示等溫過(guò)程和絕熱過(guò)程。，比較這兩個(gè)式子可以知道，由此可得：。（2）現(xiàn)在把循環(huán)曲線從圖轉(zhuǎn)換為圖，如右圖所示。這是順時(shí)針循環(huán)，是熱機(jī)。計(jì)算系統(tǒng)對(duì)外作的功，注意（為外界對(duì)系統(tǒng)作的功）：等壓膨脹過(guò)程，等體過(guò)程，等溫過(guò)程,對(duì)外作的循環(huán)總功=（2）計(jì)算系統(tǒng)吸收或者釋放的熱量：等壓膨脹過(guò)程（吸熱），等體降溫過(guò)程（放熱），等溫壓縮過(guò)程（放熱），（3）熱機(jī)效率=4.6.2一摩爾單原子理想氣體經(jīng)歷了一個(gè)在圖上可表示為一個(gè)圓的準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程(如下頁(yè)圖所示)，試求：(1)在一次循環(huán)中對(duì)外作的功

40、；(2)氣體從A變?yōu)镃的過(guò)程中內(nèi)能的變化；(3)氣體在ABC過(guò)程中吸收的熱量；(4)為了求出熱機(jī)循環(huán)效率，必須知道它從吸熱變?yōu)榉艧峒皬姆艧嶙優(yōu)槲鼰岬倪^(guò)渡點(diǎn)的坐標(biāo)，試導(dǎo)出過(guò)渡點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程。分析：循環(huán)曲線是由一段段實(shí)線線段連接而成的閉合曲線，而每一線段都可以被認(rèn)為是某一多方過(guò)程的一部分。應(yīng)該明確，對(duì)于在圖上可表示為一個(gè)實(shí)線圓的過(guò)程，圓上任何一個(gè)有一定大小的有限線段，都不能被認(rèn)為是某一多方過(guò)程的一部分。但是它的任何一個(gè)微小線段卻可以被認(rèn)為是某一多方過(guò)程的微小部分。從放熱變?yōu)槲鼰岬倪^(guò)渡點(diǎn)可以被認(rèn)為是這樣一個(gè)特殊點(diǎn)：在這一點(diǎn)既不吸熱也不放熱，所以它也是某一條絕熱曲線上的微小部分。既然該點(diǎn)是絕熱曲線

41、的一微小部分，也是圓的一微小部分，則該點(diǎn)在這兩條曲線上的斜率也應(yīng)該是相等的，或者說(shuō)，絕熱曲線和圓應(yīng)該在該點(diǎn)相切。由此可以確定從吸熱變?yōu)榉艧峒皬姆艧嶙優(yōu)槲鼰岬倪^(guò)渡點(diǎn)的坐標(biāo)。還有一種確定從放熱變?yōu)槲鼰岬倪^(guò)渡點(diǎn)坐標(biāo)的方法，這將在4.B.2中介紹。解：(1)從題圖可以看出，圓心的橫坐標(biāo)就是A點(diǎn)和C點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和的一半，同樣B點(diǎn)和D點(diǎn)的縱坐標(biāo)的和的一半就是圓的縱坐標(biāo)。若我們?nèi)》謩e作為縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的單位，并且縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)只標(biāo)定數(shù)字而不標(biāo)出單位，則這個(gè)圓和普通的坐標(biāo)圖上的圓就沒(méi)有什么區(qū)別了。從圖上可以看出，該圓的半徑是“1”。狀態(tài)方程可寫(xiě)為這樣的圓方程圓的半徑。在一次循環(huán)中對(duì)外作的功就是圓的面積，它應(yīng)該

42、等于縱坐標(biāo)半徑和橫坐標(biāo)半徑的乘積再乘上，所以。（2）要求出內(nèi)能變化就要求出溫度變化。由圖知，根據(jù)蓋-呂薩克定律得：，又由理想氣體狀態(tài)方程得：，所以氣體從A變?yōu)镃的過(guò)程中內(nèi)能的變化為：。(3)氣體在ABC過(guò)程中對(duì)外做的功應(yīng)該等于曲線ABC下面的面積由熱力學(xué)第一定律得吸收的熱量： （4）吸熱和放熱的過(guò)渡點(diǎn)是絕熱點(diǎn)，即過(guò)程曲線在該點(diǎn)的斜率與絕熱線斜率相等。若要求出這一點(diǎn)，只要將狀態(tài)方程兩邊對(duì)V求偏微商，偏微商的下標(biāo)標(biāo)以，表示這是狀態(tài)方程曲線上的斜率。得到即（1）又將絕熱過(guò)程兩邊對(duì)V求微分，得（2）從吸熱變?yōu)榉艧峒皬姆艧嶙優(yōu)槲鼰岬倪^(guò)渡點(diǎn)應(yīng)該滿足（1）式=（2）式，從而得到滿足這一等式的坐標(biāo)，顯然它們應(yīng)

43、該滿足如下關(guān)系即（3）因?yàn)槭菆A上的點(diǎn)，所以還應(yīng)該同時(shí)滿足（4）（3）式和（4）式就是從吸熱變?yōu)榉艧峒皬姆艧嶙優(yōu)槲鼰岬倪^(guò)渡點(diǎn)所應(yīng)該滿足的聯(lián)立方程。4.7.2某空調(diào)器是由采用可逆卡諾循環(huán)的制冷機(jī)所制成。它工作于某房間(設(shè)其溫度為)及室外(設(shè)其溫度為)之間，消耗的功率為P，試問(wèn)：（1）若在1秒內(nèi)它從房間吸取熱量，向室外放熱，則是多大?(以，表示之)。（2）若室外向房間的漏熱遵從牛頓冷卻定律，即，其中是與房屋的結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)。試問(wèn)制冷機(jī)長(zhǎng)期連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)后，房間所能達(dá)到的最低溫度是多大?(以、P、表示之)。（3）若室外溫度為，溫度控制器開(kāi)關(guān)使其間斷運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)間(例如開(kāi)了3分鐘就停7分鐘，如此交替開(kāi)停)，發(fā)現(xiàn)這

44、時(shí)室內(nèi)保持溫度不變。試問(wèn)在夏天仍要求維持室內(nèi)溫度，則該空調(diào)器可允許正常運(yùn)轉(zhuǎn)的最高室外溫度是多少?（4）在冬天，致冷機(jī)從外界吸熱，向室內(nèi)放熱，制冷機(jī)起了熱泵的作用，仍要求維持室內(nèi)為，則它能正常運(yùn)轉(zhuǎn)的最低室外溫度是多少?分析：這是現(xiàn)在正在廣泛使用的熱泵，它既能在夏天用來(lái)降溫，又能在冬天用來(lái)取暖的一個(gè)理想模型（認(rèn)為制冷機(jī)是可逆卡諾制冷機(jī)）。通常制冷機(jī)是采用交替開(kāi)停的方法來(lái)控制溫度，使房間達(dá)到基本恒溫的。在達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，在相同時(shí)間內(nèi)，冬天時(shí)制冷機(jī)向房間傳遞的熱量應(yīng)該等于房間向外的漏熱；夏天時(shí)外界向房間的漏熱應(yīng)該等于制冷機(jī)從房間取出的熱量。解：（1）對(duì)于可逆卡諾制冷機(jī)，有：，經(jīng)過(guò)變換可以得到（1）又由

45、于，而考慮到在運(yùn)行穩(wěn)定時(shí),因而（1）式可表示為，（2）（2）當(dāng)制冷機(jī)長(zhǎng)期連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)后，房間達(dá)到的最低溫度時(shí)制冷機(jī)的制冷功率應(yīng)該等于房間的漏熱功率。制冷機(jī)的制冷功率是由制冷機(jī)的效率公式?jīng)Q定的。房間的漏熱功率是由牛頓冷卻定律決定的，因而利用（1）式,有（3）即：因?yàn)?，所以上式中只能取?fù)號(hào)，所以有（4）（3）當(dāng)室外溫度為，制冷機(jī)長(zhǎng)期運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間并且達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，這時(shí)的房間溫度為。我們可以利用這一條件求出。因?yàn)樵谶_(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)外界向房間的漏熱應(yīng)該等于制冷機(jī)從房間取出的熱量，而后者可以用（2）式來(lái)求出，不過(guò)其中的應(yīng)該用來(lái)代替。這樣，就有（5）將，代入（5）式，可以得到（6）到了夏天仍要求維持室內(nèi)溫度

46、，若該空調(diào)器可允許正常運(yùn)轉(zhuǎn)的最高室外溫度（設(shè)為），而室內(nèi)溫度仍為。這時(shí)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的條件同樣是：制冷機(jī)的制冷功率應(yīng)該等于房間的漏熱功率。但是現(xiàn)在空調(diào)器是不間歇地連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn),在（5）式中的應(yīng)改為，即（6）得到（7）（4）在冬天要求維持室內(nèi)溫度，設(shè)它能正常運(yùn)轉(zhuǎn)的最低室外溫度為，則參考（6）式，有（8）將（5）中的代入，可以得到 對(duì)于任何物質(zhì)，證明兩絕熱線不能相交。分析：本題和上題一樣也是針對(duì)任何物質(zhì)而言的，也要利用熱力學(xué)基本定律（即利用永動(dòng)機(jī)不可能造成的），由反證法來(lái)證明。例如先假定兩絕熱線已經(jīng)相交，其結(jié)果會(huì)形成一種永動(dòng)機(jī)，從而說(shuō)明這是不可能的。因?yàn)橛绖?dòng)機(jī)是做功的機(jī)器，所以要在圖上構(gòu)造一個(gè)順時(shí)針循環(huán)。但

47、是兩根相交的絕熱線不能構(gòu)成循環(huán)，而且它也不吸收熱量。我們應(yīng)再增添一條從單一熱源吸熱的等溫線，這條等溫線和那兩條絕熱線相交組成一個(gè)順時(shí)針順循環(huán)，看這樣是否會(huì)違背熱力學(xué)基本定律。解：假設(shè)在圖上兩條絕熱線A、B相交于點(diǎn)“1”，則可作一等溫線C與它們分別相交于點(diǎn)“3”和點(diǎn)“2”。線段“”、“”和“”圍成一閉合區(qū)域?，F(xiàn)在也分兩種情況進(jìn)行討論。（1）若“1”點(diǎn)在等溫線上面，如題（a）所示。利用閉合曲線做一正循環(huán)“”。在此循環(huán)過(guò)程中對(duì)外做了功（其大小就是閉合曲線所圍的面積），它卻僅在“”等溫過(guò)程中放熱。這說(shuō)明系統(tǒng)可以在不吸收熱量，甚至在放熱的情況下對(duì)外做有用功，這違反熱力學(xué)第一定律。（2）若“1”點(diǎn)在等溫線

48、下面，如圖（b）所示。利用閉合曲線做一正循環(huán)“”。此循環(huán)過(guò)程只在“”等溫過(guò)程中從單一熱源吸熱對(duì)外做了有用功而無(wú)其它影響,這違反熱力學(xué)第二定律。所以，兩絕熱線不能相交。5.3.1如下圖所示，圖中為等溫線，為絕熱線，和均為等壓線，為等體線。（理想氣體）在“1”點(diǎn)的狀態(tài)參量為，在“3”點(diǎn)的狀態(tài)參量為。試分別用如下三條路徑計(jì)算：（1）；（2）；（3）。分析：這是一個(gè)通過(guò)計(jì)算來(lái)說(shuō)明熵是態(tài)函數(shù),熵的變化僅和初、末狀態(tài)有關(guān),而和變化路徑無(wú)關(guān)的習(xí)題。因?yàn)槟軌蛴脤?shí)線表示的狀態(tài)變化圖線一般都可以認(rèn)為是可逆變化過(guò)程，所以可以用來(lái)計(jì)算熵變。解：（1）“”為等壓過(guò)程，。而“”為等體過(guò)程。注意到為雙原子分子，。所以在“”

49、過(guò)程中的熵變?yōu)椋?）“”為等溫過(guò)程。其熵變（3）“”過(guò)程是由“”的絕熱過(guò)程，（1）和“”的等壓過(guò)程（2）所組成的。聯(lián)立（1）式、（2）式，考慮到，得到“”點(diǎn)的溫度其熵變一長(zhǎng)為的圓柱形容器被一薄的活塞分隔成兩部分。開(kāi)始時(shí)活塞固定在距左端處?；钊筮叧溆?的氦氣，右邊充有的氖氣。它們都是理想氣體。將氣缸浸入1升水中，開(kāi)始時(shí)整個(gè)物體系的溫度均勻地處于。氣缸及活塞的熱容可不考慮。放松以后振動(dòng)的活塞最后將位于一新的平衡位置，試問(wèn)這時(shí):（1）水溫升高多少？（2）活塞將靜止在距氣缸左邊多大距離位置？（3）物體系的總熵增加多少？分析：開(kāi)始時(shí)活塞是被固定的,放松以后活塞振動(dòng)起來(lái)。說(shuō)明開(kāi)始時(shí)活塞兩邊壓強(qiáng)不等，物質(zhì)

50、的量也不等?？紤]到氣缸內(nèi)的氦氣和氖氣作為一個(gè)整體它不可能對(duì)外做功，而開(kāi)始時(shí)整個(gè)物體系（氣缸以及內(nèi)中的氣體和外面的水）的溫度均勻地處于，它不可能和外界交換熱量。所以一開(kāi)始?xì)飧滓约皟?nèi)中氣體的內(nèi)能就不變，溫度不變，以后溫度應(yīng)該仍然不變。水的溫度也不變。解：（1）水溫保持不變。（2）設(shè)初態(tài)氦氣的狀態(tài)參量為：；（說(shuō)明：式中為長(zhǎng)度的單位，下面同樣如此表示）。初態(tài)氖氣的狀態(tài)參量為：；。末態(tài)氦氣的狀態(tài)參量為：；。末態(tài)氖氣的狀態(tài)參量為：；。其中為靜止時(shí)活塞距氣缸左邊的距離。由于物質(zhì)的量和溫度都不變，所以有：，這樣就可以得到即活塞靜止在距氣缸左邊處。（3）整個(gè)氣體的熵變等于氦氣的熵變和氖氣的熵變之和。注意溫度始終

51、不變。利用理想氣體熵變公式，則5.3.3水的比熱容是。(1)、的水與一個(gè)的大熱源相接觸，當(dāng)水的溫度到達(dá)時(shí)，水的熵改變多少?(2)如果先將水與一個(gè)的大熱源接觸，然后再讓它與一個(gè)的大熱源接觸，求整個(gè)系統(tǒng)的熵變。(3)說(shuō)明怎樣才可使水從變到而整個(gè)系統(tǒng)的熵不變。分析：本題是計(jì)算在熱傳遞過(guò)程中的熵變問(wèn)題。由于本題“（1）”和“（2）”都是在其溫度差不滿足條件下的熱傳遞，因而是不可逆的。應(yīng)該設(shè)想水所經(jīng)歷的是另一個(gè)其初、末態(tài)都和它的初、末態(tài)相同的可逆過(guò)程。例如：水在等壓條件下依次和一系列的溫度從逐步上升到的熱源相接觸，相鄰兩熱源之間的溫度差滿足條件。只有水達(dá)到新的平衡態(tài)以后，才脫開(kāi)原來(lái)的熱源，再和下一個(gè)溫度

52、的熱源相接觸，使達(dá)到下一熱源的溫度。如此使得水的溫度也逐步從上升到。這樣就可以認(rèn)為水在任何時(shí)刻的溫度都幾乎是處處相等的，它始終滿足熱學(xué)平衡條件，因而是可逆的。由于這兩個(gè)可逆和不可逆過(guò)程的初、末態(tài)相同，因而熵變相同。解：（1）設(shè)水的初溫以表示，水的終溫為，水的比熱容為。則水的熵變?yōu)椋?）整個(gè)系統(tǒng)的總熵變應(yīng)為水的兩次熵變與熱源的兩次熵變之和。設(shè)水的初溫為，熱源的溫度以表示，熱源的溫度以表示。由于熱源和熱源都處于恒溫下，它們放的熱量分別為，（1）兩個(gè)熱源的熵變分別為：，（2）水在兩次傳熱過(guò)程中的熵變分別為， （3）整個(gè)系統(tǒng)的總熵變?yōu)椋海?）（3）我們看到，在“（1）”中，水和熱源的總熵變?yōu)椋?）注意

53、到（5）式的總熵變小于（4）式的總熵變，可知增加一個(gè)中間溫度（）的熱源以后，水和熱源合在一起（它們是絕熱系統(tǒng)）的總熵變減小了?？梢怨烙?jì)到，中間溫度的熱源數(shù)越多，水和熱源合在一起的總熵變就越小。顯然，若要使水和熱源合在一起的熵不變，應(yīng)該使水所經(jīng)歷的是可逆過(guò)程。即按照“分析”中所描述的那樣，使水與一系列溫度相差無(wú)窮小的熱源相接觸，使得水所經(jīng)歷的是可逆過(guò)程。按照熵增加原理，絕熱可逆過(guò)程總熵不變。5.3.4一直立的氣缸被活塞封閉有理想氣體，活塞上裝有重物，活塞及重物的質(zhì)量為，活塞面積為A，重力加速度為，氣體的摩爾熱容為常數(shù)。活塞與氣缸的熱容及活塞與氣缸間摩擦均可忽略，整個(gè)系統(tǒng)都是絕熱的。初始時(shí)活塞位置固定，氣體體積為，溫度為。活塞被放松后將振動(dòng)起來(lái)，最后活塞靜止于具有較大體積的新的平衡位置，不考慮活塞外的環(huán)境壓強(qiáng)。試問(wèn)：（1）氣體的溫度是升高、降低，還是保持不變？（2）氣體的熵是增加，減少還是保持不變？（3）計(jì)算氣體的末態(tài)溫度。分析：從活塞被放松以后振動(dòng)起來(lái)可以知道，活塞被放松以前氣缸內(nèi)氣體的壓強(qiáng)應(yīng)該大于活塞加上重物