人工智能：第3章 確定性推理部分參考答案

1、PAGE 268確定性推理部分參考答案3.8 判斷下列公式是否為可合一，若可合一，則求出其最一般合一。(1) P(a, b), P(x, y)(2) P(f(x), b), P(y, z)(3) P(f(x), y), P(y, f(b)(4) P(f(y), y, x), P(x, f(a), f(b) (5) P(x, y), P(y, x)解：(1) 可合一，其最一般和一為：=a/x, b/y。(2) 可合一，其最一般和一為：=y/f(x), b/z。(3) 可合一，其最一般和一為：= f(b)/y, b/x。(4) 不可合一。(5) 可合一，其最一般和一為：= y/x。3.11 把下列

2、謂詞公式化成子句集：(x)(y)(P(x, y)Q(x, y)(x)(y)(P(x, y)Q(x, y)(x)(y)(P(x, y)(Q(x, y)R(x, y)(x) (y) (z)(P(x, y)Q(x, y)R(x, z) 解：(1) 由于(x)(y)(P(x, y)Q(x, y)已經(jīng)是Skolem標(biāo)準(zhǔn)型，且P(x, y)Q(x, y)已經(jīng)是合取范式，所以可直接消去全稱量詞、合取詞，得 P(x, y), Q(x, y) 再進(jìn)行變?cè)獡Q名得子句集： S= P(x, y), Q(u, v) (2) 對(duì)謂詞公式(x)(y)(P(x, y)Q(x, y)，先消去連接詞“”得：(x)(y)(P(x,

3、 y)Q(x, y)此公式已為Skolem標(biāo)準(zhǔn)型。 再消去全稱量詞得子句集： S=P(x, y)Q(x, y) (3) 對(duì)謂詞公式(x)(y)(P(x, y)(Q(x, y)R(x, y)，先消去連接詞“”得：(x)(y)(P(x, y)(Q(x, y)R(x, y)此公式已為前束范式。再消去存在量詞，即用Skolem函數(shù)f(x)替換y得：(x)(P(x, f(x)Q(x, f(x)R(x, f(x)此公式已為Skolem標(biāo)準(zhǔn)型。 最后消去全稱量詞得子句集： S=P(x, f(x)Q(x, f(x)R(x, f(x) (4) 對(duì)謂詞(x) (y) (z)(P(x, y)Q(x, y)R(x,

4、z)，先消去連接詞“”得：(x) (y) (z)(P(x, y)Q(x, y)R(x, z)再消去存在量詞，即用Skolem函數(shù)f(x)替換y得：(x) (y) (P(x, y)Q(x, y)R(x, f(x,y)此公式已為Skolem標(biāo)準(zhǔn)型。 最后消去全稱量詞得子句集：S=P(x, y)Q(x, y)R(x, f(x,y)3-13 判斷下列子句集中哪些是不可滿足的：PQ, Q, P, P PQ , PQ, PQ, PQ P(y)Q(y) , P(f(x)R(a)P(x)Q(x) , P(y)R(y), P(a), S(a), S(z)R(z)P(x)Q(f(x),a) , P(h(y)Q(f

5、(h(y), a)P(z)P(x)Q(x)R(x) , P(y)R(y), Q(a), R(b) 解：(1) 不可滿足，其歸結(jié)過程為：PQQPPNIL(2) 不可滿足，其歸結(jié)過程為：PQPQQPQPQQNIL(3) 不是不可滿足的，原因是不能由它導(dǎo)出空子句。(4) 不可滿足，其歸結(jié)過程略(5) 不是不可滿足的，原因是不能由它導(dǎo)出空子句。(6) 不可滿足，其歸結(jié)過程略 3.14 對(duì)下列各題分別證明G是否為F1,F2,Fn的邏輯結(jié)論：F: (x)(y)(P(x, y)G: (y)(x)(P(x, y)F: (x)(P(x)(Q(a)Q(b)G: (x) (P(x)Q(x)F: (x)(y)(P(f

6、(x)(Q(f(y)G: P(f(a)P(y)Q(y)F1: (x)(P(x)(y)(Q(y)L(x.y)F2: (x) (P(x)(y)(R(y)L(x.y)G: (x)(R(x)Q(x)F1: (x)(P(x)(Q(x)R(x)F2: (x) (P(x)S(x)G: (x) (S(x)R(x) 解：(1) 先將F和G化成子句集： S=P(a,b), P(x,b) 再對(duì)S進(jìn)行歸結(jié)：P(x,b)P(a,b)NIL a/x 所以，G是F的邏輯結(jié)論(2) 先將F和G化成子句集由F得：S1=P(x)，(Q(a)Q(b)由于G為： (x) (P(x)Q(x)，即 (x) ( P(x) Q(x)，可得：

7、 S2= P(x) Q(x)因此，擴(kuò)充的子句集為：S= P(x)，(Q(a)Q(b)， P(x) Q(x) 再對(duì)S進(jìn)行歸結(jié)：Q(a)Q(b)Q(a) P(x) Q(x) P(a)P(x)NILQ(a)Q(b) a/b P(x) Q(x)Q(a)a/x P(a)P(x) a/xNIL 所以，G是F的邏輯結(jié)論 同理可求得(3)、(4)和(5)，其求解過程略。 3.15 設(shè)已知：如果x是y的父親，y是z的父親，則x是z的祖父；每個(gè)人都有一個(gè)父親。使用歸結(jié)演繹推理證明：對(duì)于某人u，一定存在一個(gè)人v，v是u的祖父。 解：先定義謂詞 F(x,y)：x是y的父親 GF(x,z)：x是z的祖父 P(x)：x是

8、一個(gè)人 再用謂詞把問題描述出來： 已知F1：(x) (y) (z)( F(x,y)F(y,z)GF(x,z) F2：(y)(P(x)F(x,y) 求證結(jié)論G：(u) (v)( P(u)GF(v,u) 然后再將F1，F(xiàn)2和G化成子句集： F(x,y)F(y,z)GF(x,z) P(r)F(s,r) P(u) GF(v,u) 對(duì)上述擴(kuò)充的子句集，其歸結(jié)推理過程如下：F(x,y)F(y,z)GF(x,z)GF(v,u)F(x,y)F(y,z)P(r)F(s,r)F(y,z)P(y)P(r)F(s,r)P(y)P(z)P(y)P(u)NIL x/v,z/ux/s,y/ry/s,z/r y/z y/u

9、由于導(dǎo)出了空子句，故結(jié)論得證。3.16 假設(shè)張被盜，公安局派出5個(gè)人去調(diào)查。案情分析時(shí)，貞察員A說：“趙與錢中至少有一個(gè)人作案”，貞察員B說：“錢與孫中至少有一個(gè)人作案”，貞察員C說：“孫與李中至少有一個(gè)人作案”，貞察員D說：“趙與孫中至少有一個(gè)人與此案無關(guān)”，貞察員E說：“錢與李中至少有一個(gè)人與此案無關(guān)”。如果這5個(gè)偵察員的話都是可信的，使用歸結(jié)演繹推理求出誰是盜竊犯。解：(1) 先定義謂詞和常量設(shè)C(x)表示x作案，Z表示趙，Q表示錢，S表示孫，L表示李(2) 將已知事實(shí)用謂詞公式表示出來趙與錢中至少有一個(gè)人作案：C(Z)C(Q)錢與孫中至少有一個(gè)人作案：C(Q)C(S)孫與李中至少有一個(gè)

10、人作案：C(S)C(L)趙與孫中至少有一個(gè)人與此案無關(guān)： (C (Z)C(S)，即 C (Z) C(S)錢與李中至少有一個(gè)人與此案無關(guān)： (C (Q)C(L)，即 C (Q) C(L)(3) 將所要求的問題用謂詞公式表示出來，并與其否定取析取。設(shè)作案者為u，則要求的結(jié)論是C(u)。將其與其否)取析取，得： C(u) C(u)(4) 對(duì)上述擴(kuò)充的子句集，按歸結(jié)原理進(jìn)行歸結(jié)，其修改的證明樹如下：C(Z)C(Q)C (Z) C(S)C(Q)C(S)C(Q)C(S)C(Q)C(u)C(u)C(Q) Q/u 因此，錢是盜竊犯。實(shí)際上，本案的盜竊犯不止一人。根據(jù)歸結(jié)原理還可以得出：C(S)C(L)C (Q

11、) C(L)C(S)C(Q)C(Q)C(S)C(S)C(u)C(u)C(S)C (Q) C(L)C(S)C(L)C(Q)C(S)C(S)C(Q)C(u)C(u)C(S) S/u C(S) 因此，孫也是盜竊犯。3.18 設(shè)有子句集： P(x)Q(a, b), P(a)Q(a, b), Q(a, f(a), P(x)Q(x, b)分別用各種歸結(jié)策略求出其歸結(jié)式。解：支持集策略不可用，原因是沒有指明哪個(gè)子句是由目標(biāo)公式的否定化簡(jiǎn)來的。刪除策略不可用，原因是子句集中沒有沒有重言式和具有包孕關(guān)系的子句。單文字子句策略的歸結(jié)過程如下：Q(a, f(a)P(x)Q(a, b) b/f(a)P(x)Q(x,

12、b)P(a)Q(a, f(a)Q(a, b) a/x b/f(a)Q(a, b)用線性輸入策略（同時(shí)滿足祖先過濾策略）的歸結(jié)過程如下：P(a)Q(a, b)P(x)Q(a, b)P(x)Q(x, b)P(a) a/xa/xQ(a, f(a)Q(a,b) b/f(a)NIL 3.19 設(shè)已知：能閱讀的人是識(shí)字的；海豚不識(shí)字；有些海豚是很聰明的。請(qǐng)用歸結(jié)演繹推理證明：有些很聰明的人并不識(shí)字。解：第一步，先定義謂詞， 設(shè)R(x)表示x是能閱讀的；K(y)表示y是識(shí)字的；W(z) 表示z是很聰明的；第二步，將已知事實(shí)和目標(biāo)用謂詞公式表示出來能閱讀的人是識(shí)字的：(x)(R(x)K(x)海豚不識(shí)字：(y)

13、(K (y)有些海豚是很聰明的：(z) W(z)有些很聰明的人并不識(shí)字：(x)( W(z)K(x) 第三步，將上述已知事實(shí)和目標(biāo)的否定化成子句集： R(x)K(x)K (y)W(z)W(z)K(x) 第四步，用歸結(jié)演繹推理進(jìn)行證明W(z)W(z)K(x)W(z)K(z)NIL3.20 對(duì)子句集： PQ, QR, RW, RP, WQ, QR 用線性輸入策略是否可證明該子句集的不可滿足性？ 解：用線性輸入策略不能證明子句集PQ, QR, RW, RP, WQ, QR 的不可滿足性。原因是按線性輸入策略，不存在從該子句集到空子句地歸結(jié)過程。3.21 對(duì)線性輸入策略和單文字子句策略分別給出一個(gè)反例，

14、以說明它們是不完備的。3.22 分別說明正向、逆向、雙向與/或形演繹推理的基本思想。3.23 設(shè)已知事實(shí)為 (PQ)R) (S(TU) F規(guī)則為 S(XY)Z試用正向演繹推理推出所有可能的子目標(biāo)。解：先給出已知事實(shí)的與/或樹，再利用F規(guī)則進(jìn)行推理，其規(guī)則演繹系統(tǒng)如下圖所示。由該圖可以直接寫出所有可能的目標(biāo)子句如下： PQPQPQYRTU RXZRYZ 所有子目標(biāo)UTZYXRQP所有目標(biāo)UTZYXRQPYXZXYSUTTUS所有目標(biāo)UTZYXRQP所有目標(biāo)YZUTXPRQYXXYF規(guī)則ZXYXYZSSUTQPTUQP已知事實(shí)已知事實(shí)TUSR(PQ)TURS(PQ) (S(TU)(PQ)R) (S

15、(TU)(PQ)R)(PQ)R) (S(TU)(PQ)R) (S(TU)3.24 設(shè)有如下一段知識(shí)：“張、王和李都屬于高山協(xié)會(huì)。該協(xié)會(huì)的每個(gè)成員不是滑雪運(yùn)動(dòng)員，就是登山運(yùn)動(dòng)員，其中不喜歡雨的運(yùn)動(dòng)員是登山運(yùn)動(dòng)員，不喜歡雪的運(yùn)動(dòng)員不是滑雪運(yùn)動(dòng)員。王不喜歡張所喜歡的一切東西，而喜歡張所不喜歡的一切東西。張喜歡雨和雪。”試用謂詞公式集合表示這段知識(shí)，這些謂詞公式要適合一個(gè)逆向的基于規(guī)則的演繹系統(tǒng)。試說明這樣一個(gè)系統(tǒng)怎樣才能回答問題：“高山俱樂部中有沒有一個(gè)成員，他是一個(gè)登山運(yùn)動(dòng)員，但不是一個(gè)滑雪運(yùn)動(dòng)員？”解：(1) 先定義謂詞A(x) 表示x是高山協(xié)會(huì)會(huì)員S(x) 表示x是滑雪運(yùn)動(dòng)員C(x) 表示x是

16、登山運(yùn)動(dòng)員L(x,y) 表示x 喜歡y (2) 將問題用謂詞表示出來“張、王和李都屬于高山協(xié)會(huì)A(Zhang)A(Wang)A(Li)高山協(xié)會(huì)的每個(gè)成員不是滑雪運(yùn)動(dòng)員，就是登山運(yùn)動(dòng)員(x)(A(x)S(x)C(x)高山協(xié)會(huì)中不喜歡雨的運(yùn)動(dòng)員是登山運(yùn)動(dòng)員(x)(L(x, Rain)C(x)高山協(xié)會(huì)中不喜歡雪的運(yùn)動(dòng)員不是滑雪運(yùn)動(dòng)員(x)(L(x, Snow) S(x)王不喜歡張所喜歡的一切東西(y)( L(Zhang, y) L(Wang ,y) 王喜歡張所不喜歡的一切東西(y)( L(Zhang, y)L(Wang, y)張喜歡雨和雪L(Zhang , Rain)L(Zhang , Snow)(

17、3) 將問題要求的答案用謂詞表示出來高山俱樂部中有沒有一個(gè)成員，他是一個(gè)登山運(yùn)動(dòng)員，但不是一個(gè)滑雪運(yùn)動(dòng)員？ (x)( A(x)C(x) S(x) (4) 為了進(jìn)行推理，把問題劃分為已知事實(shí)和規(guī)則兩大部分。假設(shè)，劃分如下：已知事實(shí)：A(Zhang)A(Wang)A(Li)L(Zhang , Rain)L(Zhang , Snow)規(guī)則：(x)(A(x)S(x)C(x)(x)(L(x, Rain)C(x)(x)(L(x, Snow) S(x)(y)( L(Zhang, y) L(Wang ,y)(y)( L(Zhang, y)L(Wang, y) (5) 把已知事實(shí)、規(guī)則和目標(biāo)化成推理所需要的形式事實(shí)已經(jīng)是文字的合取形式：f1: A(Zhang)A(Wang)A(Li)f2: L (Zhang , Rain)L(Zhang , Snow)將規(guī)則轉(zhuǎn)化為后件為單文字的形式：r1: A(x)S(x)C(x)r2: L(x, Rain)C(x)r3: L(x, Snow) S(x)r4: L(Zhang, y) L(Wang ,y)r5: L(Zhang, y)L(Wang ,