2022年七大積分總結(jié)

1、七大積分總結(jié) 一 定積分1. 定積分的定義： 設(shè)函數(shù) f(x) 在a,b上有界，在區(qū)間 a,b中任意插入n1 個(gè)分點(diǎn)： a=x0 x1x2 xi-1xixi+1 xn-1x n=b, 把區(qū)間 a,b分成 n 個(gè)小區(qū)間： x0,x1 xi-1,xi x n-1,xn，記 xi=xi xi-1(i=1,2,3, ,n)為第 i 個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度，在每個(gè)小區(qū)間上x(chóng)i-1,xi上任取一點(diǎn) i(xi-1i i) ，作乘積 : in1f(i)xif( i ) xi(i=1,2,3, ,n),并作合式：S記 =max x1, x2, x3 , xn,若不論對(duì) a,b怎樣分法， 也不論在小區(qū)間 xi-1,xi上

2、點(diǎn)i怎樣取法，只要當(dāng) 0 時(shí)，S的極限 I 總存在，這時(shí)我們稱(chēng) I 為函數(shù) f(x)在區(qū)間 a,b上定積分（簡(jiǎn)稱(chēng)積分），記做：bf(x)dxIlim 0in1f(i)xia其中 f(x) 稱(chēng)為被積函數(shù)， f(x)dx稱(chēng)為被積表達(dá)式， x 稱(chēng)為積分變量，a 稱(chēng)為積分下限， b 稱(chēng)為積分上限， a,b 稱(chēng)為積分區(qū)間，inf(i)xi稱(chēng)為積分和。0如果 f(x) 在a,b 上的定積分存在，則稱(chēng) 關(guān)于定積分的定義，作以下幾點(diǎn)說(shuō)明：f(x) 在a,b 上可積。（1）積分值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)， 而與積分變量的字母記法無(wú)關(guān)，即bf(x )dxbf(t)dtbf(u )du。aaa（2）定義中區(qū)間的分

3、法與 i 的取法是任意的。（3）定義中涉及的極限過(guò)程中要求 0，表示對(duì)區(qū)間 a,b 無(wú)限. 細(xì)分的過(guò)程，隨 0 必有 n，反之 n并不能保證 0，定積分的實(shí)質(zhì)是求某種特殊合式的極限：例：1f(x)dxlim nin1f(i)1（此特殊合式在計(jì)算中可以作為0nn公式使用）2. 定積分的存在定理定理一 若函數(shù) f(x) 在區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則 f(x) 在a,b 上可積。定理二 若函數(shù) f(x) 在區(qū)間 a,b 上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則 f(x) 在區(qū)間上可積。3. 定積分的幾何意義對(duì)于定義在區(qū)間 a,b 上連續(xù)函數(shù) f(x) ，當(dāng) f(x) 0 時(shí)，定積分ba f ( x ) dx 在

4、幾何上表示由曲線(xiàn) y=f(x),x=a,x=b 及 x 軸所圍成的曲邊梯形的面積；當(dāng) f(x) 小于 0 時(shí)，圍成的曲邊梯形位于 x 軸下方，定積b分 a f ( x ) dx 在幾何意義上表示曲邊梯形面積的負(fù)值。若 f(x) 在區(qū)間上既取得正值又取得負(fù)值時(shí)，定積分的幾何意義是：它是介于 x 軸，曲線(xiàn) y=f(x),x=a,x=b 之間的各部分曲邊梯形的代數(shù)和。4定積分的性質(zhì)線(xiàn)性性質(zhì)（性質(zhì)一、性質(zhì)二）性質(zhì)一bf(x )g(x)dxbf(x)dxbg(x)dx和差的積分等于積分的aaa和差；性質(zhì)二bkf(x)dxkbf(x)dx（k 是常數(shù)）2 aa性質(zhì)三對(duì)區(qū)間的可加性不管 a,b,c相對(duì)位置如

5、何，總有等式WORD 文檔交流. bf(x )dxcf(x)dxbf(x)dxaf(x )dx0aac性質(zhì)四如果在區(qū)間 a,b 上，f(x) 1，則bf(x)dxba性質(zhì)五（保號(hào)性）如果在區(qū)間 a,b 上，f(x) 0，則ba推論一設(shè) f(x) g(x),x a,b ，則bf(x )dxbg(x)dxaa推論二bf(x)dxbf(x)dx (aa，如果極限lim bbf(x )dxa存在，則此極限為函數(shù)f(x) 在無(wú)窮區(qū)間 a,+ 上的廣義積分，記做af(x )dx，這時(shí)也稱(chēng)廣義積分af(x)dx收斂，如果上述極限不存在，則稱(chēng)該廣義積分發(fā)散。同理也可得函數(shù) f(x) 在無(wú)窮區(qū)間 - ,b 上的

6、廣義積分。對(duì)于廣義積分： 只有在收斂的條件下才可使用上述“ 定積分中的對(duì)稱(chēng)奇偶性” 。幾條結(jié)論：（1）廣義積分a1dx，當(dāng) p1時(shí)收斂，當(dāng) p1 是發(fā)散。xp（2）廣義積分aepxdx當(dāng) p0 時(shí)收斂，當(dāng) pa ，如果極限lim t atbf(x ) dx存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x) 在(a,b 上的廣義積分，記做b af(x )dx，即bf(x)dx=lim t atbf(x )dx。aWORD 文檔交流7 . 這時(shí)也稱(chēng)廣義積分收斂，如果上述極限不存在，就稱(chēng)廣義積分發(fā)散。同理，可得 f(x) 在區(qū)間 a,b ）上的瑕積分 , 即bf(x)dx= lim t btf(x )dx-aa對(duì)于無(wú)界

7、函數(shù)的瑕積分（就是廣義積分）的計(jì)算，也可以利用牛頓萊布尼茨公式，如對(duì)于f(x) 在區(qū)間（ a,b 上的瑕積分有：bf(x)dx= lim t atbf(x )dx=F(b)-lim x aF(x)=F(x)-F(a+0) a小結(jié)論：廣義積分11dx當(dāng) p1 時(shí)收斂，當(dāng) p1 時(shí)發(fā)散。0 xp對(duì)于無(wú)界函數(shù)的廣義積分 （瑕積分） 的計(jì)算，一般瑕點(diǎn)都會(huì)設(shè)置在區(qū)間(a,b)(或a,b),(a,ba,b)的內(nèi)部一個(gè)點(diǎn)上。10. 定積分的應(yīng)用 一、定積分在幾何上的應(yīng)用：（一）平面圖形的面積 1. 直角坐標(biāo)情形 : 對(duì)于有曲線(xiàn) x=a,x=b,y=f(x),y=g(x)圍成的 X 型的曲邊梯形，其面積的計(jì)算

8、公式為： A=bf(x )g(x)dx（ab）a對(duì)于由曲線(xiàn) y=c,y=d,x=f(y),x=g(y)所圍成的 Y型的曲邊梯形的面積計(jì)算公式為：Adf(y)g(y)dy(cd)c2. 參數(shù)方程情形：當(dāng)曲邊梯形的曲邊 f(x)(f(x)0,x a,b) 由參數(shù)方程x= (t ,y= (t 給出時(shí)，若 ( ) a , ( ) b，且在 a,b 上 (t 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)， y= (t 連續(xù)，則由曲邊梯形的面積公式及定積分的換元公式可WORD 文檔交流 8 . 得曲邊梯形的面積為： A=bf(x )dx=(t)( t)dta4. 極坐標(biāo)情形：由曲線(xiàn)1(2)及射線(xiàn)，圍成的曲邊扇形的面積計(jì)算公式為( A=)

9、d2（二）立體的體積1. 旋轉(zhuǎn)體的體積對(duì)于由連續(xù)曲線(xiàn) y=f(x), 直線(xiàn) x=a,x=b 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算公式為：V= a b f ( x ) 2dx同理可得相似的繞 Y軸和 Z 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算公式。2. 平行截面面積已知的空間立體的體積若一個(gè)立體位于平面 x=a,x=b 之間，且知道過(guò) x 且垂直于 x 軸的平面截此物體的截面面積為A(x) ，且 A(x) 為了連續(xù)函數(shù)，則此立體的體積計(jì)算公式是： V=bA (x )dx，同理可得相似的過(guò)Y（Z）且垂直于 Ya（Z）軸的平面截得的立體的體積的計(jì)算公式。（三）平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng) 1. 參

10、數(shù)方程情形設(shè)曲線(xiàn)由參數(shù)方程x=(t ,y=(t 給出，且(t ，(t 在， 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為： S=2(t)2(t)dt2. 直角坐標(biāo)情形 設(shè)曲線(xiàn)由直角坐標(biāo)方程 y=f(x) （axb）給出，其中 f(x) 在a,b 上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則此時(shí)函數(shù)的參數(shù)方程可寫(xiě)成：x=x,y=f(x)，故WORD 文檔交流 9 . 其弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為： s=b1y2dxa3. 極坐標(biāo)情形設(shè)弧線(xiàn)由極坐標(biāo)方程()()給出，其中()在,上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其參數(shù)參數(shù)方程可以表示為x=()cos,y=()sin, 故弧長(zhǎng)為 s=2()2()d二、定積分在物理上的應(yīng)用b（一）變力沿直線(xiàn)所做的功

11、W= a F ( x ) dx（二）液體壓力 這個(gè)就題論題；（三）引力 這個(gè)在計(jì)算的時(shí)候適當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，將力分解為 X軸和 Y 州兩個(gè)方向上分別計(jì)算，就題論題；定積分到此結(jié)束，在計(jì)算的過(guò)程中要牢記常見(jiàn)的公式，特別是積分公式，這些都與不定積分有關(guān)，上邊總結(jié)的一些積分公式可能不全，見(jiàn)諒。WORD 文檔交流 10 . 二 二重積分 這里二重積分的引入 （闡釋了二重積分的幾何意義：表示曲頂柱體的 體積） 和定義及概念就不再總結(jié)，只聲明：當(dāng)被積函數(shù)為常數(shù) 1 的時(shí)候，二重積分的物理意義是被積函數(shù)所圍區(qū) 域的面積，當(dāng)被積函數(shù)是關(guān)于積分變量的一個(gè)函數(shù)時(shí)，二重積分的意 義有很多，這與二重積分的應(yīng)用有關(guān)。1

12、. 二重積分的性質(zhì) 性質(zhì)一 ( 線(xiàn)性性質(zhì) ) 和差的積分等于積分的和差；性質(zhì)二（區(qū)域可加性）若區(qū)域 D由 n 個(gè)不重合的有界閉區(qū)域nDi(i=1,2,3, ,n) 組成，則 f ( x , y ) d f ( x , y ) dD i 1 Di性質(zhì)四（單調(diào)性）若在區(qū)域 D上恒有 f(x,y)g(x,y), 則f ( x , y ) dg ( x , y ) d，特別的有 f ( x , y ) d f ( x , y ) dD D D D性質(zhì)五（估值定理）設(shè) M，m分別為 f(x,y) 在有界閉區(qū)域上 D上最大、最小值， A為區(qū)域 D的面積，則 mAf ( x , y ) dMA D性質(zhì)六（積

13、分中值定理）設(shè)函數(shù) f(x,y)在有界閉區(qū)域 D上連續(xù)，A為 D的面積，則在 D上至少存在一點(diǎn)(,，使f(x ,y )d=f(,)A D2. 二重積分的計(jì)算（基本思想：將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分）一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分（一） 先對(duì) Y，后對(duì) X的二次積分設(shè)二重積分f(x ,y )d的積分區(qū)域 D可以表示為Daxb,(x)1y2(x)的形式，其中1x，2x在a,b 上連續(xù)，11 WORD 文檔交流. 這時(shí)程區(qū)域 D為 X 型區(qū)域，這時(shí)二重積分的計(jì)算公式為Df(x ,y )d=bdx2( x）fx )(x ,y )dya1(（二） 先對(duì) X，后對(duì) Y的二次積分類(lèi)似上邊，若二重積分f(x ,

14、y) d的積分區(qū)域 D可以表示為Dcyd,1(y)2(y)的形式，則稱(chēng)區(qū)域 D為 Y 型區(qū)域，這時(shí)二重積分的計(jì)算公式為 : Df(x ,y)d=ddy2( y）fy )(x ,y)dxc1(二、 在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分若積分區(qū)域 D與圓域有關(guān)或者被積函數(shù)為f(x2y2)，f(y)，f(xy) 等x形式，用極坐標(biāo)計(jì)算更簡(jiǎn)便。極坐標(biāo)下的面積微元可以表示為x：drdrdrsin()直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)有如下變換：rcos,y, 而兩個(gè)坐標(biāo)系的積分區(qū)域的形狀不變，因此有Df(x ,y )d=Df( rcos,rsin) rdrd=dr 2)rdrr 1(常用的計(jì)算技巧：1. 適當(dāng)?shù)牟鸱直环e函數(shù)和積分區(qū)域

15、 2. 對(duì)稱(chēng)性質(zhì) 若區(qū)域 D關(guān)于 X軸對(duì)稱(chēng)：（主要是利用分塊積分和對(duì)稱(chēng)性）（1）若 f(x,y)是關(guān)于 Y的偶函數(shù)，則：Df(x ,y)d=2D1f(x,y)d（2）若 f(x,y)是關(guān)于 Y的奇函數(shù)，則f(x ,y)d=0；D3. 二重積分的一般換元法WORD 文檔交流 12 . 設(shè)變量變換uu (x,y),v(x,y)，將 Oxy平面上的閉區(qū)域 D一一對(duì)應(yīng)地變到 Ouv平面上的閉區(qū)域 D ，如果函數(shù) u,v 在閉區(qū)域 D內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f(u ,v),uu 0 則，xyvv(x ,y)f(x ,y )d=xy( u,v)dudv(x (u,vy ( u ,v )(x ,y)DD三、三重積

16、分 三重積分的幾何意義（涉及到四維空間，暫不討論）略去。在特殊情況下，當(dāng)被積函數(shù)恒等于 小。1 時(shí)，三重積分表示的為被積空間的體積大1三重積分的計(jì)算（一） 直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算方法一：投影法（又稱(chēng)先一后二法，先化三重積分為定積分，計(jì)算完定積分后就化為二重積分了）設(shè)三重積分 f ( x , y , z ) dxdydz 的積分區(qū)域 可表示為： ：z1(x,y) zz 2(x,y), (x,y)Dxy其中 Dxy 為 在 Oxy平面上的投影區(qū)域， 它是 Oxy平面上的有界閉區(qū)域， z 1(x,y) 和 z2(x,y) 都在 Oxy上連續(xù)，則計(jì)算三重積分時(shí)，先將 x,y 看做常數(shù)，然后可得：f

17、(x ,y,z )dxdydz=Dxyz 2(x,y)f(x ,y ,z )dzdxdy13 x,y)z 1(WORD 文檔交流. =D xydxdyz2(x, y )x , y ) f(x,y,z)dz先對(duì) Z 積分，轉(zhuǎn)化成關(guān)于X,Y 的一z 1(個(gè)二重積分（事實(shí)上還是化為關(guān)于X,Y,Z 的三次積分來(lái)計(jì)算了） ，然后在計(jì)算二重積分即可（下面不再敘述）。若區(qū)域 Dxy 可以再極坐標(biāo)系下表示， 那么可以將上述公式化為 先對(duì)Z，再對(duì) r ，后對(duì) 的三次積分。方法二：截面法（又稱(chēng)先二后一法，事實(shí)上是先化三重積分為二重積分，計(jì)算完二重積分后就化為一個(gè)定積分了）設(shè)空間區(qū)域 ：c1zc2,(x,y)Dz,

18、 其中 Dz是過(guò)點(diǎn)（ 0,0 ，z）且平行于 Oxy平面的平面截 所得的平面區(qū)域，則f(x ,y,z )dxdydz=c 2dzDzf(x ,y,x)dxdy，然后可根據(jù) Dzc 1是坐標(biāo)系下的 X型或 Y型區(qū)域化 X,Y 的二重積分為二次積分，然后轉(zhuǎn)化為 Z 的定積分。若 Dz 可以用極坐標(biāo)系表示， 則還可以化為關(guān)于先計(jì)算 r, 的二重積分（化為二次積分計(jì)算） ，再計(jì)算 Z 的定積分。（由于這里公式繁雜，故不再詳細(xì)書(shū)寫(xiě)，請(qǐng)諒解）3. 三重積分的換元法設(shè)變量變換 x x ( u , v , w ), y y ( u , v , w ), z z ( u , v , w ), ( u , v ,

19、 w ) 將 Ouvw空間中的閉區(qū)域 一一對(duì)應(yīng)地變換為 Oxyz 空間中的閉區(qū)域 ，若函數(shù) x,y,z 在 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且WORD 文檔交流 14 . J(x ,y,z )xxxuvwyyy 0，則三重積分的換元公式為(u ,v ,w )uvwf(x,y ,zzzuvwz )dxdydz =f(x(u ,v ,w ),y( u,v ,w ),z ( u ,v ,w )Jdudvdw4. 柱面坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算 柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換關(guān)系為：xrcos,yrsin,zz, 則易得（代入上邊的換元公式中可得）：J=r 0, 所以f(x,y ,z )dxdydz =f(rcos,rsin

20、,z )rdrddz，然后計(jì)算三重積分。注：當(dāng)被積函數(shù)含有zf(x2+y 2),zf(xy),z f(y)的形式，或者積分區(qū)域x由圓柱面（或一部分）錐面、拋物面所圍成時(shí)，用柱面坐標(biāo)系計(jì)算比 較簡(jiǎn)便。5. 球面坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算。直角坐標(biāo)和球面坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：xrsincos,yrsinsin,zrcos,15 則代入上邊的換元法的公式中可得J=r2sin 0 故f(x,y ,z )dxdydz =WORD 文檔交流. f(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd注：當(dāng)積分區(qū)域是與球面有關(guān)的區(qū)域時(shí)或者被積函數(shù)中含有x2y2z2等形式時(shí)，用球面坐標(biāo)系計(jì)算比較簡(jiǎn)便。三重

21、積分的對(duì)稱(chēng)奇偶性：若 關(guān)于 Oxy平面對(duì)稱(chēng)，則當(dāng) f 為關(guān)于 z 的奇函數(shù)時(shí)，f(x,y ,z )dxdydz =0；當(dāng) f 為關(guān)于 z 的偶函數(shù)時(shí)，f(x,y ,z )dxdydz =2f(x ,y ,z )dxdydz16. 重積分的應(yīng)用一 計(jì)算立體體積 V= dv二 計(jì)算空間曲面面積設(shè)：z=f(x,y) 為空間可求面積的曲面， 在 Oxy平面的投影區(qū)域?yàn)镈xy, 任取 Dxy 上的小區(qū)域 d ，則經(jīng)過(guò)證明可得（證明過(guò)程略去，自己看書(shū)）： dx=dS121zy2, 故zx2dS=1z2zyd=1zx2zy2dxdy, 故S=Dxy1z x2zy2dxdy，然后計(jì)算二重積分。三、 求質(zhì)心這里

22、只介紹公式，推導(dǎo)過(guò)程不再敘述，自個(gè)兒看書(shū)。設(shè)有一個(gè)有界閉區(qū)域 D，它的密度 ( x , y ) 在 D上連續(xù)，下面給出這一平面區(qū)域的質(zhì)心公式：（其中 Mx,My分別為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)對(duì) X，Y軸的靜距）。WORD 文檔交流 16 . xMyDx(x ,y)d，yMxDy(x ,y)dMD(x ,y)dM(x ,y)dD特別的，當(dāng)區(qū)域 D的面密度為常值時(shí)，其質(zhì)心坐標(biāo)計(jì)算公式為：xMyDxdDxd，yMxDydDydMDdS DdS DMD同理可得空間有界區(qū)域 的形心的坐標(biāo)公式：xx(x,y,z )dv，yy(x,y,z)dv，zz(x,y,z )dv(x ,y,z)dv(x,y,z )dv(x,y ,z

23、) dv特別的，當(dāng)空間區(qū)域所代表的例題均勻?yàn)闀r(shí)，其形心坐標(biāo)公式為：xxdvxdvyydvVydvzzdvzdvdvVdvdvV補(bǔ)充：1. 若積分區(qū)域關(guān)于直線(xiàn)y=x 對(duì)稱(chēng)，則根據(jù) 輪換對(duì)稱(chēng)性 可得：Df(x ,y)d=Df(y,x )d2. 在計(jì)算重積分的時(shí)候，適當(dāng)?shù)慕粨Q積分順序能幫助解題。3. 利用質(zhì)心、重心公式計(jì)算（形是均勻的 ）：當(dāng)且僅當(dāng)積分區(qū)域所代表的圖例如：DxdxDdx S D（此公式是由質(zhì)心公式變形得到17 WORD 文檔交流. 的，使用此公式的前提是已知積分區(qū)域的質(zhì)心坐標(biāo)）四、 計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（公式推導(dǎo)過(guò)程略去）設(shè)一個(gè)平面區(qū)域 D，面密度為(x,y)，下面給出其相對(duì)于X,Y,Z 軸

24、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算的公式：IxDd IxDy2(x,y)d，IyDd IyDx2(x ,y)d同理也可得到空間區(qū)域 所代表的例題相對(duì)于X,Y,Z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為：Ixd2x(x,y,z)dv(y2z2)(x ,y ,z )dvIyd2y(x,y,z)dv(x2z2)(x ,y ,z )dv(x2y2)(x ,y ,z )dvIzd2z(x,y,z)dv到 x,y,z軸的距離。其中 dx,d y,d z 分別為點(diǎn) (x,y,z)五、 計(jì)算引力（推導(dǎo)過(guò)程略去，自個(gè)兒看書(shū)）某薄片在平面 Oxy上所占區(qū)域?yàn)?D，面密度為 ( x , y )，下面給出它對(duì)點(diǎn)（x 0,y 0,z 0）處單位質(zhì)點(diǎn)（單位質(zhì)

25、量的質(zhì)點(diǎn)）的引力計(jì)算公式：（任取 D上的小區(qū)域 d，點(diǎn) M（x,y,z ）為 d 上任意一點(diǎn)）F xD G ( x , y )(r x3 x 0 ) d，F(xiàn) yD G ( x , y )(r y3 y 0 ) dF zD G ( x , y )(r z3 z 0 ) dWORD 文檔交流 18 . 四、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分（對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分）引入對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的時(shí)候首先探討了怎樣求曲線(xiàn)構(gòu)件的質(zhì)量（此過(guò)程不再敘述）。1. 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的定義 設(shè)函數(shù) f(x,y) 在 Oxy平面的光滑曲線(xiàn)弧 L 上有界，將 L 分成任意的 n 段， si 表示小狐段本身又表示它的長(zhǎng)度，點(diǎn) ( i , i ) 是

26、s i 上任取的 一點(diǎn)，令 =max si , 則定義第一類(lèi)曲線(xiàn)積分：Lf(x ,y)dslim 0inf(i,i)s i，同時(shí)可定義在空間中0的第一類(lèi)曲線(xiàn)積分：f(x ,y,z )dslim 0in0f(i,i,i)s i2. 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的性質(zhì)性質(zhì)一Lsl，其中 l 為弧長(zhǎng)。性質(zhì)二（線(xiàn)性性質(zhì)）對(duì)弧長(zhǎng)和差的積分等于積分的和差。性質(zhì)三（可加性）in將曲線(xiàn)弧分成 n 段補(bǔ)充和的小弧段，則)dsLf(x ,y)ds0Lif(x ,y)ds性質(zhì)四（單調(diào)性）Lg (若在曲線(xiàn)弧 L 上，f(x,y)g(x,y),則Lf(x,y)dsx,y)ds，特別Lf(x,y )dsLf(x ,y3. 對(duì)弧長(zhǎng)的曲

27、線(xiàn)積分的計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算思路就是將其化為定積分。（變量參數(shù)化，WORD 文檔交流 19 . 小值做下限 ）設(shè)函數(shù) f(x,y) 在光滑曲線(xiàn)弧 L 上連續(xù)， L 的參數(shù)方程為x= (t ,y= (t ，( t )，則對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分 L f ( x , y ) ds 存2 2在，且 L f ( x , y ) ds f ( ( t ), ( t ) ( t ) ( t ) dt（ ）特別的，當(dāng)曲線(xiàn)弧 L 的方程為 y= ( x )，(a xb) 時(shí)，可以將 xb 2看做參數(shù)，故 L f ( x , y ) dsa f ( x , ( x ) 1 ( x ) dx同理也可寫(xiě)出將Y看做參數(shù)

28、的計(jì)算公式。當(dāng)曲線(xiàn)弧 L 有極坐標(biāo)方程rr()()時(shí)，由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的)，將 看做參數(shù)，則變換關(guān)系xr()cos,yr()sin,(Lf(x,y)dsf(r()cos,r)sin)r2()r2()d以上公式都給可以推廣到空間曲線(xiàn)?。簒(t),y(t),z(t),(t)上，此時(shí)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分公式為：f(x,y,z )dsf(t),( t),( t)2(t)2(t)2(t)dt五、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分（對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分）引例：變力沿曲線(xiàn)做功（在此不再敘述）1. 第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的定義（直接引入定義，不再闡述，實(shí)際上闡述過(guò)程和前邊幾種積分很相似） 。向量函數(shù) P(x,y) 在有向曲線(xiàn)弧 L 上對(duì)坐標(biāo)

29、X的曲線(xiàn)積分，記做L P ( x , y ) dx，向量函數(shù) Q(x,y) 在有向曲線(xiàn)弧 L 上對(duì)坐標(biāo) Y的曲線(xiàn)積分，WORD 文檔交流 20 . 記做：L Q ( x , y ) dy。若力 F=（P(x,y),Q(x,y)）, 則質(zhì)點(diǎn)沿曲線(xiàn)弧從起點(diǎn) A到終點(diǎn) B 是變力 F 做功可表示為： W= L P ( x , y ) dx + L Q ( x , y ) dy，同理可推廣到空間中的光滑曲線(xiàn)弧，故W=LP (x ,y ,z )dxLQ(x ,y,z )dyLR (x,y ,z ) dz2. 對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的性質(zhì)性質(zhì)一（線(xiàn)性性質(zhì)）積分的和差）對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分具有線(xiàn)性 （和差的積分等于性

30、質(zhì)二（可加性）)對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分具有積分曲線(xiàn)分段可加性。，性質(zhì)三（有向性）設(shè) L 為有向光滑曲線(xiàn)弧，記L為 L 的反向曲線(xiàn)弧，則LP(x ,ydxQ(x ,y )dyLP (x ,y)dxQ (x ,y )dy同理此結(jié)論也可推廣到空間曲線(xiàn)弧的坐標(biāo)積分。3. 對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算（變量參數(shù)化，起參值做下限）與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算方法一樣，也是將其化為定積分。對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算方法設(shè)函數(shù) P(x,y),Q(x,y)t在有向光滑曲線(xiàn)弧L 上連續(xù)， L 的參數(shù)方程為x=(t ,y=(t ，(，或(t)，其中(t ，(t 具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，又有當(dāng) t 由 變到 時(shí)，L 上的電從起點(diǎn)變到終點(diǎn)，則

31、對(duì)坐 標(biāo)的曲線(xiàn)積分存在，且LP(x,y)dxQ(x ,y )dyP( t),(t)(t)Q (t),(t)(t)dt同理也可寫(xiě)出當(dāng) X 或 Y作參數(shù)時(shí)的公式，還可寫(xiě)出曲線(xiàn)弧在極坐標(biāo)系 下時(shí)的公式（這里就不再敘述了） ，且以上公式都可以推廣到空間曲 WORD 文檔交流 21 . 線(xiàn)弧中。注：在計(jì)算的時(shí)候， 一定要特別注意曲線(xiàn)弧的方向和積分參變量的上 下限。3. 兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的聯(lián)系設(shè) L：x=(t ,y=(t ，為從點(diǎn) A 到點(diǎn) B 的有向光滑曲線(xiàn)弧，其中點(diǎn)tA(t)dt處 t= 1, 點(diǎn) B 處 t= 2, 又 P(x,y),Q(x,y)在 L 上連續(xù)，令cos2(t(t) 2( t)，co

32、s2(t( t)2(t)LP(x,y)dxQ(x ,y)dy2P(t),( t)(t)Q( t),(1=2P ( t),( t)2( t 2( t)2(t)Q (t),( t)2(t)2(t)2 (t)dt1)(t)2(t)dsLP(x ,y)cosQ(x ,y)cos同理可得：=LP (x ,y,z )dxLQ (x ,y,z )dyLR (x,y,z )dzdsL(PcosQcosRcos)4. 格林公式及其應(yīng)用 格林公式的定義：若平面有界閉區(qū)域D由分段光滑的曲線(xiàn)L 圍成，函數(shù) P（x,y ）,Q(x,y)在 D上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有WORD 文檔交流 22 . LPdxQdyD(Q

33、P)dxdy。（證明略）xy5. 平面上對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件設(shè) D是單連通區(qū)域，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在 D內(nèi)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則下面四個(gè)命題 等價(jià)：（1）對(duì) D中任一分段光滑閉曲線(xiàn) C，有 C P dx Qdy 0；（2）對(duì) D中任一有向分段光滑曲線(xiàn) L，曲線(xiàn)積分 LP dx Qdy 與路徑無(wú)關(guān)，只與起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)；（3）Pdx+Qdy 在 D 內(nèi)是某一函數(shù)u(x,y)的全微分，即在D 內(nèi)du(x,y)=Pdx+Qdy; （4）在 D內(nèi)恒有PQ。（證明略）yx6. 第二類(lèi)曲線(xiàn)積分小結(jié)：（1）對(duì)封閉的第二類(lèi)線(xiàn)積分，應(yīng)首先考慮格林公式 ： 若 D中無(wú)奇點(diǎn) （P,Q 的騙到不存在的點(diǎn)），則：LP