“有限元法基礎(chǔ)及應(yīng)用”補(bǔ)充講義

1、有限元法基礎(chǔ)及應(yīng)用補(bǔ)充講義2010年2月“有限元法基礎(chǔ)及應(yīng)用”補(bǔ)充講義一、彈簧單元與彈簧系統(tǒng)1、彈簧單元分析1）單元描述彈費系統(tǒng)受力平衡時，從中隔離出一個典型彈贊單元進(jìn)行分析。fi圖彈費單元的端點設(shè)置為單元節(jié)點?；疚粗繛楣?jié)點位移：j單元節(jié)點力（單元在節(jié)點處受到的作用力）：已知彈贊的物理特性：F=k其中：R為彈贊剛度,=為彈贊伸長量，尸為彈贊力（拉伸為正）2）建立彈簧單元的單元剛度方程考慮彈簧單元在系統(tǒng)中變形平衡時的條件：力平衡條件和彈贊物理特性，得到下列方程：=_F=-kg-ut）=ku.t-ku（）fj=F=k（tij一u/）=一kUj+kuj寫成矩陣形式：(1-2)上式的矩陣符號形式為

2、:(1-3)f=kd方程（1-2）或（1-3）稱為彈簧單元的剛度方程，反映了單元的力學(xué)特性,即節(jié)點力節(jié)點位移之間的關(guān)系。式（1-3）中: “，稱為單元剛度矩陣們,稱為單元節(jié)點位移列陣f=E,l,稱為單元節(jié)點力列陣3）彈簧單元剛度方程的討論&k有何特點？對稱、奇異、主對角元素恒正。k中元素的物理意義是什么？剛度矩陣元素的大小等于彈費剛度。從對方程（1-2）分析的分析可以看出，矩陣中某列的各元素代表列序號對應(yīng)節(jié)點有單位位移，其它節(jié)點位移為零時，單元各節(jié)點上的節(jié)點力；某行的各元素分別是單元各節(jié)點的位移對行序號對應(yīng)節(jié)點的節(jié)點力貢獻(xiàn)系數(shù)。因此，矩陣中任意一個元素怠的物理意義是：/節(jié)點的位移對7節(jié)點的節(jié)點

3、力貢獻(xiàn)系數(shù)，或者丿節(jié)點有單位位移，其他節(jié)點位移為零時，i節(jié)點上的節(jié)點力。單元剛度方程可以求解嗎？為什么？不可以。單元剛度方程僅僅表征一個單元的力學(xué)特性，單元水平上無法確定單元節(jié)點位移。只有把系統(tǒng)中所有單元特性集成后，在系統(tǒng)水平上才可能求出所有未知位移和反力。單元水平上，若已知單元的節(jié)點位移，可由剛度方程求出所有單元節(jié)點力分量。若節(jié)點力已知，單元節(jié)點位移不能確定，單元可作剛體運動。這也是單元剛度矩陣奇異性的物理解釋。2、彈簧系統(tǒng)整體分析求解1）建立系統(tǒng)節(jié)點平衡方程x丘I23I仃.fl2.F2gF、3圖1-2(1-4)(1-5)以右圖的一個彈費系統(tǒng)為例，研究如何由單元特性集成系統(tǒng)特性并建立對系統(tǒng)進(jìn)

4、行求解的控制方程。單元1k一k、-k心.fcHf/.lL/VJ單元2k、k、r”2_k2k2.KJ由前面得到的彈贊單元的剛度方程公式（1-2）,分別寫出2個彈簧單元的特性方程如下：（注：右端節(jié)點力分量的下標(biāo)為單元節(jié)點的局部編號，上標(biāo)是單元編號）F面用兩種方法裝配單元特性、建立系統(tǒng)控制方程，并在特定條件下求解。（1）由系統(tǒng)中節(jié)點平衡條件導(dǎo)出：系統(tǒng)處于平衡時，考慮各節(jié)點（1,2,3節(jié)點）的平衡條件：由丁節(jié)點受到的外載荷F,FF,與節(jié)點受到與其連接的所有單元對其作用力（單元節(jié)點力的反作用力）之和等于零。因此有下列（節(jié)點）平衡方程（組）:(1-6)好=斤F2=f；+片F(xiàn)把單元特性（1-4）,（1-5）

5、代入（1-6）得到：(1-7)F=kH-&叫F2=-kLuL+（+k2）w2一k2u5F3=-k2u2+k2u3寫成矩陣形式：kk0#、“I片+k.“20-k2k2if.3丿(1-8) 或矩陣符號形式：(1-9)KD=F方程（1-8）,（1-9）是系統(tǒng)節(jié)點平衡方程，該方程建立了離散系統(tǒng)的外載荷與節(jié)點位移之間的關(guān)系，是求解節(jié)點位移的控制方程。方程（1-9）中：K彈簧系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣D系統(tǒng)節(jié)點位移列陣F系統(tǒng)節(jié)點載荷列陣討論：K有那些特點和性質(zhì)？上述方程能求解嗎？（2）由單元剛度方程疊加導(dǎo)出將單元1,2的剛度方程（1-4）,（1-5）擴(kuò)大到系統(tǒng)規(guī)模:&-人()rru一kk02=、f;(1-10)

6、000仏0000比00k2-k.ll.=fc(1-11)0Jk、L/r注意：1）對單元剛度方程擴(kuò)大規(guī)模并不改變其表達(dá)的力學(xué)關(guān)系。2）擴(kuò)大后的單元剛度方程采用穆體節(jié)點位移列陣。3）擴(kuò)大后的方程中矩陣元素按對應(yīng)的整體節(jié)點序號排列!將上述兩個方程疊加，得到:-kO_*、UA_|=Vfl(1-12)0_k2k、fl將系統(tǒng)中節(jié)點平衡條件（1-6）代入上式，就得到與（1-8）相同的系統(tǒng)節(jié)點平衡方程。上述兩種建立系統(tǒng)平衡方程的方法都考慮了1）單元特性集成；2）系統(tǒng)中節(jié)點外載荷與系統(tǒng)的節(jié)點力（系統(tǒng)節(jié)點內(nèi)力）的平衡。因此方程（1-8）的本質(zhì)是系統(tǒng)中所有節(jié)點的力平衡關(guān)系，其左邊是由節(jié)點位移表示的系統(tǒng)節(jié)點力，右邊是

7、節(jié)點所受外載荷。不難發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)總剛度矩陣可以直接由單元剛度矩陣擴(kuò)大后疊加而得到?？倓偠染仃囋氐暮x可以由方程（1-12）分析出。2）系統(tǒng)平衡方程求解假如邊界條件為：(1-13)坷=0則節(jié)點平衡方程（1-8）化為:_k001PI-k、k+k、JJ2=p_0*p(1-14)將該方程展開為網(wǎng)部分。第2,3個方程變化為:(1-15)第1個方程變化為：Fi二-kg先后解方程(1-15)、(1-16)得:hlJ2P仏1u32P/k,+P/k2(1-16)(1-17)(1-18)從而解出了系統(tǒng)的未知位移和未知反力，并可以進(jìn)一步求彈簧力。圖1-33、例題例1圖示一個3彈簧系統(tǒng)。k=100N/mm,=2Q0N

8、/mm,心=100N/mm,P=500N,ut=m4=0求：(a)系統(tǒng)總剛度矩陣(b)節(jié)點2,3的位移(c)節(jié)點1、4的反力解：(d)彈簧2中的力(a)分別寫出各單元剛度矩陣:100-100-100100_(N/nnn)_200-200-200200_(N/mm)100-100-1001()0(N/mm)參照方程(1-10)、(1-11)中單元剛度矩陣的擴(kuò)大，用疊加法直接得到系統(tǒng)總剛度矩陣:100-1(000-10010C+200-2(000200200卜100-10(0000100% # #該總剛度矩陣的特點：對稱性、奇異性、稀疏、非零元素沿主對角線呈帶狀分布。寫出系統(tǒng)節(jié)點平衡方程:100-

9、10000、F-100300-200000-200300-100:P_00-1001005(b)參考方程(1-8),利用求出的總剛度矩陣,考慮到位移邊界條件:w1=w4=O(1-19) # #則平衡方程組(1-19)第2,3方程化為:300-200300-200 # #求解上式得:P/250mm)3P/500 # #由(1-19)的方程1,4得1,4節(jié)點的反力：=一100處=-200(N)F4=100%=-300(N)彈簧2內(nèi)力為:F2=k=k2(叫-“J=200 x(3-2)=200(N)(拉力) 4、練習(xí)題對圖Id所示彈簧系統(tǒng)，用擴(kuò)大-疊加法求其總剛度矩陣。并根據(jù)節(jié)點平衡方程的物理意義，直

10、接寫出總剛度矩陣。圖1-4二、桿單元目標(biāo)：通過桿單元特性方程的建立，初步掌握有限元法單元分析的過程和原理。了解桿系結(jié)構(gòu)有限元分析的原理。1、等截面桿單元及其剛度矩陣1）單元描述L桿長A截面積E彈性模量單元上的力學(xué)量和基本關(guān)系如下:II=W（X）-$（%）（7=CT（X）應(yīng)變一移關(guān)系：srdx應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系：a=Ee、單元節(jié)點位移：d=桿單元沿軸向位移分布桿單元應(yīng)變分布桿單元應(yīng)力分布du(2-1)(2-2)單元節(jié)點力: 單元特性方程(剛度方程)(1)直接法導(dǎo)出桿單元特性采用材料力學(xué)基本知識對單元進(jìn)行力學(xué)分析。桿單元伸長量：A=lli(2-3)桿應(yīng)變：8=-L(2-4)桿應(yīng)力：7=Es=(2-5)

11、桿內(nèi)力：F=7-A=EA=卜=k&LL(2-6)FA桿的軸向剛度：1單元虛位移：加二N刃單元虛應(yīng)變：呢=$（齊）=B5ddx那么，單元節(jié)點力（外力）虛功為：刃丁f單元虛應(yīng)變能:jBTEBdVdvz丿=J5dTBTEBdf/V=刃丁TOC o 1-5 h zVV根據(jù)虛功原理，上述節(jié)點力（外力）虛功等于虛應(yīng)變能，因此有下列關(guān)系:（、5dTf=IJfjll單元剛度方程為：(2-21)廠、冷1Hkr(2-22)Ilj0上式代入(2-21)得到：(2-23)UjkJ上式表明，單元剛度矩陣第一列元素就是當(dāng)單元節(jié)點位移滿足式(2-22)時的單元節(jié)點力分量。如果能設(shè)法求出此時的節(jié)點力，就得到第一列的剛度元素。

12、一般地，單元剛度矩陣的第i列元素表示當(dāng)維持單元的第i個H由度位移為1,其它白由度位移為0時，單元上的節(jié)點力分量?？梢杂么烁拍詈屯茖?dǎo)過程直接求出桿單元的剛度矩陣元素。單元剛度矩陣性質(zhì)單元剛度矩陣對稱、奇異、主元恒正。2P3厶LA9E24,E圖2-2例題例1求圖2-2桿中的應(yīng)力。解：結(jié)構(gòu)劃分為2個桿單元。根據(jù)桿單元剛度矩陣公式(2-10)分別寫出兩個U2W3單元的剛度矩陣為:%處1EA1-1k.二厶一11 參照前面彈簧系統(tǒng)的分析方法，裝配系統(tǒng)的有限元方程（節(jié)點平衡方程）如下:EAL-20W1耳311(2V-11W32-20(2-24)考慮結(jié)構(gòu)的約束條件:Wj=0和載荷F2=P9方程（2-24）化為

13、:2-20_0-23-1w2=A=1.2mm解：單元、節(jié)點的定義如圖2-3。須檢查桿右端(節(jié)點3)與墻壁是否接觸。先計算右端的H由伸長: (2-28)(2-29)根據(jù)上式可以判斷：結(jié)構(gòu)受力平衡時，右端間隙將閉合，節(jié)點3與剛性墻璉接觸。參考前面的討論，氏接寫出系統(tǒng)有限元平衡方程:1-10卜；121=VP0-11A分離出第二個方程:(2-30)(2-31)解得:L41fPLJ*+A=1.5mm2EA全部位移解為:o*=V1.571.2J(mm)(2-32)L4L4根據(jù)上式位移解，從系統(tǒng)平衡方程（2-28）的第1,3個方程分別求出支反力如下:-1-5.0 x104NL4L4解畢。2、二維空間桿單元（

14、平面桁架單元）二維空間中建立桿單元剛度方程的基本思路是根據(jù)前面在桿的一維周部坐標(biāo)系下建立的單元剛度方程通過坐標(biāo)變換，轉(zhuǎn)換為二維總體坐標(biāo)系下的方程，同時得到坐標(biāo)變換后的單元剛度矩陣。而系統(tǒng)整體分析的原理和方法與一維情況相同。1）單元向量坐標(biāo)變換上圖為一個桿單元及其二維局部坐標(biāo)系與二維總體坐標(biāo)的關(guān)系?，F(xiàn)在將節(jié)點位移分量和單元節(jié)點力分量在二維局部坐標(biāo)系x-y下描述，則節(jié)點i形式上具有2個自由度： 位移分量為,V；.;節(jié)點力分量為亢，仁其中只有X方向的位移分量和節(jié)點力分量用來描述單元特性。i節(jié)點的位移和節(jié)點力向量在二維周部坐標(biāo)系與總體坐標(biāo)系下的變換如下:=uicos&+visin0=lm%vi=-wz

15、sin&+cos&=加l11a上式中/=cosO.rn=sin&-/m一m11丿上述變換的矩陣形式:(2-33)上式的矩陣符號形式:d；=Td,其中：(2-34)r/mT=-mI(2-35)上式中7稱為向量的坐標(biāo)變換矩陣。顯然7是正交矩陣，即:T1=Tt(2-36)因此，由(2-33)可得單元節(jié)點位移向量的坐標(biāo)變換式如下:*1m00、匕_加100二001m100一】nl_(2-37) # #(2-38)上式的矩陣符號形式為：d=Td其中：-z(2-39)TT01=0T同理也可得到單元節(jié)點力向量的坐標(biāo)變換式: r=Tf(2-40) # #二維空間剛度矩陣根據(jù)上述討論的單元向量坐標(biāo)變換，可導(dǎo)出二維

16、空間桿單元的單元剛度方程和單元剛度矩陣。已知桿單元在一維局部坐標(biāo)系下的剛度方程為: # #L-1EA1f-(2-41) # #10-10_EA00009匕L-1010AV0000kJ(2-42)(2-43)(2-44)(2-45)(2-46)(2-47)把該方程擴(kuò)充到二維局部坐標(biāo)系x-y下的4階形式:符號形式：kd二f引入單元向量變換式(2-38),(2-40)得:kTd二Tf考慮到變換矩陣T的正交性，得到：TTkTd=f或?qū)懗桑簁d=f其中：k二TTkT式(2-46)就是二維總體坐標(biāo)系下桿單元剛度方程，k是二維空間桿單元剛度矩陣，由(2-47)可計算出： # /2匕ImUJ-I2vj-ImE

17、AImnr-Im-nrT-I2-ImI2Im-Im-nrIm9nr(2-48) # #單元應(yīng)力計算由單元應(yīng)力計算公式(2-16)和位移向量變換式(2-37)得: Il厶厶0001VJ即:V.4）例題平面桁架由2根相同的桿組成（E,A,L）o求:（1）節(jié)點2位移（2）每根桿應(yīng)力解：先求出每個單元在總體坐標(biāo)下的剛度矩陣:單元1,(i，j)=(1,2):20=45,I=m=P】*110o/*10-1o*110oea4i41-11000000-1100220011-1010001100-11000000-1111-1-1EA2L(2-50) # #單元2,-(2,3): #0 k,=Tjk；T,-1100/10-10-1I00EA近忑-1-1000000-1-I00厶2200-I1-101000-1I_0o_1_L_0000_00-1V2W3V3EA1-I-11(2-51)_1I1-I2L-1I1-I