[科普]經(jīng)典力學(xué)中的變分法(物理吧版)

1、科普】經(jīng)典力學(xué)中的變分法(物理吧版)經(jīng)典力學(xué)中的變分法，這個(gè)標(biāo)題對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)可能足夠嚇人，但是其內(nèi)涵是很清楚的，而且并不難理解。我們都知道，一個(gè)粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，原則上可以選取無(wú)窮多種路徑，但事實(shí)上宏觀粒子只會(huì)選擇一個(gè)路徑來(lái)走，這一點(diǎn)與量子力學(xué)的費(fèi)曼路徑積分不同(路徑積分是說(shuō)，粒子實(shí)際走過(guò)所有路徑，但是在走向宏觀的路上，依靠相位差來(lái)消去相位差較大的路徑，從而得到宏觀的那一條路徑)。如果你將宏觀的真實(shí)路徑稍微變一下，譬如說(shuō)，真實(shí)路徑的坐標(biāo)是x,你將它變一下，增加一個(gè)量：x+6x就叫做對(duì)坐標(biāo)x的變分。其實(shí)就是將路徑的曲線稍微“撥弄”了一下。變分算符6和微分算符d的運(yùn)算法則完全一樣，現(xiàn)在我們來(lái)

2、討論一下，在計(jì)算中，6與求導(dǎo)符號(hào)d/dt到底是否可以互換：6(dx/dt)=(6(dx)dt-dx6(dt)/dtA2=6(dx)/dt-dx6(dt)/dt人2=d(6x)/dt-dxd(6t)/dtA2如果6與d/dt可以互換，就必須有：6(dx/dt)=d(6x)/dt但是我們看到，6(dx/dt)等于d(6x)/dt還要再減去一項(xiàng)dxd(6t)/dt人2,這就是說(shuō)，一般情況下，6與d/dt不滿足互換的條件！那么怎樣才能滿足它呢？我們只需要多余的一項(xiàng)等于0：dxd(6t)/dtA2=0那么也就只能有：6t=0因?yàn)槲覀儾豢赡芤骴x或dt總是等于0,所以只要選擇6t=0o這就是說(shuō)，一旦確定

3、了運(yùn)動(dòng)起點(diǎn)的時(shí)間，運(yùn)動(dòng)終點(diǎn)的時(shí)間也就確定了，所以在這里，時(shí)間t根本沒有變分的余地！每走過(guò)一條路徑(不論是真是假)所花費(fèi)的時(shí)間都是相同的！這叫做“等時(shí)變分”。通過(guò)一般的物理系理論力學(xué)教程我們知道，引入拉格朗日函數(shù)L=T-V,并利用等時(shí)變分：6jLdt=0哈密頓原理我們可以得到拉格朗日方程：d/dt(dL/(dq)-dL/dq=0這是與牛頓方程等價(jià)的方程。我們所討論的是等時(shí)變分，對(duì)于不等時(shí)變分，它也不是沒有用處。譬如，莫培督最小作用量原理與哈密頓原理就不同，莫培督原理是“等能量變分”。莫培督構(gòu)造作用量：S=j2Tdt其實(shí)，它也是：S=J（T+V）+（T-V）dt=f（機(jī)械能）+Ldt取變分：6S=

4、6f（機(jī)械能）+Ldt=J（機(jī)械能）dt+JLdt=0由于是等能量變分，每條軌道的機(jī)械能都相等，所以6（機(jī)械能）=0，我們有：6S=6fLdt=0雖然形式類似，但這還不是哈密頓原理。我們還需要加上“等時(shí)變分”條件，即6t=0的條件，才能由此再推出拉格朗日方程。莫培督原理的用處并不僅在于退化為哈密頓原理，它可以推導(dǎo)出光學(xué)的費(fèi)馬定理：光沿著光程最小的路徑傳播。為此，我們將S=j2Tdt改寫成：S=Jmvds=Jpds（V2Tdt=mvA2dt=mvds,p是動(dòng)量）由此我們實(shí)現(xiàn)了作用量的幾何化。由于量子力學(xué)中的波粒二象性：p=h/幾我們有：S=Jpds=Jhds/幾=h/Z0f（Z0/Z）ds其中幾0為在真空中的波長(zhǎng)，幾為在介質(zhì)中的波長(zhǎng)，由于光波的頻率v確定，所以：S=h/Z0f（c/u）ds（c是光在真空中的速度，u是