實驗誤差的原因與處理方法

1、第2章誤差的基本性質(zhì)與處理 1本章分別詳細闡述隨機誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類誤差的來源、性質(zhì)、數(shù)據(jù)處理的方法以及消除或減小的措施。特別是在隨機誤差的數(shù)據(jù)處理中，分別掌握等精度測量和不等精度測量的不同數(shù)據(jù)處理方法。通過學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，使讀者能夠根據(jù)不同性質(zhì)的誤差選取正確的數(shù)據(jù)處理方法并進行合理的數(shù)據(jù)處理。課程內(nèi)容2三大類誤差的特征、性質(zhì)以及減小各類誤差對測量精度影響的措施掌握等精度測量的數(shù)據(jù)處理方法掌握不等精度測量的數(shù)據(jù)處理方法重點與難點3 當(dāng)對同一測量值進行多次等精度的重復(fù)測量時，得到一系列不同的測量值（常稱為測量列），每個測量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，即前一個數(shù)據(jù)出現(xiàn)后，不

2、能預(yù)測下一個數(shù)據(jù)的大小和方向。但就誤差整體而言，卻明顯具有某種統(tǒng)計規(guī)律。 隨機誤差是由很多暫時未能掌握或不便掌握的微小因素構(gòu)成，主要有以下幾方面： 測量裝置方面的因素 環(huán)境方面的因素 人為方面的因素零部件變形及其不穩(wěn)定性，信號處理電路的隨機噪聲等。溫度、濕度、氣壓的變化，光照強度、電磁場變化等。瞄準(zhǔn)、讀數(shù)不穩(wěn)定，人為操作不當(dāng)?shù)?。第一?jié)隨機誤差一、隨機誤差產(chǎn)生的原因4 隨機誤差的分布可以是正態(tài)分布，也有在非正態(tài)分布，而多數(shù)隨機誤差都服從正態(tài)分布。我們首先來分析服從正態(tài)分布的隨機誤差的特性。設(shè)被測量值的真值為，一系列測得值為，則測量列的隨機誤差可表示為：(2-1) 式中。 正態(tài)分布的分布密度與分布

3、函數(shù)為(2-2) (2-3) 式中：標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差） e自然對數(shù)的底，基值為2.7182。 它的數(shù)學(xué)期望為 (2-4) 它的方差為： (2-5)第一節(jié)隨機誤差二、正態(tài)分布5其平均誤差為： (2-6)此外由可解得或然誤差為 ： (2-7)由式（2-2）可以推導(dǎo)出： 有 , 可推知分布具有對稱性，即絕對值相等的正誤差與負誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，這稱為誤差的對稱性； 當(dāng)=0時有 ，即 ，可推知單峰性，即絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這稱為誤差的單峰性； 雖然函數(shù)的存在區(qū)間是-,+，但實際上，隨機誤差只是出現(xiàn)在一個有限的區(qū)間內(nèi)，即-k,+k,稱為誤差的有界性； 隨著測量次數(shù)的增加，隨機

4、誤差的算術(shù)平均值趨向于零： 這稱為誤差的補償性。 返回本章目錄從正態(tài)分布的隨機誤差都具有的四個特征：對稱性、單峰性、有界性、抵償性。由于多數(shù)隨機誤差都服從正態(tài)分布，因此正態(tài)分布在誤差理論中占有十分重要的地位。第一節(jié)隨機誤差6 圖2-1為正態(tài)分布曲線以及各精度參數(shù)在圖中的坐標(biāo)。值為曲線上拐點A的橫坐標(biāo)，值為曲線右半部面積重心B的橫坐標(biāo)，值的縱坐標(biāo)線則平分曲線右半部面積。 第一節(jié)隨機誤差7 對某量進行一系列等精度測量時，由于存在隨機誤差，因此其獲得的測量值不完全相同，此時應(yīng)以算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果。 (一)算術(shù)平均值的意義 設(shè) 為n次測量所得的值，則算術(shù)平均值為: (2-8) 第一節(jié)隨機誤差

5、三、算術(shù)平均值8下面來證明當(dāng)測量次數(shù)無限增加時，算術(shù)平均值必然趨近于真值Lo。 即 由前面正態(tài)分布隨機誤差的第四特征可知 ，因此 由此我們可得出結(jié)論：如果能夠?qū)δ骋涣窟M行無限多次測量，就可得到不受隨機誤差影響的測量值，或其影響很小，可以忽略。這就是當(dāng)測量次數(shù)無限增大時，算術(shù)平均值（數(shù)學(xué)上稱之為最大或然值）被認為是最接近于真值的理論依據(jù)。但由于實際上都是有限次測量，因此，我們只能把算術(shù)平均值近似地作為被測量的真值。 第一節(jié)隨機誤差9 一般情況下，被測量的真值為未知，不可能按式（2-1）求得隨機誤差，這時可用算術(shù)平均值代替被測量的真值進行計算。此時的隨機誤差稱為殘余誤差，簡稱殘差：(2-9) 此時

6、可用更簡便算法來求算術(shù)平均值。任選一個接近所有測得值的數(shù) 作為參考值，計算每個測得值 與 的差值：(2-10) 式中的 為簡單數(shù)值，很容易計算，因此按（2-10）求算術(shù)平均值比較簡單。 若測量次數(shù)有限，由參數(shù)估計知，算術(shù)平均值是該測量總體期望的一個最佳的估計量 ，即滿足無偏性、有效性、一致性，并滿足最小二乘法原理；在正態(tài)分布條件下滿足最大似然原理。第一節(jié)隨機誤差10例 2-1 測量某物理量10次，得到結(jié)果見表2-1，求算術(shù)平均值。 解：任選參考值 =1879.65， 計算差值 和 列于表 很容易求得算術(shù)平均值 1879.64 。（二）算術(shù)平均值的計算校核算術(shù)平均值及其殘余誤差的計算是否正確，可

7、用求得的殘余誤差代數(shù)和來校核。 由 ，式中的是根據(jù)（2-8）計算的，當(dāng)求得的為未經(jīng)湊整的準(zhǔn)確數(shù)時，則有： (2-11)殘余誤差代數(shù)和為零這一性質(zhì)，可用來校核算術(shù)平均值及其殘余誤差計算的正確性。但當(dāng)實際得到的為經(jīng)過湊整的非準(zhǔn)確數(shù)，存在 序號123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.01第一節(jié)隨機誤差11舍入誤差，即有： 成立

8、。而經(jīng)過分析證明，用殘余誤差代數(shù)和校核算術(shù)平均值及其殘差，其規(guī)則為： 殘差代數(shù)和應(yīng)符合：當(dāng)，求得的為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時，為零；當(dāng)，求得的為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時，為正，其大小為求時的余數(shù)；當(dāng)，求得的為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時，為負，其大小為求時的虧數(shù)。 殘差代數(shù)和絕對值應(yīng)符合：當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)n為奇數(shù)時，。式中的A為實際求得的算術(shù)平均值末位數(shù)的一個單位。 以上兩種校核規(guī)則，可根據(jù)實際運算情況選擇一種進行校核，但大多數(shù)情況選用第二種規(guī)則可能較方便，它不需要知道所有測得值之和。 第一節(jié)隨機誤差12 例2-2 用例2-1數(shù)據(jù)對計算結(jié)果進行校核。 解：因n為偶數(shù)， A0.01，由表2-1知 故計算結(jié)果正確。 例2-

9、3 測量某直徑11次，得到結(jié)果如表2-2所示，求算術(shù)平均值并進行校核。 解：算術(shù)平均值為： 取2000.067 序號 (mm) (mm)12345678910112000.072000.052000.092000.062000.082000.072000.062000.052000.082000.062000.07+0.003-0.017+0.023-0.007+0.013+0.003-0.007-0.017+0.013-0.007+0.003第一節(jié)隨機誤差13用第一種規(guī)則校核，則有：用第二種規(guī)則校核，則有：故用兩種規(guī)則校核皆說明計算結(jié)果正確。第一節(jié)隨機誤差14（一）均方根誤差（標(biāo)準(zhǔn)偏差） 為

10、什么用來作為評定隨機誤差的尺度？可以從高斯（正態(tài)）分布的分布密度 推知： 令 ，則有： 高斯參數(shù)h為精密度。由于h值無法以實驗中得到，故以值代之。 第一節(jié)隨機誤差四、測量的標(biāo)準(zhǔn)差15 由于值反映了測量值或隨機誤差的散布程度，因此值可作為隨機誤差的評定尺度。值愈大，函數(shù) 減小得越慢；值愈小， 減小得愈快，即測量到的精密度愈高，如圖2-2所示。 標(biāo)準(zhǔn)差不是測量到中任何一個具體測量值的隨機誤差，的大小只說明，在一定條件下等精度測量列隨機誤差的概率分布情況。在該條件下，任一單次測得值的隨機誤差，一般都不等于，但卻認為這一系列測量列中所有測得值都屬于同樣一個標(biāo)準(zhǔn)差的概率分布。在不同條件下，對同一被測量進

11、行兩個系列的等精度測量，其標(biāo)準(zhǔn)差也不相同。 第一節(jié)隨機誤差16（二）或然誤差 測量列的或然誤差，它將整個測量列的n個隨機誤差分為個數(shù)相等的兩半。其中一半（n/2個）隨機誤差的數(shù)值落在- +范圍內(nèi)，而另一半隨機誤差的數(shù)值落在- +范圍以外： ，查 表，得到 時，z=0.6745，故有 其實際意義是：若有n個隨機誤差，則有n/2個落在區(qū)間-,+之內(nèi)，而另外n/2個隨機誤差則落在此區(qū)間之外。（三）算術(shù)平均誤差 測量列算術(shù)平均誤差的定義是：該測量列全部隨機誤差絕對值的算術(shù)平均值，用下式表示： 由概率積分可以得到與的關(guān)系： 目前世界各國大多趨于采用作為評定隨機誤差的尺度。這是因為： 的平方恰好是隨機變量

12、的數(shù)字特征之一（方差），本身又第一節(jié)隨機誤差17恰好是高斯誤差方程 式中的一個參數(shù)，即 ，所以采用，正好符合概率論原理，又與最小二乘法最切合； 對大的隨機誤差很敏感，能更準(zhǔn)確地說明測量列的精度； 極限誤差與標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系簡單： ； 公式推導(dǎo)和計算比較簡單。五、標(biāo)準(zhǔn)偏差的幾種計算方法 （一）等精度測量到單次測量標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算1、貝塞爾(Bessel)公式 (2-13) 式中， 稱為算術(shù)平均值誤差將它和 代入上式，則有(2-14) 第一節(jié)隨機誤差18將上式對應(yīng)相加得 ： ，即(2-15)若將式(2-14)平方后再相加得：(2-16)將式(2-15)平方有：當(dāng)n適當(dāng)大時，可以認為 趨近于零，并將代入

13、式(2-16)得：(2-17) 由于 ，代入式(2-17)得 ： ，即(2-18)第一節(jié)隨機誤差192、別捷爾斯法 由貝賽爾公式得： 進一步得： 則平均誤差有： 由式2-6得：故有： (2-26) 此式稱為別捷爾斯（Peters）公式，它可由殘余誤差 的絕對值之和求出單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差 ，而算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 為：(2-27)第一節(jié)隨機誤差20 例2-4 用別捷爾斯法求得表2-3的標(biāo)準(zhǔn)差。 解：計算得到的值分別填于表中，因此有3、極差法 用貝賽爾公式和別捷爾斯公式計算標(biāo)準(zhǔn)差均需先求算術(shù)平均值，再求殘余誤差，然后進行其他運算，計算過程比較復(fù)雜。當(dāng)要求簡便迅速 序號1234567891075.017

14、5.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.080.0350.0050.0250.0450.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225第一節(jié)隨機誤差21算出標(biāo)準(zhǔn)差時，可用極差法。 若等精度多次測量測得值 服從正態(tài)分布，在其中選取最大值 與最小值 ，則兩者之差稱為極差：(2-28) 根據(jù)極差的分布函數(shù)，可求出極差的數(shù)學(xué)期望為(2-29) 因 故可得 的無偏估計值，若仍以 表示

15、，則有(2-30) 式中 的數(shù)值見表2-4。n2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 201.13 1.69 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 3.08 3.17 3.26 3.34 3.41 3.47 3.53 3.59 3.64 3.69 3.74第一節(jié)隨機誤差22 例2-5 仍用表2-3的測量數(shù)據(jù)，用極差法求得標(biāo)準(zhǔn)差。 解：4、最大誤差法 在某些情況下，我們可以知道被測量的真值或滿足規(guī)定精度的用來代替真值使用的量值（稱為實際值或約定值），因而能夠算出隨機誤差 ，取其中絕對值最大的一個值 ，當(dāng)各個獨立測量值服從正

16、態(tài)分布時，則可求得關(guān)系式：(2-31) 一般情況下，被測量的真值為未知，不能按（2-31）式求標(biāo)準(zhǔn)差，應(yīng)按最大殘余誤差 進行計算，其關(guān)系式為：(2-32) 式（2-31）和（2-32）中兩系數(shù) 、 的倒數(shù)見表2-5。第一節(jié)隨機誤差23 最大誤差法簡單、迅速、方便，且容易掌握，因而有廣泛用途。當(dāng) 時，最大誤差法具有一定精度。 例2-6 仍用表2-3的測量數(shù)據(jù)，按最大誤差法求標(biāo)準(zhǔn)差，則有，而 故標(biāo)準(zhǔn)差為n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151.25 0.88 0.75 0.68 0.64 0.61 0.58 0.56 0.55 0.53 0.52 0.51 0.5

17、0 0.50 0.49n16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300.48 0.48 0.47 0.47 0.46 0.46 0.45 0.45 0.45 0.44 0.44 0.44 0.44 0.43 0.43n2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 301.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48 0.46 0.44第一節(jié)隨機誤差24 例2-7 某激光管發(fā)出的激光波長經(jīng)檢定為 ，由于某些原因未對次檢定波長作誤差分析，但后來又用更精確的方法測得激光波長 ，試求原檢定

18、波長的標(biāo)準(zhǔn)差。 解：因后測得的波長是用更精確的方法，故可認為其測得值為實際波長(或約定真值)，則原檢定波長的隨機誤差 為： 故標(biāo)準(zhǔn)差為： 5、四種計算方法的優(yōu)缺點 貝塞爾公式的計算精度較高，但計算麻煩，需要乘方和開方等，其計算速度難于滿足快速自動化測量的需要； 別捷爾斯公式最早用于前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科夫天文臺，它的計算速度較快，但計算精度較低，計算誤差為貝氏公式的1.07倍； 用極差法計算，非常迅速方便，可用來作為校對公式，當(dāng)n10時可第一節(jié)隨機誤差25 用來計算，此時計算精度高于貝氏公式； 用最大誤差法計算更為簡捷，容易掌握，當(dāng)n10以后， 的減小很 慢。此外，由于增加測量次數(shù)難以 保

19、證測量條件的恒定，從而引入新的 誤差，因此一般情況下取n=10以內(nèi)較為適宜?？傊?，提高測量精度，應(yīng)采取適當(dāng)精度的儀器，選取適當(dāng)?shù)臏y量次數(shù)。 第一節(jié)隨機誤差27 評定算術(shù)平均值的精度標(biāo)準(zhǔn)，也可用或然誤差R或平均誤差T，相應(yīng)公式為： (2-22)(2-23) 若用殘余誤差表示上述公式，則有：(2-24)(2-25) 例2-8 用游標(biāo)卡尺對某一尺寸測量10次，假定已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)如下(單位為mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08 。求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。 解：本例題中的測量數(shù)據(jù)與表2-3中的測量數(shù)據(jù)一樣，

20、表中的算術(shù)平均值為 。因為 ， 第一節(jié)隨機誤差28 與表中的 結(jié)果一致，故計算正確。 根據(jù)上述各個誤差計算公式可得：六、測量的極限誤差 測量的極限誤差是極端誤差，測量結(jié)果（單次測量或測量列的算術(shù)平均值）的誤差不超過該極端誤差的概率為p，并使差值（1-p）可予忽略。（一）單次測量的極限誤差 測量列的測量次數(shù)足夠多和單次測量誤差為正態(tài)分布時，根據(jù)概第一節(jié)隨機誤差29 率論知識，正態(tài)分布曲線和橫坐標(biāo)軸間所包含的面積等于其相應(yīng)區(qū)間確定的概率，即： 當(dāng)研究誤差落在區(qū)間（-,+）之間的概率時，則得： (2-33) 將上式進行變量置換，設(shè) 經(jīng)變換，上式成為：(2-34) 這樣我們就可以求出積分值p，為了應(yīng)用

21、方便，其積分值一般列成表格形式，稱為概率函數(shù)積分值表。當(dāng)t給定時，(t)值可由該表查出?，F(xiàn)已查出t=1,2,3,4等幾個特殊值的積分值，并求出隨機誤差不超出相應(yīng)區(qū)間的概率p=2(t)和超出相應(yīng)區(qū)間的概率p=1-2(t)，如表2-6所示（圖24）。 由表可以看出，隨著t的增大，超出|的概率減小得很快。 當(dāng)?shù)谝还?jié)隨機誤差30 t=2，即|=2時，在22次測量中只有1次 的誤差絕對值超出2范圍；而當(dāng)t=3，即 |=3時，在370次測量中只有1次誤差絕 對值超出3范圍。由于在一般測量中，測 量次數(shù)很少超過幾十次，因此可以認為絕對 值大于3的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把 這個誤差稱為單次測量的極限誤差 ，

22、即 (2-35) 當(dāng)t3時，對應(yīng)的概率p99.73。 在實際測量中，有時也可取其它t值來表示單次測量的極限誤差。如第一節(jié)隨機誤差t不超出 的概率超出 的概率測量次數(shù)n超出 的測量次數(shù)0.6712340.6712340.49720.68260.95440.99730.99990.50280.31740.04560.00270.00012322370156261111131 取t2.58，p99； t2，p95.44； t1.96，p95等。 因此一般情況下，測量列單次測量的極限誤差可用下式表示：(2-36) 若已知測量的標(biāo)準(zhǔn)差，選定置信系數(shù)t，則可由上式求得單次測量的極限誤差。 （二）算術(shù)平均值

23、的極限誤差 測量列的算術(shù)平均值與被測量的真值之差稱為算術(shù)平均值誤差 ，即 。當(dāng)多個測量列的算術(shù)平均值誤差 為正態(tài)分布時，根據(jù)概率論知識，同樣可得測量列算術(shù)平均值的極限表達式為： (2-37) 式中的t為置信系數(shù)， 為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。通常取t3，則 (2-38) 實際測量中有時也可取其它t值來表示算術(shù)平均值的極限誤差。但當(dāng)測量列的測量次數(shù)較少時，應(yīng)按“學(xué)生氏”分布(“student” distribution)或稱t分布來計算測量列算術(shù)平均值的極限誤差，即 (2-39)第一節(jié)隨機誤差32 式中的 為置信系數(shù)，它由給定的置信概率 和自由度 來確定，具體數(shù)值見附錄3； 為超出極限誤差的概率（稱顯

24、著度或顯著水平），通常取 =0.01或0.02,0.05；n為測量次數(shù)； 為n次測量的算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差。 對于同一測量列，按正態(tài)分布和t分布分別計算時，即使置信概率的取值相同，但由于置信系數(shù)不同，因此求得的算術(shù)平均值極限誤差也不同。 例2-9 對某量進行6次測量，測得數(shù)據(jù)如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46。求算術(shù)平均值及其極限誤差。 解：算術(shù)平均值 標(biāo)準(zhǔn)差 因測量次數(shù)較少，應(yīng)按t分布計算算術(shù)平均值的極限誤差。 已知 ，取 ，則由附錄表3查得 ，則有： 第一節(jié)隨機誤差33 若按正態(tài)分布計算，取 ，相應(yīng)的置信概率 ，由附錄表1查得t2.60，則

25、算術(shù)平均值的極限誤差為： 由此可見，當(dāng)測量次數(shù)較少時，按兩種分布計算的結(jié)果有明顯的差別。七、不等精度測量 在實際測量過程中，由于客觀條件的限制，測量條件是變動的，得到了不等精度測量。 對于精密科學(xué)實驗而言，為了得到極其準(zhǔn)確的測量結(jié)果，需要在不同的實驗室，用不同的測量方法和測量儀器，由不同的人進行測量。如果這些測量結(jié)果是相互一致的。那么測量結(jié)果就是真正可以信賴的。這是人為地改變測量條件而進行的不等精度測量。 對于某一個未知量，歷史上或近年來有許多人進行精心研究和精密測量，得到了不同的測量結(jié)果。我們就需要將這些測量結(jié)果進行分析研究和綜合，以便得到一個最為滿意的準(zhǔn)確的測量結(jié)果。這也是不等精度測量。

26、對于不等精度測量，計算最后測量結(jié)果及其精度（如標(biāo)準(zhǔn)差），不 第一節(jié)隨機誤差34 能套用前面等精度測量的計算公式，需推導(dǎo)出新的計算公式。（一）權(quán)的概念 在等精度測量中，各個測量值認為同樣可靠，并取所有測得值的算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果。在不等精度測量中，各個測量結(jié)果的可靠程度不一樣，因而不能簡單地取各測量結(jié)果地算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果，應(yīng)讓可靠程度大的測量結(jié)果在最后測量結(jié)果中占有的比重大些，可靠程度小的占比重小些。各測量結(jié)果的可靠程度可用一數(shù)值來表示，這數(shù)值即稱為該測量結(jié)果的“權(quán)”，記為 ，可以理解為當(dāng)它與另一些測量結(jié)果比較時，對該測量結(jié)果所給予信賴程度。 （二）權(quán)的確定方法 測量結(jié)果的權(quán)

27、說明了測量的可靠程度，因此可根據(jù)這一原則來確定權(quán)的大小。 最簡單的方法可按測量的次數(shù)來確定權(quán)，即測量條件和測量者水平皆相同，則重復(fù)測量次數(shù)愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由測量的次數(shù)來確定權(quán)的大小，即 。 假定同一被測量有m組不等精度的測量結(jié)果，這m組測量結(jié)果是從單次測量精度相同而測量次數(shù)不同的一系列測量值求得的算術(shù)平均值。因 第一節(jié)隨機誤差35 為單次測量精度皆相同，其標(biāo)準(zhǔn)差均為，則各組算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為： (2-40) 由此得下列等式 因為 ，故上式又可寫成 (2-41) 或表示為(2-42) 即：每組測量結(jié)果的權(quán)（ ）與其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差平方（ ）成反比，若已知 （各組算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)

28、差），則可由（2-42）得到相應(yīng) 的大小。測量結(jié)果的權(quán)的數(shù)值只表示各組間的相對可靠程度，它是一個無量綱的數(shù)，允許各組的權(quán)數(shù)同時增大或減小若干倍，而各組間的比例關(guān)系不變，但通常皆將各組的權(quán)數(shù)予以約簡，使其中最小的權(quán)數(shù)為不可再放簡的整數(shù)，以便用簡單的數(shù)值來表示各組的權(quán)。 例2-10 對一級鋼卷尺的長度進行了三組不等精度測量，其結(jié)果為 第一節(jié)隨機誤差36 求各測量結(jié)果的權(quán)。 解：由式(2-42)得 因此各組的權(quán)可取為 （三）加權(quán)算術(shù)平均值 若對同一被測量進行m組不等精度測量，得到m個測量結(jié)果為： ，設(shè)相應(yīng)的測量次數(shù)為n1,n2, nm，即： (2-43) 根據(jù)等精度測量算術(shù)平均值原理，全部測量的算術(shù)

29、平均值 應(yīng)為： 第一節(jié)隨機誤差37 將式(2-43)代入上式得： 或簡寫為(2-44) 當(dāng)各組的權(quán)相等，即 時，加權(quán)算術(shù)平均值可簡化為： (2-45) 由上式求得得結(jié)果即為等精度的算術(shù)平均值，由此可見等精度測量是不等精度測量得特殊情況。為簡化計算，加權(quán)算術(shù)平均值可表示為：(2-46) 式中的 為接近 的任選參考值。第一節(jié)隨機誤差38 例2-11 工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基準(zhǔn)器比較，得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長度為999.9425mm(三次測量的)，999.9416mm(兩次測量的)，999.9419mm(五次測量的)，求最后測量結(jié)果。 解：按測量次數(shù)來確定權(quán)： ，選 ，則有 (四) 單位權(quán)的

30、概念 由式（2-41）知 ，此式又可表示為 (2-47) 式中 為某精度單次測量值的標(biāo)準(zhǔn)差。因此，具有同一方差 的等精度單次測量值的權(quán)數(shù)為1。若已知 ，只要確定 ，根據(jù)（2-47）式就可求出各組的方差 。由于測得值的方差 的權(quán)數(shù)為1在此有特殊用途，故稱等于1的權(quán)為單位權(quán)，而 為具有單位權(quán)的測得值方差， 為具有單位權(quán)的測得值標(biāo)準(zhǔn)差。 利用單位權(quán)化的思想，可以將某些不等權(quán)的測量問題化為等權(quán)測量問題來處理。單位權(quán)化的實質(zhì)，是使任何一個量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，得到新的量值權(quán)數(shù)為1。 第一節(jié)隨機誤差39 例如，將不等精確測量的各組測量結(jié)果 皆乘以自身權(quán)數(shù)的平方根 ，此時得到的新值z的權(quán)數(shù)就為1。證明之

31、： 設(shè)取方差 以權(quán)數(shù)字 表示上式中的方差，則 由此可知，單位權(quán)化以后得到的新值 的權(quán)數(shù) 為1，用這種方法可以把不等精度的各組測量結(jié)果皆進行了單位權(quán)化，使該測量列轉(zhuǎn)化為等精度測量列。 不等精度測量列，經(jīng)單位權(quán)化處理后，就可按等精度測量列來處理。第一節(jié)隨機誤差40（五）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 對同一個被測量進行 m 組不等精度測量，得到 m 個測量結(jié)果為： 若已知單位權(quán)測得值的標(biāo)準(zhǔn)差，則由式（2-40）知 全部（mn個）測得值的算術(shù)平均值 的標(biāo)準(zhǔn)差為： 比較上面兩式可得：(2-48) 因為 代入式（2-48）得(2-49)第一節(jié)隨機誤差41 當(dāng)各組測得的總權(quán)數(shù) 為已知時，可由任一組的標(biāo)準(zhǔn)差 和相應(yīng)

32、的權(quán) ，或者由單位權(quán)的標(biāo)準(zhǔn)差求得加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 。 當(dāng)各組測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為未知時，則不能直接用式（2-49），而必須由各測量結(jié)果的殘余誤差來計算加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。 已知各組測量結(jié)果的殘余誤差為： 將各組 單位權(quán)比，則有： 上式中各組新值已為等精度測量列的測量結(jié)果，相應(yīng)的殘差也成為等精度測量列的殘余誤差，則可用等精度測量時的Bessel公式推導(dǎo)得到： (2-50) 將式（2-50）代入式（2-49）得(2-51)第一節(jié)隨機誤差42 用式（2-51）可由各組測量結(jié)果的殘余誤差求得加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，但是只有組數(shù)m足夠多時，才能得到較為精確的 值。一般情況下的組數(shù)較少，只能得到近

33、似的估計值。 例2-12 求例2-11的加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。 解：由加權(quán)算術(shù)平均值 ，可得各組測量結(jié)果的殘余誤差為： ，又已知 代入式(2-51)得 八、隨機誤差的其他分布 正態(tài)分布是隨機誤差最普遍的一種分布規(guī)律，但不是唯一分布規(guī)律。下面介紹幾種常見的非正態(tài)分布。(一)均勻分布 在測量實踐中，均勻分布是經(jīng)常遇到的一種分布，其主要特點是，誤差有一確定的范圍，在此范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相等，故又稱矩形第一節(jié)隨機誤差43分布或等概率分布。均勻分布的分布密度 （圖2-5）和分布函數(shù) 分別為： （2-52） （2-53）它的數(shù)學(xué)期望為： （2-54）它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： （2-55） （2-

34、56）(二)反正弦分布 反正弦分布實際上是一種隨機誤差的函數(shù)分布規(guī)律，其特點是該隨機誤差與某一角度成正弦關(guān)系。反正弦分布的分布密度 （圖2-6）和分布函數(shù) 分別為：(2-57)第一節(jié)隨機誤差44 （2-57）它的數(shù)學(xué)期望為： （2-58）它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： （2-59） （2-60）（三）三角形分布 當(dāng)兩個誤差限相同且服從均勻分布的隨機誤差求和時，其和的分布規(guī)律服從三角形分布，又稱辛普遜（Simpson）分布。實際測量中，若整個測量過程必須進行兩次才能完成，而每次測量的隨機誤差服從相同的均勻分布，則總的測量誤差為三角形分布誤差。 三角形分布的分布密度 （圖2-7）和分布函數(shù) 分別為：(2

35、-61)第一節(jié)隨機誤差45 （2-63）它的數(shù)學(xué)期望為： （2-64）它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： （2-65） （2-66） 如果對兩個誤差限為不相等的均勻分布隨機誤差求和時，則其和的分布規(guī)律不再是三角形分布而是梯形分布。 在測量工作中，除上述的非正態(tài)分布外，還有直角分布、截尾正態(tài)分布、雙峰正態(tài)分布及二點分布等，在此不做一一敘述。（四） 分布 令 為 個獨立隨機變量，每個隨機變量都服從標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布。定義一個新的隨機變量 (2-67) 隨機變量 稱為自由度為的卡埃平方變量。自由度 表示上式中項數(shù)或 第一節(jié)隨機誤差46獨立變量的個數(shù)。 分布的分布密度 如圖2-8所示。 (2-68) 式中的 函數(shù)

36、。 它的數(shù)學(xué)期望為： (2-69) 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： (2-70)(2-71) 在本書最小二乘法中要用到 分布，此外它也是 t 分布和 F 分布的基礎(chǔ)。 由圖2-8的兩條 理論曲線看出，當(dāng) 逐漸增大時，曲線逐漸接近對稱?？梢宰C明當(dāng) 足夠大時，曲線趨近正態(tài)曲線。值得提出的是，在這里稱 為自由度，它的改變將引起分布曲線的相應(yīng)改變。（五）t 分布第一節(jié)隨機誤差47 令 和 是獨立的隨機變量， 具有自由度為 的 分布函數(shù)， 具有標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布函數(shù)，則定義新的隨機變量為(2-72) 隨機變量t稱自由度為 的學(xué)生氏t變量。 t分布的分布密度 為（圖2-9）： (2-73) 它的數(shù)學(xué)期望為： (2-

37、74) 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： (2-75) (2-76) t分布的數(shù)學(xué)期望為零，分布曲線對稱于縱坐標(biāo)軸，但它和標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布密度曲線不同，如圖2-9所示?？梢宰C明，當(dāng)自由度較小時，t分布與正態(tài)分布有明顯區(qū)別，但當(dāng)自由度 時，t分布曲線趨于正態(tài)分布曲線。t分布是一種重要分布，當(dāng)測量列的測量次數(shù)較少時，極限誤差的估計，或者在檢驗測量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差時經(jīng)常用到它。 第一節(jié)隨機誤差48（六）F分布 若 具有自由度為 的卡埃平方分布函數(shù)， 具有自由度為 的卡埃平方分布函數(shù)，定義新的隨機變量為(2-77) 隨機變量F稱為自由度為 、 的F變量。 F分布的分布密度 如圖2-10所示。 (2-78) 它的數(shù)

38、學(xué)期望為： (2-79) 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： (2-80)(2-81) F分布也是一種重要分布，在檢驗統(tǒng)計假設(shè)和方差分析中經(jīng)常應(yīng)用。第一節(jié)隨機誤差49第二節(jié) 系統(tǒng)誤差 系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因 系統(tǒng)誤差的特征與分類 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法 系統(tǒng)誤差的減小和消除方法50研究系統(tǒng)誤差的重要意義第二節(jié)系統(tǒng)誤差 實際上測量過程中往往存在系統(tǒng)誤差，在某些情況下的系統(tǒng)誤差數(shù)值還比較大。因此測量結(jié)果的精度，不僅取決于隨機誤差，還取決于系統(tǒng)誤差的影響。由于系統(tǒng)誤差和隨機誤差同時存在測量數(shù)據(jù)之中，而且不易被發(fā)現(xiàn)，多次重復(fù)測量又不能減小它對測量結(jié)果的影響，這種潛伏使得系統(tǒng)誤差比隨機誤差具有更大的危險性，因此研究系統(tǒng)誤

39、差的特征與規(guī)律性，用一定的方法發(fā)現(xiàn)和減小或消除系統(tǒng)誤差，就顯得十分重要。 系統(tǒng)誤差是指在確定的測量條件下，某種測量方法和裝置，在測量之前就已存在誤差，并始終以必然性規(guī)律影響測量結(jié)果的正確度，如果這種影響顯著的話，就要影響測量結(jié)果的準(zhǔn)確度。51一、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因 系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成，在條件充分的情況下這些因素是可以掌握的。主要來源于： 測量裝置方面的因素 環(huán)境方面的因素 測量方法的因素 測量人員的因素第二節(jié)系統(tǒng)誤差計量校準(zhǔn)后發(fā)現(xiàn)的偏差、儀器設(shè)計原理缺陷、儀器制造和安裝的不正確等。測量時的實際溫度對標(biāo)準(zhǔn)溫度的偏差、測量過程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差。采用近

40、似的測量方法或計算公式引起的誤差等。測量人員固有的測量習(xí)性引起的誤差等。52第二節(jié)系統(tǒng)誤差二、系統(tǒng)誤差的分類和特征 系統(tǒng)誤差的特征是在同一條件下，多次測量同一測量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化。由系統(tǒng)誤差的特征可知，在多次重復(fù)測量同一值時，系統(tǒng)誤差不具有抵償性，它是固定的或服從一定函數(shù)規(guī)律的誤差。從廣義上講，系統(tǒng)誤差是指服從某一確定規(guī)律變化的誤差。 圖2-11為各種系統(tǒng)誤差隨測量過程t變化而表現(xiàn)出不同特征。曲線a為不變的系統(tǒng)誤差，曲線b為線性變化的系統(tǒng)誤差，曲線c為非線性變化的系統(tǒng)誤差，曲線d為周期性變化的系統(tǒng)誤差，曲線e為復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。 根

41、據(jù)系統(tǒng)誤差在測量過程中所具有的不同變化特性，將系統(tǒng)誤差分為不變系統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差兩大類。53第二節(jié)系統(tǒng)誤差（一）不變系統(tǒng)誤差 固定系統(tǒng)誤差是指在整個測量過程中，誤差的大小和符號始終是不變的。 如千分尺或測長儀讀數(shù)裝置的調(diào)零誤差，量塊或其它標(biāo)準(zhǔn)件尺寸的偏差等，均為不變系統(tǒng)誤差。它對每一測量值的影響均為一個常量，屬于最常見的一類系統(tǒng)誤差。（二）變化系統(tǒng)誤差 變化系統(tǒng)誤差指在整個測量過程中，誤差的大小和方向隨測試的某一個或某幾個因素按確定的函數(shù)規(guī)律而變化，其種類較多，又可分為以下幾種： 線性變化的系統(tǒng)誤差 在整個測量過程中，隨某因素而線性遞增或遞減的系統(tǒng)誤差。 例如，量塊中心長度隨溫度的變化：5

42、4第二節(jié)系統(tǒng)誤差 周期變化的系統(tǒng)誤差 在整個測量過程中，隨某因素作周期變化的系統(tǒng)誤差。 例如，儀表指針的回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心有一個偏心量 e ，則指針在任一轉(zhuǎn)角 處引起的讀數(shù)誤差為 。此誤差變化規(guī)律符合正弦曲線規(guī)律，當(dāng)指針在 0 和 180 時誤差為零，而在 90 和 270 時誤差絕對值達最大。 復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差 在整個測量過程中，隨某因素變化，誤差按確定的更為復(fù)雜的規(guī)律變化，稱其為復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。 例如，微安表的指針偏轉(zhuǎn)角與偏轉(zhuǎn)力距間不嚴(yán)格保持線性關(guān)系，而表盤仍采用均勻刻度所產(chǎn)生的誤差就屬于復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。這些復(fù)雜規(guī)律一般可用代數(shù)多項式、三角多項式或其它正交函數(shù)多項式

43、來描述。 55第二節(jié)系統(tǒng)誤差 由于形成系統(tǒng)誤差的原因復(fù)雜，目前尚沒有能夠適用于發(fā)現(xiàn)各種系統(tǒng)誤差的普遍方法。但是 我們可針對不同性質(zhì)的系統(tǒng)誤差，可按照下述兩類方法加以識別： 1、用于發(fā)現(xiàn)測量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差，包括實驗對比法、殘余誤差觀察法、殘余誤差校核法和不同公式計算標(biāo)準(zhǔn)差比較法； 2、用于發(fā)現(xiàn)各組測量這間的系統(tǒng)誤差，包括計算數(shù)據(jù)比較法、秩和檢驗法、和 t 檢驗法。三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法56第二節(jié)系統(tǒng)誤差 1、實驗對比法 實驗對比法是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，進行不同條件的測量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。 這種方法適用于發(fā)現(xiàn)不變的系統(tǒng)誤差。 2、殘余誤差觀察法 殘余誤差觀察法是根據(jù)測量列的各個殘余誤差大小和

44、符號的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來判斷有無系統(tǒng)誤差。 這種方法適于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。（一）測量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法57故有 (2-82)若系統(tǒng)誤差顯著大于隨機誤差， 可予忽略，則得(2-83) 3、殘余誤差校核法(有兩種方法) 用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差：設(shè)有測量列 ，它們的系統(tǒng)誤差為 ，它們不含系統(tǒng)誤差之值為 ，有下式成立：第二節(jié)系統(tǒng)誤差它們的算術(shù)平均值為:因 由上式看出，顯著含有系統(tǒng)誤差的測量列，其任一測量值的殘余誤差約為系統(tǒng)誤差與測量列系統(tǒng)誤差平均值之差。58根據(jù)式(2-82)，若將測量列中前K個殘余誤差相加，后n-K個殘余誤差相加(當(dāng)n為偶數(shù)，取K=n/2；n為奇數(shù)，

45、取K=(n+1)/2)，兩者相減得： 當(dāng)測量次數(shù)足夠多時，有：第二節(jié)系統(tǒng)誤差 所以得：(2-84) 若上式的兩部分值顯著不為O，則有理由認為測量列存在線性系統(tǒng)誤差。這種校核法又稱“馬列科夫準(zhǔn)則”，它能有效地發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差。但要注意的是，有時按殘余誤差校核法求得差值=0，仍有可能存在系統(tǒng)誤差。 59 用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差：若一等精度測量列，接測量先后順序?qū)堄嗾`差排列為 ，如果存在著按此順序呈周期性變化的系統(tǒng)誤差，則相鄰的殘余誤差的差值( )符號也將出現(xiàn)周期性的正負號變化，因此由差值( )可以判斷是否存在周期性系統(tǒng)誤差，但是這種方法只有當(dāng)周期性系統(tǒng)誤差是整個測量誤差的主要成分時，才有實用效果

46、。否則，差值( )符號變化將主要取決于隨機誤差，以致不能判斷出周期性系統(tǒng)誤差。在此情況下，可用統(tǒng)計準(zhǔn)則進行判斷，令 第二節(jié)系統(tǒng)誤差若 (2-85)則認為該測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。這種校核法又叫 阿卑赫梅特準(zhǔn)則（Abbe-Helmert準(zhǔn)則） ，它能有效地發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差。 604、不同公式計算標(biāo)準(zhǔn)差比較法 對等精度測量，可用不同分式計算標(biāo)準(zhǔn)差，通過比較以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。按貝塞爾公式： 按別捷爾斯公式： 令 若 (2-86)則懷疑測量列中存在系統(tǒng)誤差。 在判斷含有系統(tǒng)誤差時，違反“準(zhǔn)則”時就可以直接判定，而在遵守“準(zhǔn)則”時，不能得出“不含系統(tǒng)誤差”的結(jié)論，因為每個準(zhǔn)則均有局限性，不具有“通用

47、性”。 第二節(jié)系統(tǒng)誤差61則任意兩組結(jié)果 與 間不存在系統(tǒng)誤差的標(biāo)志是： 若對同一量獨立測量得 m 組結(jié)果，并知它們的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差為：(二)測量列組間的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法第二節(jié)系統(tǒng)誤差(2-87)而任意兩組結(jié)果之差為：其標(biāo)準(zhǔn)差為：1、計算數(shù)據(jù)比較法 對同一量進行多組測量得到很多數(shù)據(jù)，通過多組數(shù)據(jù)計算比較，若不存在系統(tǒng)誤差，其比較結(jié)果應(yīng)滿足隨機誤差條件，否則可認為存在系統(tǒng)誤差。622、秩和檢驗法用于檢驗兩組數(shù)據(jù)間的系統(tǒng)誤差 對某量進行兩組測量，這兩組間是否存在系統(tǒng)誤差，可用秩和檢驗法根據(jù)兩組分布是否相同來判斷。第二節(jié)系統(tǒng)誤差 若獨立測得兩組的數(shù)據(jù)為： 將它們混和以后，從1開始，按從小到大的順

48、序重新排列，觀察測量次數(shù)較少那一組數(shù)據(jù)的序號，它的測得值在混合后的次序編號（即秩），再將所有測得值的次序相加，得到的序號號即為秩和 T。 1） 兩組的測量次數(shù) ，可根據(jù)測量次數(shù)較少的組的次數(shù) n1 和測量次數(shù)較多的組的次數(shù) n2 ，由秩和檢驗表2-10查得 T- 和 T+ （顯著度0.05），若 (2-88) 則無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。 63第二節(jié)系統(tǒng)誤差2） 當(dāng) ，秩和 T 近似服從正態(tài)分布 括號中第一項為數(shù)學(xué)期望，第二項為標(biāo)準(zhǔn)差，此時 T- 和 T+ 可由正態(tài)分布算出。 根據(jù)求得的數(shù)學(xué)期望值 a 和 標(biāo)準(zhǔn)，則：選取概率 ，由正態(tài)分布分表（附錄表1）查得 t ，若 ，則無根據(jù)懷疑兩組間

49、存在系統(tǒng)誤差。（教材P40頁）64解：將兩組數(shù)據(jù)混合排列成下表 查表2-10得 例2-16 對某量測得兩組數(shù)據(jù)如下，判斷兩組間有無系統(tǒng)誤差。 xi: 14.7, 14.8, 15.2, 15.6 ; yi：14.6, 15.0, 15.1 第二節(jié)系統(tǒng)誤差 已知 計算秩和 T=1+4+5=10 因 故無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。 注意：若兩組數(shù)據(jù)中有相同的數(shù)值，則該數(shù)據(jù)的秩按所排列的兩個次序的平均值計算。65 令變量(2-89) 由數(shù)理統(tǒng)計知，變量t是服從自由度為( )的t分布變量。3、t 檢驗法 第二節(jié)系統(tǒng)誤差 當(dāng)兩組測量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，或偏離正態(tài)不大但樣本數(shù)不是太少（最好不少于20）時，

50、可用t檢驗法判斷兩組間是否存在系統(tǒng)誤差。 設(shè)獨立測得兩組數(shù)據(jù)為： 其中66 注意: (2-89)式中使用的 和 ,不是方差的無偏估計，若將貝塞爾計算的 和 用于上式，則該式應(yīng)作相應(yīng)的變動。 由 及取 ，查t分布表(附錄表3)得 ，又因 ， 故無根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。 則解： 取顯著性水平，由t分布表（附錄表3）查出 中的 。若 ，則無根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。 第二節(jié)系統(tǒng)誤差例2-17 對某量測得兩組數(shù)據(jù)為： x：1.9， 0.8， 1.1， 0.1，-0.1，4.4，5.5，1.6，4.6，3.4 y：0.7，-1.6，-0.2，-1.2，-0.1，3.4，3.7，0.8，0.0，2.0

51、 67四、系統(tǒng)誤差的減小和消除（一）消誤差源法 用排除誤差源的方法消除系統(tǒng)誤差是最理想的方法。它要求測量人員，對測量過程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的各個環(huán)節(jié)作仔細分析，并在正式測試前就將誤差從產(chǎn)生根源上加以消除或減弱到可忽略的程度。由于具體條件不同，在分析查找誤差源時，并無一成不變的方法，但以下幾方面是應(yīng)予考慮的： 所用基準(zhǔn)件、標(biāo)準(zhǔn)件（如量塊、刻尺、光波容器等）是否準(zhǔn)確可靠； 所用量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過檢定，并有有效周期的檢定證書； 儀器的調(diào)整、測件的安裝定位和支承裝卡是否正確合理； 所采用的測量方法和計算方法是否正確，有無理論誤差； 測量的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求，如溫度、振動、塵污

52、、氣流等； 注意避免測量人員帶入主觀誤差如視差、視力疲勞、注意力不集中等。 第二節(jié)系統(tǒng)誤差68（二）加修正值法 這種方法是預(yù)先將測量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計算出來，取與誤差大小相同而符號相反的值作為修正值，將測得值加上相應(yīng)的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測量結(jié)果。如量塊的實際尺寸不等于公稱尺寸，若按公稱尺寸使用，就要產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。因此應(yīng)按經(jīng)過檢定的實際尺寸（即將量塊的公稱尺寸加上修正量）使用，就可避免此項系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生。 采用加修正值的方法消除系統(tǒng)誤差，關(guān)鍵在確定修正值或修正函數(shù)的規(guī)律對恒定系統(tǒng)誤差，可采用檢定方法，對已知基準(zhǔn)量 重復(fù)測量取其均值 ， 即為其修正值。 對可變系統(tǒng)誤差，按照

53、某變化因素，依次取得已知基準(zhǔn)量 的一系列測值 ，再計算其差值 ，按最小二乘法確定它隨該因素變化的函數(shù)關(guān)系式，取其負值即為該可變系統(tǒng)誤差的修正函數(shù)。關(guān)于最小二乘法將在本課程后面介紹。 由于修正值本身也包含有一定的誤差，因此用這種方法不可能將全部系統(tǒng)誤差修正掉，總要殘留少量的系統(tǒng)誤差。由于這些殘留的系統(tǒng)誤差相對隨機誤差而言已不明顯了，往往可以把它們統(tǒng)歸成偶然誤差來處理。 第二節(jié)系統(tǒng)誤差69（三）改進測量方法 在測量過程中，根據(jù)具體的測量條件和系統(tǒng)誤差的性質(zhì)，采取一定的技術(shù)措施，選擇適當(dāng)?shù)臏y量方法，使測得值中的系統(tǒng)誤差在測量過程中相互抵消而不帶入測量結(jié)果之中，從而實現(xiàn)減弱或消除系統(tǒng)誤差的目的。 1、

54、消除恒定系統(tǒng)誤差的方法 在沒有條件或無法獲之基準(zhǔn)測量的情況，難以用檢定法確定恒定系統(tǒng)誤差并加以消除。這時必須設(shè)計適當(dāng)?shù)臏y量方法，使恒定系統(tǒng)誤差在測量過程中予以消除，常用的方法有： 反向補償法：先在有恒定系統(tǒng)誤差的狀態(tài)下進行一次測量，再在該恒定系統(tǒng)誤差影響相反的另一狀態(tài)下測一次，取兩次測量的平均值作為測量結(jié)果，這樣，大小相同但符號相反的兩恒定系統(tǒng)誤差就在相加后再平均的計算中互相抵消了。 例如，在紅顯上測螺紋的螺距、半角等參數(shù)，就是采用抵消法來消除恒定系統(tǒng)誤差的典型例子。如測螺距，左右各測一次，得 與 （正確值為P）為： ，為儀器兩頂尖不同心使被測螺紋件偏斜而產(chǎn)生的恒定系統(tǒng)誤差。將 平均后，即可抵

55、消： 第二節(jié)系統(tǒng)誤差70 在使用絲杠轉(zhuǎn)動機構(gòu)測微小位移時，為消除微絲杠與螺母間的配合間隙等 因素引起的定回誤差，往往采用往返兩個方向的兩次讀數(shù)取均值作為測量結(jié)果，以補償定回誤差的影響。 代替法：代替法的實質(zhì)是在測量裝置上對被測量測量后不改變測量條件，立即用一個標(biāo)準(zhǔn)量代替被測量，放到測量裝置上再次進行測量，從而求出被測量與標(biāo)準(zhǔn)量的差值，即： 被測量標(biāo)準(zhǔn)差差值 抵消法：這種方法要求進行兩次測量，以便使兩次讀數(shù)時出現(xiàn)的系統(tǒng)誤差大小相等，符號相反，取兩次測得值的平均值，作為測量結(jié)果，即可消除系統(tǒng)誤差。這種方法跟反向補償法相似。 交換法：這種方法是根據(jù)誤差產(chǎn)生原因，將某些條件交換，以消除系統(tǒng)誤差。 如圖

56、2-18等臂天平稱重,先將被測量X放于天平一側(cè)，砝碼放于其另一側(cè)，調(diào)至天平平衡，則有 。若將X與P交換位置，由于 （存在恒定統(tǒng)誤差的緣故），天平將失去平衡 。原砝碼P調(diào)整為砝碼才使天平再次平衡，于是有第二節(jié)系統(tǒng)誤差71 ，則取 ，即可消除天平兩臂不等造成的系統(tǒng)誤差。 2、消除線性系統(tǒng)誤差的方法對稱法 對稱法是消除線性系統(tǒng)誤差的有效方法，如圖2-19所示。隨著時間的變化，被測量作線性增加，若選定某時刻為對稱中點，則此對稱點的系統(tǒng)誤差算術(shù)平均值皆相等。即 利用這一特點，可將測量對稱安排，取各對稱點兩次讀數(shù)的算術(shù)平均值作為測得值，即可消除線性系統(tǒng)誤差。 例如測定量塊平面平行性時（見圖2-20）,先以

57、標(biāo)準(zhǔn)量塊A的中心0點對零，然后按圖中所示被檢量塊B上的順序逐點檢定，再按相反順序進行檢定，取正反兩次讀數(shù)的平均值作為各點的測得值，就可消除因溫度變化而產(chǎn)生的線性系統(tǒng)誤差。第二節(jié)系統(tǒng)誤差72 3、消除周期性系統(tǒng)誤差的方法半周期法 對周期性誤差，可以相隔半個周期進行兩次測量，取兩次讀數(shù)平均值，即可有效地消除周期性系統(tǒng)誤差。周期性系統(tǒng)誤差一般可表示為： 設(shè) 時，誤差為： 當(dāng) 時，即相差半周期的誤差為： 取兩次讀數(shù)平均值則有 由此可知半周期法能消除周期性系統(tǒng)誤差。 例如儀器度盤安裝偏心、測微表針回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心的偏心 等引起的周期性誤差，皆可用半周期法予以剔除。 4、消除復(fù)雜規(guī)律變化系統(tǒng)誤差的方法

58、 通過構(gòu)造合適的數(shù)學(xué)模型，進行實驗回歸統(tǒng)計，對復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差進行補償和修正。第二節(jié)系統(tǒng)誤差73 采用組合測量等方法，使系統(tǒng)誤差以盡可能多的組合方式出現(xiàn)于被測量中，使之具有偶然誤差的抵償性，即以系統(tǒng)誤差隨機化的方式消除其影響，這種方法叫組合測量法。如用于檢定線紋尺的組合定標(biāo)法和度盤測量中的定角組合測量法以及力學(xué)計量中檢定砝碼的組合測量法等。第二節(jié)系統(tǒng)誤差74 在一系列重復(fù)測量數(shù)據(jù)中，如有個別數(shù)據(jù)與其它的有明顯差異，則它（或它們）很可能含有粗大誤差（簡稱粗差），稱其為可疑數(shù)據(jù)，記為 。根據(jù)隨機誤差理論，出現(xiàn)大誤差的概率雖然小，但也是可能的。因此，如果不恰當(dāng)剔除含大誤差的數(shù)據(jù)，會造成測量精密

59、度偏高的假象。反之如果對混有粗大誤差的數(shù)據(jù)，即異常值，未加剔除，必然會造成測量精密度偏低的后果。以上兩種情況還都嚴(yán)重影響對 的估計。因此，對數(shù)據(jù)中異常值的正確判斷與處理，是獲得客觀的測量結(jié)果的一個重要方法。 一、粗大誤差產(chǎn)生的原因 產(chǎn)生粗大誤差的原因是多方面的，大致可歸納為： 測量人員的主觀原因 客觀外界條件的原因測量者工作責(zé)任感不強、工作過于疲勞、缺乏經(jīng)驗操作不當(dāng)，或在測量時不小心、不耐心、不仔細等，造成錯誤的讀書或記錄。測量條件意外地改變（如機械沖擊、外界振動、電磁干擾等）。第三節(jié)粗大誤差75二、判別粗大誤差的準(zhǔn)則 在測量過程中，確實是因讀錯記錯數(shù)據(jù)，儀器的突然故障，或外界條件的突變等異常

60、情況引起的異常值，一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，就應(yīng)在記錄中除去，但需注明原因。這種從技術(shù)上和物理上找出產(chǎn)生異常值的原因，是發(fā)現(xiàn)和剔除粗大誤差的首要方法。有時，在測量完成后也不能確知數(shù)據(jù)中是否含有粗大誤差，這時可采用統(tǒng)計的方法進行判別。統(tǒng)計法的基本思想是：給定一個顯著性水平，按一定分布確定一個臨界值，凡超過這個界限的誤差，就認為它不屬于偶然誤差的范圍，而是粗大誤差，該數(shù)據(jù)應(yīng)予以剔除。 在判別某個測得值是否含有粗大誤差時，要特別慎重，應(yīng)作充分的分析和研究，并根據(jù)判別準(zhǔn)則予以確定。常用的判別準(zhǔn)則有： （一） 準(zhǔn)則 準(zhǔn)則是最常用也是最簡單的判別粗大誤差的準(zhǔn)則，它是以測量次數(shù)充分大為前提，但通常測量次數(shù)比較少，因此該準(zhǔn)則