淺析計(jì)算不定積分方法之第二類換元積分

1、淺析計(jì)算不定積分方法之第二類換元積分 不定積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)，第一類換元積分法的理論依據(jù)是，之所以稱其為第一類換元積分法是因?yàn)檫€有第二類換元積分法。那第二類換元積分法的理論依據(jù)是什么呢?就是如果是單調(diào)，可導(dǎo)的函數(shù)，且，設(shè)具有原函數(shù)，則如果大家仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)第二類換元法的上述的式子和第一類換元法其實(shí)是同一個(gè)式子反過來用了，在第一類換元法中我們是湊微分，能不能做出來其實(shí)主要取決于我們的微分能不能湊出來，所以我們是稍顯被動的。然而在第二類換元法中從上面的式子可以看出來我們可以主動令，那是不是隨意設(shè)都可以呢？并不是的，我們的要求是單調(diào)可導(dǎo)的函數(shù)，為什么要單調(diào)呢？因?yàn)槲覀冏罱K的表達(dá)式仍然是通

2、過來表示的，也就要求必須存在反函數(shù)。那為什么要求可導(dǎo)呢，因?yàn)樵谏厦娴谋磉_(dá)始終我們看到了應(yīng)為可微的。那是不是只要我們找到一個(gè)單調(diào)可導(dǎo)的就可以用它來代替以前的積分變量了呢？讓我們看下面這個(gè)例子：雖然整個(gè)上面的表達(dá)式是沒有問題的，但是這樣做有什么意義呢？我們想換元是因?yàn)橄氚褟?fù)雜的變成簡單的，但是上面的式子卻和我們的想法背道而馳，越化越復(fù)雜。所以看似主動權(quán)掌握在我們手里，但是越是這樣我們就越要小心使用我們的主動權(quán)，因?yàn)槟銜l(fā)現(xiàn)在實(shí)際做題過程中，一旦使用不小心都會變成上面那個(gè)例子那樣越化越復(fù)雜。所以，其實(shí)第二類換元法咱們只需注意幾種特殊的情況就好了。我們在不定積分計(jì)算的時(shí)候都不喜歡根號，那么遇到根號下為

3、一次函數(shù)的情況我們?nèi)绾翁幚砟兀孔屛覀円黄鹂匆坏览}：計(jì)算：先令（0）（因?yàn)橐ＷC為單調(diào)且可導(dǎo)的）則則原式變?yōu)?然而最后別忘了把帶回，所以最終的結(jié)果為,所以再遇到根號下為一次函數(shù)則令整體為，開根號的時(shí)候一般把絕對值省去，還有最后一步就是要把帶回來。 那如果我們遇到根號下為二次函數(shù)的時(shí)候該如何處理呢，這時(shí)候就要結(jié)合三角代換了。在這里給大家總結(jié)一下我們會遇到的幾種情況，以及每種情況下我們該做如何的變量代換，若遇到，則令（），這時(shí)變成又因?yàn)?，所以絕對值可以直接去電，所以在以后的過程中紅如果我們遇到平方開根號的時(shí)候通常都可以直接把絕對值去掉。若遇到，則令 ，若遇到，則令,，讓我們來看一個(gè)例子： ，但是最后仍然要把帶回來，大家可以自己畫一個(gè)三角形結(jié)合圖形來得出答案，最后的結(jié)果為，所以遇到根號下為二次函數(shù)的時(shí)候就結(jié)合三角代換公式結(jié)合具體情況進(jìn)行代換，最后結(jié)合三角形來將回代。 我們可以在總結(jié)一下，第二類換元積分法主要適用于被積分式中出現(xiàn)根式的情況，如果根式下是一次函數(shù)，就將根式整體做變量代換，要注意的是重新令的函數(shù)一定是單調(diào)可導(dǎo)的，所以比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鲱}方法是寫完代換函數(shù)后面要寫上變量的取值范圍，通常做完變量代換后再開根號是可以省略絕對值得，最后一定要把原來的積分變量x再代回來。如果