以高等數(shù)學為背景的高考數(shù)學試題的研究報告

1、. 以高等數(shù)學為背景的高考數(shù)學試題的研究定邊四中 世鵬摘要：本文通過調查研究的方法，以近幾年來全國各地的高考題中的高等數(shù)學背景下的中學數(shù)學問題為依據(jù)，探析了此類問題的命題背景，充分說明了高等數(shù)學背景下中學數(shù)學問題的特點。給出了以高等數(shù)學為背景的中學數(shù)學問題的特點及應對策略和建議，為促進學生有效地學習數(shù)學、理解地掌握數(shù)學、恰當?shù)剡\用數(shù)學的數(shù)學教學提供一個可借鑒的思路和途徑。關鍵詞：中學數(shù)學問題、分析、教學、高觀點 縱觀近幾年的課程改革，向量、算法、概率論、導數(shù)、定積分等容被逐一下放到中數(shù)學必修課本中，中學數(shù)學里高等數(shù)學的含量正一步步擴大。選修課程分別由假設干專題組成，有些看起來很深奧，幾乎都是高

2、等數(shù)學的容。選修22導數(shù)與微積分;選修系列3：選修31數(shù)學史選講、選修33球面上的幾何、選修34對稱與群；選修系列4:選修44幾何證明選講、選修42矩陣與變換、選修43平面坐標系中幾種常見變換、選修44極坐標與參數(shù)方程、選修45不等式、選修46初等數(shù)論初步。由此可見選修課程中所涉及的容都是高等數(shù)學的根底容，現(xiàn)在把它們引入到高中數(shù)學課程中，并不是要把這些容簡化下放，而是想抓住這些數(shù)學容的精華把它們的根本思想介紹給高中學生。有些專題是中學課程*些容的延伸，有些專題是通過典型實例介紹數(shù)學的一些應用方法，它們即呈現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學多個分支，又兼顧了數(shù)學史，并凸現(xiàn)了其中的思想方法。作為一名高中數(shù)學教師，不斷地

3、從高等數(shù)學中汲取豐厚的營養(yǎng)，使之效勞于中學數(shù)學教學，是一項很有意義的工作。隨著中學數(shù)學里高等數(shù)學的含量進一步擴大，近幾年來高考試卷中以高等數(shù)學為背景的高考試題出現(xiàn)的頻率越來越高，本文以近幾年來全國各地的高考題中的高等數(shù)學背景下的中學數(shù)學問題為依據(jù)，探析了此類問題的命題背景，充分說明了高等數(shù)學背景下中學數(shù)學問題的特點。下面以近幾年的各省市的高考題為例，來探究高觀點下的中學數(shù)學問題的命題背景：以高等數(shù)學的符號、概念為背景的問題命題1:2013年理10設表示不大于的最大整數(shù)，則對任意實數(shù)，有：命題透視：此題是一道以數(shù)學分析中取整函數(shù)為背景的性質應用題。對任意的實數(shù)，記不超過的最大整數(shù)為，通常稱函數(shù)為

4、取整函數(shù)，又稱高斯函數(shù)，高斯函數(shù)有以下幾個性質：高斯函數(shù)是一個不減函數(shù)，即對任意假設則；假設則；由這條性質可推得選項D成立；假設,則。此題考察學生對取整符號的理解，以及對取整函數(shù)高斯函數(shù)概念的理解和性質的掌握。高等數(shù)學中涉及很多數(shù)學符號，比方表示直和、表示連乘符號、表示求和符號等。命題2：2012年理3函數(shù)在處的極限 A.不存在 B.等于6 C.等于3 D.等于0此題主要考察函數(shù)的左、右極限與極限的概念。解：依題意可知：因此函數(shù)在處的極限不存在。命題3：2012年理3函數(shù)的值域是：解：因為且，所以函數(shù)的值域是。此題考察了行列式的計算，要熟記行列式計算的概念。以高等數(shù)學根本公式為背景的問題 在普

5、通高中數(shù)學課程標準實驗教科書選修系列45不等式選講是這樣表達柯西不等式的:設與是兩組實數(shù)，則有當向量與向量共線時，等號成立，即當且僅當時等號成立。雖然課標對這一局部容要求不高，但這是一個很好的高等數(shù)學與中學數(shù)學知識點的交匯。以此為背景可以設計很多題目。命題4：2013年理13設且滿足：，則 命題透視：此題以求解代數(shù)式的值的形式考察了柯西不等式的應用，解答的關鍵是如何巧妙利用柯西不等式等號成立的條件來求解的值，理解柯西不等式等號成立的條件是關鍵。解：由柯西不等式得：，當且僅當時等號成立。由得：所以有，再結合得： 所以。例1:2014年理15A設且則的最小值為 解：由柯西不等式可知 將代入得。例2

6、：2013年理15A設均為正數(shù)，且則的最小值為 解：由柯西不等式可知當時，取得最小值2.以高等數(shù)學中矩陣知識點為背景的問題 矩陣的相關理論是高等數(shù)學中高等代數(shù)的知識點，而在普通高中數(shù)學課程標準實驗教科書選修系列42矩陣與變換中給出了二階矩陣的定義，以及矩陣的特征值和特征向量的概念及性質。命題5：2014年理21矩陣的逆矩陣求矩陣求矩陣的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量命題透視：此題是以高等代數(shù)中的矩陣為背景，考察了逆矩陣的概念，如何求解矩陣的特征值和特征向量.結合中學的向量知識，考察了學生對新情景下知識的理解、抽象概括能力以及閱讀理解、對新知識的遷移能力以及綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力

7、，表達了在高等數(shù)學與高中數(shù)學的銜接處命題。解：1因為矩陣是矩陣的逆矩陣，且所以2矩陣的特征多項式為令得矩陣的特征值為或，所以是矩陣的屬于特征值的一個特征向量，是矩陣的屬于特征值的一個特征向量。例3: (2014年卷矩陣，,向量，為實數(shù)，假設求的值。解：由，得因為所以故 解得 所以以高等數(shù)學中導數(shù)思想為背景的問題初等數(shù)學中經常用不等式、配方等方法求最值，這些方法的優(yōu)點是學生熟悉，易于掌握。但這些方法往往是技巧性要求較高，特別是對較復雜的問題；另一方面是使用面較窄，只能解一些較特殊的問題。自從導數(shù)這塊容注入到中學教材之后，利用導數(shù)作為工具已成為高中學生研究函數(shù)性質的重要手段。這使得原本就受命題者青

8、睞的導數(shù)幾乎成了數(shù)學高考中的主角，根本上是每年必考的知 識點之一。用導數(shù)方法求極值，求函數(shù)的單調性，有固定程序可循，技巧性要求低一些，適用面廣一些，機制和最值也容易分清。以及用導數(shù)方法證明不等式等是導數(shù)思想命題重難點。命題6：設函數(shù)。試判斷函數(shù)的零點個數(shù)；假設當時，函數(shù)與的圖像有兩個公共點，求的取值圍。解：因為令得或 顯然方程的根的判別式當或時，方程有兩個非零實根，此時函數(shù)有3個零點；當時，方程有兩個相等的非零實根，此時函數(shù)有2個零點；當時，方程有兩個相等的零實根，此時函數(shù)有1個零點；當時，方程沒有實根，此時函數(shù)有1個零點；綜上所述：當或時，函數(shù)有3個零點；當時，函數(shù)有2個零點；當時，函數(shù)有1

9、個零點.設，則因為， 所以 設，則令解得列表如下：+0-0+由此可知在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。當時，取得極大值當時，取得極小值,而，。如果函數(shù)與的圖像有兩個公共點，則函數(shù)與的圖像有兩個公共點，所以或。命題透視：此題考察了三次函數(shù)的零點個數(shù)問題和構造函數(shù)求解不等式問題，兩個問題都用到了導數(shù)思想。即從高等數(shù)學的導數(shù)思想分析：構造輔助函數(shù)，利用導數(shù)來研究函數(shù)性質?？疾炝撕瘮?shù)的單調性和極值以及函數(shù)圖像等性質。例4：函數(shù),。求的單調區(qū)間與極值；假設函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像在區(qū)間上有公共點，數(shù)的取值圍。五、以高等數(shù)學中積分思想為背景的問題普通高中課程標準試驗教科書選修22北師版中，增加了微積分的局部知識

10、。這即可以增強高中數(shù)學的人文價值，也使學生掌握更有用的變量數(shù)學知識，有利于學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)，還可發(fā)揮微積分對初等數(shù)學的指導作用，促進中學數(shù)學教學質量的提高。命題7：2014年理8假設，則解：因為是常數(shù)，所以，所以可以設所以解得：。此題考察了定積分的計算，注意假設定積分的積分上限和積分下限都是常數(shù)，則它的結果是一個數(shù)值。由此可見，初等數(shù)學的解法實際上是高等數(shù)學思想的具體表達。初等數(shù)學思想是高等數(shù)學思想的簡單表達，也是學習高等數(shù)學的根底。用高等數(shù)學的思想去認識、理解和解決初等數(shù)學問題，可以進一步充實初等數(shù)學的*些理論的論述深度，以及進一步熟練地掌握用初等方法解決問題的技能。六、以高等數(shù)學為背

11、景的中學數(shù)學問題的特點及應對策略和建議一以高等數(shù)學為背景的中學數(shù)學問題的特點通過對高考試卷中高等數(shù)學背景下的中學數(shù)學問題的分析，可以得出高觀點下的中學數(shù)學問題有如下幾個特點：1、觀點高所謂觀點高是指這些問題的設計來源于高等數(shù)學，所編擬的新題的背景是具有普遍意義的高等數(shù)學容。高觀點下中學數(shù)學問題從不同的角度抓住了初、高等數(shù)學的銜接點，立意新、背景深。這類問題或以高等數(shù)學符號、概念直接出現(xiàn)；或以高等數(shù)學的概念、定理作為依托融于初等數(shù)學知識中，能夠借助實例和直觀為中學生所承受的，強調學生的理解和應用的，不追求嚴格的證明和邏輯推理；或表達高等數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法和推理方法。落點低落點低是指這類問題

12、的設計雖來源于高等數(shù)學，但解決的方法卻是中學所學的初等數(shù)學知識，對學生思維的抽象性、邏輯性以及學生的理解力和自學能力提出了更高的要求，為進入高校學習高等數(shù)學做好準備，從而有利于高校選拔人才。突出能力的考察這種聯(lián)系高等數(shù)學背景的高觀點數(shù)學問題，在考察知識的根底上，側重考察各種能力，高考考察各種能力的同時，以考察思維能力為核心，不追求知識的覆蓋面，而追求知識網(wǎng)絡的交匯點。這種以能力立意的高觀點試題選拔的不再是對數(shù)學知識死記硬背、生搬硬套的學生，而是對數(shù)學概念、定理和公式有深刻的理解和結實的掌握，具有運用數(shù)學知識和方法解決問題能力的學生。它能寬角度、多觀點地考察數(shù)學素養(yǎng)，有層次地深入考察數(shù)學的理性思

13、維，它既能實現(xiàn)高等數(shù)學與初等數(shù)學的接軌，又能有效地考察學生的思維能力和繼續(xù)學習數(shù)學的潛能。二以高等數(shù)學為背景的中學數(shù)學問題的應對策略對于以能力為立意的高觀點下的中學數(shù)學問題，學生要轉變學習態(tài)度，對數(shù)學概念、定理和公式能有深刻的理解和結實掌握，并且能靈活運用數(shù)學知識和方法解決實際問題的能力；教師要改變課堂教學重結論輕過程的做法，要引導學生自己構建知識網(wǎng)絡，對知識形成的來龍去脈要搞清楚，引導學生進展探究性學習，逐漸培養(yǎng)學生獨立分析問題、判斷問題、解決問題的能力。只有這樣，才能不斷開展學生的數(shù)學能力，才能到達以不變應萬變。題海戰(zhàn)術已不能在高考中取勝，純粹的承受性學習在面對高觀點下的中學數(shù)學問題時已是

14、無能為力了。比方在概念課中，數(shù)學概念的教學是在教師指導下，調動學生認知構造中的已有感性經歷和知識，去感知材料，經過思維加工產生認識飛躍，最后組織成完整的概念圖式的過程。中學有些數(shù)學問題如果不在高等數(shù)學的知識背景下來解釋，仍將模糊不清，甚至疑問重重。教師如果應用高觀點解釋中學數(shù)學難點，將會受到意想不到的教學效果。在不脫離中學數(shù)學的課程標準和教材的前提下，教師可以對重要的概念和知識聯(lián)系上作必要的拓寬。教師如果能站在高等數(shù)學的角度，溝通初等數(shù)學與高等數(shù)學的聯(lián)系，居高臨下地去解釋，將會更有利于學生深刻領悟數(shù)學概念的精華及其后續(xù)開展。建議對于我們從事高中數(shù)學教學的教師，要加強教育教學理論學習和對高等數(shù)學

15、知識的在學習。我們大多數(shù)一線教師經過多年的任教，將在大學學過的高等數(shù)學知識幾乎都忘記了，這樣就存在數(shù)學教師自身數(shù)學水平簡化，缺少從高等數(shù)學的高觀點審視和處理中學數(shù)學知識的能力的問題?？傊?，作為一名高中數(shù)學教師要用新課程標準審視常規(guī)教學，隨時對自己的工作及專業(yè)能力的開展進展評估，樹立終身學習的意識，在實踐中不斷學習，不斷對自己的教育教學進展研究、反思，對自己的知識與經歷進展重組，使自己的知識構造具有前瞻性，在反復的思考中使自身的專業(yè)素質、教學能力和科研水平都得到提高，從而實現(xiàn)中學數(shù)學教師的自我開展、終生開展。從而適應新課改的開展。參考文獻：1普通高中數(shù)學課程標準解讀教育，2013年2梁紅2012全國高考真題詳解理科數(shù)學科學技術，201