2021-2022學(xué)年浙江省浙北名校高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1在四邊形中，點在線段的延長線上，且，點在邊所在直線上，則的最大值為（ ）ABCD2復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，則等于（ ）ABCD3已知雙曲線的左、右焦點分別為，點P是C的右支上一點，連接與y軸交于點M，若（O為坐標(biāo)原點），則

2、雙曲線C的漸近線方程為（ ）ABCD4二項式的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是( )A180B90C45D3605已知是等差數(shù)列的前項和，若，則（ ）A5B10C15D206在中，則=（ ）ABCD7已知，如圖是求的近似值的一個程序框圖，則圖中空白框中應(yīng)填入ABCD8已知點P在橢圓：=1(ab0)上，點P在第一象限，點P關(guān)于原點O的對稱點為A，點P關(guān)于x軸的對稱點為Q，設(shè)，直線AD與橢圓的另一個交點為B，若PAPB，則橢圓的離心率e=（ ）ABCD9已知為坐標(biāo)原點，角的終邊經(jīng)過點且，則( )ABCD10已知雙曲線的一個焦點為，且與雙曲線的漸近線相同，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

3、( )ABCD11已知函數(shù)是上的減函數(shù)，當(dāng)最小時，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD12設(shè)集合，則 ()ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在中，已知，則的最小值是_14在中， ，則_.15若實數(shù)，滿足，則的最小值為_16已知四棱錐，底面四邊形為正方形，四棱錐的體積為，在該四棱錐內(nèi)放置一球，則球體積的最大值為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知為各項均為整數(shù)的等差數(shù)列，為的前項和，若為和的等比中項，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求最大的正整數(shù)，使得.18（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（

4、為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）若，求曲線與的交點坐標(biāo)；（2）過曲線上任意一點作與夾角為45的直線，交于點，且的最大值為，求的值.19（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸，取相同長度單位建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；（2）設(shè)射線與曲線交于不同于極點的點，與曲線交于不同于極點的點，求線段的長20（12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）時，若對一切恒成立，求a的取值范圍.21（12分）在銳角三角形中，角的對邊分別為已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（

5、1）求的值；（2）若的面積為求的值22（10分）已知在四棱錐中，平面，在四邊形中，為的中點，連接，為的中點，連接.（1）求證：.（2）求二面角的余弦值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】依題意，如圖以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點的坐標(biāo)，根據(jù)求出的坐標(biāo)，求出邊所在直線的方程，設(shè)，利用坐標(biāo)表示，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】解：依題意，如圖以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，由，因為點在線段的延長線上，設(shè)，解得，所在直線的方程為 因為點在邊所在直線上，故設(shè)當(dāng)時故選：【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，關(guān)

6、鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，屬于中檔題.2A【解析】先通過復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，得到，再利用復(fù)數(shù)的除法求解.【詳解】因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，且復(fù)數(shù)，所以所以故選：A【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運算和幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.3C【解析】利用三角形與相似得，結(jié)合雙曲線的定義求得的關(guān)系，從而求得雙曲線的漸近線方程?！驹斀狻吭O(shè)，由，與相似，所以，即，又因為，所以，所以，即，所以雙曲線C的漸近線方程為.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、漸近線方程求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力。4A【解析】試題分析：因為的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，所以，

7、令，則，.考點：1.二項式定理；2.組合數(shù)的計算.5C【解析】利用等差通項，設(shè)出和，然后，直接求解即可【詳解】令，則，.【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和問題，屬于基礎(chǔ)題6B【解析】在上分別取點,使得,可知為平行四邊形，從而可得到，即可得到答案【詳解】如下圖，在上分別取點,使得,則為平行四邊形，故,故答案為B. 【點睛】本題考查了平面向量的線性運算，考查了學(xué)生邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題7C【解析】由于中正項與負(fù)項交替出現(xiàn)，根據(jù)可排除選項A、B；執(zhí)行第一次循環(huán)：，若圖中空白框中填入，則，若圖中空白框中填入，則，此時不成立，；執(zhí)行第二次循環(huán)：由均可得，若圖中空白框中填入，則，若圖中空白框中填入，則，此時

8、不成立，；執(zhí)行第三次循環(huán)：由可得，符合題意，由可得，不符合題意，所以圖中空白框中應(yīng)填入，故選C8C【解析】設(shè)，則，設(shè)，根據(jù)化簡得到，得到答案.【詳解】設(shè)，則，則，設(shè)，則，兩式相減得到：，即， ，故，即，故，故.故選：.【點睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.9C【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，解得，所以，所以，所以.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式，考查計算能力.10B【解析】根據(jù)焦點所在坐標(biāo)軸和漸近線方程設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合焦點坐標(biāo)求解.【詳解】雙曲線與的

9、漸近線相同，且焦點在軸上，可設(shè)雙曲線的方程為，一個焦點為，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B【點睛】此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，易錯點在于漏掉考慮焦點所在坐標(biāo)軸導(dǎo)致方程形式出錯.11A【解析】首先根據(jù)為上的減函數(shù)，列出不等式組，求得，所以當(dāng)最小時，之后將函數(shù)零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線交點的個數(shù)問題，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】由于為上的減函數(shù)，則有，可得，所以當(dāng)最小時，函數(shù)恰有兩個零點等價于方程有兩個實根，等價于函數(shù)與的圖像有兩個交點畫出函數(shù)的簡圖如下，而函數(shù)恒過定點，數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍為故選：A.【點睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題，涉及到的知識點有分段函數(shù)在定義

10、域上單調(diào)減求參數(shù)的取值范圍，根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題目.12B【解析】直接進行集合的并集、交集的運算即可【詳解】解：； 故選：B【點睛】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義，以及交集、并集的運算，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】分析：可先用向量的數(shù)量積公式將原式變形為：，然后再結(jié)合余弦定理整理為，再由cosC的余弦定理得到a，b的關(guān)系式，最后利用基本不等式求解即可.詳解：已知，可得，將角A,B,C的余弦定理代入得，由，當(dāng)a=b時取到等號，故cosC的最小值為.點睛：考查向量的數(shù)量積、余弦定理、基本不等式的綜合運用，能

11、正確轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.屬于中檔題.14【解析】先由題意得：，再利用向量數(shù)量積的幾何意義得，可得結(jié)果.【詳解】由知：，則在方向的投影為，由向量數(shù)量積的幾何意義得：，故答案為【點睛】本題考查了投影的應(yīng)用，考查了數(shù)量積的幾何意義及向量的模的運算，屬于基礎(chǔ)題.15【解析】由約束條件先畫出可行域，然后求目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】由約束條件先畫出可行域，如圖所示，由，即，當(dāng)平行線經(jīng)過點時取到最小值，由可得，此時，所以的最小值為.故答案為.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃的知識，解題的一般步驟為先畫出可行域，然后改寫目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合圖形求出最值，需要掌握解題方法.16【解析】由題知，該四棱錐為正四棱錐，作出該正四棱錐

12、的高和斜高，連接，則球心O必在的邊上，設(shè)，由球與四棱錐的內(nèi)切關(guān)系可知，設(shè)，用和表示四棱錐的體積，解得和的關(guān)系，進而表示出內(nèi)切球的半徑，并求出半徑的最大值，進而求出球的體積的最大值.【詳解】設(shè)，由球O內(nèi)切于四棱錐可知，則，球O的半徑，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時.故答案為：.【點睛】本題考查了棱錐的體積問題，內(nèi)切球問題，考查空間想象能力，屬于較難的填空壓軸題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）1008【解析】（1）用基本量求出首項和公差，可得通項公式；（2）用裂項相消法求得和，然后解不等式可得【詳解】解：（1）由題得，即解得或因為數(shù)列為各項均為整數(shù)，所以

13、，即（2）令所以即，解得所以的最大值為1008【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前項和公式，考查裂項相消法求數(shù)列的和在等差數(shù)列和等比數(shù)列中基本量法是解題的基本方法18（1），；（2）或【解析】（1）將曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程，即可求得曲線與的交點坐標(biāo)；（2）由直線的普通方程為，故上任意一點，根據(jù)點到直線距離公式求得到直線的距離，根據(jù)三角函數(shù)的有界性，即可求得答案.【詳解】（1），.由，得，曲線的直角坐標(biāo)方程為.當(dāng)時，直線的普通方程為由解得或.從而與的交點坐標(biāo)為，.（2）由題意知直線的普通方程為，的參數(shù)方程為（為參數(shù)）故上任意一點到的距離為則.當(dāng)時，的最大值為

14、所以；當(dāng)時，的最大值為，所以.綜上所述，或【點睛】解題關(guān)鍵是掌握極坐標(biāo)和參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，和點到直線距離公式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.19（1）；（2）【解析】曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為再用極直互化公式求解，曲線的極坐標(biāo)方程用極直互化公式轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程射線與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)解求出，射線與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)解求出， 再用 得解【詳解】解：曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為把，代入得：曲線的極坐標(biāo)方程為轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為設(shè)射線與曲線交于不同于極點的點，所以，解得與曲線交于不同于極點的點，所以，解得，所以【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程直角

15、坐標(biāo)方程相互轉(zhuǎn)換及極坐標(biāo)下利用和的幾何意義求線段的長.（1）直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程只需將直角坐標(biāo)方程中的分別用，代替即可得到相應(yīng)極坐標(biāo)方程參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程必須先化成直角坐標(biāo)方程再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.（2）直接求解，能達(dá)到化繁為簡的解題目的；如果幾何關(guān)系不容易通過極坐標(biāo)表示時，可以先化為直角坐標(biāo)方程，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題加以解決.20（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為 ；（2） 【解析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系即可求出.（2）解法一：分類討論：當(dāng)時，觀察式子可得恒成立；當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增，可知；當(dāng)時，令，由，根據(jù)零點存在性定理可得，進而可得在上，單調(diào)

16、遞減，即不滿足題意；解法二：通過分離參數(shù)可知條件等價于恒成立，進而記，問題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值問題，通過二次求導(dǎo)，結(jié)合洛比達(dá)法則計算可得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)，令，解得，當(dāng)時，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）解法一：當(dāng)時，函數(shù)，若時，此時對任意都有， 所以恒成立；若時，對任意都有，所以，所以在上為增函數(shù)，所以，即時滿足題意；若時，令，則，所以在上單調(diào)遞增，可知，一定存在使得，且當(dāng)時，所以在上，單調(diào)遞減，從而有時，不滿足題意；綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為. 解法二：當(dāng)時，函數(shù)，又當(dāng)時，對一切恒成立等價于恒成立，記，其中，則，令，則，在上單調(diào)遞增，恒成立，從而在上單調(diào)遞增，由洛比達(dá)法則可知

17、，解得. 實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與不等式恒成立問題，考查了分類與整合的解題思想，涉及分離參數(shù)法等技巧、涉及到洛比達(dá)法則等知識，注意解題方法的積累，屬于難題.21（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)成等差數(shù)列與三角形內(nèi)角和可知,再利用兩角和的正切公式,代入化簡可得,同理根據(jù)三角形內(nèi)角和與余弦的兩角和公式與等比數(shù)列的性質(zhì)可求得,聯(lián)立即可求解求的值.(2)由(1)可知,再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系與正弦定理可求得,再結(jié)合的面積為利用面積公式求解即可.【詳解】解：成等差數(shù)列,可得 而,即,展開化簡得,因為,故又成等比數(shù)列,可得,即,可得聯(lián)立解得（負(fù)的舍去）,可得銳角；由可得,由為銳角,解得,因為為銳角,故可得,由正弦定理可得,又的面積為可得,解得【點睛】本題主要考查了等差等比中項的運用以及正切的和差角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系等.同時也考查了正弦