高中數(shù)學導數(shù)專項練習12講

1、第1講：導數(shù)與單調性一知識梳理二典例分析1. 利用導數(shù)求單調性(不含參數(shù))求下列函數(shù)的單調區(qū)間.（1） （2） （3） （4） 練習1.求下列函數(shù)的單調區(qū)間.（1） （2）（3） （4）2.利用導數(shù)求單調性(含參數(shù))例2.（1）討論函數(shù)的單調性；（2）討論函數(shù)的單調性；（3）討論函數(shù)的單調性.練習2.討論下列函數(shù)的單調性.（1）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調性；（2）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調性；（3）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調性3.已知單調性求參數(shù)的值.例3.已知函數(shù), 若函數(shù)在上是單調遞增的，求的取值范圍練習3.若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；若函數(shù)在上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；（3）若

2、函數(shù)在定義域上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍導函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關系例4已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，那么函數(shù)的圖象最有可能的是ABCD5.利用單調性證明不等式(一)例5.證明下列不等式（1）證明：當，；（2）若，證明：當，.練習4.（1）證明：當，；（2）證明：當，.6.利用單調性求解不等式例6.（1）定義在R上的函數(shù)滿足，且對任意xR都有，求不等式的解集；（2）已知函數(shù)滿足，且的導函數(shù)滿足，則求解不等式的解集.三課后練習1函數(shù)的單調遞增區(qū)間為( )ABCD2若函數(shù)在上單調遞增，則的取值范圍為（ ）ABCD3若函數(shù)在區(qū)間單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD4已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的

3、底數(shù)），則不等式的解集為（ ）ABCD5設函數(shù)在定義域內可導，的圖像如圖所示，則導函數(shù)的圖像可能為( )ABCD6函數(shù)的圖象大致為（ ）ABCD7函數(shù)的定義域是，對任意的，都有成立，則不等式的解集為( )ABCD8已知函數(shù)的定義域為，且，對任意，則的解集為（ ）ABCD9已知實數(shù)，函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是ABCD11已知函數(shù)（）若，求曲線在點處的切線方程；（）求函數(shù)的單調區(qū)間12已知函數(shù)，.（1）當時，求函數(shù)圖象在點處的切線方程；（2）當時，討論函數(shù)的單調性；第2講.抽象不等式問題典例分析.若是定義在上的偶函數(shù)，且，當時，恒成立，則不等式的解集是（ ）A B C D練習1定義在R上

4、的奇函數(shù)f(x)滿足f(1)0，且當x0時，f(x)xf(x)，則下列關系式中成立的是()ABCD練習2已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且對于任意的，都有，則（ ）ABCD練習3設函數(shù)是偶函數(shù)的導函數(shù)，當時，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）BCD練習4是定義在上的可導函數(shù)，且滿足，對任意實數(shù)，若，則必有（ ）BCD練習5對于R上可導的任意函數(shù)，若滿足則必有（ ）ABCD練習6定義在上的函數(shù)滿足：，則不等式 的解集為（ ）A(0,+)B(,0)(3,+ )C(,0)(0,+)D(3,+ )參考答案11解：（），在處切線方程為.（），令，即，解得或當時（即時），由得或，由得，的增區(qū)間為， ，減區(qū)間為，當

5、（即時），由得或，由得，增區(qū)間為， ，減區(qū)間為當，即時，在上恒成立，的增區(qū)間為無減區(qū)間綜上， 時， 增區(qū)間為， ，減區(qū)間為，時， 增區(qū)間為， ，減區(qū)間為，時， 增區(qū)間為，無減區(qū)間（8分）12：（1）當時，所以所求的切線方程為，即（2），當，即時，在上單調遞增當，即時，因為或時，；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當，即時，因為或時，；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減第3講.雙極值點問題探究一典例分析例1. 已知函數(shù)（1）討論的單調性；（2）若存在兩個極值點，證明：二自主練習1.已知函數(shù).討論函數(shù)的單調性；若函數(shù)有兩個極值點，證明：.2. 已知函數(shù).若函數(shù)在是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；若函數(shù)

6、在上存在兩個極值點，且，證明：.已知上的函數(shù)存在兩個極值點為，若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.4已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若存在兩個極值點，證明：.5已知函數(shù)有兩個極值點，.（1）求的取值范圍；（2）證明：.6已知函數(shù)有兩個不同的極值點、.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求證：，且.4.解：（1）函數(shù)的定義域為，令，則.當時，恒成立，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.當時，方程有兩根，當時，；當時，；當，.的單調遞增區(qū)間為、，單調遞減區(qū)間為.（2）證明：由（1）知，當時，存在兩個極值點，函數(shù)在上單調遞減，則，不妨設，則.由于，且，所以，則.5.解：（1），有兩個不等正根，解得.（2）由

7、已知得，令，則，是增函數(shù)，即.6.解：（1），定義域為，.由題意可知，方程在上有兩個不等的實根、，則，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是；（2）由題意可知，、為方程的兩個實根，由于，則，當時，由（1）可知，令，設，.，所以，函數(shù)在上單調遞減，所以，因此，.練習9【詳解】計算導數(shù)得到，結合構造新函數(shù)得到要使得存在兩個不同的極值點，則要求有兩個不同的根，且，則，解得，而，構造新函數(shù)，計算導數(shù)得到，結合前面提到的a的范圍可知在單調遞增，故，因而，表示為區(qū)間則是，故選A。第4講：導數(shù)與最值基礎知識：典例分析一求函數(shù)的最值例1.求函數(shù)在區(qū)間最大值與最小值.例2.已知函數(shù)，其中設是函數(shù)的導函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的

8、最小值練習1. 已知函數(shù)求在區(qū)間上的最大值和最小值；二已知函數(shù)的最值求參數(shù)例3. 設，函數(shù)的最大值為1，最小值為，求常數(shù).練習2.已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.練習3. 已知函數(shù)若，求的值.練習4. 已知函數(shù)，且（1）求；（2）證明：存在唯一的極大值點，且 QUOTE 三恒成立問題1.不含參恒成立例4. 證明常用不等式（1） （2） 2.含參恒成立之分離參數(shù)例5.已知函數(shù)在與處都取得極值（1）求的值及函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若對，不等式恒成立，求的取值范圍例6已知函數(shù)，若，且對任意的恒成立，則的最大值為_

9、練習5已知函數(shù). 若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.3.已知參數(shù)范圍放縮參數(shù)消參例7.已知函數(shù).設是的極值點，求，并討論的單調性；當時，證明練習6已知函數(shù)（1）設是的極值點，求的值；（2）證明；當時，4.值域法例8.設函數(shù)，若對于任意的都有成立，則實數(shù)的值為_練習7. 已知函數(shù).（1）討論在區(qū)間上的單調性；（2）若恒成立，求實數(shù)a的最大值.（e為自然對數(shù)的底）第5講 端點效應及應用例9（2020成都二診）已知函數(shù)，其中.（1）若，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）設.若在上恒成立，求實數(shù)的最大值.練習8（2016四川卷）設函數(shù).討論的單調性；確定的值，使得在區(qū)間內恒成立.第六講 函數(shù)同構及應用

10、若能夠變形成，然后利用的單調性，如遞增，轉化為，即為同構變換.例如：.例題：對下列不等式或等式進行同構變換 （2） （4） （6）（7） （8）練習題1.若對,恒有，則實數(shù)的最小值為_.2.已知函數(shù)，若關于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_.3.若，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為_.練習.已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_.4.已知函數(shù)，證明：當時，.已知是函數(shù)的零點，則_.6.若函數(shù)，證明：.已知函數(shù)，若，則實數(shù)的最小值為_.7.已知函數(shù)，若，求實數(shù)的取值范圍.8.已知，若，求實數(shù)的取值范圍.已知，求證：時，.10.（1）函數(shù)的最大值為_.（2）函數(shù)的最小值為_.（3）函數(shù)

11、的最大值為_.（4）函數(shù)的最小值為_.總練習題1已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍（ ）.ABCD2已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象恒在軸的上方，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD3若關于的不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是( )ABCD4已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）當時，求函數(shù)的最大值和最小值.5已知函數(shù)，.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，求在區(qū)間上的最大值和最小值.6已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取得極值，對，恒成立，求實數(shù)b的取值范圍7已知函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）若關于的不等式在上恒成立，求的取值范圍.8已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調區(qū)間

12、；（2）當時，證明：在上恒成立.第7講：恒成立問題7法最值分析法.已知函數(shù)，證明：.例2.已知函數(shù)，若當時，求的取值范圍.方法二：分離參數(shù)例3.（2020全國一卷）已知函數(shù).當時，討論的單調性；當時，求的取值范圍.例4.已知函數(shù)（1）當時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若f（x）1，求a的取值范圍方法三：端點效應例5（2020成都二診）已知函數(shù)，其中.（1）若，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）設.若在上恒成立，求實數(shù)的最大值.練習1（2016四川卷）設函數(shù).討論的單調性；確定的值，使得在區(qū)間內恒成立.練習2.（2019成都三診）設函數(shù).當時，判斷是否為

13、函數(shù)的極值點，并說明理由；當時，不等式恒成立，求的最小值.方法四：放縮1.不等式放縮例6.已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），.（1）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.練習1. 已知函數(shù).當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；若，求的取值范圍.練習2.已知函數(shù). 若，求的取值范圍.練習3已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值;（2）當時,若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.練習4. 已知函數(shù).（1）當時，證明：;（2）若對于定義域內任意，恒成立，求的范圍.已知參數(shù)范圍進行局部放縮（加必要性探路）例6：已知函數(shù).設是的極值點，求，并討論的單調性；當時，證明練習已知函數(shù)（1）設是的極值點，

14、求的值；（2）證明；當時，方法五：凸凹反轉例7.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）當時，求證：.練習.（2020成都三診理）已知函數(shù).當時，求的單調區(qū)間；當時，證明：.練習：設函數(shù)，曲線在點處的切線為（1）求；（2）證明：第8講導數(shù)與零點一導言導數(shù)與零點專題是高考考察的重點內容，下表列舉了從16年起全國卷對這個點的考察：2020年2019年2018年2017年2016年全國一卷 20題：證明零點個數(shù)21題：已知零點個數(shù)求參數(shù)21題：已知零點個數(shù)求參數(shù)，零點偏移全國二卷20題：證明零點個數(shù)，公切線.21題：已知零點個數(shù)求參數(shù)全國三卷21題：零點分布如上表所示，導數(shù)與零點是高考導數(shù)大題部分的

15、重要命題方向之一，結合近五年全國主要地方的模擬考試題來看，該專題大致可以分為四個具體的命題方向：1.判斷或證明零點個數(shù). 此題型以2019年全國一卷20題為典型例子，是一類較新的題型. 重點考察學生利用函數(shù)單調性與值域，零點存在性定理準確的找到零點的存在性，突出考察學生的邏輯推理與數(shù)學運算素養(yǎng)，具有較高的綜合性. 2.已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍. 此題型在16-18年連續(xù)三年均有考察，處理此類問題有兩種常見的方法：含參數(shù)討論及分離參數(shù)，重點考察學生利用函數(shù)單調性分析值域，數(shù)形結合解決問題.此題型還可衍生到對過點求切線個數(shù)，公切線個數(shù)的考察上.3.討論或者證明零點所滿足的分布特征.此題型以2020年

16、全國三卷21題為典型例子，需要在找到零點的基礎上進一步分析出零點所滿足的分布，對學生的邏輯推理，嚴謹表達均有較高的要求.4.零點偏移或者雙零點，極值點問題.主要考察變量替換與構造函數(shù)解決問題的基本方法，此類問題處理方法較多，有偏移法處理，變量代換，對數(shù)均值不等式等均可完成，在各地的模擬題中屬于常見的類型.下面，將通過一些高考題目和典型的模擬題具體展開這四類題型的研究和討論，找到破解零點問題的常見思路與方法，提升邏輯推理，數(shù)學運算，直觀想象的核心素養(yǎng)，讓學生在研究問題的過程中獲得成就感.二題型1：判斷或證明零點個數(shù)1已知函數(shù)，為的導數(shù)證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）有且僅有2個零點2已

17、知函數(shù).討論的單調性，并證明有且僅有兩個零點；設是的一個零點，證明：曲線在點處的切線也是曲線的切線.3.已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)在上的單調性；（2）判斷當時，與的圖象公切線的條數(shù)，并說明理由.4已知函數(shù),為的導函數(shù).(1)求證:在上存在唯一零點;(2)求證:有且僅有兩個不同的零點.題型2：已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍5已知函數(shù)（1）若，證明：當時，；（2）若在只有一個零點，求的值.6已知函數(shù)（1）討論的單調性；（2）若 QUOTE 有兩個零點，求的取值范圍:7已知函數(shù)，（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）當，討論的零點個數(shù).8已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）設函數(shù)，若

18、函數(shù)恰好有2個零點，求實數(shù)的取值范圍.(取，)題型3：零點的分布特征9設函數(shù)，曲線在點(，f()處的切線與y軸垂直（1）求b（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于110已知函數(shù).（1）當時，討論極值點的個數(shù)；（2）若分別為的最大零點和最小零點，當時，證明：.11.已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線為，求的最小值；（2）當常數(shù)時，若函數(shù)在上有兩個零點，證明：.12已知函數(shù)和函數(shù).（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若，且函數(shù)有三個零點、，求的取值范圍.第9講 零點（極值點）偏移，雙零點（極值點）問題13.已知函數(shù)，若，證明：.14設函數(shù).（1）試討論函數(shù)的單調性；（2）如果

19、且關于的方程有兩解，證明.15.已知有兩個不同的極值點.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：.16.已知函數(shù)有兩個零點.求的取值范圍；設是的兩個零點，證明：.練習題1已知函數(shù)，若函數(shù)在上有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD2已知方程在上有兩個不等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（ ）BCD已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD4若二次函數(shù)的圖象與曲線存在公共切線，則實數(shù)的取值范圍為A，B，C，D，5已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）當 時，判斷函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù).已知函數(shù).討論函數(shù)在上單調性；設，試證明在上有且僅有三個零點.7.已知函數(shù).求實數(shù)

20、的值；若函數(shù)，求證：有且僅有兩個零點.（）8.設函數(shù)，.（1）當（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的極小值；（2）討論函數(shù)零點的個數(shù).9設函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性：（2）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.10已知函數(shù)（1）求在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）在曲線上是否存在點P，使得過點P可作三條直線與曲線相切？若存在，求出其橫坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由已知函數(shù).時，求處的切線方程；時，是否存在兩個極值點，若存在，求實數(shù)的最小整數(shù)解，若不存在，說明理由.12.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）設函數(shù)的導函數(shù)為，若函數(shù)恰有個零點，證明：.13.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上是單調函數(shù)，求

21、實數(shù)的取值范圍；（2）當時，為函數(shù)在上的零點，求證：.14.已知函數(shù).（1）若有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)有且只有三個不同的零點，分別記為，且的最大值為，求的最大值.15.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）設，函數(shù)恰有2個零點，證明：.16.已知函數(shù)在處取得極值.（1）求實數(shù)的值及函數(shù)的單調區(qū)間；（2）方程有三個實根求證：17設函數(shù).(1)若，求的單調區(qū)間；(2)若存在三個極值點，且，求的取值范圍，并證明:.18已知函數(shù)，且.（1）求的值；（2）在函數(shù)的圖象上任意取定兩點，記直線的斜率為，求證：存在唯一，使得成立.第10講 泰勒公式在高考試題中的應用泰勒公式是高等數(shù)學中的

22、重點，也是一個難點，它貫穿于高等數(shù)學的始終。泰勒公式的重點就在于使用一個次多項式,去逼近一個已知的函數(shù)，而且這種逼近有很好的性質：與在點具有相同的直到階的導數(shù).所以泰勒公式能很好的集中體現(xiàn)高等數(shù)學中的“逼近”這一思想精髓。泰勒公式的難點就在于它的理論性比較強，一般很難接受，更不用說應用了。但泰勒公式無論在科研領域還是在證明、計算應用等方面，它都起著很重要的作用.運用泰勒公式，對不等式問題進行分析、構造、轉化、放縮是解決不等式證明問題的常用方法與基本思想.本文擬在前面文獻研究的基礎上通過舉例歸納，總結泰勒公式在證明不等式中的應用方法. 泰勒公式知識：設函數(shù)在點處的某鄰域內具有階導數(shù)，則對該鄰域內

23、異于的任意點，在與之間至少存在一點，使得：=+ +，其中稱為余項，上式稱為階泰勒公式；若0，則上述的泰勒公式稱為麥克勞林公式，即= +.利用泰勒公式證明不等式：若函數(shù)在含有的某區(qū)間有定義,并且有直到階的各階導數(shù),又在點處有階的導數(shù),則有公式在上述公式中若(或),則可得或證明: 證明 設 則在處有帶有拉格朗日余項三階泰勒公式 由以上證明可知,用泰勒公式證明不等式,首先構造函數(shù),選取適當?shù)狞c在處展開,然后判斷余項的正負,從而證明不等式.對于欲證不等式中含有初等函數(shù)、三角函數(shù)、超越函數(shù)與冪函數(shù)結合的證明問題，要充分利用泰勒公式在時的麥克勞林展開式，選取適當?shù)幕竞瘮?shù)麥克勞林的的展開式，對題目進行分析

24、、取材、構造利用.證明不等式：.2、不等式左邊是三次二項式的初等函數(shù)，右邊是三角函數(shù)，兩邊無明顯的大小關系 。這時我們可用在的二階麥克勞林公式表示出來，然后進行比較判斷兩者的大小關系。 證明 , 當時，的泰勒展式為： 0 (0, ,01)所以0,，有 .在含有無理函數(shù)與冪函數(shù)結合的不等式證明問題中，它們之間沒有明顯的大小關系。如果用常規(guī)方法（放縮法、比較法，代換法等），我們很難比較它們之間的大小關系，但這時用泰勒公式卻能輕易解答.證明不等式：，（0）.對于此題，若我們對不等式兩邊同時平方，雖可以去掉根號，但的次數(shù)卻提高了次，這還是難以比較他們之間的大小關系，但若用泰勒公式卻可以輕易解答.證明

25、設，則,代入=0的二階泰勒公式，有=1+- + (01) 0, 0 所以 （x0）.在不等式的證明問題中，若題目中出現(xiàn)了一階導數(shù)、二階導數(shù)、初等函數(shù)、三角函數(shù)或超越函數(shù)等與冪函數(shù)結合時，可優(yōu)先考慮泰勒公式在=0時的麥克勞林表達式。當然能做好此類題的前提條件是要對一些基本函數(shù)的麥克勞林表達式熟悉.微分中值定理: 若滿足以下條件:(1) 在閉區(qū)間內連續(xù) (2) 在開區(qū)間上可導則 若分析 因為則原不等式等價于 .令,則我們容易聯(lián)想到中值定理.證明 設,顯然滿足中值定理的條件則 即5、已知函數(shù)， ；(2),因為所以。故得證 （也可用中值定理來證）6、已知函數(shù)解： 評注：本題得到不等式與不等式構成經典不等式，即.7、已知解析： 由經典不等式及因此故又綜上所述，得第11講 雙變量放縮.雙變量放縮主要指切割線放縮，此時題干所給函數(shù)具有明顯的凸凹性，我們可以借助切線不等式的原理將某些變量進行合理的放縮得到結果.4.已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)求函數(shù)的零點，以及曲線在處的切線方程；(2)設