中考數(shù)學(xué)命題研究第一編教材知識(shí)梳理篇第三章函數(shù)及其圖象第五節(jié)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)(精講)試題

1、第五節(jié) 二次函數(shù)的圖象及性質(zhì), 貴陽(yáng)五年中考命題規(guī)律)年份題型題號(hào)考查點(diǎn)考查內(nèi)容分值總分(1)求二次函數(shù)表達(dá)二次函數(shù)的式； (2)求2016解答25動(dòng)點(diǎn)過(guò)程線1212圖象及性質(zhì)段的最大值； (3)探索點(diǎn)的坐標(biāo)給出拋物線經(jīng)過(guò) x 軸上兩點(diǎn)坐標(biāo)：二次函數(shù)的(1)判斷字2015解答24母符號(hào)；1212圖象及性質(zhì)(2)確定表達(dá)式； (3)探索點(diǎn)的坐標(biāo)給出拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)坐標(biāo)： (1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求平移2014解答25圖象及圖象1212后字母的范的平移圍； (3)分類(lèi)討論以某邊為底的等腰三角形2013填空15二次函數(shù)的根據(jù)性質(zhì)求4性質(zhì)字母范圍根據(jù)圖象求： (1)頂解答23二次函數(shù)的點(diǎn)坐標(biāo)；1

2、014圖象(2) 直線表達(dá)式； (3)直線與拋物1/182012選擇解答命題規(guī)律命題預(yù)測(cè)線交點(diǎn)坐標(biāo)二次函數(shù)的根據(jù)圖象確定最大值、310圖象及性質(zhì)最小值根據(jù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)求： (1) 二二次函數(shù)的次函數(shù)表達(dá)121525式； (2) 四圖象及性質(zhì)邊形的面積； (3) 探索存在性縱觀貴陽(yáng)市年中考，二次函數(shù)圖象及性質(zhì)在中考中一般設(shè)置 12道題，分值為 12 15分，在解答、選擇、填空均有涉及，但在解答題當(dāng)中必然出現(xiàn)且分值 10 12分預(yù)計(jì) 2017年貴陽(yáng)中考，二次函數(shù)圖象及性質(zhì)是必考內(nèi)容，涉及內(nèi)容為已知拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，求表達(dá)式及探索其他問(wèn)題，學(xué)生務(wù)必加大訓(xùn)練力度 .2/18, 貴陽(yáng)五年中考真題及

3、模擬)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)(7 次)1( 2013 貴陽(yáng) 15 題 4 分 ) 已知二次函數(shù)y x2 2mx 2，當(dāng) x 2 時(shí)， y 的值隨 x 值的增大而增大，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是_m 2_2( 2012 貴陽(yáng) 10 題 3 分 ) 已知二次函數(shù)y ax2 bx c(a 0) 的圖象如圖所示，當(dāng) 5 x 0 時(shí)，下列說(shuō)法正確的是 (B)A有最小值 5、最大值 0B有最小值 3、最大值 6C有最小值0、最大值63/18D有最小值2、最大值63( 2013 貴陽(yáng) 23 題 10 分) 已知：直線y ax b 過(guò)拋物線y x2 2x 3 的頂點(diǎn) P，如圖所示：(1) 頂點(diǎn) P 的坐標(biāo)是 _(

4、1， 4) _；(2) 若直線 y axb 經(jīng)過(guò)另一點(diǎn)A(0 ，11) ，求出該直線的表達(dá)式；(3) 在 (2) 的條件下，若有一條直線y mxn 與直線 y ax b 關(guān)于 x 軸成軸對(duì)稱(chēng)，求直線y mx n 與拋物線y x2 2x3 的交點(diǎn)坐標(biāo)解： (2)y 7x 11； (3) 直線y mx n 與直線y 7x 11 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)， y mx n 過(guò)點(diǎn)P( 1， 4 mn，24) ，A(0 ， 11) ， 11n，m 7， n 11. y 7x11， 7x 11 x 2x 3， x1 7，x2 2， y1 60， y23， 交點(diǎn)坐標(biāo)為 (7 ， 60) ， ( 2，3) 1 24(

5、2012 貴陽(yáng) 25 題 12 分 ) 如圖 ，二次函數(shù)y2x x c 的圖象與 x 軸分別交于A、 B兩點(diǎn) ，頂點(diǎn) M關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是M.(1) 若 A( 4，0) ，求二次函數(shù)的關(guān)系式；(2) 在 (1) 的條件下，求四邊形AMBM的面積；1是否存在拋物線 y 2x2 x c，使得四邊形 AMBM 為正方形？若存在 ，請(qǐng)求出此拋物線的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由12x 12；(2)121211225解： (1)y 2x y2x x 12 2(x 2x 1) 212 2(x 1) 2 ， 頂點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (1 ，25125 2 ) ， A( 4， 0) ，對(duì)稱(chēng)軸為 x1， 點(diǎn) B

6、 的坐標(biāo)為 (6 ， 0) ， AB6 ( 4) 6 410， SABM 2 10 242 ， 頂點(diǎn) M 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是 M ， S四邊形AMBM 2S 2 2 125； (3) 存在拋物線y 2x x 2，ABM使得四邊形 AMBM 為正方形理由如下：令12A(x1， 0) ， B(x 2，y 0，則 2xx c 0，設(shè)點(diǎn) A， B 的坐標(biāo)分別為114ac b22c 10) ，則 x1 x2 2 2，x1 x2 22c， AB ，點(diǎn) M 的縱坐標(biāo)為：4a 2 ， 頂點(diǎn) M 關(guān)于 x 軸的對(duì)1 2c213稱(chēng)點(diǎn)是 M ，四邊形 AMBM 為正方形 ， 2212

7、2，又拋物線，整理得 ， 4c 4c 3 0，解得 c 2， c22113123與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn) ， b 4ac ( 1)4 2c0，解得 c2， c的值為 2，故存在拋物線y 2x x 2，使得四邊形AMBM為正方形15( 2014 貴陽(yáng) 25 題 12 分 ) 如圖 ，經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(0 ， 6) 的拋物線y2x2 bx c 與 x 軸相交于B( 2， 0) ， C 兩點(diǎn)(1) 求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式和頂點(diǎn)D 的坐標(biāo)；(2) 將 (1) 中求得的拋物線向左平移1 個(gè)單位長(zhǎng)度 ，再向上平移m(m 0) 個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線y1，若新拋物線 y1 的頂點(diǎn) P 在 ABC內(nèi)，求 m的取值范圍在

8、 (2) 的結(jié)論下 ，新拋物線 y1 上是否存在點(diǎn) Q，使得 QAB是以 AB 為底邊的等腰三角形？請(qǐng)分析所有可能出現(xiàn)的情況，并直接寫(xiě)出相對(duì)應(yīng)的m的取值范圍解： (1)y121212 2x 2x 6， D(2 ， 8) ； (2) y1 2(x 2 1) 8 m，y 2(x 1) 8 m， P(1 ， m 8) ，1在拋物線12 2x 6中易知 C(6 ，0) ， 直線 AC 為 y x 6，當(dāng) x 1 時(shí)， y 5， 5m 80，解得y 2x221031033m8； (3) 當(dāng) 3m18 時(shí)，存在兩個(gè) Q 點(diǎn)，可作出兩個(gè)等腰三角形；當(dāng)m 18 時(shí)，存在一個(gè) Q 點(diǎn)，可作出一103個(gè)等腰三角形

9、；18 m_0， b 4ac _0； ( 選填 “ ”或 “ ”)若該拋物線關(guān)于直線 x 2 對(duì)稱(chēng)，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(3) 在 (2) 的條件下，連接AC， E 是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E 作 AC 的平行線交x 軸于點(diǎn)F. 是否存在這樣的點(diǎn)E，使得以A， C， E， F 為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E 的坐標(biāo)；若不存在，5/18請(qǐng)說(shuō)明理由1 24解： (2)y 3x 3x 4；(3) 存在 ( ) 假設(shè)存在點(diǎn)E，使得以 A， C， E， F 為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)C 作 CE x 軸，交拋物線于點(diǎn)E，如圖 1，過(guò)點(diǎn) E 作 EFAC，交 x

10、軸于點(diǎn) F，則四邊形ACEF即為滿(mǎn)足條124對(duì)稱(chēng)， 由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知E 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 4，又件的平行四邊形 ， 拋物線 y 3x3x 4 關(guān)于直線 x 2 OC 4，E 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 4，存在點(diǎn)E(4， 4) ( ) 假設(shè)在拋物線上還存在點(diǎn)E，使得以A， C，F(xiàn)，E為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形，如圖2，過(guò)點(diǎn) E作 EF AC交 x 軸于點(diǎn) F，則四邊形ACFE即為滿(mǎn)足條件的平行四邊形， ACEF， ACEF，過(guò)點(diǎn)E作 EG x 軸于點(diǎn) G， ACEF， CAO EFG，又 COA EGF 90，ACEF， CAO EFG， EGCO 4，點(diǎn) E的124E 的坐標(biāo)縱坐標(biāo)是 4，4 3x3

11、x 4，解得 x1 2 2，x2 2 2， 點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 (2 2， 4) ，同理可得點(diǎn)為(2 2，4) 圖 16/18圖 27( 2016 貴陽(yáng) 25 題 12 分 ) 如圖，直線y 5x5 交 x 軸于點(diǎn) A，交 y 軸于點(diǎn) C，過(guò) A，C 兩點(diǎn)的二次函數(shù)yax24x c 的圖象交x 軸于另一點(diǎn)B.(1) 求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2) 連接 BC，點(diǎn) N 是線段 BC上的動(dòng)點(diǎn)，作NDx 軸交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)D，求線段 ND長(zhǎng)度的最大值；(3) 若點(diǎn) H 為二次函數(shù)y ax2 4x c 圖象的頂點(diǎn) ，點(diǎn) M(4， m) 是該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，在x 軸、 y 軸上分別找點(diǎn) F， E，使四

12、邊形 HEFM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn) F， E 的坐標(biāo)溫馨提示：在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn) P， Q 的坐標(biāo)分別為 P(x 1， y1) ，Q(x 2， y2) ，當(dāng) PQ平行 x 軸時(shí) ，線段 PQ的長(zhǎng)度可由公式 PQ|x x | 求出；當(dāng) PQ平行 y 軸時(shí)，線段 PQ的長(zhǎng)度可由公式PQ |y y | 求出1212解： (1) 直線 y 5x 5交 x 軸于點(diǎn) A，交 y 軸于點(diǎn) C， A( 1， 0) ， C(0， 5) ， 二次函數(shù) y ax 2 4xc的圖象過(guò) A，C 兩點(diǎn) ，0 a4 c，a 1，y x2 4x 5；c2，解得 c 5， 二次函數(shù)的表達(dá)式為7/18(2) 點(diǎn) B 是二次函數(shù)的

13、圖象與x 軸的交點(diǎn) ， 由二次函數(shù)的表達(dá)式為y x2 4x 5 得，點(diǎn) B的坐標(biāo) B(5 ，5k b 0，k 1，0) ，設(shè)直線 BC表達(dá)式為 y kx b，直線 BC過(guò)點(diǎn) B(5 ， 0) ， C(0 ，5) ， b 5，解得 b5， 直線 BC表達(dá)式為 y x5，設(shè) ND的長(zhǎng)為 d， N 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n，則 N 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 n 5， D 點(diǎn)的坐標(biāo)為 D(n ， n2 4n222 5) ，則 d | n4n 5 ( n 5)| ，由題意可知： n 4n 5 n 5， d n 4n 5 ( n 5)2522552525n 5n (n 2) 4 ， 當(dāng) n 2時(shí)， d 有最大值 ，d 最大 4

14、 ，線段 ND長(zhǎng)度的最大值是4 ； (3) 由題意可得二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為H(2 ，9) ，點(diǎn) M的坐標(biāo)為 M(4， 5) ，作點(diǎn) H(2 ， 9) 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，則點(diǎn) H 的坐標(biāo)為 H( 1112，9) ，作點(diǎn) M(4， 5) 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) M1，則點(diǎn) M1 的坐標(biāo)為 M1(4 ， 5) ，連接 H1M1 分別交 x 軸于點(diǎn) F，y 軸于點(diǎn)E，所以 H1M1 HM的長(zhǎng)度是四邊形HEFM的最小周長(zhǎng) ，則點(diǎn) F、E 即為所求 ，設(shè)直線H1M1 表達(dá)式為y k1xb1，直線 H1M1 過(guò)點(diǎn) M1(4 ， 5 4k1 b1，1371313， H1( 2， 9) ，根據(jù)題意得方程組

15、9 2k1 b1，解得 ， y 3x 3 ， 點(diǎn) F， E 的坐標(biāo)分別為 ( 7 ， 0) ，13(0， 3)8/18, 中考考點(diǎn)清單 )二次函數(shù)的概念及表達(dá)式1定義：一般地，如果兩個(gè)變量x 和 y 之間的 函數(shù)關(guān)系 ，可以表示成y ax2 bx c(a ， b，c 是常數(shù) ，且 a0) ，那么稱(chēng) y 是 x 的二次函數(shù)，其中， a 叫做二次項(xiàng)系數(shù)， b 叫做一次項(xiàng)系數(shù)， c 叫做常數(shù)項(xiàng)2三種表示方法：一般式： yax2 bxc(a 0) ；(2) 頂點(diǎn)式： ya(x h) 2k(a 0) ，其中二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ( h， k) ；(3) 交點(diǎn)式： y a(x x1)(x x2)(a 0)

16、 ，其中 x1， x2為拋物線與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)( 高頻考點(diǎn) )3圖象性質(zhì)9/18二次函數(shù)y ax2 bx c(a ， b， c 為常函數(shù)圖象數(shù)， a 0)對(duì)稱(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性最值b直線 x 2ab4ac b2b4ac b2( 2a，4a)( 2a，4a)bb在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，即x 2a時(shí)， y 隨在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，即當(dāng) x 2a時(shí)， yx 的增大而減??；在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，即隨 x 的增大而增大；在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，bb當(dāng) x 2a時(shí)， y 隨 x 的增大而增大，即當(dāng) x 2a時(shí)， y 隨 x 的增大而減簡(jiǎn)記為左減右增小，簡(jiǎn)記為左增右減bb拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng) x 2a時(shí)， y拋物線

17、有最高點(diǎn)，當(dāng)x 2a時(shí)， y 有有最小值， y 最小值 4ac b2最大值， y 最大值 4ac b24a4a4系數(shù) a， b， c 與二次函數(shù)的圖象關(guān)系項(xiàng)目字母字母符號(hào)圖象的特征aa 0a 0bb 0ab 0(b 與 a 同號(hào) )ab 0(b 與 a 異號(hào) )cc 0c 0c 0b2 4ac2b 4ac 02b 4ac 02b 4ac 0特殊關(guān)系當(dāng) x 1 時(shí)， y a b c 當(dāng) x 1 時(shí)， y a b c若 ab c 0，即 x 1 時(shí)， y 0 若 ab c 0，即 x 1 時(shí)， y 0開(kāi)口向上開(kāi)口向下對(duì)稱(chēng)軸為y 軸對(duì)稱(chēng)軸在y 軸左側(cè)對(duì)稱(chēng)軸在y 軸右側(cè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與 y 軸正半軸相交與

18、y 軸負(fù)半軸相交與 x 軸有唯一交點(diǎn) ( 頂點(diǎn) ) 與 x 軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn)10/18二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系5當(dāng)拋物線與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根6當(dāng)拋物線與x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根7當(dāng)拋物線與x 軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根, 中考重難點(diǎn)突破)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)【例 1】 ( 2016 蘭州中考 ) 二次函數(shù)yx2 2x 4 化為 ya(x h) 2k 的形式 ，下列正確的是()A y(x 1) 2 2B y (x 1) 23C y(x 2) 22D y

19、 (x 2) 2411/18【解析】根據(jù)配方法進(jìn)行配方可解【學(xué)生解答】 B1( 2016 上海中考 ) 如果拋物線y x2 2 向下平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度 ，那么所得新拋物線的表達(dá)式是(C )A y(x 1) 22B y (x 1) 222 4x 4 向左平移Cy x2 1D y x232( 2016 山西中考 ) 將拋物線 y x3 個(gè)單位長(zhǎng)度 ，再向上平移 5個(gè)單位長(zhǎng)度 ，得到拋物線的表達(dá)式為 ( D )A y(x 1) 2 13B y (x 5) 23 y(x 5) 2 13 y (x 1) 232CD3( 2016 貴陽(yáng)適應(yīng)性考試 ) 若二次函數(shù) 9的圖象經(jīng)過(guò)A( 1， y ) ， B(

20、1， y ) ， C(3 ， y ) 三點(diǎn)，yx 6x123則關(guān)于 y1，y2，y3 大小關(guān)系正確的是 ( A ) y1y 2y3 y1y3y2ABC y2y 1y3D y3y1y2拋物線 yax2 bx c(a 0) 的圖象與a，b， c 的關(guān)系12/18【例2】( 2016 泰安中考 ) 二次函數(shù)y ax 2 bxc 的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)y ax b 的圖象大致是( ),A),B),C),D)b【解析】由二次函數(shù)的圖象可知a0， 2a0，所以 b 0，所以 yax b 經(jīng)過(guò)一、二、四象限【學(xué)生解答】 A13/18c4( 2016 賀州中考 ) 拋物線 yax2 bxc 的圖象如圖所

21、示，則一次函數(shù)y ax b 與反比例函數(shù)y x在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為(B ),A),B)14/18,C),D)a5( 2016 自貢中考 ) 二次函數(shù)y ax 2 bx c 的圖象如圖 ，反比例函數(shù)yx與正比例函數(shù)y bx 在同一坐標(biāo)系內(nèi)大致圖象是(C ),A),B)15/18,C),D)6( 2016 煙臺(tái)中考 ) 二次函數(shù)yax2 bxc 的圖象如圖所示，下列結(jié)論： 4acb； 2a b0.其中正確的是 (B )ABCD二次函數(shù)表達(dá)式的確定【例3】 ( 2015寧波中考 ) 如圖 ，已知二次函數(shù) y ax2 bx c 的圖象過(guò)A(2， 0) ， B(0 ， 1) 和 C(4， 5) 三點(diǎn)(1) 求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2) 設(shè)二次函數(shù)的圖象與x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 D，求點(diǎn) D 的坐標(biāo)；16/18在同一坐