vip專屬數(shù)學(xué)階段測評課6-9月試題sx6answer

1、www高等數(shù)學(xué)測試2013學(xué)員階段測試高等數(shù)學(xué)上測試題一、選擇題2()1、已知 limx ax + b= 0 ，則a,b =（）。x （A）1,2】 （C）(B) 1,0(C) 3,-1/2(D) -3,1/2【b x 2 x】提出公因式 x，原式 lim x 2 a = 0【x xx b x 2 x由x 知 lim 2 a = 0 ，即x xx b 1lim 2 a +1 = 3 a = 0 得到a = 3x xx 將a = 3 帶入原極限b = lim x +x x = limx112= limx = 21x1 +1 因此選 C2、設(shè) f (0) = 0 ，則 f (x)在x = 0 可導(dǎo)

2、的充要條件為（）1lim 1 f (1 eh ) 存在h0 hf (1 cos h) 存在(A) lim(B)h0 h211(C) limf (h sin h)存在h0 h2【】（B）limf (2h) f (h) 存在(D)h0 h【】注意到1 cos h 0 且lim(1 cos h) = 0 ，設(shè)u = 1 cos h ，則h 0 f (1 cos h) f (0) 1 cos h f (1 cos h)= lim limh0ih0 1 cos h 0h2h2= 1 lim f (1 cos h) f (0) = 1 lim f (u) f (0) = 1 f (0)+1 cos h 0

3、2 h02 u0+u2故 A 只保證了 f (0) 存在，而不是 f (0)存在的充分條件。+1www高等數(shù)學(xué)測試由于1 eh 與h 反號，故 f (1 eh ) f (0) 1 eh f (1 eh )f (u) f (0)= lim = lim= f (0)limh0ih0 u 0h1 eh 0hu0故左邊存在保證右邊存在，反之亦然，因此 B 是 f (0)存在的充要條件。又h sin h h 3 / 6 ，得lim f (h sin h) f (0) = lim f (h sin h) f (0)ih sin hh2f (h sin h) f (0)h sin hh2h0h0h 3/ 6

4、f (u) f (0)= limh0ilimh0= limu0i0h sin hh2uf (u sin h)f (u) f (0)則limh0存在不能保證limu0存在，故 C 不對。h2u f (2h) f (0)f (h) f (0)f (2h) f (h)= lim limh0又h0 hhh左邊存在不能保證右邊拆項(xiàng)后的極限存在，故 D 不正確。3、設(shè)函數(shù) f（x）在 x0 處可導(dǎo)，下列命題錯誤的是（）f (x)（A）若limx 0= 1 ，則 f（0）0 xf (x)= 1 ，則 f (0) = 1.（B）若 limx 0+xf (ex 1)（C）若limx 0= 1 ，則 f (0)

5、= 1.xf (x) f (x)= 1 ，則 f (0) = 1.（D）若limx 0 x【】 （D）【】 因 f（x）在 x0 處可導(dǎo)，所以 f（x）在 x0 處連續(xù)，從而lim f (x) = f (0).x 0f (x)由（A）中的條件limx 0= 1lim f (x) = 0 結(jié)合lim f (x) = f (0)所以有xx 0 x 0f（0）0，（A）正確2www高等數(shù)學(xué)測試f (x)= 1lim f (x) = 0 又因?yàn)閘im f (x) = lim f (x) 進(jìn)而由（B）中的條件 limx 0+xx 0+x 0 x 0+lim f (x) = 0 = f (0) 所以x 0

6、f (x) f (0) =f (x) = 1，又因 f（x）在 x0 可導(dǎo)，所以 f (0) =f (0) = limlimx 0+xxx 0+f +(0) = 1, （B）正確f (ex 1)= 1 和復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則由（C）中的條件limx 0f（0）0，因此，xf (0) = lim f (x) f (0) = lim f (x)xxx 0 x 0f (et 1)f (et 1)令x = et 1limt0= limt0= 1, （C）正確由排除法，選（D）et 1tf (x) f (x)事實(shí)上，1 = limx 0 x f (x) f (0)f (x) f (0)= lim +x 0

7、xxf (0)所以 f (0) = 12xa+bcosxx 04、已知函數(shù) f (x) = 在x = 0 處可導(dǎo)，則（）x 0（A）a = 2，b = 2（C）a = 1，b = 1x（B）a = 2，b = 2（D）a = 1，b = 1【】（B）】因 f (x)在x = 0 處可導(dǎo)，故其在x= 0 處必連續(xù)，【lim a + b cos xlim f (x) = f (0) = 0則xx 0+x 0+lim(a + b cos x) = 0得a + b = 0 x 0+3www高等數(shù)學(xué)測試f (x) f (0) = lim (a + b cos x) / x 0f (0) = lim由0+

8、xxa sin x = ax 0+x 0+a a cos xlim a + b cos x=22f (x) f (0) = lim xf (0) = lim= 10 xx 0 xx 0又 f (x)在x = 0 處可導(dǎo)，則 f (0) = f (0)，故a = 1 ，得a = 2 。+2將a = 2 代入a + b = 0 中得b = 2 。5、設(shè)函數(shù)g(x) 可微， h(x) = e1+g(x), h (1) = 1, g (1) = 2, 則g(1) 等于（）（A） ln 3 1（C） ln 2 1（B） ln 3 1（D） ln 2 1】(C )】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法：【由h(x) =

9、e1+g(x) 兩邊對x 進(jìn)行求導(dǎo)。得h (x) = g (x)e1+g(x) ，再以x = 1 代入，并由已知數(shù)值得1 = 2e1+g(1) ，1于是g(1) = ln 1 = ln 2 1 .2故選(C ).6、設(shè)函數(shù) f (x), g(x) 連續(xù)，當(dāng) x 0 時(shí) f (x) 與 g(x) 是同階但非等價(jià)無窮小。x1令 F (x) f (x t)dt, G(x) xg(xt)dt . 則當(dāng) x 0 時(shí)，F(xiàn) (x) 與G(x) 的（）00(A) 高階無窮小(C) 同階但非等價(jià)無窮小【】(C )【】令u x t ，則有(B) 低階無窮小(D)等價(jià)無窮小x0 xF (x) f (x t)dt f

10、 (u)(du) f (u)du ；0 x01x令u xt ，則有G(x) xg(xt)dtg(u)du 。00 xf (u)duF (x)f (x) C 0,1.故應(yīng)選(C)。因此， l004www高等數(shù)學(xué)測試7、設(shè)函數(shù) f (x )在 a,b 上有定義，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則（A）當(dāng) f (a) f (b) 0f (1) = 2, f (2) = 2f (1) f (2) = 4 0， 且，在 (1, 2) 內(nèi)可 導(dǎo)，但 (1, 2) 內(nèi) 不存在 使 f (x ) = 0 的點(diǎn)， f (2) f (1) = 4 ，在(1, 2)內(nèi)不存在使f () 的點(diǎn)，因此不選（A）、（D）.2x

11、= 1 (1, 2)x = 2f (1) = f (2)，當(dāng)x (1, 2), f (x ) = 1 ，這又例如 f2表明雖然 f (1) = f (2)在(1, 2)內(nèi)可導(dǎo)，但在(1, 2)內(nèi)，沒有使 f (x ) = 0 的點(diǎn)，因此不選（C）.f (x)8、設(shè) f (x) 有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 f (0) 0 ， lim 1，則| x |x0(A)f (0) 是 f (x) 的極大值(B)f (0) 是 f (x) 的極小值(0, f (0) 是曲線 y f (x) 的拐點(diǎn)(C)f (0) 不是 f (x) 的極值點(diǎn)， (0, f (0) 也不是 y f (x) 的拐點(diǎn)(D)5www高等數(shù)學(xué)

12、測試】B】【f (x)f (x) 1 0 0 （在 x 0 的某去心領(lǐng)方法一：由極限的局部保號性lim| x | x |x0域），由此 f (x) 0（在 x 0 的某去心領(lǐng)域），f (x) 單調(diào)增。又由 f (0) 0 ，f (x)在 x 0 的左右兩側(cè)由負(fù)變正，由極值的第一充分條件，x 0 是 f (x) 的極小值點(diǎn)，即 f (0) 是 f (x) 的極小值。應(yīng)選(B)方法二：利用公式f (x)f (x) 1 0 0（在 x 0 的某去心領(lǐng)域），由此由極限的局部保號性lim| x | x |x0f (x) 0 （在 x 0 的某去心領(lǐng)域）f 0 f 0 x f x2f (x) 2!f 0

13、f x2f 0 ，可見 住 0 與x 之間，從而 f (x) f (0) 是 f (x) 的極小值。2!9、若 f (x)的導(dǎo)函數(shù)是ex+ cos x ，則 f (x)的一個(gè)原函數(shù)為（）（A）ex cos x（B） ex + sin x（C） ex cos x】（A）】因 f (x) = ex（D）ex + sin x【+ cos x ，則 f (x) = ex + sin x +C 。積分得1【f (x)dx = (ex + sin x +C )dx1= ex cos x + C x + C12對照選項(xiàng)，取C1 = C2 = 0 ，得到A。 sin x2x10、設(shè)I1 = dx, I = 2

14、dx.，則 ()2xsin x00（A）I11I2（C）I21I1】 （B）（B）1I1I2（D）I1I21【6www高等數(shù)學(xué)測試】 已知x (0,) 時(shí)，sinxx，2【sin xx 1 xsin x sin x2xI1 = dx dx = I22xsin x00已證 I1I2 2由于 ysinx 在0,是凸函數(shù)由凸函數(shù)的性質(zhì)知，O 與A, 1 的連線y =x ，2 2 x 0,，在曲線 ysinx 的下方2 2 x 0,2 sin x 2 1. 因此選（B）2x0二、填空題：sin xx與 11，則11、設(shè) 0 x x 之間的大小關(guān)系是x212sinx2sin x1sinx2 x1【】x2

15、sin x在（0，）上的單調(diào)性【】 只須x因sinx sin x ,xx27www高等數(shù)學(xué)測試令 F（x）xcosxsinx，F(xiàn)（0）0，F(xiàn)sisin x 0, x (0, ),所以 xcosxsinx0 x（0，），sin x sin x sin x2 ，即 sin x1 x11時(shí)，當(dāng) 0 x x x1x2x212sinx2x12、已知 f (x ) = 1 ，則lim=。0f (x 2x) f (x x)x 000【】 1】 f (x ) = 10【x1 原式limx 0= limf (x 2x) f (x 2x) f (x x)x000而f (x 2x) f (x x)lim 00 xx

16、 0 f (x 2x) f (x )f (x x) f (x= lim 00 (2) + 00 x 0 2xx故原式 = 1= 2f (x ) + f (x ) = f (x ) = 1000注：已知一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，應(yīng)考慮在此點(diǎn)按導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行f (x +bx) f (x + ax)一般地，若 f (x ) 存在，則lim 00 = (b a) f (x )00 xx 013、若 f (t) = lim t(1 + 1)2tx ，則 f (t) =。xx 【】(1 + 2t)e2t2t1x1x= t lim (1 +)x )2tx= te2t【】 f (t) = lim t(1 +x x f (t)

17、 = e2t + ti2e2t = (1 + 2t)e2t8www高等數(shù)學(xué)測試14、設(shè) f (x)的一個(gè)原函數(shù)為xex ，則 xf (x)dx =?！尽縳 2ex +C【】 xf (x)dx = xd f (x) = xf (x) f (x)dx因xex 是 f (x)的一個(gè)原函數(shù)，故 f (x) = (xex ) ，則有x+Cxf (x)de15、 max(x 2, x)dx =。x 3x 2/3 +C/2 +Cx 0 x 1 x x 1【】x / 3 + 1/ 6 +C3x】因?yàn)閙ax(【，所以2其他x 2x 3/3 +Cx 012/2 +C x 1max(x , x)dxx 3x /3

18、+C21 x21 xx dx因max(x 2, x) 是連續(xù)函數(shù)，故其原函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)，則由x 33x 2+C ) = lim(+C ) C C = C ，由lim(x 0112x 0+x 2x 31lim(+C ) = lim(+C ) C =+C22236x 1x 1+x 3x 2/3 +C/2 +Cx 0 x 1 x 故max(x 2, x)dxx / 3 + 1/ 6 +C3x16、若x 0 時(shí)， F(x) = (x 2 t2 )f (t)dt 的導(dǎo)數(shù)與x 2 是等價(jià)無窮小，則 f (0) = 0（其中 f 有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)）【】 f (0) = 1 29www高等數(shù)學(xué)測試xx【】F(

19、x) = x 2 f (t)dt t2 f (t)dt00 xF (x) = 2xf (t)dt = 2x f (x) f (0)0因x 0 時(shí)， F (x)與x 2 是等價(jià)無窮小，故lim F (x) = 1x 2x 02x f (x) f (0)F (x)= lim 則limx 0 x 2x 2= 2f (0) = 1 f (0) =x 02 f (x) f (0)12= limx 0 x三、解答題x2n1 ax2 bx17、設(shè) f (x) limx2n 1n（1）若 f (x) 處處連續(xù)，求 a, b 的值（2）若(a, b) 不是求出的值時(shí)， f (x) 有何間斷點(diǎn)，并它的類型ax2

20、bx, x 1 ax2 bx 1f (x) 1, x【】（1）2 11,x因?yàn)?f (x) 處處連續(xù)，故lim f (x) 1 lim f (x) a b,x1x1lim f (x) a b lim f (x) 1,，有 a 1, b 0.x1x1（2）若(a, b) 不是求出的值時(shí)， f (x) 有何間斷點(diǎn)，并它的類型(P13)若lim f (x) 1 lim f (x) a b, 則 x 1 跳躍間斷點(diǎn).x1x1若 lim f (x) a b lim f (x) 1, 則 x 1 也是跳躍間斷點(diǎn).x1x118、函數(shù) f (x )在0, +)上可導(dǎo)， f (0) = 1 ，且滿足等式1xf

21、(x ) + f (x ) ( )f t dt = 0 x + 10（1）求導(dǎo)數(shù) f (x )10www高等數(shù)學(xué)測試（2）證明：當(dāng)x 0 時(shí)，不等式ex f (x ) 1 成立【】（1）根據(jù)題設(shè)，有(x + 1) f (x ) + (x + 1) f (x ) f (t)dt = 0 x0上式兩邊對 x 求導(dǎo)，得(x + 1) f (x ) = (x + 2) f (x )d f (x )即 x + 2= dxf (x )x + 1+ 1) + lnC兩邊積分得ln f Cex(x ) =即 fx + 1在題設(shè)等式中令x = 0 ，得 f (0) + f (0) = 0 ，又 f (0) = 1 ，所以 f (0) = 1 ，代Cexex(x ) =，得C = 1 ，故有 f (x ) = 入 fx + 1x + 1（2）當(dāng)x 0 時(shí)，f (x ) 0 ，即 f (x )單調(diào)減少，又 f (0) = 1