3新課標(biāo)九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第三講 活力的韋達(dá)定理

1、第三講 充滿活力的韋達(dá)定理 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，通常也稱為韋達(dá)定理，這是因?yàn)樵摱ɡ硎怯?6世紀(jì)法國(guó)最杰出的數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的 韋達(dá)定理簡(jiǎn)單的形式中包含了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用廣泛，主要表達(dá)在： 運(yùn)用韋達(dá)定理，求方程中參數(shù)的值； 運(yùn)用韋達(dá)定理，求代數(shù)式的值； 利用韋達(dá)定理并結(jié)合根的判別式，討論根的符號(hào)特征； 利用韋達(dá)定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等 韋達(dá)定理具有對(duì)稱性，設(shè)而不求、整體代入是利用韋達(dá)定理解題的根本思路韋達(dá)定理，充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識(shí)可有機(jī)結(jié)合，生成豐富多彩的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而解這類問(wèn)題常用到對(duì)稱分析、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法【例題求解】【例1】 、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那

2、么代數(shù)式的值為 思路點(diǎn)撥 所求代數(shù)式為、的非對(duì)稱式，通過(guò)根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化為(例【例2】如果、都是質(zhì)數(shù)，且，那么的值為( ) A B或2 C D或2 思路點(diǎn)撥 可將兩個(gè)等式相減，得到、的關(guān)系，由于兩個(gè)等式結(jié)構(gòu)相同，可視、為方程的兩實(shí)根，這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用創(chuàng)造了條件注：應(yīng)用韋達(dá)定理的代數(shù)式的值，一般是關(guān)于、的對(duì)稱式，這類問(wèn)題可通過(guò)變形用+、表示求解，而非對(duì)稱式的求值常用到以下技巧：(1)恰當(dāng)組合；(2)根據(jù)根的定義降次；(3)構(gòu)造對(duì)稱式【例3】 關(guān)于的方程： (1)求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根 (2)假設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根、滿足，求m的值及相應(yīng)的、 思

3、路點(diǎn)撥 對(duì)于(2)，先判定、的符號(hào)特征，并從分類討論入手【例4】 設(shè)、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)m為何值時(shí)，有最小值?并求出這個(gè)最小值 思路點(diǎn)撥 利用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用m的代數(shù)式表示，再?gòu)呐浞椒ㄈ胧?，?yīng)注意本例是在一定約束條件下(0)進(jìn)行的注：應(yīng)用韋達(dá)定理的前提條件是一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即應(yīng)用韋達(dá)定理解題時(shí)，須滿足判別式0這一條件，轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，但要注意轉(zhuǎn)化前后問(wèn)題的等價(jià)性【例5】 ：四邊形ABCD中，ABCD，且AB、CD的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根(1)當(dāng)m2和m2時(shí)，四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說(shuō)明理由(2)假設(shè)M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，線段MN分別交AC、BD于點(diǎn)P，Q，PQ1，且ABBC)的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根(1)求rn的值；2假設(shè)E是AB上的一點(diǎn)，CFDE于F，求BE為何值時(shí)，CEF的面積是CED的面積的，請(qǐng)說(shuō)明理由 16設(shè)m是不小于的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程工有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、假設(shè)，求m的值求的最大值 17如圖，在ABC中，ACB=90，過(guò)C作CDAB于D，且ADm，BD=n，AC2：BC22：1；又關(guān)于x的方程兩實(shí)數(shù)根的差的平方小于192，求整數(shù)m、