2021-2022學(xué)年四川省成都市高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年四川省成都市高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1函數(shù)的定義域是（）A（-1，1）BC（0，1）DB【分析】根據(jù)函數(shù)的特征，建立不等式求解即可.【詳解】要使有意義，則，所以函數(shù)的定義域是.故選：B2已知空間向量，則實(shí)數(shù)（）A6B8C10D12A【分析】由空間向量共線的坐標(biāo)公式即可求得答案.【詳解】由題意，設(shè).故選：A.3函數(shù)，則的值為（）ABCDB【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入求值即可.【詳解】函數(shù),故，所以，故選：B4已知，且，則向量與的夾角為（）ABCDA【分析】先由求出，再利用空間向量的夾角公式求解即可【詳解】設(shè)向量與的夾角為，因?yàn)?，且，所以，得，所以，所以，?/p>

2、為，所以，故選：A5下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（）ABCDA【分析】利用導(dǎo)數(shù)和常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】由可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故A滿(mǎn)足，由可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故B不滿(mǎn)足，的增區(qū)間為，故C不滿(mǎn)足題意，的增區(qū)間為，故D不滿(mǎn)足題意，故選：A6如圖，在平行六面體中，點(diǎn)M為與的交點(diǎn)，若，則下列向量中與相等的向量是（）.ABCDA【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得.故選：A.7已知為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則（）A1B2C3DB【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性即可.【詳解】，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故.故選：B8正方

3、體中，已知為的中點(diǎn)，那么異面直線與AE所成的角等于（）ABCDB【分析】作出異面直線與AE所成的角，結(jié)合余弦定理求得正確答案.【詳解】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，連接，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，所以是異面直線與AE所成的角，所以，由于，所以.所以異面直線與AE所成的角為.故選：B9設(shè)直線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)則的取值范圍是（）ABCDA【分析】根據(jù)題意，用表示出，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最值即可.【詳解】由題意得，則設(shè)函數(shù)，則，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以的值域?yàn)椋实娜≈捣秶枪蔬x：A.10已知邊長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則點(diǎn)B到平面AEF的距離為（）ABCDC【

4、分析】以DA，DC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積求出平面AEF的法向量，進(jìn)而可求出點(diǎn)B到平面AEF的距離.【詳解】以DA，DC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，.設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，得.又，所以點(diǎn)B到平面AEF的距離為故選：C11已知，則（）ABCDB【分析】注意到三個(gè)數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，均符合，構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行解決.【詳解】設(shè)，則，又，于是當(dāng)時(shí)，故單調(diào)遞減，注意到，則有，即.故選：B.12已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則關(guān)于的方程的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為（）A2B3C4D5B【分析】先進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)和方程系數(shù)相同，得到或，轉(zhuǎn)化為和，圖像交點(diǎn)問(wèn)題，最后利

5、用題目條件畫(huà)出的圖像即可求解.【詳解】函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，假設(shè)，則有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，方程的判別式，所以方程有兩解，且或，函數(shù)的圖像和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù)，函數(shù)的圖像和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù).在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，畫(huà)出圖象如圖所示，的圖像和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)，的圖像和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)，或的根共有3個(gè)，即方程的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為3.故選：B.本題關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)和方程系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，得到方程有兩解，且或，再轉(zhuǎn)化成圖像交點(diǎn)問(wèn)題，最后數(shù)形結(jié)合即可求解.二、填空題13設(shè)函數(shù)，若，則_.2【分析】根據(jù)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的定義得到方程，即可求出參數(shù)的值【詳解】解：因?yàn)椋裕遥?故

6、14已知平面的法向量分別為，若，則的值為_(kāi)【分析】由平面互相垂直可知其對(duì)應(yīng)的法向量也垂直，然后用空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】，平面的法向量互相垂直，即，解得,故答案為.15若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi).【分析】采用分離參數(shù)法，可得，再令，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)最小值和單調(diào)區(qū)間，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合，即可求出結(jié)果.【詳解】令則，令，則由，在上，遞減，在上，遞增，且，.，作出函數(shù)的圖像，如下圖所示： 所以函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為.16已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的值為_(kāi).【分析】由

7、已知條件得出，進(jìn)而可知與是關(guān)于的方程的兩根，構(gòu)造函數(shù)，分析該函數(shù)的單調(diào)性，可得出，化簡(jiǎn)整理可求得的值.【詳解】解：因?yàn)閷?shí)數(shù)、滿(mǎn)足，所以，即，所以，與是關(guān)于的方程的兩根，構(gòu)造函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)椋以摵瘮?shù)為增函數(shù)，由于，所以，即，即，解得.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵在于由已知等式化簡(jiǎn)得出與是關(guān)于的方程的兩根，轉(zhuǎn)化利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)得出，同時(shí)也要注意將根代入方程，得出關(guān)系式進(jìn)而求解.三、解答題17求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2).(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的加法運(yùn)算法則，結(jié)合常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的加法和乘法的運(yùn)算法

8、則，結(jié)合常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)；(2).18已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最值.(1)(2)最小值為0，最大值為4【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程.（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上的最值.【詳解】(1)，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(2)，所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.19如圖，正方體中，、分別是棱、的中點(diǎn)(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正切值(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1) 取的中點(diǎn)，連接、，可證明平面平面，從而可證明結(jié)論.(2) 取的中點(diǎn)，連接、，則平面，所以直線與平面所成角為，從而可求解.【詳解】

9、(1)取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t且，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以，且，因?yàn)榍?，所以，且，故四邊形為平行四邊形，則，由平面，平面，平面，由、分別為、的中點(diǎn)，則，同理可證，.平面，平面，所以平面所以，平面平面，又平面，所以，平面.(2)取的中點(diǎn)，連接、，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，由因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以因?yàn)槠矫?，則平面，所以直線與平面所成角為，因?yàn)槠矫妫矫?，則，在中，所以，因此，直線與平面所成角的正切值為.20已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)討論的單調(diào)性(1)極小值為，無(wú)極大值(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，得減區(qū)間，從而得極值；（

10、2）求出導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論確定和的解得單調(diào)性【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，(x0)則令，得，得，得， 所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為.所以的極小值為f(2)= ，無(wú)極大值.(2)令則當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，得，得;，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.21如圖，直三棱柱中，點(diǎn)在棱上，(1)證明：平面；(2)若是的中點(diǎn)，求二面角的正弦值(1)詳見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）由題可得平面，結(jié)合條件利用線面垂直的判斷定理即證；（2）利用坐標(biāo)法即求.【詳解】(1)直三棱柱中，平面，又平面，又，平面；(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，又，即，設(shè)平面BMC的法向量為，則，即，令，可得，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，二面角的正弦值為.22已知函數(shù)（a為非零常數(shù)）(1)若f（x）在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，ln2），求實(shí)數(shù)a的值；(2)有兩個(gè)極值點(diǎn)，.求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若，證明.(1)(2)（0，1）；證明見(jiàn)解析【分析】小問(wèn)1先求出切線方程，再將點(diǎn)（2，ln2），代入即可求出a的值；小問(wèn)2的通過(guò)求導(dǎo)，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的取值范圍；結(jié)合已知條件，構(gòu)造新函數(shù)即可得到證明.【詳解】(1)，切線方程為，將點(diǎn)代入解得：(2)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，f（x）在（-1，+）上單調(diào)遞增；f（x）無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由得，故f（x）在（-1，-）上單調(diào)遞增，