談數(shù)學概念表象的深刻直覺

1、談數(shù)學概念表象的深入直覺一、理論背景高等數(shù)學中的概念在教與學中起著重要的作用。概念定義和概念表象之間的不同在數(shù)學認識論和教學法上具有重要意義，正如Vinner指出的當我們執(zhí)行認知任務(wù)時，思維并不是訴諸于概念定義，而是受概念表象的指導。在遇到新任務(wù)的時候，學生們就需要頭腦中的概念表象。概念表象和概念定義理論最初是由VinnerHershkitz提出的，后來由TallVinner進展了開展，再后來rre又進展了修改。在我們的認知構(gòu)造中，其實存在概念定義和概念表象兩個不同的細胞。概念定義是直接描繪的，它是以詞語和符號的形式被老師或教科書用來定義數(shù)學概念的。TallVinner指出概念表象是個體在頭腦

2、中對概念的整個認知表征，包含思維圖像、相關(guān)性質(zhì)和過程等。這種思維表征是在不同程度上建立的，因此會產(chǎn)生不一致或者概念表象本身可能會產(chǎn)生混淆或不協(xié)調(diào)。Seadeni認為深入直覺是概念表象開展的一種程度，它是概念表象開展到一定的程度結(jié)果，這也是在Tall的數(shù)學三個世界的理論框架下提出來的。概念表象是在經(jīng)歷的根底上經(jīng)過多年累積形成的，它是一個動態(tài)的概念實體，它是不斷開展的，每個學生一般都擁有不同的概念表象，比方減法概念，首先是涉及到正整數(shù)的一個過程，在這個階段，學生可能觀察到數(shù)的減法總是減少，對他們來說這個觀察就是概念表象的一局部，但后來這種理解可能會引起問題。Tall的數(shù)學三個世界理論區(qū)分了數(shù)學思維

3、的三個形式。這三個世界在某種意義上來說是具有層級的，第一世界稱為概念感知世界，又稱為詳細化世界。個體利用他們對現(xiàn)實世界的物理感知來完成思維實驗，比方兒童對現(xiàn)實世界物體的分類或?qū)O限的直覺體驗等。第二個世界稱為程序符號世界，又稱之為符號化世界，個體開場對來自于第一世界的思維想法進展程序性操作，通過符號的使用凝聚為概念，這個符號既表示過程也表示概念，比方數(shù)和和概念等。第三個世界稱為形式公理化世界，又稱之為形式化世界，這里關(guān)注的那么是數(shù)學公理化體系理論。二、詳細案例在20世紀，整個數(shù)學共同體中并沒有形成統(tǒng)一的關(guān)于三角形正式的形式化定義，但卻存在以下三方面的共識。1.三角形就是一個無序的、不共線的三點

4、A，B，的集合A，B，。他們認為點A，B，其實是一個零維集合，可以形象地認為三角形就像是天空中的三顆星星。2.三角形是一個含有三個頂點的多邊形，即三條線段AB、B、A的一個集合，Hilbert認為三角形上的點即是ABBA上的點。這其實是把三角形看作一維圖形，在他們看來，三角形就是要畫出三角形的三條邊。3.三角形AB可以看作三個半平面相交而形成的圖形。事實上，這是在二維視角下將三角形看作是一個扁平的圖形。對三角形概念的所有認知都是不同詳細化理解的結(jié)果。當個體進展三角形命題的推理時，三角形的所有這些概念表象的混合可能會同時被激起，也就是說當個體可以理解簡單的涉及三角形的歐幾里得幾何證明時，此時三角

5、形的概念表象那么到達了深入直覺的程度。事實上，個體在執(zhí)行任務(wù)時不需要知道三角形的上述圖形，但是個體需要理解他們以及彼此的關(guān)系。從形式化的觀點上看，這幾個圖形是不同的數(shù)學對象，因此三角形會有不同的概念定義，但是在深入直覺下他們卻是同一個思維對象，因此對三角形概念的多元化認知會幫助個體靈敏地運用不同的數(shù)學對象。再比方四面體，我們可以把四面體看作是有邊界的封閉固體點的集合，也可以看作是包含四個面、六個邊、四個頂點的一個構(gòu)造體。同時，假如把四面體可以看作一個三棱錐，這樣有一個面和其他三個面不同，那么稱之為三棱錐的底。這些觀點都是建立在詳細化世界的根底上而形成的概念表象。事實上，四面體是一個度量空間，它是向量空間或仿射空間中的一個凸集。這種認知那么是在公理化世界的背景下建立的，同樣適用于符號化世界。所有這些關(guān)于四面體的不同觀點在Freudenthal針對數(shù)學構(gòu)造的討論中都提及到了。假如個體的概念表象包含了上述一個或更多方面，這時我們就說個體到達了概念理解的深入直覺程度。本文由論文聯(lián)盟.Ll.搜集整理三、建議結(jié)論深入直覺，作為概念表象開展的一個特定程度，它其實是深深植根于數(shù)學三個世界的詳細化世界中。盡管深入直覺并不能直接觀察到，也不能推斷出，但是它卻能提供一種思路來探究數(shù)學。深入直覺可以假定為概念理解的一個臺階，在個