習(xí)題課-6-8-多元微分學(xué)的應(yīng)用ppt課件

1、機(jī)械1509 1510 沒交作業(yè)名單: 2. 求函數(shù) 在拋物線x軸正向的切線方向的方導(dǎo)游數(shù).解: 將拋物線用參數(shù)方程表示為它在點(diǎn)(1,2) 的切線方向?yàn)樯宵c(diǎn) (1, 2)處,沿著這拋物線在該點(diǎn)處偏向 2. 求函數(shù) 在拋物線x軸正向的切線方向的方導(dǎo)游數(shù).解: 先求切線斜率：在它在點(diǎn)(1,2) 的切線方向?yàn)樯宵c(diǎn) (1, 2)處,沿著這拋物線在該點(diǎn)處偏向兩端分別對(duì)x求導(dǎo)，得 求可微函數(shù)最大值和最小值的普通方法：1求函數(shù)在 D 內(nèi)的一切駐點(diǎn)；2求函數(shù)在 D 的邊境上的最大值和最小值；3將函數(shù)在一切駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在 D 的邊境上的 最大值和最小值相比較，最大者就是函數(shù)在 D 上 的最大值，最小者就是最

2、小值。 在實(shí)踐問題中，假設(shè)根據(jù)問題的性質(zhì)，知道函數(shù)的最 大或最小值存在且一定在 D 的內(nèi)部獲得，而函數(shù)在 D 內(nèi)只需一個(gè)駐點(diǎn)，那么該駐點(diǎn)就是函數(shù)在 D 上的最大或 最小值點(diǎn)。解如圖,得 在邊境 和在邊境 上 第九章 習(xí)題課三、多元函數(shù)微分法的運(yùn)用 多元函數(shù)微分法的運(yùn)用一、 根本概念延續(xù)性 偏導(dǎo)數(shù)存在 方導(dǎo)游數(shù)存在可微性1. 多元函數(shù)的定義、極限 、延續(xù) 定義域及對(duì)應(yīng)規(guī)律 判別極限不存在及求極限的方法 函數(shù)的延續(xù)性及其性質(zhì)2. 幾個(gè)根本概念的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)延續(xù)二、多元函數(shù)微分法顯示構(gòu)造隱式構(gòu)造1. 分析復(fù)合構(gòu)造(畫變量關(guān)系圖)自變量個(gè)數(shù) = 變量總個(gè)數(shù) 方程總個(gè)數(shù)自變量與因變量由所求對(duì)象斷定2. 正

3、確運(yùn)用求導(dǎo)法那么“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)留意正確運(yùn)用求導(dǎo)符號(hào)3. 利用一階微分方式不變性三、多元函數(shù)微分法的運(yùn)用1.在幾何中的運(yùn)用求曲線的切線及法平面(關(guān)鍵: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法線 (關(guān)鍵: 抓住法向量) 2. 極值與最值問題 極值的必要條件與充分條件 求條件極值的方法 (消元法, 拉格朗日乘數(shù)法) 求解最值問題3. 在微分方程變形等中的運(yùn)用 最小二乘法1) 近似計(jì)算2) 幾何運(yùn)用幾何運(yùn)用曲線切線(法平面)曲面切平面(法線)一、內(nèi)容小結(jié)：多元微分學(xué)的運(yùn)用曲線：參數(shù)方程情形切線：法平面：普通方程情形切線：法平面：也可表為法平面方程那么曲線在該點(diǎn)的切線可以看作兩曲面在

4、該點(diǎn)切平面的交線：普通方程假設(shè)另：曲面：該曲面上，那么相應(yīng)的切平面：法線：曲面方程： ，點(diǎn) 在稱之為函數(shù)在l 方向上的增量。假設(shè)極限存在射線l的參數(shù)方程為那么稱此極限為 f ( x , y ) 在點(diǎn) 處沿方向 l 的方導(dǎo)游數(shù)。記為3) 方導(dǎo)游數(shù)與梯度其中 為 軸正向到方向 的轉(zhuǎn)角二元函數(shù)的方導(dǎo)游數(shù)其中 是方向 l 的方向余弦.三元函數(shù)的方導(dǎo)游數(shù)梯度注：梯度方向?yàn)榉綄?dǎo)游數(shù)取最大值的方向或者函數(shù)在一點(diǎn)的梯度垂直于該點(diǎn)等值線,指向函數(shù)增大的方向.同樣, 的等值面(等量面). 當(dāng)其各偏導(dǎo)數(shù)不同其上點(diǎn) P 處的法向量為稱為時(shí)為零時(shí), 那么上點(diǎn)P 處的法向量為 4) 極值問題必要性：可導(dǎo)的極值點(diǎn)是駐點(diǎn)充分

5、性：那么時(shí)， 極小值；時(shí)， 極大值；時(shí)不能確定；時(shí) 非極值(1) 無條件極值(2) 條件極值方法：最后對(duì)方程組的解進(jìn)展討論而得到所求極值構(gòu)造Lagrange函數(shù)單條件極值 求函數(shù) 在條件下的條件極值解方程組方法：解方程組構(gòu)造Lagrange函數(shù)兩條件極值 下的條件極值最后對(duì)方程組的解進(jìn)展討論而得到所求極值求函數(shù) 在條件(3)函數(shù)的最大值和最小值求函數(shù)在有界區(qū)域上的最大值和最小值的方法 1.求出該函數(shù)在內(nèi)的一切駐點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)的函數(shù)值， 2.求出在邊境上能夠的最大值最小值, 3.比較大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值。在實(shí)踐問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來斷定駐點(diǎn)能否是最值點(diǎn)。1

6、. 選擇下述題中給出的四個(gè)結(jié)論中一個(gè)正確的結(jié)論:設(shè)函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)(0, 0)的某鄰域內(nèi)有定義,且 函數(shù)f (x, y) 在點(diǎn)(0, 0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在,不一定可微.那么有_.P133 題2解: 取x為參數(shù) , 故(C)正確. 2. ( )選擇題解:平面的法向量曲線的切向量:3. 假設(shè)z=f (x,y)在(x0,y0)處獲得極大值, 那么g(y)=f(x0,y) 在y0處一定有 ( )A. g(y)在y0獲得最大值; B. g(y)在y0獲得極大值C. y0是g(y)的駐點(diǎn) D.以上都不對(duì).1314 ABC3. 假設(shè) f(x0 , y) 及 f(x , y0) 在(x0

7、 , y0) 都獲得極值,那么f ( x , y) 在(x0 , y0) 處( )A.不一定獲得極值; B.獲得極值; C.獲得最值. D.取不到極值不一定獲得極值.例如,在 不取極小值.此時(shí) 取極小值;在 當(dāng) 時(shí), 分析:當(dāng) 時(shí), 取極小值;在 令 A.不一定獲得極值; B.獲得極值; C.獲得最值. D.取不到極值不一定獲得極值.例如,在 不取極值.但 取極大值;在 當(dāng) 時(shí), 分析:當(dāng) 時(shí), 取極小值;在 3. 假設(shè) f(x0 , y) 及 f(x , y0) 在(x0 , y0) 都獲得極值,那么f ( x , y) 在(x0 , y0) 處( ) 那么(0,0) ( )(A). 不是f

8、( x, y)的延續(xù)點(diǎn); (B) . 不是f ( x, y)的極值點(diǎn); (C) .是f ( x , y)的極小值點(diǎn). (D). 是f (x, y)的極大值點(diǎn)分析:4. 設(shè)函數(shù)的全微分為令得駐點(diǎn) (0,0).在點(diǎn)(0,0) 處為極小值;5.設(shè)函數(shù)在處獲得極值，試求常數(shù)a，并確定極值的類型分析 這是二元函數(shù)求極值的反問題， 即知獲得極值，只需求根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)獲得極值的必要條件和充分條件即可求解此題解：由于可微, 故必為駐點(diǎn)， 那么有 因此有，即1112B5.設(shè)函數(shù)在處獲得極值，試求常數(shù)a，并確定極值的類型在點(diǎn)為極小值.求二階偏導(dǎo)數(shù)解：處即解: 令切平面方程 法線方程法向量7在橢球面 上求一點(diǎn)，使函數(shù)

9、 在該點(diǎn)沿方向的方導(dǎo)游數(shù)為最大解: 設(shè)向量 l 的方向余弦為為橢球面上任一點(diǎn)，問題歸結(jié)為求在條件下的最大值.設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組7在橢球面 求一點(diǎn)，使函數(shù) 在該點(diǎn)沿方向的方導(dǎo)游數(shù)為最大得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)在點(diǎn)的方導(dǎo)游數(shù)為最大沿方向由知條件可知此題的最大值與最小值一定存在.而且解:由方導(dǎo)游數(shù)的計(jì)算公式知P133 題15故例1.例2. 求函數(shù)在橢球面解: 的方導(dǎo)游數(shù).沿外法線方向 對(duì)于封鎖的曲面，上述兩個(gè)法向量中，一個(gè)指向曲面的外側(cè)，另一個(gè)那么指向曲面的內(nèi)側(cè)。設(shè)那么橢球面上恣意一點(diǎn) P ( x , y , z ) 處的法向量可取為 指向外側(cè)，稱為外法線方向向量指向內(nèi)側(cè)，稱為內(nèi)法線方向向量上點(diǎn) 處P134

10、 題16解: 例2. 求函數(shù)在橢球面的方導(dǎo)游數(shù).沿外法線方向上點(diǎn) 處橢球面在點(diǎn) 處的一個(gè)外法線方向向量例3.在第一卦限作橢球面的切平面,解: 設(shè)切點(diǎn)為那么切平面的法向量為即切平面方程使其與三坐標(biāo)面所圍的四面體體積最小, 并求切點(diǎn)和最小體積. P134 題18問題歸結(jié)為求在條件下的最小值 .設(shè)拉格朗日函數(shù)切平面在三坐標(biāo)軸上的截距為所圍四面體的體積 V 最小等價(jià)于 f ( x, y, z ) = x y z 最大,令由此問題的性質(zhì)知為所求切點(diǎn) .得獨(dú)一駐點(diǎn)四面體的最小體積為 上求一點(diǎn) , 使該點(diǎn)處的法線垂直于 在曲面并寫出該法線方程 .解: 設(shè)所求點(diǎn)為曲面的法向量利用得平面法線垂直于平面點(diǎn)在曲面上

11、P134 題14那么法線方程為所以法線方程為例4. 例4. 拋物面 被平面 截成一橢圓,求原點(diǎn)到這橢圓的最長與最短間隔。分析：設(shè) 為橢圓上任一點(diǎn), 那么 到原點(diǎn)的距. 又 點(diǎn)既在拋物面上, 又在知平面上,故此題可轉(zhuǎn)化為求目的函數(shù) 在約束條件及 下的最大值和最小值。可用拉格朗日乘數(shù)法求解。 解：設(shè) 橢圓上任一點(diǎn)，那么它到原點(diǎn)的間隔為 下面求 在約束條件及 下的最值.離為P121 題11解方程組 得兩個(gè)駐點(diǎn) 由題意可知這種間隔的最大值與最小值一定存在；而駐點(diǎn)只需兩個(gè),故最大值、最小值一定在這兩個(gè)駐點(diǎn)處獲得。 由于 故最長間隔為 最短間隔為 作拉格朗日函數(shù)P92證明: 隱函數(shù)求導(dǎo)法P92 11解法2

12、 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法.由于 t 是由方程當(dāng)(1)將上面的兩個(gè)式子代入(1), 得時(shí),確定的 x, y 的隱函數(shù),故P89解法3 微分法.對(duì)各方程兩端分別求全微分,得由(2), 得當(dāng)(2)(1)乘以(1)兩端,并以(3)式代入, 得(3)時(shí),P131 題11 設(shè)求解:P131 題11其中 f 具有延續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù).這里 仍是以u(píng), x, y 為中間變量的函數(shù), 且與函數(shù) f 有一樣的復(fù)合構(gòu)造,故對(duì)它們求偏導(dǎo)要按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么.P131 題12 設(shè)求解:利用行列式解出兩端對(duì)x求導(dǎo)，得P131 題12上式中的第一式乘 第二式乘 兩式相減，得上式中的第一式乘 第二式乘 兩式相加，得同理可得因此P131

13、 題12 設(shè)求提示:利用行列式解出 du, dv ：代入即得 代入即得 四、運(yùn)用題7.求函數(shù)解: 第一步 求駐點(diǎn).得駐點(diǎn): (0, 0) , (0, 2), (1, 1) , (1, 1) .第二步 判別.在點(diǎn)(0,0) 處為極大值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(1,1) 處不是極值;在點(diǎn)(0,2) 處為極小值.在點(diǎn)(1,1) 處不是極值;例4.求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面之間的最短間隔.解: 設(shè)為拋物面上任一點(diǎn)，那么 P 的間隔為問題歸結(jié)為求作拉格朗日函數(shù)到平面在條件下的最小值 .令解此方程組得獨(dú)一駐點(diǎn)由實(shí)踐意義最小值一定存在 ,且有獨(dú)一駐點(diǎn),故2. 設(shè)均可微, 且在約束條件(x, y) 0下的一個(gè)極值點(diǎn), 知 (x0, y0) 是 f (x, y)以下選項(xiàng)正確的選項(xiàng)是( ) 提示: 設(shè)()代入()得D(2006考研)例3.設(shè)有二階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且求解:例10. 設(shè)其中 f 與F分別具解法1 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得有一階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù), 求(1999 考研)解法2 方程兩邊求微分, 得化簡消去 即可得作業(yè) P130 5，6，10， 15，