2021版數(shù)學(xué)（新教材）必修 第一冊人教A版：第二章 2-2 第2課時

1、第2課時基本不等式的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標1.熟練掌握基本不等式及變形的應(yīng)用.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.3.能夠運用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問題知識點用基本不等式求最值用基本不等式eq f(xy,2)eq r(xy)求最值應(yīng)注意：(1)x，y是正數(shù)；(2)如果xy等于定值P，那么當xy時，和xy有最小值2eq r(P)；如果xy等于定值S，那么當xy時，積xy有最大值eq f(1,4)S2.(3)討論等號成立的條件是否滿足預(yù)習(xí)小測自我檢驗1已知0 x2，則xeq f(4,x2)的最小值為_答案6解析xeq f(4,x2)x2eq f(4,x2)2，x20，x2eq f(4,x2)2

2、2eq r(4)2426.當且僅當x2eq f(4,x2)，即x4時取“”一、利用基本不等式變形求最值例1已知x0，y0，且eq f(1,x)eq f(9,y)1，求xy的最小值解方法一x0，y0，eq f(1,x)eq f(9,y)1，xyeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(9,y)(xy)eq f(y,x)eq f(9x,y)1061016，當且僅當eq f(y,x)eq f(9x,y)，又eq f(1,x)eq f(9,y)1，即x4，y12時，上式取等號故當x4，y12時，(xy)min16.方法二由eq f(1,x)eq f(9,y)1，得(x1)(y9)9(定

3、值)由eq f(1,x)eq f(9,y)1可知x1，y9，xy(x1)(y9)102eq r(x1y9)1016，當且僅當x1y93，即x4，y12時上式取等號，故當x4，y12時，(xy)min16.延伸探究若將條件換為：x0，y0且2x8yxy，求xy的最小值解方法一由2x8yxy0，得y(x8)2x.x0，y0，x80，yeq f(2x,x8)，xyxeq f(2x,x8)xeq f(2x1616,x8)(x8)eq f(16,x8)102eq r(x8f(16,x8)1018.當且僅當x8eq f(16,x8)，即x12時，等號成立xy的最小值是18.方法二由2x8yxy0及x0，y

4、0，得eq f(8,x)eq f(2,y)1.xy(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(8,x)f(2,y)eq f(8y,x)eq f(2x,y)102eq r(f(8y,x)f(2x,y)1018.當且僅當eq f(8y,x)eq f(2x,y)，即x2y12時等號成立xy的最小值是18.反思感悟應(yīng)根據(jù)已知條件適當進行“拆”“拼”“湊”“合”“變形”，創(chuàng)造應(yīng)用基本不等式及使等號成立的條件當連續(xù)應(yīng)用基本不等式時，要注意各不等式取等號時的條件要一致，否則也不能求出最值；特別注意“1”的代換跟蹤訓(xùn)練1已知正數(shù)x，y滿足xy1，則eq f(1,x)eq f(4,y)的最小值是_答案

5、9解析xy1，eq f(1,x)eq f(4,y)(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(4,y)14eq f(y,x)eq f(4x,y).x0，y0，eq f(y,x)0，eq f(4x,y)0，eq f(y,x)eq f(4x,y)2eq r(f(y,x)f(4x,y)4，5eq f(y,x)eq f(4x,y)9.當且僅當eq blcrc (avs4alco1(xy1，,f(y,x)f(4x,y)，)即xeq f(1,3)，yeq f(2,3)時等號成立eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(4,y)min9.二、基本不等式在實際問題中的應(yīng)用

6、例2“足寒傷心，民寒傷國”，精準扶貧是鞏固溫飽成果、加快脫貧致富、實現(xiàn)中華民族偉大“中國夢”的重要保障某地政府在對山區(qū)鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)實施精準扶貧的工作中，準備投入資金將當?shù)剞r(nóng)產(chǎn)品二次加工后進行推廣促銷，預(yù)計該批產(chǎn)品銷售量Q萬件(生產(chǎn)量與銷售量相等)與推廣促銷費x萬元之間的函數(shù)關(guān)系為Qeq f(x1,2)(其中推廣促銷費不能超過3萬元)已知加工此批農(nóng)產(chǎn)品還要投入成本2eq blc(rc)(avs4alco1(Qf(1,Q)萬元(不包含推廣促銷費用)，若加工后的每件成品的銷售價格定為eq blc(rc)(avs4alco1(2f(20,Q)元/件那么當推廣促銷費投入多少萬元時，此批產(chǎn)品的利潤最大？最大利

7、潤為多少？(利潤銷售額成本推廣促銷費)解設(shè)該批產(chǎn)品的利潤為y，由題意知yeq blc(rc)(avs4alco1(2f(20,Q)Q2eq blc(rc)(avs4alco1(Qf(1,Q)x2Q202Qeq f(2,Q)x20eq f(2,Q)x20eq f(4,x1)x21eq blcrc(avs4alco1(f(4,x1)x1)，0 x3.21eq blcrc(avs4alco1(f(4,x1)x1)212eq r(4)17，當且僅當x1時，上式取“”，當x1時，ymax17.答當推廣促銷費投入1萬元時，利潤最大為17萬元反思感悟應(yīng)用題，先弄清題意(審題)，建立數(shù)學(xué)模型(列式)，再用所掌

8、握的數(shù)學(xué)知識解決問題(求解)，最后要回應(yīng)題意下結(jié)論(作答)使用基本不等式求最值，要注意驗證等號是否成立跟蹤訓(xùn)練22016年11月3日20點43分我國長征五號運載火箭在海南文昌發(fā)射中心成功發(fā)射，它被公認為是我國從航天大國向航天強國邁進的重要標志長征五號運載火箭的設(shè)計生產(chǎn)采用了很多新技術(shù)新產(chǎn)品，甲工廠承擔了某種產(chǎn)品的生產(chǎn)，并以x千克/時的速度勻速生產(chǎn)時(為保證質(zhì)量要求1x10)，每小時可消耗A材料kx29千克，已知每小時生產(chǎn)1千克該產(chǎn)品時，消耗A材料10千克消耗A材料總重量為y千克，那么要使生產(chǎn)1 000千克該產(chǎn)品消耗A材料最少，工廠應(yīng)選取何種生產(chǎn)速度？并求消耗的A材料最少為多少解由題意，得k91

9、0，即k1，生產(chǎn)1 000千克該產(chǎn)品需要的時間是eq f(1 000,x)，所以生產(chǎn)1 000千克該產(chǎn)品消耗的A材料為yeq f(1 000,x)(x29)1 000eq blc(rc)(avs4alco1(xf(9,x)1 0002eq r(9)6 000，當且僅當xeq f(9,x)，即x3時，等號成立，且130，225xeq f(3602,x)2eq r(2253602)10 800.y225xeq f(3602,x)36010 440.當且僅當225xeq f(3602,x)時，等號成立即當x24 m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10 440元素養(yǎng)提升數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)

10、學(xué)抽象，建立和求解模型的過程耗時費力，所以建立的模型要有廣泛的應(yīng)用才有價值本例中所涉及的yxeq f(a,x)(a0)就是一個應(yīng)用廣泛的函數(shù)模型1設(shè)x0，則33xeq f(1,x)的最大值是()A3 B32eq r(2)C1 D32eq r(3)答案D解析x0，3xeq f(1,x)2eq r(3xf(1,x)2eq r(3)，當且僅當xeq f(r(3),3)時取等號，eq blc(rc)(avs4alco1(3xf(1,x)2eq r(3)，則33xeq f(1,x)32eq r(3)，故選D.2已知eq f(x2x1,x1)(x1)在xt時取得最小值，則t等于()A1eq r(2) B2

11、C3 D4答案B解析eq f(x2x1,x1)eq f(xx11,x1)xeq f(1,x1)x1eq f(1,x1)1213，當且僅當x1eq f(1,x1)，即x2時，等號成立3將一根鐵絲切割成三段做一個面積為2 m2、形狀為直角三角形的框架，在下列四種長度的鐵絲中，選用最合理(夠用且浪費最少)的是()A6.5 m B6.8 m C7 m D7.2 m答案C解析設(shè)兩直角邊分別為a，b，直角三角形的框架的周長為l，則eq f(1,2)ab2，ab4，labeq r(a2b2)2eq r(ab)eq r(2ab)42eq r(2)6.828(m)要求夠用且浪費最少，故選C.4已知正數(shù)a，b滿足

12、a2b2，則eq f(2,a)eq f(1,b)的最小值為_答案4解析eq f(2,a)eq f(1,b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,a)f(1,b)eq f(1,2)(a2b)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(4f(a,b)f(4b,a)eq f(1,2)(42eq r(4)4.當且僅當eq f(a,b)eq f(4b,a)，即a1，beq f(1,2)時等號成立，eq f(2,a)eq f(1,b)的最小值為4.5設(shè)計用32 m2的材料制造某種長方體車廂(無蓋)，按交通法規(guī)定廂寬為2 m，則車廂的最大容積是_ m3.答案16解析設(shè)車廂的長為b

13、 m，高為a m.由已知得2b2ab4a32，即beq f(162a,a1)，Vaeq f(162a,a1)22eq f(16a2a2,a1).設(shè)a1t，則V2eq blc(rc)(avs4alco1(202tf(18,t)2eq blc(rc)(avs4alco1(202 r(2tf(18,t)16，當且僅當t3，即a2，b4時等號成立1知識清單：(1)已知x，y是正數(shù)若xyS(和為定值)，則當xy時，積xy取得最大值若xyP(積為定值)，則當xy時，和xy取得最小值即：“和定積最大，積定和最小”(2)求解應(yīng)用題的方法與步驟審題，建模(列式)，解模，作答2方法歸納：注意條件的變換，常用“1”

14、的代換方法求最值3常見誤區(qū)：缺少等號成立的條件1已知正數(shù)x，y滿足eq f(8,x)eq f(1,y)1，則x2y的最小值是()A18 B16 C8 D10答案A解析x2y(x2y)eq blc(rc)(avs4alco1(f(8,x)f(1,y)10eq f(16y,x)eq f(x,y)102eq r(16)18，當且僅當eq f(16y,x)eq f(x,y)，即x4y12時，等號成立2已知a0，b0，eq f(2,a)eq f(1,b)eq f(1,6)，若不等式2ab9m恒成立，則m的最大值為()A8 B7 C6 D5答案C解析由已知，可得6eq blc(rc)(avs4alco1(

15、f(2,a)f(1,b)1，2ab6eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,a)f(1,b)(2ab)6eq blc(rc)(avs4alco1(5f(2a,b)f(2b,a)6(54)54，當且僅當eq f(2a,b)eq f(2b,a)時，即ab18等號成立，9m54，即m6，故選C.3小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(ab)，其全程的平均時速為v，則()Aaveq r(ab) Bveq r(ab)C.eq r(ab)va0，則veq f(2s,f(s,a)f(s,b)eq f(2ab,ab)eq f(2ab,2b)a，故選A.4若正數(shù)x，y滿足x23xy10，則xy的最小

16、值是()A.eq f(r(2),3) B.eq f(2r(2),3) C.eq f(r(3),3) D.eq f(2r(3),3)答案B解析由x23xy10，可得yeq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)x).又x0，所以xyeq f(2x,3)eq f(1,3x)2eq r(f(2,9)eq f(2r(2),3)eq blc(rc)(avs4alco1(當且僅當xf(r(2),2)時等號成立).5已知m0，n0，mn1且xmeq f(1,m)，yneq f(1,n)，則xy的最小值是()A4 B5 C8 D10答案B解析依題意有xymneq f(1,m)eq

17、f(1,n)1eq f(mn,m)eq f(mn,n)3eq f(n,m)eq f(m,n)325，當且僅當mneq f(1,2)時取等號故選B.6為凈化水質(zhì)，向一個游泳池加入某種化學(xué)藥品，加藥后池水中該藥品的濃度C(單位：mgL1)隨時間t(單位：h)的變化關(guān)系為Ceq f(20t,t24)，則經(jīng)過_ h后池水中該藥品的濃度達到最大答案2解析Ceq f(20t,t24)eq f(20,tf(4,t).因為t0，所以teq f(4,t)2eq r(tf(4,t)4eq blc(rc)(avs4alco1(當且僅當tf(4,t)，即t2時等號成立).所以Ceq f(20,tf(4,t)eq f(

18、20,4)5，當且僅當teq f(4,t)，即t2時，C取得最大值7.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為_m.答案20解析設(shè)矩形花園的寬為y，則eq f(x,40)eq f(40y,40)，即y40 x，矩形花園的面積Sx(40 x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(x40 x,2)2400，當且僅當x20時，取等號，即當x20 m時，面積最大8某汽車運輸公司購買一批豪華大客車投入營運，據(jù)市場分析每輛車營運的總利潤y(單位：10萬元)與營運年數(shù)x(xN*)滿足關(guān)系yx212x25，則每輛客車營運_年時，年平均利潤最大答案5解析yx

19、212x25，年平均利潤為eq f(y,x)eq f(x212x25,x)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(25,x)122eq r(xf(25,x)122，當且僅當xeq f(25,x)，即x5時，等號成立9已知x0，y0且2x5y20.(1)求xy的最大值；(2)求eq f(1,x)eq f(1,y)的最小值解(1)2x5y20，x0，y0，2x5y2eq r(10 xy)，2eq r(10 xy)20，即xy10，當且僅當x5，y2時，等號成立，xy的最大值為10.(2)eq f(1,x)eq f(1,y)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(1,y)e

20、q f(1,20)(2x5y)eq f(1,20)eq blc(rc)(avs4alco1(25f(5y,x)f(2x,y)eq f(1,20)eq blc(rc)(avs4alco1(7f(5y,x)f(2x,y)eq f(1,20)(72eq r(10)，當且僅當eq r(2)xeq r(5)y時，等號成立eq f(1,x)eq f(1,y)的最小值為eq f(1,20)(72eq r(10)10某人準備租一輛車從孝感出發(fā)去武漢，已知從出發(fā)點到目的地的距離為100 km，按交通法規(guī)定：這段公路車速限制在40100(單位：km/h)之間假設(shè)目前油價為7.2元/L，汽車的耗油率為eq blc(

21、rc)(avs4alco1(3f(x2,360)L/h，其中x(單位：km/h)為汽車的行駛速度，耗油率指汽車每小時的耗油量租車需付給司機每小時的工資為76.4元，不考慮其他費用，這次租車的總費用最少是多少？此時的車速x是多少？(注：租車總費用耗油費司機的工資)解設(shè)總費用為y元由題意，得y76.4eq f(100,x)7.2eq f(100,x)eq blc(rc)(avs4alco1(3f(x2,360)eq f(9 800,x)2x(40 x100)因為yeq f(9 800,x)2x2eq r(19 600)280.當且僅當eq f(9 800,x)2x，即x70時取等號所以這次租車的總

22、費用最少是280元，此時的車速為70 km/h.11設(shè)0 x1，則eq f(4,x)eq f(1,1x)的最小值為()A10 B9 C8 D.eq f(27,2)答案B解析0 x0，eq f(4,x)eq f(1,1x)x(1x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,x)f(1,1x)4eq f(41x,x)eq f(x,1x)152eq r(f(41x,x)f(x,1x)5229.當且僅當eq f(41x,x)eq f(x,1x)，即xeq f(2,3)時，等號成立eq f(4,x)eq f(1,1x)的最小值為9.12設(shè)自變量x對應(yīng)的因變量為y，在滿足對任意的x，不等式y(tǒng)M都成

23、立的所有常數(shù)M中，將M的最小值叫做y的上確界若a，b為正實數(shù)，且ab1，則eq f(1,2a)eq f(2,b)的上確界為()Aeq f(9,2) B.eq f(9,2) C.eq f(1,4) D4答案A解析因為a，b為正實數(shù)，且ab1，所以eq f(1,2a)eq f(2,b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2a)f(2,b)(ab)eq f(5,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,2a)f(2a,b)eq f(5,2)2eq r(f(b,2a)f(2a,b)eq f(9,2)，當且僅當b2a，即aeq f(1,3)，beq f(2,3)時等號成立，因此

24、有eq f(1,2a)eq f(2,b)eq f(9,2)，即eq f(1,2a)eq f(2,b)的上確界為eq f(9,2).13一個矩形的周長為l，面積為S，則如下四組數(shù)對中，可作為數(shù)對(S，l)的序號是()(1,4)；(6,8)；(7,12)；eq blc(rc)(avs4alco1(3，f(1,2).A BC D答案A解析設(shè)矩形的長和寬分別為x，y，則xyeq f(1,2)l，Sxy.對于(1,4)，則xy2，xy1，根據(jù)基本不等式滿足xyeq blc(rc)(avs4alco1(f(xy,2)2，符合題意；對于(6,8)，則xy4，xy6，根據(jù)基本不等式不滿足xyeq blc(rc

25、)(avs4alco1(f(xy,2)2，不符合題意；對于(7,12)，則xy6，xy7，根據(jù)基本不等式滿足xyeq blc(rc)(avs4alco1(f(xy,2)2，符合題意；對于eq blc(rc)(avs4alco1(3，f(1,2)，則xyeq f(1,4)，xy3，根據(jù)基本不等式不滿足xyeq blc(rc)(avs4alco1(f(xy,2)2，不符合題意綜合，可作為數(shù)對(S，l)的序號是.14已知不等式2xmeq f(8,x1)0對任意的x1恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為_答案m|m10解析2xmeq f(8,x1)0在x1時恒成立，m2xeq f(8,x1)2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(4,x1)2eq blc(rc)(avs4alco1(x1f(4,x1)1)，又x1時，x10，x1eq f(4,x1)12eq r(x1f(4,x1)15，當且僅當x1eq f(4,x1)，即x3時，等號成立，2eq blc(rc)(avs4alco