概率論參數(shù)估計(jì)

1、參 數(shù) 估 計(jì)問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出: :點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)總體總體X X的分布形式已知，未知的只是分布中的參數(shù)，要估計(jì)的的分布形式已知，未知的只是分布中的參數(shù)，要估計(jì)的只是參數(shù)或參數(shù)的某一函數(shù)。只是參數(shù)或參數(shù)的某一函數(shù)?？傮w總體X X的估計(jì)有兩類：的估計(jì)有兩類：一、參數(shù)估計(jì)一、參數(shù)估計(jì)二、非參數(shù)估計(jì)二、非參數(shù)估計(jì)總體總體X X的分布形式未知，要估計(jì)的是總體的分布形式。的分布形式未知，要估計(jì)的是總體的分布形式。從總體從總體 X 中抽取樣本中抽取樣本( (X1, X2, , X n ) ) 構(gòu)造構(gòu)造合適的合適的統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 =T( (X1, X2, , X n ) ) 將

2、樣本觀察值將樣本觀察值( (x1, x2, , x n ) )代入估計(jì)量代入估計(jì)量 計(jì)算出估計(jì)量的觀察值計(jì)算出估計(jì)量的觀察值 =T( (x1, x2, , x n ) ) 或構(gòu)造或構(gòu)造 1 = T1( (X1, X2, , X n ) ) 和和 2 =T2( (X1, X2, , X n ) ) ( 1 2)用區(qū)間用區(qū)間( ( 1, , 2 ) )作為作為 可能取值范圍的估計(jì)可能取值范圍的估計(jì) 設(shè)總體設(shè)總體X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x, ), 未知，未知， 的取值的取值 范圍稱為范圍稱為 參參數(shù)空間數(shù)空間 。記作記作 ?，F(xiàn)估計(jì)。現(xiàn)估計(jì) 。步驟如下：步驟如下： 構(gòu)造點(diǎn)估計(jì)的估計(jì)量的具體方法有

3、多種，在此，介紹兩種方法。構(gòu)造點(diǎn)估計(jì)的估計(jì)量的具體方法有多種，在此，介紹兩種方法。一、矩估計(jì)法 矩估計(jì)法的思想是：矩估計(jì)法的思想是：用樣本的各階矩去估計(jì)總體相應(yīng)的各階矩用樣本的各階矩去估計(jì)總體相應(yīng)的各階矩，而總體各階矩都是總體分布中未知參數(shù)的函數(shù)，從而，通過(guò)估計(jì)而總體各階矩都是總體分布中未知參數(shù)的函數(shù)，從而，通過(guò)估計(jì)總體矩來(lái)達(dá)到估計(jì)總體分布中未知參數(shù)的目的?？傮w矩來(lái)達(dá)到估計(jì)總體分布中未知參數(shù)的目的。 設(shè)總體分布為設(shè)總體分布為F(x, 1, 2 , k), i未知，未知，樣本樣本(X1, X2, , X n )來(lái)自總體來(lái)自總體 X，計(jì)算計(jì)算mEX nimimXnA11 令令XEX 22AEX k

4、kAEX 解未知量解未知量 1, 2 , k 稱為參數(shù)稱為參數(shù) 1, 2 , k的矩估計(jì)量。的矩估計(jì)量。 5.1 5.1 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) 2 22A X 例例2：設(shè)樣本設(shè)樣本(X1, X2, , X n )來(lái)自總體來(lái)自總體 XN( , 2)， 求求 與與 2 的的矩估計(jì)量。矩估計(jì)量。 解：解：XX niin11 2222222BXXXXXA )(1111niiniinn 例例1：設(shè)樣本設(shè)樣本(X1, X2, , X n )來(lái)自總體來(lái)自總體 X，且且總體的均值總體的均值 未知，未知， 求求 的的矩估計(jì)量。矩估計(jì)量。 解：解：XX niin11 2222 )EX(DXEXEX niinX

5、,EX11X 2 A X2EXEX 總體總體 X 的均值的均值 矩估計(jì)量矩估計(jì)量為一階樣本原點(diǎn)矩為一階樣本原點(diǎn)矩XEX 令令 例例3：設(shè)樣本設(shè)樣本(X1, X2, , X n )來(lái)自總體來(lái)自總體 XP( )， 求求 的的矩估計(jì)量。矩估計(jì)量。 解：解：XX niin11 另一方面：另一方面：EX2 = DX + (EX)2 = + 2 ，所以：所以： 2212122211BXXXXXA )(nininn 此例說(shuō)明此例說(shuō)明：矩估計(jì)可以不唯一。矩估計(jì)可以不唯一。此時(shí)，一般取低階矩得到的那一個(gè)。此時(shí)，一般取低階矩得到的那一個(gè)。 nin121X2 一階樣本原點(diǎn)矩作為一階樣本原點(diǎn)矩作為 的的矩估計(jì)量矩估計(jì)

6、量XEX 令令 niinX,EX11X ninEX1221X 例例4：設(shè)樣本設(shè)樣本(X1, X2, , X n )來(lái)自總體來(lái)自總體 X，X服從服從 1, , 2 上的上的均勻分布，均勻分布，求求 1和和 2 的的矩估計(jì)量。矩估計(jì)量。 另見(jiàn)書(shū)例另見(jiàn)書(shū)例5.10、5.1121221)(121 ),(21 DXEX因因 由由 2 22121221)(21)(121 )(21AX 解得解得 1222 - 3A 3AXX 2 A X2EXEX EX2 = DX + (EX)2 解：解：這是兩個(gè)參數(shù)這是兩個(gè)參數(shù)的的矩估計(jì)問(wèn)題。矩估計(jì)問(wèn)題。 思想：思想：進(jìn)行一次具體的抽樣之后，進(jìn)行一次具體的抽樣之后， (X

7、1, X2, , X n ) 得到一組觀察值得到一組觀察值 (x1, x2, , x n )。 設(shè)總體分布設(shè)總體分布(以離散型為例以離散型為例)為為P(X=x)=F(x, 1, 2 , k), （ 1, 2 , k )未知，未知，樣本樣本(X1, X2, , X n )來(lái)自總體來(lái)自總體 X，則則樣本樣本(X1, X2, , X n )的概率分布函數(shù)為：的概率分布函數(shù)為： nikiniiikn),x(F)xX(P),x,x,x(L12112121 nikikn),x(F),x,x,x(L1212121 為為（ 1, 2 , k )的函數(shù)。因?yàn)榈暮瘮?shù)。因?yàn)?x1, x2, , x n )在一次觀察

8、在一次觀察中就出現(xiàn)了，應(yīng)出現(xiàn)在概率最大的地方。即求函數(shù)中就出現(xiàn)了，應(yīng)出現(xiàn)在概率最大的地方。即求函數(shù) nikik),x(F),(L12121 取得最大值的最大值點(diǎn)，以此作為取得最大值的最大值點(diǎn)，以此作為（ 1, 2 , k )的估計(jì)。的估計(jì)。二、極大似然估計(jì)二、極大似然估計(jì)發(fā)發(fā)生生的的概概率率為為：事事件件,11nnxx XX使使得得：的的估估計(jì)計(jì)值值，即即取取，作作為為達(dá)達(dá)到到最最大大的的參參數(shù)數(shù)挑挑選選使使概概率率固固定定 );,(,11 nnxxxxL);,(max);,(11 nnxxxxLL 。極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)值值。極極大大似似然然法法。極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量的的方方法法

9、稱稱為為這這種種求求未未知知參參數(shù)數(shù) );,(,11nnxxxx 有關(guān)，記為有關(guān)，記為與與的的稱稱其其為為參參數(shù)數(shù) 的的稱稱為為參參數(shù)數(shù) ),(1nXX 極大似然估計(jì)基本思想：極大似然估計(jì)基本思想： 找出使樣本觀察值出現(xiàn)的概率為最大的參數(shù)值，將它作為未知參找出使樣本觀察值出現(xiàn)的概率為最大的參數(shù)值，將它作為未知參數(shù)的估計(jì)值。數(shù)的估計(jì)值。1、極大似然估計(jì)（離散型總體）屬屬離離散散型型，其其分分布布列列為為若若總總體體 X ),),;x( pxkk2121( XP。空空間間為為待待估估參參數(shù)數(shù)，屬屬于于參參數(shù)數(shù)的的形形式式為為已已知知， 211的極大似然估計(jì)量。的極大似然估計(jì)量。求求來(lái)自總體來(lái)自總體

10、),(,kn , , 的樣本 )是( 設(shè)XXX ),(k 21L建建立立似似然然函函數(shù)數(shù))(1 niki),;x(p121 ; ),x(Plnln)(niki 1212 L取對(duì)數(shù)：取對(duì)數(shù)：;ln)(031 L令令;ln02 L;lnk0 L的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)值值。解解方方程程組組求求得得k,)( 14未未知知參參數(shù)數(shù)的的樣樣本本，是是來(lái)來(lái)自自設(shè)設(shè))p(p),();p,n(m101 XXXBX試求參數(shù)試求參數(shù)p的極大似然估計(jì)量的極大似然估計(jì)量 ：解解xnxxn)p(pCx 1XP故似然函數(shù)為故似然函數(shù)為 mixnxxniii)p(pC)p(11L)(lnpL而而例例1：,)p(p)C(

11、miimiiixnmxmixn 1111).pln()xnm(pln)x()Cln(miimiimixni 1111的的分分布布律律為為：X, 0)(ln pdpdL令令.pxnmpxmiimii01 11 即即的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)值值解解得得pnxxnmp mii 11 的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量為為pnXXnmp mii 11 的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)。求求參參數(shù)數(shù)的的樣樣本本，是是來(lái)來(lái)自自設(shè)設(shè) XXXPX),();(n1：解解 e!xxxXP故似然函數(shù)為故似然函數(shù)為 e!x)(niixi1L)(ln L而而例例2： niixnniie )!x(111 ln)x(n)!x

12、ln(niinii 111的的分分布布律律為為：X,)(lndd0 L令令.nxnii0 1 即即的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)值值解解得得 xxnnii 11 的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量為為 XXnp nii 11 為為待待估估參參數(shù)數(shù)。的的形形式式已已知知，屬屬連連續(xù)續(xù)型型，其其概概率率密密度度若若總總體體),(),(),;x(fkkk 212121 X2、極大似然估計(jì)（連續(xù)型總體） 211的極大似然估計(jì)量。的極大似然估計(jì)量。求求來(lái)自總體來(lái)自總體),(,kn , , 的樣本 )是( 設(shè)XXX建建立立似似然然函函數(shù)數(shù))(1 ),(k 21L niki),;x(f121 ; ),x(fln

13、ln)(niki 1212 L取對(duì)數(shù)：取對(duì)數(shù)：;ln)(031 L令令;ln02 L;lnk0 L的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)值值。解解方方程程組組求求得得k,)( 14的的樣樣本本，是是來(lái)來(lái)自自為為未未知知參參數(shù)數(shù)，；設(shè)設(shè)XNX)X,X,X(,),(n2122 ：解解222 221 )x(e),;x(f 似然函數(shù)為：似然函數(shù)為： ni)x(ie),(12 22221 L例例3：Lln)ln(22 n niix122)(21 )2ln(2 n 2122)(2 2)2( niixne的的概概率率密密度度為為：X的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量。求求2, 0ln0ln2 LL令令 即即： 0)(1

14、 12 niix0)(212-2142 niixn, 11xxnnii 解得：解得： niixxn122)(1 212211 1B)(nnniinii XXXX :似似然然函函數(shù)數(shù)為為 niixne12221 2 22 的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本值值，是是來(lái)來(lái)自自為為未未知知參參數(shù)數(shù)，已已知知，；設(shè)設(shè)XNXnxx,),(122 的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量。求求2 ：解解 nixie12)( 22221),( LLln)ln(22 n niix122)(21 )2ln(2 n 222 221);( ）（ xexf的的概概率率密密度度為為：X例例4： niixndd12422212ln L，令：令

15、：0ln2 ddL 02121242 niixn 得得似似然然方方程程 niixn1221 解此方程，得解此方程，得 niiXn12221 的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量為為因因此此似似然然函函數(shù)數(shù)為為的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)總總體體 X解：解： ,11 niinxL niixnL1ln1lnln 其它。其它。, 0, 10,1xxxf 例例5： 021的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)。抽抽取取的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本。試試求求是是從從該該總總體體，未未知知，其其中中 ).,(nXXX ，令：令：0ln dLd得得似似然然方方程程為為, 0ln1 niixn 解得解得,ln1 niixn 的的極

16、極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量為為因因此此 .ln1 niiXn 似似然然函函數(shù)數(shù)為為的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)總總體體 X解：解： niixneL1 niixlnnLln1 其它。其它。,x,exfx00 例例6： 021的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)。抽抽取取的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本。試試求求是是從從該該總總體體，未未知知，其其中中 ).,(nXXX ，令：令：0 dLlnd得得似似然然方方程程為為01 niixn 解得解得xxnnii11 的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量為為因因此此 XXnnii11 極大似然法求估計(jì)量的步驟：極大似然法求估計(jì)量的步驟：( (一般情況下一般情況下) ):)()1

17、 L構(gòu)造似然函數(shù)構(gòu)造似然函數(shù),(),x()(nii 1離散型）離散型） PL nii;(),x(f)(1連連續(xù)續(xù)型型） L);(ln)2 L取對(duì)數(shù)：取對(duì)數(shù)：; 0ln)3 ddL令令。的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量解解似似然然方方程程得得 )4說(shuō)明：說(shuō)明：若似然方程（組）無(wú)解，或似然函數(shù)不可導(dǎo)，若似然方程（組）無(wú)解，或似然函數(shù)不可導(dǎo)， 此法失效，改用其它方法。此法失效，改用其它方法。能能地地使使用用極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)應(yīng)應(yīng)用用中中，我我們們應(yīng)應(yīng)當(dāng)當(dāng)盡盡可可計(jì)計(jì)優(yōu)優(yōu)于于矩矩估估計(jì)計(jì)，因因而而在在一一般般來(lái)來(lái)講講，極極大大似似然然估估似似然然函函數(shù)數(shù)為為上上的的均均勻勻分分布布，服服從從設(shè)設(shè)

18、總總體體21 X解：解： n)(,L12211 例例7： , 212121的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)。抽抽取取的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本。試試求求是是從從該該總總體體未未知知，其其中中 ).,(,nXXX因因此此極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量為為 12 lnnLln01 dLlnd令：令：02 dLlnd012 )(n 012 )(n 方程組無(wú)解方程組無(wú)解 1x2xixnx1 2 211 x221 x21 nx)x,x,xmin(n211 )x,x,xmax(n212 )X,X,Xmin(n211 )X,X,Xmax(n212 5.2 點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性準(zhǔn)則點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性準(zhǔn)則 我們知道，一個(gè)未知參數(shù)的估

19、計(jì)量可能不止我們知道，一個(gè)未知參數(shù)的估計(jì)量可能不止一個(gè)。究竟采用哪個(gè)為好呢？這就涉及到用什么一個(gè)。究竟采用哪個(gè)為好呢？這就涉及到用什么標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)價(jià)估計(jì)量的問(wèn)題。我們介紹三個(gè)常用的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)價(jià)估計(jì)量的問(wèn)題。我們介紹三個(gè)常用的標(biāo)準(zhǔn)：標(biāo)準(zhǔn)： 1）無(wú)偏性；）無(wú)偏性； 2）有效性；）有效性； 3）一致性。）一致性。一、無(wú)偏性一、無(wú)偏性 根據(jù)樣本推得的估計(jì)值與真值可能不同，根據(jù)樣本推得的估計(jì)值與真值可能不同， 然而，如果有一系列然而，如果有一系列抽樣構(gòu)成各個(gè)估計(jì)，很合理地會(huì)要求這些估計(jì)的期望值與未知參數(shù)抽樣構(gòu)成各個(gè)估計(jì)，很合理地會(huì)要求這些估計(jì)的期望值與未知參數(shù)的真值相等，它的直觀意義是樣本估計(jì)量的數(shù)值在參數(shù)的

20、真值周圍的真值相等，它的直觀意義是樣本估計(jì)量的數(shù)值在參數(shù)的真值周圍擺動(dòng)，而無(wú)誤差，這就是估計(jì)量的無(wú)偏性。擺動(dòng)，而無(wú)誤差，這就是估計(jì)量的無(wú)偏性。 定義定義5.2：如果對(duì)一切如果對(duì)一切 ，有，有 E簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱無(wú)無(wú)偏偏估估計(jì)計(jì)。的的無(wú)無(wú)偏偏估估計(jì)計(jì)量量為為參參數(shù)數(shù)則則稱稱成成立立， 例例：設(shè)總體：設(shè)總體X 有期望有期望 EX= ，樣本樣本(X1, X2, , X n)來(lái)自來(lái)自 X， 試證樣本均值試證樣本均值 X 是是 的無(wú)偏估計(jì)。的無(wú)偏估計(jì)。 這個(gè)結(jié)論與總體的分布類型沒(méi)有關(guān)系。只要總體期望這個(gè)結(jié)論與總體的分布類型沒(méi)有關(guān)系。只要總體期望存在存在， 樣樣本均值總是它本均值總是它的無(wú)偏估計(jì)。的無(wú)偏估計(jì)。 X

21、E 證證：的估計(jì)量 為參數(shù) 例例：設(shè)總體：設(shè)總體X 有期望有期望 EX= 與方差與方差 DX= 2， 與與 2 都未知。都未知。 樣本樣本(X1, X2, , X n)來(lái)自來(lái)自 X，試證：試證： (1) 樣本方差樣本方差S2是是 2的無(wú)偏估計(jì)；的無(wú)偏估計(jì)； (2) 樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差S不是標(biāo)準(zhǔn)差不是標(biāo)準(zhǔn)差 的無(wú)偏估計(jì)；的無(wú)偏估計(jì)； (3) B2不是不是 2的無(wú)偏估計(jì)。的無(wú)偏估計(jì)。 證證：(1) 由定理由定理知：知： ES2= 2 (2) DS=ES2 - (ES)2= 2 - (ES)2 DSES22222SXXXXBnnnnnnniinii1)(111)(111 (3) 因因 222 nn

22、nn11 ESEB 所所以以二、無(wú)偏估計(jì)的有效性二、無(wú)偏估計(jì)的有效性 一般地，未知參數(shù)一般地，未知參數(shù) 的無(wú)偏估計(jì)量往往不止一個(gè)，的無(wú)偏估計(jì)量往往不止一個(gè)， 在這些估計(jì)量中，當(dāng)然是取值對(duì)于在這些估計(jì)量中，當(dāng)然是取值對(duì)于 的離散程度越小的的離散程度越小的 越好，即方差越小的越好。越好，即方差越小的越好。 定義定義5.3： 21DD如如果果的的無(wú)無(wú)偏偏估估計(jì)計(jì)都都是是參參數(shù)數(shù)和和設(shè)設(shè)， 21的的最最小小方方差差無(wú)無(wú)偏偏估估計(jì)計(jì)。為為則則稱稱方方差差達(dá)達(dá)到到最最小小的的的的一一切切無(wú)無(wú)偏偏估估計(jì)計(jì)中中如如果果在在有有效效比比則則稱稱 21，。 解解：DX1=DX= 2 n2 XDnnaaaXXX 2

23、211 例例：設(shè)總體：設(shè)總體X 有期望有期望 EX= 與方差與方差 DX= 2， 與與 2 都未知。都未知。 樣本樣本(X1, X2, , X n)來(lái)自來(lái)自 X，比較比較 的兩個(gè)的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)無(wú)偏估計(jì)X1 和和 X 的有的有 效性。效性。有有效效。比比所所以以 1XX 例例：條件同上，試證：條件同上，試證X在在 的所有線性的所有線性無(wú)偏估計(jì)中方差最小。無(wú)偏估計(jì)中方差最小。 解解：所謂線性估計(jì)是指：所謂線性估計(jì)是指 為樣本的線性函數(shù)。為樣本的線性函數(shù)。 niiniiiniiiaa)a(111 EXXEE的的無(wú)無(wú)偏偏估估計(jì)計(jì)，即即是是由由11 niia知知，必必有有 niiniiiniiiaaa1

24、22121)( DXXDD21 n XD niiniininiianaa1212121)(1()(1 D XD，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)于于一一切切如如果果的的估估計(jì)計(jì)量量為為參參數(shù)數(shù)：若若 Pnnn,定定義義的的一一致致估估計(jì)計(jì)。是是則則稱稱 n三、一致性（相合性）三、一致性（相合性）,1 EXXXX的的樣樣本本，是是總總體體若若n，有，有對(duì)于任意給定的對(duì)于任意給定的0 01lim1 niinnXP的的一一致致估估計(jì)計(jì)量量。是是總總體體期期望望因因此此，樣樣本本均均值值 X由由辛辛欽欽大大數(shù)數(shù)定定律律，知知例：例：區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì): : 點(diǎn)估計(jì)：點(diǎn)估計(jì)：用樣本算出的估計(jì)值估計(jì)總體的未知參數(shù)用樣本算出的

25、估計(jì)值估計(jì)總體的未知參數(shù) 估計(jì) 為端點(diǎn)的區(qū)間計(jì) 估 個(gè),212121）（，量量找找兩兩 可靠度：可靠度：要求區(qū)間以很大的可能性包含要求區(qū)間以很大的可能性包含 即：即：要要盡盡可可能能大大概概率率)(21 P精度：精度：估計(jì)的精度要盡可能高估計(jì)的精度要盡可能高, , 即即 區(qū)間的長(zhǎng)度要盡可能小區(qū)間的長(zhǎng)度要盡可能小, , 或或 能體現(xiàn)此要求的其它準(zhǔn)則。能體現(xiàn)此要求的其它準(zhǔn)則。在保證可靠度的條件下，盡量提高精度在保證可靠度的條件下，盡量提高精度 可靠度和精度要統(tǒng)籌兼顧可靠度和精度要統(tǒng)籌兼顧 5.3 5.3 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)通常，置信系數(shù)（可靠性）采用通常，置信系數(shù)（可靠性）采用 0.95, 0.99

26、, 0.90 等值。等值。，即即的的概概率率為為給給定定值值包包含含，使使得得區(qū)區(qū)間間，與與構(gòu)構(gòu)造造兩兩個(gè)個(gè)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的樣樣本本，用用來(lái)來(lái)自自總總體體的的未未知知參參數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于總總體體)10(1),(),(),(),( 21212211 nnnXXXXXXXXXXX212121?；蚧虻牡牡牡闹弥眯判畔迪禂?shù)數(shù)為為稱稱為為，隨隨機(jī)機(jī)區(qū)區(qū)間間或或?yàn)闉閯t則稱稱 計(jì) 區(qū)間估置信區(qū)間置信度置信系數(shù) 1 121 ,12()1 定義5對(duì)于給定的，如果.5 01) P一、區(qū)間估計(jì)的基本概念一、區(qū)間估計(jì)的基本概念義義。意意區(qū)區(qū)分分不不同同場(chǎng)場(chǎng)合合下下的的含含也也稱稱為為置置信信區(qū)區(qū)間間，應(yīng)應(yīng)注注習(xí)習(xí)慣慣上上

27、，常常將將 ),(2),(1(nxxxnxxx2121 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值（的臨界值（ 分位點(diǎn)）分位點(diǎn)），稱稱滿滿足足條條件件：對(duì)對(duì)于于給給定定的的若若)(),(NX1010 為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布的的的的點(diǎn)點(diǎn) u uP X。分分位位點(diǎn)點(diǎn)上上 O u y y = = (x)u1- 02509619610250.).X(P.u. 例：例： 10)u(二、樞軸變量法二、樞軸變量法(1) 找與找與 有關(guān)的統(tǒng)計(jì)量有關(guān)的統(tǒng)計(jì)量 T (T (一般一般T T是是 的點(diǎn)估計(jì)的點(diǎn)估計(jì)) ) (2)找一個(gè)函數(shù)找一個(gè)函數(shù) I=I(T, I=I(T, ), I 的分布的分布F與與 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)( (

28、I I( (T,T, )為樞軸變量為樞軸變量) )(3)對(duì)給定的對(duì)給定的 1- ，找到，找到F 的上的上分位點(diǎn)分位點(diǎn) 和和2 21 1),( 221TIP即估計(jì)估計(jì)置信系數(shù)置信系數(shù)解出解出的區(qū)間為的即為這時(shí)，由 1 , ),( (4)2121221TI三、正態(tài)總體未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（樞軸變量法）三、正態(tài)總體未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（樞軸變量法）1、均值、均值 的的區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) , 2/2/ unun XX(1) 2已知已知 設(shè)總體設(shè)總體X N( , 2)，樣本樣本 (X1, X2, , Xn) 來(lái)自總體來(lái)自總體X 。所以所以 的置信系數(shù)為的置信系數(shù)為1- 的置信區(qū)間：的置信區(qū)間： 2120 )u

29、(/樞軸變量為樞軸變量為) 1 , 0(NnU X/2/2 ( ) 1-P un u而XO /2U /2 /2-U /2(2) 2未知未知所以所以 的置信系數(shù)為的置信系數(shù)為1- 的置信區(qū)間：的置信區(qū)間： 1)-(n , 1)-(n22 tntnSXSX 樞軸變量為樞軸變量為) 1( ntnSt X2)1() 1(2 ntntP -1) ) 1() 1( 2/2/ ntSntPX而而2/2(1)tn/2(1)tn例例1：從從大批燈泡中隨機(jī)地抽取大批燈泡中隨機(jī)地抽取5個(gè)個(gè),測(cè)得壽命為測(cè)得壽命為(單位單位: 小時(shí)小時(shí))：1650, 1700, 1680, 1820, 1800，假定燈泡壽命，假定燈泡

30、壽命XN( , 9)，求這批燈泡平均壽命的區(qū)間估計(jì)求這批燈泡平均壽命的區(qū)間估計(jì) （ = 0.05）。 解：解：方差方差 2=9已知，利用公式：已知，利用公式： , 2/2/ unun XX由由 = 0.05，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得 u0.025=1.96。 因因 n=5， =3，x = 1730，所以，得所以，得 的區(qū)間估計(jì)為的區(qū)間估計(jì)為 1727.37 , 1732.63。P(1727.37 1732.63)=0.95注注97500250102500.)u(. u,u.0250025053 53 XX例例2 ：從從大批燈泡中隨機(jī)地抽取大批燈泡中隨機(jī)地抽取5個(gè)個(gè),測(cè)得壽命為測(cè)得

31、壽命為(單位單位: 小時(shí)小時(shí))：1650, 1700, 1680, 1820, 1800，假定燈泡壽命，假定燈泡壽命XN( , 2)，求這批燈泡平均壽命的區(qū)間估計(jì)求這批燈泡平均壽命的區(qū)間估計(jì) （ = 0.05）。 1)-(n , 1)-(n22 tntnSXSX 由由n = 5，查查 t 分布表得分布表得 t0.025(4)=2.776。 x = 1730，S = 75.50。所以，得所以，得 的區(qū)間估計(jì)為的區(qū)間估計(jì)為 1636.27 , 1823.73。解：解：方差方差 2未知，利用公式：未知，利用公式： nii)X(nS12211Xt,t.(4)5 (4)502500250SXSX 2、方

32、差、方差的的區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) (1) 已知已知)()-(12122nInii X 2 的置信系數(shù)為的置信系數(shù)為1- 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì)為：為：樞軸變量為樞軸變量為 )()-( ,)()-(221122212nnniinii XX 1)()-(1)( 22122221nnPniiX而而 /22/221/2(2) 未知未知 2 的置信系數(shù)為的置信系數(shù)為1- 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì)為：為： ) 1() 1( ,) 1() 1(2212222nnnn SS nii)X(Sn1221X樞軸變量為樞軸變量為)1()-(1)1(212222 nXSnInii X 1)1() 1() 1( 2222221nS

33、nnP而而/22/221/2查查 2 分布表得分布表得 20.025(5)=12.833， 20.975(5)=0.831。所以，得方差的區(qū)間估計(jì)為所以，得方差的區(qū)間估計(jì)為 0.055 , 0.842。 例例3：對(duì)某塔的高度進(jìn)行了對(duì)某塔的高度進(jìn)行了 5 次測(cè)量，數(shù)據(jù)（單位：米）如下：次測(cè)量，數(shù)據(jù)（單位：米）如下：90.5, 90.4, 89.7, 89.6, 90.2，設(shè)測(cè)量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，設(shè)測(cè)量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，求方差的區(qū)間估計(jì)（求方差的區(qū)間估計(jì)（ = 0.05）。 (1) 假設(shè)塔的真實(shí)高度為假設(shè)塔的真實(shí)高度為 90米。米。 (2) 假設(shè)塔的真實(shí)高度未知。假設(shè)塔的真實(shí)高度未知。解：解：(1

34、) 利用公式：利用公式： 計(jì)算得：計(jì)算得： )()-( ,)()-(221122212nnniinii XX 5120.790ii)(X (2) 利用公式：利用公式： ) 1() 1( ,) 1() 1(2212222nnnn SS計(jì)算得：計(jì)算得： nii.)X(Sn12266801X 查查 2分布表得分布表得 20.025(4)=11.143， 20.975(4)=0.484。 所以，得方差的區(qū)間估計(jì)為所以，得方差的區(qū)間估計(jì)為 0.060 , 1.380。1、均值、均值差差 1 - 2的的區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) (1) 12 , , 22都都已知已知 令樞軸變量為令樞軸變量為5.3.35.3.3、

35、兩個(gè)正態(tài)總體均值差和方差比的區(qū)間估計(jì)、兩個(gè)正態(tài)總體均值差和方差比的區(qū)間估計(jì)2212,Y,S ,SX 設(shè)樣本設(shè)樣本(X1,X2, ,Xn1) 來(lái)自正態(tài)總體來(lái)自正態(tài)總體XN( 1 , 12), (Y1, Y2, , Y n2) 來(lái)自正態(tài)總體來(lái)自正態(tài)總體YN( 2 , 22)，并假定并假定X 與與 Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立 分別是兩樣本的均值和方差分別是兩樣本的均值和方差,1- 是是給定的置信系數(shù)給定的置信系數(shù)X YX Y22221212/2/21212(),() nnnnuu 所以所以 1 - 2的置信系數(shù)為的置信系數(shù)為1- 的置信區(qū)間：的置信區(qū)間： 2120 )u(/X Y12/2/2221212(

36、) () ( ) 1-nnP uu 而而O /2U /2 /2-U /2XYUN12221212()() (0,1)nn 解：解：由由 = 0.1，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得 U /2=U0.05=1.645因因 n1=10，n2=12, 12=25, 22 =36，所以，所以，例例1 1：設(shè)自總體：設(shè)自總體XN( 1 ,25)得到一容量為得到一容量為1010的樣本，其樣本均值的樣本，其樣本均值 ，自總體，自總體YN( 1 ,36)得到一容量為得到一容量為1212的樣本，的樣本，其樣本均值其樣本均值 , , 并且兩樣本并且兩樣本 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,求求 1 - 2的置信區(qū)間的置信區(qū)

37、間（ = 0.1= 0.1）。）。 19 8x. 24 0y. 22121225365.52.345nn1012得得 1 1 - - 2 2的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 -8.06,-0.34 -8.06,-0.34。XYXY22221212/2/21212 () , () nnnnuu 由由(2) 12 ,= 22= 2 ,但但 2未知未知 令樞軸變量為令樞軸變量為 定理（定理（5.105.10）XYTSS-12122211221212() () (n +n2)(n1)(n1)11(n +n2)nnt SSX Y-SSX Y-221122121212221122121212(n1)(n1)11()(n +n2),(n +n2)nn(n1)(n1)11 ()(n +n2)(n +n2)nntt