流體力學(xué)第四章B4 積分形式的基本方程

1、Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程1B4 B4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程輸運(yùn)公式輸運(yùn)公式伯努利方程伯努利方程連續(xù)性方程連續(xù)性方程動(dòng)量方程動(dòng)量方程能量方程能量方程動(dòng)量矩方程動(dòng)量矩方程固定控制體固定控制體運(yùn)動(dòng)控制體運(yùn)動(dòng)控制體固定控制體固定控制體勻速運(yùn)動(dòng)控制體勻速運(yùn)動(dòng)控制體固定控制體固定控制體旋轉(zhuǎn)控制體旋轉(zhuǎn)控制體系統(tǒng)導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)導(dǎo)數(shù)固定控制體固定控制體Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程2系統(tǒng)系統(tǒng)-包含確定流體介質(zhì)的集合包含確定流體介質(zhì)的集合, ,無(wú)質(zhì)量交換有能量

2、交換無(wú)質(zhì)量交換有能量交換VVNVVM系統(tǒng)的質(zhì)量系統(tǒng)的質(zhì)量VVvKvVoVvrMvr系統(tǒng)的動(dòng)量系統(tǒng)的動(dòng)量系統(tǒng)的動(dòng)量距系統(tǒng)的動(dòng)量距是單位體積的物理量是單位體積的物理量VVV1系統(tǒng)的體積系統(tǒng)的體積控制體控制體-流體流過的流體流過的固定固定邊界邊界包含的體積包含的體積控制面控制面-固定固定邊界邊界構(gòu)成的面構(gòu)成的面,有質(zhì)量交換有能量交換有質(zhì)量交換有能量交換引言Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程3系統(tǒng)廣延量系統(tǒng)廣延量控制體廣延量控制體廣延量 dtNsys dtNCVCVB4.1 B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù) 輸運(yùn)公式輸運(yùn)公

3、式CSCVsysdAdtDtDNnv 系統(tǒng)廣延量的導(dǎo)數(shù)，稱為系統(tǒng)導(dǎo)數(shù)。系統(tǒng)廣延量的導(dǎo)數(shù)，稱為系統(tǒng)導(dǎo)數(shù)?？刂企w廣延量隨時(shí)間變化率控制體廣延量隨時(shí)間變化率, , 稱為當(dāng)?shù)刈兓史Q為當(dāng)?shù)刈兓?；當(dāng)流場(chǎng)定常時(shí)為零。；當(dāng)流場(chǎng)定常時(shí)為零。通過控制面凈流出的廣延量流量通過控制面凈流出的廣延量流量, , 稱為遷移變化率稱為遷移變化率 ；當(dāng)流場(chǎng)均勻時(shí)為零。；當(dāng)流場(chǎng)均勻時(shí)為零。 輸運(yùn)公式計(jì)算取決于控制體輸運(yùn)公式計(jì)算取決于控制體(面面)的選擇的選擇Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程4t t時(shí)刻界面時(shí)刻界面S S，體積，體積體積體積(t+t(t+t)

4、 )tvnS S S S (t+t)1212)(ttVdtrtN),()(t+tt+t時(shí)刻界面時(shí)刻界面S S),(),(1lim)()(0ttttVdtrdttrtddtd),(),(),(1lim)(0dttrdtrttrtddtdttV21IIddtdV12Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程5dtrttrtIt),(),(1lim01tdSvdndtI1SntttdSvttrtdttrtI),(1lim),(1lim00212t t時(shí)刻界面時(shí)刻界面S S，體積，體積體積體積(t+t(t+t) )tvnS S S S (t+t

5、)12t+tt+t時(shí)刻界面時(shí)刻界面S SS1S2SSS1222),(),(SntdSvttrdttr11),(),(SntdSvttrdttr211212),(SSntdSvttrddd物理量流量物理量流量AVVdAnvdVtdVdtdFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程6)V(uVtVdtdDtDIVVVVVVVV)u(VtV)uu(VtDtDIAVVdA)u(ndVtdVdtdAVdA)u(ndV)u(高斯公式高斯公式n替替換換為為輸運(yùn)公式輸運(yùn)公式)V(udtrd)V(dtVdV)u(VVVVuV)u()V(u)V(uBut)

6、t , z , y, x(BB)ut(dtdB質(zhì)量守恒rd)V(Vdrd)f(dfFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程7t t時(shí)刻界面時(shí)刻界面S S，體積，體積體積體積(t+t(t+t) )tvnS S S S (t+t)12t+tt+t時(shí)刻界面時(shí)刻界面S S)(01),(),(1limtttdtrttrtItdSvdndtI1SntttdSvttrtdttrtI),(1lim),(1lim00221IIddtdV物理量流量物理量流量 SdSnvdtddtdSndSvtrI),(212S1S2動(dòng)坐標(biāo)系的輸運(yùn)公式動(dòng)坐標(biāo)系的輸運(yùn)公式F

7、luid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程8輸運(yùn)公式輸運(yùn)公式VVM系統(tǒng)質(zhì)量系統(tǒng)質(zhì)量 的隨體的隨體導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)VVvK系統(tǒng)動(dòng)量系統(tǒng)動(dòng)量 的隨體導(dǎo)數(shù)的隨體導(dǎo)數(shù)物理量流量物理量流量AVVdAnvdVtdVdtd質(zhì)量流量質(zhì)量流量AVVdAnvdVtdVdtdAVVdA)nv(vdVtvdVvdtd動(dòng)量流量動(dòng)量流量系統(tǒng)體積系統(tǒng)體積 的隨體的隨體導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)VVV體積流量體積流量AVdAnvdVdtdFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程9B4.2 B4.2 積分形式的連續(xù)性方程積分形式的連續(xù)性方

8、程CVCSddA0tv nB4.2.1 B4.2.1 固體的控制體固體的控制體上式表明：通過控制面凈流出的質(zhì)量流量等于控制體內(nèi)流體質(zhì)上式表明：通過控制面凈流出的質(zhì)量流量等于控制體內(nèi)流體質(zhì)量量 隨時(shí)間的減少率。隨時(shí)間的減少率。 輸運(yùn)公式可用于任何分布函數(shù)輸運(yùn)公式可用于任何分布函數(shù) ，如密度分布、動(dòng)量分布、，如密度分布、動(dòng)量分布、能量分布等。能量分布等。 令令 ，由系統(tǒng)的質(zhì)量不變可得連續(xù)性方程，由系統(tǒng)的質(zhì)量不變可得連續(xù)性方程 對(duì)固定的對(duì)固定的CVCV，積分形式的連續(xù)性方程可化為，積分形式的連續(xù)性方程可化為CSCV()dAdtv nFluid Mechanics and MachineryB4 積分

9、形式的基本方程積分形式的基本方程10VVM系統(tǒng)質(zhì)量系統(tǒng)質(zhì)量 的隨體的隨體導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)質(zhì)量流量質(zhì)量流量AVVdAvndVtdVdtd連續(xù)性方程連續(xù)性方程VAdV)v(dAvn0VVVVdV)vt(dVvdVtdVdtd高斯公式高斯公式n替換替換0vt質(zhì)量流量質(zhì)量流量Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程11111AAdAudAnu1u流進(jìn)面流進(jìn)面12n2u1A2A流出面流出面2是是外外法法線線方方向向n1nAB流進(jìn)面流進(jìn)面11111ununuu流出面流出面22222ununuuinAAoutQdAudAnuQ2221.1.沿流管的定常流動(dòng)

10、沿流管的定常流動(dòng) 0AdAnv0AVVdAnvdVtdVdtd021AAAdAnvdAnvdAnv11AindAuQFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程12111AAdAudAnu1u流進(jìn)面流進(jìn)面12n2u1A2A流出面流出面2是是外外法法線線方方向向n1nAB流進(jìn)面流進(jìn)面11111ununuu流出面流出面22222ununuuinAAoutmdAudAnum2221.1.沿流管的定常流動(dòng)沿流管的定常流動(dòng) 0AdAnv021AAAdAnvdAnvdAnv11AindAuminoutmvAvAm111222Fluid Mechani

11、cs and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程13設(shè)出入口截面上的質(zhì)流量大小為設(shè)出入口截面上的質(zhì)流量大小為 inVAoutVAQQ inout)()(1.1.沿流管的定常流動(dòng)沿流管的定常流動(dòng) AVm 一般式一般式 nioutmm 有多個(gè)出入口有多個(gè)出入口 inoutVAVA)()(2.2.沿流管的不可壓縮流動(dòng)沿流管的不可壓縮流動(dòng) 設(shè)出入口截面上的體積流量大小為設(shè)出入口截面上的體積流量大小為 VAQ 一般式一般式 有多個(gè)出入口有多個(gè)出入口 Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程14 例例B4.2.1 B4.

12、2.1 主動(dòng)脈弓流動(dòng)：多個(gè)一維出入口連續(xù)性方程主動(dòng)脈弓流動(dòng)：多個(gè)一維出入口連續(xù)性方程 已知已知: : 所有管截面均為圓形所有管截面均為圓形, ,d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm, d5=2.0cm,平均流量分別為平均流量分別為Q1=6 l/min, Q 3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q 5= 0.78Q1 求：求： Q2 及各管的平均速度及各管的平均速度 解：解： 取圖中虛線所示控制體，有多個(gè)出入口。取圖中虛線所示控制體，有多個(gè)出入口。血液按不可壓縮流體處理血液按不可壓縮流體處理 可得可得Q1 = Q 2 + Q 3 + Q 4 +

13、 Q 5 Q2 = Q 1(Q 3 + Q 4 + Q 5）= Q 1(0.07+0.04+0.78)Q = 0.11Q1= 0.66 l / min inoutQQFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程15各管的平均速度為各管的平均速度為 例例B4.2.1 B4.2.1 主動(dòng)脈弓流動(dòng)：多個(gè)一維出入口連續(xù)性方程主動(dòng)脈弓流動(dòng)：多個(gè)一維出入口連續(xù)性方程 20.4cm/s602.5100064422111dQVcm/s8.0600.8100060.044422444dQV24.8cm/s602.0100060.784422555dQV18

14、.2cm/s600.7100060.074422333dQV11.6cm/s601.110000.664422222dQVQ1=6 l/min1升=0.001立方米=1立方分米=1000立方厘米Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程16B4.2.2 B4.2.2 運(yùn)動(dòng)的控制體運(yùn)動(dòng)的控制體 將控制體隨物體一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，連續(xù)性方程形式不變，只要將將控制體隨物體一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，連續(xù)性方程形式不變，只要將速度改成相對(duì)速度速度改成相對(duì)速度vr對(duì)流體在具有多個(gè)出入口的控制體內(nèi)作定常流動(dòng)時(shí)對(duì)流體在具有多個(gè)出入口的控制體內(nèi)作定常流動(dòng)時(shí) CVCS0dAdt

15、)nvr(inoutAV(AV(rr)上式中上式中 ，vr 分別為出入口截面上的平均相對(duì)密度和平均相對(duì)速度。分別為出入口截面上的平均相對(duì)密度和平均相對(duì)速度。 Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程17 例例B4.2.1b B4.2.1b 變水位孔口出流：隨時(shí)間變化的控制體變水位孔口出流：隨時(shí)間變化的控制體已知圓柱型水箱已知圓柱型水箱, ,D=1m, d=0.1m, 放水前水深放水前水深H=1m, 假假設(shè)孔口出流速度為設(shè)孔口出流速度為v2=2gh?, h(t)為任意時(shí)刻的水深。DdhvH求孔口打開至水放空所需時(shí)間求孔口打開至水放空所需

16、時(shí)間T T0AVdAnvdtdtdhAhAtdtDDVdAvAdAnv020ghAdtdhAvAdtdhAdDdDhHdDtdDghdhAAdttghdhAAdt220)(22hHAgAtdDsdgHDAgHATdD2 .45222222放空放空h=04/2dAd4/2DADFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程18 例例B4.2.2 B4.2.2 圓管入口段流動(dòng)：速度廓線變化圓管入口段流動(dòng)：速度廓線變化 已知已知: : 不可壓縮粘性流體以速度不可壓縮粘性流體以速度U流入半徑流入半徑R的圓管的圓管, ,圓截面上的速度廓圓截面上的速度

17、廓 線線, 不斷發(fā)展至指數(shù)形式分布不斷發(fā)展至指數(shù)形式分布(湍流湍流)并不再變化稱為充分發(fā)展流動(dòng)。并不再變化稱為充分發(fā)展流動(dòng)。求：求： 充分發(fā)展流動(dòng)的速度廓線表達(dá)式充分發(fā)展流動(dòng)的速度廓線表達(dá)式解：解： 設(shè)設(shè)充分發(fā)展流動(dòng)的速度廓線為充分發(fā)展流動(dòng)的速度廓線為 指數(shù)形式指數(shù)形式式中式中um為管軸上的最大速度，在定常流動(dòng)中為常數(shù)，通常取為管軸上的最大速度，在定常流動(dòng)中為常數(shù)，通常取 n=1/7-1/10. .由連續(xù)性方程由連續(xù)性方程: : (b)式左端式左端=R 2U, (b)式右端式右端= = rRrrRunR0nnmd)(1)(2R0nmArr2)Rr(1uAUdd(b)(n21,n)Rr(1uum

18、(a)URFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程19 例例B4.2.2 B4.2.2 圓管入口段流動(dòng)：速度廓線變化圓管入口段流動(dòng)：速度廓線變化 由積分公式可得由積分公式可得取取 n=1/7時(shí)時(shí)R0R01nR01n1nR0nrRrRrr1n1Rrr1n1rRrrd)()()d(d)(2)1)(1)()(2)1)(1nnRRrnn2n2nR02n由由(b)式可得式可得 2)1)(1)(2nnRuUR222nm2UUUum1.22477215822)711)(71(或或 U = 0.8167 u m Unnum22)1)(Fluid Me

19、chanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程20B4.3 B4.3 伯努利方程及其應(yīng)用伯努利方程及其應(yīng)用伯努利方程的推導(dǎo)：伯努利方程的推導(dǎo)： 由一維歐拉運(yùn)動(dòng)方程沿流線積分由一維歐拉運(yùn)動(dòng)方程沿流線積分伯努利方程的限制條件：伯努利方程的限制條件：(3) 定常流動(dòng)定常流動(dòng)伯努利（伯努利（D.Bernouli 1700D.Bernouli 170017821782）方程的提出和意義）方程的提出和意義(2) 不可壓縮流體不可壓縮流體(1) 無(wú)粘性流體無(wú)粘性流體(4) 只有重力只有重力Cpgzu221Cpgzu221Fluid Mechanics and Machi

20、neryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程21加速度的變體 xuuxuuxuuxuuuuuzzyyxxzyx2222221;)()()( 22zuuyuuxuuxuuxuzuuyuxuuuuuuxzxyzzyyzxzxyyyzzyzyzyzyzyxzxyxxuuxuxuuxuuxuu22122 uFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程22zyzyxzxyxxuuxuxuuxuuxuu2212zyzyxxzxyxxxuuxutuxuuxuuxuutu2212uuuxuuxuuxuuzyx221uuuuu221uuutuuutu

21、221Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程23歐拉方程可化為葛羅米柯方程（歐拉方程的另一種形式）： pfuuutudtud221uuutuuutudtud221pfdtud葛羅米柯方程kzWjyWixWWfPpP壓力函數(shù)dprdpPW勢(shì)函數(shù)rdfWuu)PWu(tu221Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程24理想流體微分方程的積分 uu)PWu(tu221恒定流時(shí) 0ut葛羅米柯方程方程可化為葛羅米柯方程方程可化為： uu)PWu(221uus流線切線方向0212)

22、uu(uu)PWu(s沿流線0212)PWu(s)n(CPWu221伯努利方程Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程252 urd)u()PWu(rd2212uuu)PWu(2212Kuuudzdydxrd)u()PWu(dyyxzyx222212)k(CPWu221K=0,伯努力方程P壓力函數(shù)pP,const,dprdpPW勢(shì)函數(shù)gzW,kgf ,rdfW)k(Cpgzu221伯努力方程化為當(dāng)質(zhì)量力只有當(dāng)質(zhì)量力只有重重力力時(shí)，對(duì)時(shí)，對(duì)理想理想、不可壓縮定常不可壓縮定常流流體有伯努利方程體有伯努利方程Fluid Mechanics

23、and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程26行列式為零的情況 靜止流體： ，得到靜力學(xué)基本方程0 xyzuuupzCyyxzyxuuudzdydxK)k(Cpgzu2210 xyz 無(wú)旋流動(dòng)：xyzdxdydzuuu 流 線：xyzdxdydz 渦線：yxzxyzuuu 螺旋運(yùn)動(dòng)?：Cpgzu221 無(wú)旋流動(dòng)無(wú)旋流動(dòng)伯努利方程伯努利方程 處處成立處處成立Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程27流線方向的速度壓強(qiáng)關(guān)系ssmaF svvtvdt)t , s(dvas切向加速度ssaAcossAA)sspp(

24、Apszszcos幾何關(guān)系)svtv()svvtv(szsp221)n(fdstvvzp221定常流動(dòng)定常流動(dòng)npvssppszxyGzs0212tvsvszp)n(fvzp221Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程28元流伯努利方程的應(yīng)用畢托管測(cè)速儀 滯止點(diǎn)滯止點(diǎn)（駐點(diǎn)駐點(diǎn)）1 1：速度為零，壓力最大速度為零，壓力最大222221112121ugpzugpz0121uzzghu22 為經(jīng)實(shí)驗(yàn)校正的流速系數(shù)，為經(jīng)實(shí)驗(yàn)校正的流速系數(shù)，它與管的構(gòu)造和加工情況有關(guān)，它與管的構(gòu)造和加工情況有關(guān)，其值近似等于其值近似等于1 1。ghu2實(shí)際

25、流速實(shí)際流速h11p2ph1p2p2u01u/01111phpphpaa/02222phpphpaaghppgu2)(22122Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程29zxMNpMPNp0phxpp0MhzxppmNhzppm0等壓面等壓面， pM= pN0BAzzzhppm0hhpp11mm0 例例B4.3.1 B4.3.1 畢托測(cè)速管畢托測(cè)速管 Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程30已知已知: : 設(shè)畢托管正前方的流速保持為設(shè)畢托管正前方的流速保持為v, ,靜壓

26、強(qiáng)為靜壓強(qiáng)為p, ,流體密度為流體密度為, ,U 形管中形管中液體密度液體密度m . . 求：求： 用液位差用液位差h表示流速表示流速v 例例B4.3.1 B4.3.1 畢托測(cè)速管畢托測(cè)速管 220002212121BBBAvgpzugpzvgpzBAzzz0AOB線是一條流線線是一條流線(常稱為零流線常稱為零流線),2022121BBvgppvgpppvvBB2021vpphgppm)(0k 稱為畢托管系數(shù)。稱為畢托管系數(shù)。hgkvm2) 1(hgkvppm)?(?2120總壓總壓= =靜壓靜壓+ +動(dòng)壓動(dòng)壓Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積

27、分形式的基本方程31B4.3.2 B4.3.2 沿總流的伯努利方程沿總流的伯努利方程單位質(zhì)量流體沿流線法線方向的機(jī)械能守恒單位質(zhì)量流體沿流線法線方向的機(jī)械能守恒pgzdnRv2常數(shù)常數(shù)( (沿流線法線方向沿流線法線方向) ) 慣性離心力做功慣性離心力做功重力勢(shì)能重力勢(shì)能壓強(qiáng)勢(shì)能壓強(qiáng)勢(shì)能2. 2. 理想流體沿總流的伯努利方程理想流體沿總流的伯努利方程pgzV22常數(shù)常數(shù) ( (沿流束沿流束) ) 上式中上式中V V為總流截面上的平均速度，為總流截面上的平均速度， 為動(dòng)能修正因子（通常取為動(dòng)能修正因子（通常取 ） 1實(shí)際流體的總流伯努力方程實(shí)際流體的總流伯努力方程：21222222111122lh

28、gvpzgvpzFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程32npCvRnnppszxyznG流線主法線方向的速度壓強(qiáng)關(guān)系流線主法線方向的速度壓強(qiáng)關(guān)系Rvan2向心加速度向心加速度RvnAcosnAA)nnpp(Ap2nznzcos幾何關(guān)系Rvnznp2)s(fdngRpz2v漸變流動(dòng)漸變流動(dòng))s(fzpp+z垂直于流線的斷面上不變垂直于流線的斷面上不變nnmaF Rnp2v忽略重力0v2nRpppOutinpoutpinOutinpp Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程

29、33恒定總流伯努利方程 漸變流漸變流及其性質(zhì)及其性質(zhì) 均勻流均勻流的流線是相互的流線是相互平行的直線平行的直線，過流斷面是，過流斷面是平面平面。許。許多流動(dòng)情況雖然不是嚴(yán)格的均勻流，但多流動(dòng)情況雖然不是嚴(yán)格的均勻流，但接近接近于均勻流，這種于均勻流，這種流動(dòng)稱為流動(dòng)稱為漸變流動(dòng)漸變流動(dòng)。漸變流的流線。漸變流的流線近乎近乎平行直線，流速沿流平行直線，流速沿流向變化小，可忽略不計(jì)，過流斷面可向變化小，可忽略不計(jì)，過流斷面可認(rèn)為認(rèn)為是平面。是平面。Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程3421222221112121lhvgpzvgpz考

30、慮粘性效應(yīng)的伯努力方程考慮粘性效應(yīng)的伯努力方程Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程35總流伯努力方程總流伯努力方程總流伯努力方程可由元流伯努力方程積分得到總流伯努力方程可由元流伯努力方程積分得到12221122121 222lAApupuzdQzdQhdQgg式中包含三類積分式中包含三類積分：（a）勢(shì)能積分勢(shì)能積分 ApzdQAppzdQzQ取漸變流斷面取漸變流斷面，則則：dQdQ)hugpz()ugpz(l21222221112121B4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力學(xué)意義伯努利方程的水力學(xué)意義)s(fdngRpz2v

31、Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程36引入斷面平均流速及引入斷面平均流速及動(dòng)能修正系數(shù)動(dòng)能修正系數(shù)1 取決于斷面取決于斷面上流速的分布，上流速的分布， 通常取通常取（c）損失積分損失積分 1 2lh 引入引入 來(lái)表示單位時(shí)間單位重量流體由來(lái)表示單位時(shí)間單位重量流體由1-11-1斷面斷面到到2-22-2斷面的斷面的平均平均機(jī)械能損失，稱為機(jī)械能損失，稱為總流水頭損失總流水頭損失1 21 2llhdQhQAudAAQvAAdAuAv33（b）動(dòng)能流量動(dòng)能流量 AAAdAudQudQug322212121AvdAuQvdAuQvdQu

32、QvdQuAAAgAg3333221221221221QvgdQugA22221B4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力學(xué)意義伯努利方程的水力學(xué)意義Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程37)s(fpzhugpzugpzl2122222111212112221122121 222lAApupuzdQzdQhdQgg將上述三類積分帶入原積分式，則得到總流伯努力方程將上述三類積分帶入原積分式，則得到總流伯努力方程：QhQgvQ)pz(QgvQ)pz(l2122222211112221222222111122lhgvpzgvpzB4.

33、3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力學(xué)意義伯努利方程的水力學(xué)意義Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程38總流伯努力方程的適用條件 恒定流； 不可壓縮流體； 質(zhì)量力只有重力； 漸變流過流斷面； 無(wú)分流和合流； 無(wú)能量的輸入輸出。2211 1212121 222lppzzhggB4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力學(xué)意義伯努利方程的水力學(xué)意義lhggpzHggpz2222222m21111vv有能量輸入或輸出的有能量輸入或輸出的 伯努利方程伯努利方程Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本

34、方程積分形式的基本方程39總流伯努力方程的意義總流伯努力方程的意義 總流伯努力方程的幾何意義和物理意義在總流伯努力方程的幾何意義和物理意義在“平均平均”的意義下的意義下同元流伯努力方程相同，即：同元流伯努力方程相同，即：22pzg、 、 各項(xiàng)分別代表總流過流斷面上某點(diǎn)各項(xiàng)分別代表總流過流斷面上某點(diǎn)單位重量單位重量流體的流體的勢(shì)能勢(shì)能、壓能壓能及及動(dòng)能動(dòng)能；1 2lh 代表代表單位重量單位重量流體由流體由 1-1 1-1 斷面到斷面到 2-2 2-2 斷面的斷面的平均平均機(jī)械損失機(jī)械損失，稱為，稱為總流水頭損失總流水頭損失。pzHp 代表流過流斷面上某點(diǎn)代表流過流斷面上某點(diǎn)單位重量單位重量流體的

35、流體的總平均勢(shì)能總平均勢(shì)能gvpzH22 代表流過流斷面上某點(diǎn)代表流過流斷面上某點(diǎn)單位重量單位重量流體的流體的總平均機(jī)械能總平均機(jī)械能；B4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力學(xué)意義伯努利方程的水力學(xué)意義Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程40總流伯努力方程的幾何表示總流伯努力方程的幾何表示水力坡度定義水力坡度定義 0J 理想流體： ，總水頭線沿程不變；0J 實(shí)際流體： ，總水頭線沿程下降。lhlHHJl21平均平均dshddsdHJl測(cè)壓管水頭線測(cè)壓管水頭線H Hp p坡度dsdHJppFluid Mechanics and

36、 MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程41pzHpgvpzH221pg221v11zpzg22v2p2zg222v21vv2v測(cè)壓管水頭線測(cè)壓管水頭線Hp總水頭線總水頭線H水流軸水流軸線線HHp水頭損失水頭損失hl總流伯努力方程的幾何表示總流伯努力方程的幾何表示水力坡度定義水力坡度定義 dshddsdHJl測(cè)壓管水頭線測(cè)壓管水頭線H Hp p坡度dsdHJppB4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力學(xué)意義伯努利方程的水力學(xué)意義Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程42 例例B4.3.1 B4.3.1 小孔

37、出流：托里拆里公式及縮頸效應(yīng)小孔出流：托里拆里公式及縮頸效應(yīng) 已知已知: : 圖示一敞口貯水箱圖示一敞口貯水箱, ,孔與液面的垂直距離為孔與液面的垂直距離為h( (淹深淹深).).設(shè)水位保持不變?cè)O(shè)水位保持不變. . 求：求： (1)(1)出流速度出流速度v(1)(1)設(shè)流動(dòng)符合不可壓縮無(wú)粘性設(shè)流動(dòng)符合不可壓縮無(wú)粘性流體定常流動(dòng)條件流體定常流動(dòng)條件. .解：解：(2)(2)出流流量出流流量Q從自由液面上任選一點(diǎn)從自由液面上任選一點(diǎn)1 1畫一條畫一條流線到小孔流線到小孔2 2，并列伯努利方程，并列伯努利方程 2222112122pgzvpgzvFluid Mechanics and Machine

38、ryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程43 例例B4.3.1 B4.3.1 小孔出流：托里拆里公式及縮頸效應(yīng)小孔出流：托里拆里公式及縮頸效應(yīng) 討論討論1 1：(b)式稱為托里拆里式稱為托里拆里( (ETomcelli,1644)公式公式, ,形式上與初始速度為形式上與初始速度為零的自由落體運(yùn)動(dòng)一樣零的自由落體運(yùn)動(dòng)一樣. .(b)式也適用于水箱側(cè)壁平行于液面的狹式也適用于水箱側(cè)壁平行于液面的狹縫出流?？p出流。 (2)(2)在小孔出口在小孔出口, ,發(fā)生縮頸效應(yīng)發(fā)生縮頸效應(yīng). .設(shè)縮頸處的截面積為設(shè)縮頸處的截面積為A e, ,縮頸系數(shù)縮頸系數(shù) 小孔出流量小孔出流量液面的速度可近似取為零液面

39、的速度可近似取為零v1= 0，液面和孔口外均為大氣壓強(qiáng)，液面和孔口外均為大氣壓強(qiáng)p1= p2=pa = 0( (表壓表壓) )，由，由(a)式可得式可得ghzzgvv2)(2212AAeghAAvvAQe22222112122pgzvpgzvFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程44 例例B4.3.1 B4.3.1 小孔出流：托里拆里公式及縮頸效應(yīng)小孔出流：托里拆里公式及縮頸效應(yīng) 討論討論2 2：上述各式均只適用于小孔情況上述各式均只適用于小孔情況( (孔直徑孔直徑d0.1h),),對(duì)大孔口對(duì)大孔口( (d 0.1h) )應(yīng)考慮速度

40、不均勻分布的影響。應(yīng)考慮速度不均勻分布的影響。 收縮系數(shù)收縮系數(shù)與孔口邊緣狀況有關(guān)：與孔口邊緣狀況有關(guān)：實(shí)際孔口出流應(yīng)乘上一修正系數(shù)實(shí)際孔口出流應(yīng)乘上一修正系數(shù) k 1 上式中上式中= k, ,稱為流量修正系數(shù)，由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。稱為流量修正系數(shù)，由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。 ghAghAkAkvkvAQe22內(nèi)伸管內(nèi)伸管= 0.5 0.5, ,流線型圓弧邊流線型圓弧邊=1.0.銳角邊銳角邊= 0.61, ,AAeghAAvvAQe2Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程45 例例B4.3.1-b B4.3.1-b 三角堰流量計(jì)三角堰流量計(jì) hzbdz2

41、)(2tgzhb微元bdz面上的速度gzvgzv2212微元條的寬度bdzzhgztgbdzgzvdAdQ)(2222通過微元條的流量dQhdzzhgztgQ0)(222流量Q)5232()(25232321zhzdzzhzhdzzhztggQ0)(2222525)(22158hfQhtggQzFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程46z2zz1z2Ol 例例B4.3.4 UB4.3.4 U形管振蕩形管振蕩 初始時(shí)刻，液位差初始時(shí)刻，液位差2h,2h,然后在重力作用下振然后在重力作用下振蕩，求振蕩方程蕩，求振蕩方程 21222211

42、2122dstvpgzvpgzvv1=v2 =v(t)ldtdvdstv21p1=p2 =paz z1 1=-z;z=-z;z2 2 =z =z0202zlgdtdvgzldtdvdtdzv 0222zlgdtzd0;, 0vhzt)2cos(tlgAz)2sin(2tlglgAdtdzv0;hA)2sin(2tlglghdtdzvlgthtlghz2)cos()2cos(Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程47npCvRnnppszxyznG流線主法線方向的速度壓強(qiáng)關(guān)系流線主法線方向的速度壓強(qiáng)關(guān)系Rvan2向心加速度向心加速度R

43、vnAcosnAA)nnpp(Ap2nznzcos幾何關(guān)系Rvnznp2)s(fdngRpz2v漸變流動(dòng)漸變流動(dòng))s(fzpp+z垂直于流線的斷面上不變垂直于流線的斷面上不變nnmaF Rnp2v忽略重力0v2nRpppOutinpoutpinOutinpp Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程48B4.3.2 B4.3.2 沿總流的伯努利方程沿總流的伯努利方程單位質(zhì)量流體沿流線法線方向的機(jī)械能守恒單位質(zhì)量流體沿流線法線方向的機(jī)械能守恒pgzdnRv2常數(shù)常數(shù)( (沿流線法線方向沿流線法線方向) ) 慣性離心力做功慣性離心力做功重

44、力勢(shì)能重力勢(shì)能壓強(qiáng)勢(shì)能壓強(qiáng)勢(shì)能2. 2. 理想流體沿總流的伯努利方程理想流體沿總流的伯努利方程pgzV22常數(shù)常數(shù) ( (沿流束沿流束) ) 上式中上式中V V為總流截面上的平均速度，為總流截面上的平均速度， 為動(dòng)能修正因子（通常取為動(dòng)能修正因子（通常取 ） 1實(shí)際流體的總流伯努力方程實(shí)際流體的總流伯努力方程：21222222111122lhgvpzgvpzFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程49沿流束的水頭形式沿流束的水頭形式pgzvdstv22常數(shù)常數(shù)沿流線的不可壓縮流體不定常流沿流線的不可壓縮流體不定常流歐拉運(yùn)動(dòng)方程歐拉運(yùn)動(dòng)

45、方程dltVggpz2gVgpz2gV2222211211211( (沿流束沿流束) )B4.3.4 B4.3.4 不定常伯努利方程不定常伯努利方程沿流線從位置沿流線從位置1積分到位置積分到位置2212222112122dstvpgzvpgzv( (沿流束沿流束) )不定常慣性力作功不定常慣性力作功Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程50pzHpgvpzH221pg221v11zpzg22v2p2zg222v21vv2v測(cè)壓管水頭線測(cè)壓管水頭線Hp總水頭線總水頭線H水流軸水流軸線線HHp水頭損失水頭損失hl總流伯努力方程的幾何表示

46、總流伯努力方程的幾何表示水力坡度定義水力坡度定義 dshddsdHJl測(cè)壓管水頭線測(cè)壓管水頭線H Hp p坡度dsdHJppB4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力學(xué)意義伯努利方程的水力學(xué)意義Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程51元流伯努利方程的應(yīng)用畢托管測(cè)速儀 滯止點(diǎn)滯止點(diǎn)（駐點(diǎn)駐點(diǎn)）1 1：速度為零，壓力最大速度為零，壓力最大222221112121ugpzugpz0121uzzghu22 為經(jīng)實(shí)驗(yàn)校正的流速系數(shù)，為經(jīng)實(shí)驗(yàn)校正的流速系數(shù)，它與管的構(gòu)造和加工情況有關(guān)，它與管的構(gòu)造和加工情況有關(guān)，其值近似等于其值近似等于1

47、1。ghu2實(shí)際流速實(shí)際流速h11p2ph1p2p2u01u/01111phpphpaa/02222phpphpaaghppgu2)(22122Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程52已知已知: : 設(shè)畢托管正前方的流速保持為設(shè)畢托管正前方的流速保持為v, ,靜壓強(qiáng)為靜壓強(qiáng)為p, ,流體密度為流體密度為, ,U 形管中形管中液體密度液體密度m . . 求：求： 用液位差用液位差h表示流速表示流速v 例例B4.3.1 B4.3.1 畢托測(cè)速管畢托測(cè)速管 220002212121BBBAvgpzugpzvgpzBAzzz0AOB線是一

48、條流線線是一條流線(常稱為零流線常稱為零流線),2022121BBvgppvgpppvvBB2021vpphgppm)(0k 稱為畢托管系數(shù)。稱為畢托管系數(shù)。hgkvm2) 1(hgkvppm)?(?2120總壓總壓= =靜壓靜壓+ +動(dòng)壓動(dòng)壓Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程53【例【例4.3.24.3.2】 總流伯努力方程的應(yīng)用總流伯努力方程的應(yīng)用文丘里流量計(jì)文丘里流量計(jì) 由漸縮、喉管、由漸縮、喉管、漸擴(kuò)三段組成漸擴(kuò)三段組成。進(jìn)口直徑進(jìn)口直徑 d1 =100mm，喉管直徑喉管直徑 d2 = 50mm，測(cè)壓管水頭差測(cè)壓管水頭差

49、 h = 0.6m或或水銀差壓計(jì)液面差水銀差壓計(jì)液面差 hm= 4.76cm），），流量系數(shù)流量系數(shù)=0.98，試求輸水流量試求輸水流量。2211A?A?vvQFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程54001122hhmz1z2mabxz =za-zbxhpp0axzpp0bzhppbabazzzh)pz()pz(bbaa11aapzpz22bbpzpzh)pz()pz(2211液柱式測(cè)壓計(jì)Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程55bazzz11aapzpz22bbpzp

50、zmmmh.h)()pz()pz(61212211maMhxppmmbNhzxppmmbahzpp等壓面等壓面， pM= pN水銀水銀m=13.6z =za-zbM001122hhmz1z2mabxNmmbbaa1 h)()pz()pz(U型管型管壓差計(jì)用于測(cè)量?jī)牲c(diǎn)的壓強(qiáng)差或測(cè)壓管水頭差壓差計(jì)用于測(cè)量?jī)牲c(diǎn)的壓強(qiáng)差或測(cè)壓管水頭差Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程561.1.取基準(zhǔn)面取基準(zhǔn)面0-00-0；2.2.取計(jì)算斷面取計(jì)算斷面1-11-1，2-22-2；gpzgpz2222222111vv 伯努利方程伯努利方程001122hh

51、mz1z21v1p2v2p2211AAvvQ)(g)pz()pz(h2122221121vv 連續(xù)性方程連續(xù)性方程)AA(A)AA(hg111222121212222QQFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程57mmmh.h)()pz()pz(61212211h)pz()pz(2211)dd(gd)AA(gAKhK)AA(hgA12412124212122112211Q)(g)pz()pz(h2122221121vv )AA(A)AA(hg111222121212222QQK文丘里管系數(shù)hKhKh)(KhKmmQQ1hKhKh)(K

52、hKmmQQ1考慮到水頭損失的影響，引入流量修正系數(shù)考慮到水頭損失的影響，引入流量修正系數(shù)K K 取決于流量計(jì)取決于流量計(jì)的的結(jié)構(gòu)尺寸結(jié)構(gòu)尺寸Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程58流體系統(tǒng)的動(dòng)量方程流體系統(tǒng)的動(dòng)量方程FdVvdtddtdKVdAnvdQAVVdA)nv(vdVtvdVvdtddtdKAnVAVdApdVfdA)nv(vdVtvFdApdVfdAnvvAnVA)(流過控制面流過控制面A A的動(dòng)量的動(dòng)量流量流量= =合外力合外力FdQvdA)nv(vAA流體系統(tǒng)的動(dòng)量輸送公式流體系統(tǒng)的動(dòng)量輸送公式定常流定常流B4.4

53、 B4.4 積分形式的動(dòng)量方程及其應(yīng)用積分形式的動(dòng)量方程及其應(yīng)用Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程5921AAAdA)nu(udA)nu(udA)nu(uK流進(jìn)面流進(jìn)面11111ununuu流出面流出面22222ununuu21222121AAdAnudAnuK121212AAAAAAAAdA)nu(udQudQudQuB00dAnvdQnvAonB1u流進(jìn)面流進(jìn)面12n2u1A2A流出面流出面2是是外外法法線線方方向向n1nABFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程

54、6021222211AAdAundAunKAudAAQvA平均流速平均流速動(dòng)量修正系數(shù)動(dòng)量修正系數(shù)AAdAuA)udA(Av222AvdAuA22取決于斷面流速分布的不均勻性，一般取決于斷面流速分布的不均勻性，一般 =1. 051.02， 僅當(dāng)?shù)人倭鲀H當(dāng)?shù)人倭?=1；通常取通常取 =1=1。 定義為定義為實(shí)際動(dòng)量和按照平均流速計(jì)算的動(dòng)量的比值實(shí)際動(dòng)量和按照平均流速計(jì)算的動(dòng)量的比值。AvdAuQvdAuQvudQAAA222Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程6121222211AAdAundAunK2222211211nAvnAv

55、K動(dòng)量流量動(dòng)量流量AvdAuA22111nvv222nvvQvAAv1122考慮到)vv(QvvAvAvK1122111122221u流進(jìn)面流進(jìn)面12n2u1A2A流出面流出面2是是外外法法線線方方向向n1n動(dòng)量力vQFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程62若總流兩斷面間有分流或合流，總流動(dòng)量方程可為若總流兩斷面間有分流或合流，總流動(dòng)量方程可為流過控制面流過控制面A A的動(dòng)量的動(dòng)量流量流量= =合外力合外力AnVdApdVfFvvQK)(1122流入流出)vQ()vQ(F流入流出流入流出)Av()Av(QQ對(duì)對(duì)不可壓縮不可壓縮流體

56、流體： 流入流出vQrvQrFr)()(Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程63動(dòng)量方程的求解動(dòng)量方程的求解 動(dòng)量方程為動(dòng)量方程為矢量矢量方程，求解時(shí)可寫成在直角坐標(biāo)系中方程，求解時(shí)可寫成在直角坐標(biāo)系中的的分量式分量式：221121AvAvQQcosvv)vv(QFxxxx1122cosvv)vv(QFyyyy1122cosvv)vv(QFzzzz112221222222111122lhggpzggpzvvFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程64有分流時(shí)動(dòng)量方程的求解

57、有分流時(shí)動(dòng)量方程的求解cosvv)vQvQvQ(Fxxxxx113322cosvv)vQvQvQ(Fyyyyy113322ggpzggpz2222222111vv332211321AvAvAvQQQggpzggpz2223332111vv1123 有分流的動(dòng)量方程有分流的動(dòng)量方程1-2( 1-3 )1-2( 1-3 )斷面間的伯努利方程斷面間的伯努利方程 有分流的連續(xù)性方程有分流的連續(xù)性方程Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程65【例例】水平水平輸水彎管輸水彎管。直徑由直徑由 D1 經(jīng)經(jīng)=轉(zhuǎn)角變?yōu)檗D(zhuǎn)角變?yōu)镈2 ;轉(zhuǎn)彎前斷轉(zhuǎn)彎前斷面

58、的表壓強(qiáng)面的表壓強(qiáng) p1，輸水流量輸水流量Q ，不計(jì)水頭損失，求水流對(duì)彎不計(jì)水頭損失，求水流對(duì)彎管的作用力。管的作用力。112221vvcosQRcosFFx0222sinQRsinFyv111ApF 222ApF D1D21122xoyp1p2RyRx111ApF 222ApF 2A1v2v)vv(QFxxx1122)vv(QFyyy1122AbbAAAndApdApdApdAp2211AbbdApR0AadApAbabRdA)pp(表壓強(qiáng)？表壓強(qiáng)？表壓強(qiáng)表壓強(qiáng)Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程66112221vvcosQRc

59、osFFx0222sinQRsinFyv111ApF 222ApF 21114DQAQv22224DQAQvsin)QAp(Ry222v121cos)QAp(QApRx222111vvggpggp22222211vv2222112vv pp水流對(duì)彎管的作用力與彎管對(duì)水流的作用力大小相等方向相反水流對(duì)彎管的作用力與彎管對(duì)水流的作用力大小相等方向相反2222112121vvppFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程67【例例】水平方向的射流水平方向的射流。流量流量Q ，擊板流速擊板流速v;水流在大氣水流在大氣中沖擊光滑平板，射流軸線與平

60、板夾角為中沖擊光滑平板，射流軸線與平板夾角為；求；求射流對(duì)平射流對(duì)平板的作用力；板的作用力；分流的流量分流的流量yx1v2v3v123123app 1app 2app 3ggpzggpz2222222111vvggpzggpz2223332111vvappppzzz321321vvvv321AbbAaaAndApdApdApAbabAaRdA)pp(dAp0AbabRdA)pp(Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程68 有分流的動(dòng)量方程有分流的動(dòng)量方程流入流出)vQ()vQ(F1vyx2v3v123123QQ 12Q3QRyRx)