數(shù)值分析學(xué)課件：Lec1 緒論

1、數(shù)值分析(Numerical Analysis)數(shù)值分析導(dǎo)讀出現(xiàn)的背景簡短的歷史2對(duì)數(shù)值計(jì)算的需要每個(gè)人知道當(dāng)科學(xué)家和工程師需要數(shù)學(xué)問題的數(shù)值答案的時(shí)候,他們就轉(zhuǎn)向計(jì)算機(jī)。 然而，存在著很大的關(guān)于這一個(gè)過程的誤解。數(shù)值力量是特別巨大的。 人們時(shí)常認(rèn)為，當(dāng)伽利略等定下了一項(xiàng)原則，對(duì)每件事物一定要進(jìn)行測量，從那時(shí)起科技革命就開始起動(dòng)了。數(shù)值測量導(dǎo)致了用數(shù)學(xué)方法表達(dá)物理定律。精細(xì)的測量導(dǎo)致精確的定律, 進(jìn)而導(dǎo)致較好的技術(shù)和更精確的測量。 那種離開數(shù)值數(shù)學(xué)而獲得某種物理科學(xué)的進(jìn)步，或獲得某種意義重大的工程產(chǎn)品發(fā)展的時(shí)代，早已過去了。3在這一個(gè)故事中，計(jì)算機(jī)確實(shí)扮演一個(gè)角色,不過，它們的角色是什么卻存在

2、一個(gè)誤會(huì)。 許多人想像，由科學(xué)家和數(shù)學(xué)家產(chǎn)生公式,然后,藉著將數(shù)值插入進(jìn)這些公式之內(nèi),計(jì)算機(jī)就制造出必需的結(jié)果。實(shí)際情況完全不是這樣。 真的進(jìn)行的是執(zhí)行運(yùn)算法則的一個(gè)更為有趣程序。 在大部分的情形下，照著公式做這件工作甚至無法完成，大多數(shù)的數(shù)學(xué)問題不能夠靠一個(gè)有限步操作的序列來解決。相反的是快速算法則很快地收斂于精密到三或十位，甚至一百位的數(shù)值近似答案。對(duì)于科學(xué)或工程應(yīng)用來說, 這樣一個(gè)答案可能和精確答案一樣有用。4可以舉例說明正確和近似解的復(fù)雜性。假如我們有一個(gè)四次多項(xiàng)式,p(z)= c0+ c1z+ c2z2+ c3z3+c4z4;而另外有一個(gè)五次多項(xiàng)式,q(z)= d0+ d1z+ d2

3、z2+ d3z3+d4z4+d5z5:廣為人知的是：p的根可由顯式(由Ferrari在大約 1540 年發(fā)現(xiàn))求得, 但是q的根卻沒有這樣的公式(Ruffini和Abel在250年之后; 證明了它的無解性)。5因此,哲學(xué)上會(huì)意義到，p 和 q 的求根問題是完全不同的。然而在實(shí)際應(yīng)用中它們卻難于區(qū)別。 如果一位科學(xué)家或一個(gè)數(shù)學(xué)家想要知道一個(gè)多項(xiàng)式的根, 他將會(huì)轉(zhuǎn)向一部計(jì)算機(jī)而且在小于幾毫秒的時(shí)間內(nèi)得到16位數(shù)值精度的答案。 計(jì)算機(jī)使用了一個(gè)解析公式嗎? 在q的情況，答案肯定為不，但p怎么樣?也許是,也許不。大部份的時(shí)間，使用者既不知道也不關(guān)心,一百個(gè)數(shù)學(xué)家中也許找不到一個(gè)能憑記憶寫下求p的根的公

4、式。6這里再舉出另外三個(gè)例子，就像對(duì)于p的求根那樣，它們是能用初等運(yùn)算求解的。(1) 線性方程組: 解含n個(gè)未知數(shù)的n個(gè)一次方程組。(2) 線性規(guī)劃: 在m 個(gè)線性約束下，將含n個(gè)變量的一次函數(shù)減到最小。(3) 旅行售貨員問題: 找到在 n 城市之間的最短旅游路線。而下面的五個(gè)例題, 則像對(duì)于q求根那樣,通常是不能夠用初等運(yùn)算求解的。(4) 求 n x n 矩陣的特征值。(5) 求多變量函數(shù)的最小值。(6) 計(jì)算積分。(7) 解常微分方程(ODE問題) 。(8) 解偏微分方程(PDE) 。7我們能否得出結(jié)論 (1)-(3) 在實(shí)際中將會(huì)比(4)-(8)容易 ? 完全不是！如果 n 是數(shù)百或數(shù)千

5、，問題 (3) 通常是非常難解的。 問題 (6)和(7) 通常相當(dāng)容易,至少如果積分是一維的。 問題 (1)和(4) 幾乎完全有相同的難度:當(dāng)n很小的時(shí)候（例如 100）比較容易,而當(dāng) n大的時(shí)候,（例如1000000）就很難。事實(shí)上, 在問題 (1)-(3)中, 當(dāng)n和m很大的時(shí)候，人們一般不去求精確的解，而使用近似的(但卻是快速的!)解法。數(shù)值分析是研究連續(xù)問題運(yùn)算法則的數(shù)學(xué), 這意味著命題包含實(shí)變量或復(fù)變量。8簡短的歷史在整個(gè)世紀(jì)中,領(lǐng)先的數(shù)學(xué)家已經(jīng)參與了科學(xué)應(yīng)用, 而且在許多情況下，這已經(jīng)導(dǎo)致今天的仍然在使用的算法的發(fā)現(xiàn)。高斯就是一個(gè)杰出的例子。在許多其他的貢獻(xiàn)中, 他在最小二乘數(shù)據(jù)擬

6、合(1795)、線性方程組求解(1809)、和數(shù)值積分(1814)方面,都推動(dòng)了決定性的進(jìn)步。他在發(fā)明快速傅立葉變換 (1805)方面也一樣, 雖然后者直到1965年Cooley和Tukey 把它再發(fā)現(xiàn)后，才變成廣為人知。9大約在1900年左右,在數(shù)學(xué)家的研究活動(dòng)中，數(shù)值分析開始變得不大活躍。因?yàn)榧夹g(shù)上的理由，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的進(jìn)步主要集中在嚴(yán)格性的問題上。舉例來說, 二十世紀(jì)初期數(shù)學(xué)家的許多結(jié)果要用新的關(guān)于無窮大的嚴(yán)格方法來論證，這些命題和數(shù)值計(jì)算相去甚遠(yuǎn)。一代人過去了,在1940年代發(fā)明了計(jì)算機(jī)。從這時(shí)刻開始，數(shù)值數(shù)學(xué)爆炸了。 但是主要地在專家手中。涌現(xiàn)了很多新的雜志，如Mathematics o

7、f Computation (1943)和Numerische Mathematik (1959)。這一革命與硬件交互映輝,但是它包括的卻是與硬件沒有多大關(guān)系的數(shù)學(xué)和算法。從1950年代起的半世紀(jì)中,計(jì)算機(jī)的速度加快了大約 109,但是某些問題聞名的最好運(yùn)算法也加快了那么多。兩者組合后速度的增加幾乎難以置信。10半世紀(jì)來,數(shù)值分析已經(jīng)發(fā)展成數(shù)學(xué)中最大的分支之一,數(shù)以千計(jì)跨越多種科學(xué)和工程學(xué)科的研究人員在數(shù)十個(gè)數(shù)學(xué)雜志和應(yīng)用雜志中發(fā)表了文章。 由于過去幾十年的中這些人的努力,由于強(qiáng)有力的計(jì)算機(jī), 我們已經(jīng)達(dá)到這個(gè)水平，即大部份物理學(xué)遇到的古典數(shù)學(xué)問題能被數(shù)值方法以高的準(zhǔn)確性解決。使這成為可能的大

8、部份的算法是1950 以后發(fā)明的。數(shù)值分析是建立在一個(gè)堅(jiān)強(qiáng)的基礎(chǔ)上的: 那就是數(shù)學(xué)中近似值理論。這個(gè)領(lǐng)域包含插值的古典問題,級(jí)數(shù)展開和與牛頓，傅立葉、高斯有關(guān)的調(diào)和分析和其它;半經(jīng)典多項(xiàng)式問題和與 Chebyshev 和伯恩斯坦等的名字相關(guān)的有理數(shù)的極大極小近似值問題，以及樣條函數(shù)、徑向基函數(shù)和小波。 我們沒有篇幅來討論這些主題，但是在幾乎數(shù)值分析的每個(gè)領(lǐng)域中，遲早總要涉及到近似值理論。11數(shù)值分析Numerical Analysis計(jì)算的目的不在于數(shù)據(jù)，而在于洞察事物。 理查德哈明The purpose of computing is insight，not numbers. Richard

9、W.HammingHamming（1915-1998），美國工程院院士，數(shù)學(xué)家，專長是數(shù)值方法、編碼與信息論、統(tǒng)計(jì)學(xué)和數(shù)字濾波器等。 曾長期在貝爾實(shí)驗(yàn)室計(jì)算機(jī)科學(xué)部工作。因發(fā)明糾錯(cuò)碼而獲得1968年度(第三屆)的圖靈獎(jiǎng)。12一、數(shù)值分析的概念、地位和特點(diǎn) 數(shù)值分析是研究各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法的設(shè)計(jì)、分析有關(guān)的數(shù)學(xué)理論和具體實(shí)現(xiàn)的一門學(xué)科。實(shí)際上就是介紹用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問題的計(jì)算方法及其理論。 屬于數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，這門課程又稱為(數(shù)值)計(jì)算方法、科學(xué)與工程計(jì)算等。1. 數(shù)值分析的概念13數(shù)值分析輸入復(fù)雜問題或運(yùn)算 計(jì)算機(jī)近似解利用計(jì)算機(jī)高速的簡單運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)各種復(fù)雜的功能14 科學(xué)計(jì)算 的核心內(nèi)容

10、是以現(xiàn)代化的計(jì)算機(jī)及數(shù)學(xué)軟件（Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）為工具，以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)進(jìn)行數(shù)值模擬研究。現(xiàn)代科學(xué)的三個(gè)組成部分: 科學(xué)理論, 科學(xué)實(shí)驗(yàn), 科學(xué)計(jì)算2. 數(shù)值分析的地位促使一些邊緣學(xué)科的相繼出現(xiàn)：計(jì)算數(shù)學(xué),計(jì)算物理學(xué),計(jì)算力學(xué),計(jì)算化學(xué),計(jì)算生物學(xué),計(jì)算地質(zhì)學(xué),計(jì)算經(jīng)濟(jì)學(xué),等等15實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型數(shù)值分析提出算法程序設(shè)計(jì)編程上機(jī)計(jì)算分析結(jié)果并對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行解釋說明 在建立了數(shù)學(xué)模型之后，并不能立刻用計(jì)算機(jī)直接求解，還必須尋找用計(jì)算機(jī)計(jì)算這些數(shù)學(xué)模型的數(shù)值方法，即將數(shù)學(xué)模型中的連續(xù)變量離散化，轉(zhuǎn)化成一系列相應(yīng)的算法步驟，編制出

11、正確的計(jì)算程序，再上機(jī)計(jì)算得出滿意的數(shù)值結(jié)果。 16總的來看，數(shù)值分析這門課具有以下幾個(gè)特點(diǎn)： (1) 數(shù)值分析面向計(jì)算機(jī)，是一門與計(jì)算機(jī)應(yīng)用密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的學(xué)科； (2) 數(shù)值分析這門課程即要討論連續(xù)變量問題又要討論離散變量問題，關(guān)心的是數(shù)值結(jié)果；(3) 數(shù)值分析有可靠的理論分析和數(shù)值實(shí)驗(yàn)，專門研究數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法，要對(duì)算法進(jìn)行誤差分析。3. 數(shù)值分析的特點(diǎn)17二、數(shù)值分析的研究內(nèi)容和研究方法插值法線性方程組的數(shù)值解法 非線性方程組的數(shù)值解法數(shù)值積分與數(shù)值微分常微分方程的數(shù)值解法 函數(shù)逼近矩陣特征值計(jì)算 方程求根研究內(nèi)容18研究方法:1. 數(shù)值方法的特點(diǎn)（基本思想）2. 如何評(píng)價(jià)數(shù)值

12、方法的好壞（評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)） 近似, 遞推性(迭代), 離散化, 外推法 本課程的基本目的，是使大家通過學(xué)習(xí)，初步建立并理解數(shù)值計(jì)算，特別是科學(xué)與工程計(jì)算的基本概念和主要方法，為進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。誤差、穩(wěn)定性、收斂性、計(jì)算量、存貯量和自適應(yīng)性19考試評(píng)分：平時(shí)成績占總成績的30% 期末考試占總成績的70%，閉卷考試。三、基本要求作業(yè)要求： 會(huì)不定期地布置課后作業(yè)20數(shù)值計(jì)算中的誤差分析初步 誤差來源 誤差分析的重要性 誤差的基本概念誤差來源實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型計(jì)算模型計(jì)算模型誤差觀測誤差（數(shù)據(jù)誤差）方法誤差（截?cái)嗾`差）舍入誤差不予討論所要研究的數(shù)值分析只研究用數(shù)值方法求解數(shù)學(xué)模型時(shí)產(chǎn)生的誤差22截?cái)嗾`差當(dāng)數(shù)學(xué)模型不能得到精確解時(shí)，通常要用數(shù)值方法求它的近似解，其近似解與精確解之間的誤差稱為截?cái)嗾`差（或方法誤差）。23截?cái)嗾`差當(dāng)數(shù)學(xué)模型不能得到精確解時(shí)，通常要用數(shù)值方法求它的近似解，其近似解與精確解之間的誤差稱為截?cái)嗾`差（或方法誤差）。yxbaO24舍入誤差有了求解數(shù)學(xué)問題的計(jì)算公式以后，用計(jì)算機(jī)做數(shù)值計(jì)算時(shí)，由于計(jì)算機(jī)字長有限，原始數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)上表示會(huì)產(chǎn)生誤差，計(jì)算過程又可能產(chǎn)生新的誤差，這種誤差稱為舍入誤差。25誤差分析的重要性26誤差分析的重要性27誤差分析的重要性兩種算法的計(jì)算結(jié)果如下