證券投資組合最優(yōu)化模型

1、 畢 業(yè) 論 文題 目： 證券投資組合最優(yōu)化模型 學 院： 數(shù)理學院 專 業(yè)： 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學（金融方向） 姓 名： 申圣 學 號： 131412135 指導老師： 趙許培 完成時間： 2016.5.10 摘 要隨著改革開放的進一步加深，中國人民的生活水平進一步的提高，1984年中國發(fā)行第一只股票以來中國人民才開始逐步有了投資意識。中國股市用了不到30年的時間走完了西方國家的200年的歷史，中國股市雖然發(fā)展如此迅速但是伴隨著種種問題的出現(xiàn)。投資者理性分析投資市場的少，很多人盲目投資，單單依靠所謂內(nèi)幕小道的消息等方法已經(jīng)不能滿足對投資的需要，人們漸漸意識到了組合化的投資是未來投資的方向。所以在和

2、數(shù)學有關(guān)的金融學當中，建立數(shù)學模型是研究最優(yōu)組合投資方法當中的一個很好的策略，數(shù)學模型應(yīng)運而生。數(shù)學模型可以通俗的說成是數(shù)學在其他領(lǐng)域當中的應(yīng)用，所以說證券投資最優(yōu)化的模型就是在進行股票基金債券進行商業(yè)投資過程中所建立的一個使投資收益最大化的數(shù)學模型，本文首先簡單介紹馬柯威茨（markowitz）模型，并且研究了此模型的不足之處，引入偏好系數(shù)建立了自己的投資組合最優(yōu)化數(shù)學模型。運用自己所學的最優(yōu)化方法上面的外點罰函數(shù)法對此模型進行求解。最后進行實證性分析，得出組合最優(yōu)化數(shù)學模型具有解決實際問題的可行性。關(guān)鍵詞：馬柯維茨模型；組合最優(yōu)化數(shù)學模型；共軛梯度；外點懲罰函數(shù)；Abstract With

3、 the further deepening of reform and opening up, Chinese peoples living standards further improved, in 1984 China issued the first stock since the Chinese people began to gradually have the consciousness of the investment. Chinas stock market has taken less than 30 years covered 200 years of history

4、 in the west, Chinas stock market although such rapid development with the advent of the problems. Investors less rational analysis of the investment market, a lot of people blind investment, only rely on methods such as the so-called insider gossip news already cannot satisfy the need for investmen

5、t, people gradually realized the combination of the investment will be the future direction. So in finance related to mathematics, mathematical model is to study the optimal portfolio investment methods of a good strategy, mathematical model arises at the historic moment.Mathematical model can be po

6、pular as the application of mathematics in other areas, so that securities investment optimization model is in stock fund, bond business investment in the process of the established a mathematical model to maximize return on investment, this paper introduces the Ma Kewei, markowitz model, and the de

7、ficiency of this model is studied, and the introduction of preference coefficient of his portfolio optimization mathematical model is established. Used his knowledge of the optimization method of above point penalty function method for solving of this model. Through the empirical analysis, the final

8、 combination optimization mathematical model with the feasibility of solving practical problems.Key words:Markowitz model;Combinatorial optimization mathematical model; Conjugate gradient method;Penalty function method;目 錄引 言11 馬柯威茨模型簡介31.1 數(shù)學描述馬柯威茨模型31.2 組合最優(yōu)化數(shù)學模型42 求解組合最優(yōu)化模型62.1 懲罰函數(shù)簡介62.2 運用外點罰函數(shù)

9、求解62.3 共軛梯度法簡介及步驟72.4 參考共軛梯度求解模型113 實證分析14致 謝18參考文獻19附 錄20引 言 現(xiàn)如今中國的經(jīng)濟高速發(fā)展，全國各族人民的生活水平大大提高，特別是中國加入WTO世界經(jīng)濟貿(mào)易組織后，無論是金融還是經(jīng)濟都在向全球化發(fā)展，中國的經(jīng)濟水平人均GDP翻了好幾番，一個個五年計劃的完成，越來越多的中國人生活水平奔上了小康，家里都有了自己的積蓄，人們有了閑余資金就會去投資，其中投資股票等證券是占投資比例的大多數(shù)，投資的目的是為了獲得比在銀行無風險投資狀態(tài)下的更高的收益，我們都知道，投資的都是有風險的，在高收益的同時也伴隨著高風險，如何降低投資的風險并提高我們的收益是每

10、一位投資者都在追求的目標，在1952年，非常著名的美國經(jīng)濟學家馬柯威茨首次提出了投資組合選擇，第一次將在投資過程中的風險和收益這兩項進行數(shù)學化，并用數(shù)量化表示和描述出來，也就是運用統(tǒng)計的方法和數(shù)學方法與金融經(jīng)濟相結(jié)合起來，投資組合選擇的提出也象征著當今證券組合這種理論的開端。 我們都知道市場是多方向多選擇的，都有很多的變量和不確定因素，任何一種數(shù)學模型的建立都要簡化影響市場的因素，當然馬柯威茨也不例外。馬柯威茨做了如下假設(shè)： 1、投資者都很貪婪并且不喜歡風險，想當然的認為付出都會有回報即若是承受了大的風險就一定要有大的收益。 2、投資證券市場的消息對每一位投資者都是是公平透明的，每個人對待每種

11、證券的認知也是相同的。這種認知包括對證券的具體自我分析和對未來要面對風險的評估和對證券收益的預(yù)期。 3、每種股票證券都有各自的收益率，有收益率就能得出收益率方差，多種證券收益率之間有相關(guān)性，用收益率之間的協(xié)方差可以表示這種相關(guān)關(guān)系。 4、市場上只有一個和銀行相關(guān)聯(lián)的沒有風險的借貸關(guān)系的利率，還假設(shè)了不存在交易手續(xù)費和股息紅利的發(fā)放，沒有內(nèi)幕消息，消息都是在市場上唾手可得自由傳播的?？梢再u空。 從上結(jié)合我國的國情我們可以得知這些假設(shè)很大程度的不符合我國證券市場。所以馬柯威次模型在我國證券市場上去運用有很大的局限性，很多的國內(nèi)外經(jīng)濟學家、專家、學者等為了使馬柯威次模型能更好的與我國的證券市場上的特

12、點相結(jié)合起來，為此做了很多很有價值的研究與分析。在2010年中國的股指期貨推出之前，中國證券是不允許買跌做空的，針對這個問題，郭俊艷老師等人發(fā)表了“在不允許賣空的證券組合投資風險偏好最優(yōu)化模型”。證券上市場上的交易都是有成本費用的，當然這個成本和費用是不能被忽略的，吳國云、李紅艷、李磊等相繼提出了：“帶交易費用的最優(yōu)化投資組合選擇的極大極小方法”；“含交易費用的動態(tài)優(yōu)化投資組合”；“含交易費用和機會約束的投資組合模型”。中國的股票證券市場是政府干預(yù)的政策性市場，中國人民炒股都很容易相信“小道消息”先知先覺的人可以獲得不少的收益，有先知先覺者必有后知后覺者，投資者不僅獲得消息的時間先后不同而且獲

13、得的消息也是不同的，世上沒有完全相同的兩片樹葉當然也沒有完全相同的兩個投資者，所以投資組合和個人的偏好有很大的關(guān)系，有專家學者提出不妨就引入偏好系數(shù)，這樣就可以把馬柯威次模型更進一步的與中國證券市場的特點結(jié)合起來。牛頓說過要想看的更遠一點就要站在巨人的肩膀上，本文在各位經(jīng)濟專家學者教授等前輩提出發(fā)表的各種有關(guān)證券組合文獻的基礎(chǔ)上，再結(jié)合中國的國情進一步總結(jié)并完善得出組合最優(yōu)化數(shù)學模型。1 馬柯威茨模型簡介 投資是指人們用個人或他人擁有的財物進行商業(yè)化的投入，根據(jù)投資的風險大小不確定性劃分預(yù)期會得到高于等于或低于投入資金量的一種行為，證券投資是指個人、企業(yè)或者基金機構(gòu)買賣債券、股票等有價證券，或

14、者買賣他們轉(zhuǎn)化衍生出來的東西，從而獲得各種收益。而投資組合也就是指投資個人或機構(gòu)為了降低風險保證收益進行的一種多品種有價證券的買賣投資。其實就是根據(jù)風險常識“雞蛋不能放在同一個籃子中”而進行的一種綜合化投資，也就是分散風險。由于組合投資風險分散，收益與風險相結(jié)合匹配便于管理為大多數(shù)投資者所選擇。而如何管理自己投資的組合證券正是馬柯威茨模型的數(shù)學管理理論。1.1 數(shù)學描述馬柯威茨模型 根據(jù)簡介內(nèi)容的管理理論，現(xiàn)在假設(shè)有一位投資者老K，他有一筆閑置資金，在一個固定的時間段內(nèi)，開始時購買了一種證券，在這段時間結(jié)束時他賣掉這一種證券，然后把投資盈利資金進行個人家庭等的消費支出或者再進行下一輪的投資。他

15、所希望的就是每一輪的投資都能有收入獲利，獲得的收入足夠個人消費和家庭支出，本金再進行下一輪的投資，為了能夠維持生計，每一輪的收入盡可能是確定的。馬柯威次運用期望收益率來作為收益的表述，而對于收益的不確定性可以作為風險用收益率方差來表示。這樣就有了兩個目標，收益和風險。所以他建立了均值方差模型來解決分析這兩個目標，如何使收益最大化又使風險可控制并降低呢，就是讓老K去投資多種證券，多種投資分散風險。假設(shè)老K同時投資了個有價證券，每一種證券的投資比例也就是投資權(quán)重分別是，第種證券的權(quán)重是。則向量是投資權(quán)重的向量，所以各個證券的權(quán)重之和： 引入一個維單位向量，則 ，所以有 言歸正傳，老K投資的每一種證

16、券，它的收益率都是不確定的，所以可以用表示第種證券它的收益率，則這種證券收益率的向量為。表示第種證券收益率的期望，則這種證券期望收益率的向量為 ,為了方便閱讀書寫令 ，所以收益率的向量就可以寫成 。所有的這種證券期望收益率的和為,則， 引入?yún)f(xié)方差矩陣,表示的協(xié)方差矩陣，所以可以寫成：，那么方差： =馬柯威茨認為方差就是投資收益水平的不確定性因素可以用來描述風險，前文所說的兩個目標即為期望收益率之和和方差，所以可以建立如下模型： max min = (模型一) 2010年以后我國股指期貨開通，現(xiàn)在也可以融資融券，結(jié)合中國國情，現(xiàn)階段投資證券是可以買跌做空的，但是為了簡化計算，假設(shè)不能做空所以有約

17、束條件。模型一即為修改后的馬柯威茨數(shù)學模型。1.2 組合最優(yōu)化數(shù)學模型 馬柯威茨數(shù)學模型和中國的國情不相匹配，有很多出入點，中國是發(fā)展中國家，與發(fā)達國家相比證券市場的監(jiān)管不嚴格，很多政策媒體信息公開程度不高，投資者獲得信息的方法有限，證券市場證券交易存在內(nèi)幕不透明等特點，針對馬柯威茨數(shù)學模型，綜合以上特點郭俊艷前輩引入了偏好系數(shù)，我在各位前輩的基礎(chǔ)上再次引入最低收益率，最低收益率其實就是銀行無風險利率，如果一個投資者要追求所謂的高收益低風險，那他一定也是要在保證最低收益的基礎(chǔ)上才能達到的，所以最低收益也可以以作為組合投資的一個目標，這使得組合最優(yōu)化數(shù)學模型更加符合現(xiàn)實投資市場。所以可設(shè)分別為投

18、資者的個人偏好系數(shù)。則有并且的和=1，修改后的馬柯威茨模型為如下： 引入后： max + min = （模型二） 在模型二的基礎(chǔ)上引入偏好系數(shù)： min = （模型三） 模型三即為組合最優(yōu)化模型的數(shù)學描述。 2 求解組合最優(yōu)化模型 觀察模型三在引入偏好系數(shù)之后，原模型二已經(jīng)從多目標規(guī)劃變成單目標規(guī)劃，并且是非線性的有約束的規(guī)劃，所以在求解的過程中可以使用懲罰函數(shù)法。2.1 懲罰函數(shù)簡介 對于一般的約束最優(yōu)化問題： min 可以根據(jù)約束的特點構(gòu)造某種“懲罰”項，然后把它加到目標函數(shù)中去，可以使得約束問題求解轉(zhuǎn)化為一系列無約束問題。在求解無約束問題當中，對那些企圖違反約束的迭代點給以很大的目標數(shù)值

19、，迫使這一系列無約束問題的極小點或者不斷地向可行域靠近，或者保持在可行域內(nèi)移動，直到收斂于原約束問題的極小點。懲罰函數(shù)有三種方法，結(jié)合模型三的特點使用外部懲罰函數(shù)法，外部懲罰函數(shù)法又叫外點法，它對違反約束的點在目標函數(shù)中加入相應(yīng)的懲罰項，而對于可行點不予懲罰，這種方法的可行點在可行域外部移動。外點法的步驟： 1.給定初始點，初始懲罰因子，放大系數(shù)1,允許誤差0，k=1; 2.以為初始點，求解無約束問題min ,設(shè)其極小點 為； 3.若0.模型三當中的目標函數(shù)與構(gòu)造的輔助函數(shù)他們的取值問題都是在內(nèi)且相等。在可行域外部，輔助函數(shù)的值遠遠大于模型三中的目標函數(shù)值，并且當懲罰因子趨于無窮大的時候，構(gòu)造

20、的輔助函數(shù)的極小解很接近于模型三的解。為了簡化問題書寫閱讀，令=2， ，則模型三改寫成了： min =+ （題一） 題一可行域=，由協(xié)方差矩陣是一個對稱的矩陣，且是半正定的，0，1，觀察和=2得知是和一樣的性質(zhì)。是凸函數(shù)，對模型三進行修改去掉約束問題改為無約束問題，定義函數(shù)P(X)+ min+min則P(X)為外點懲罰函數(shù)所以轉(zhuǎn)化后的無約束的函數(shù)為： min =+ (題二)題二的作用是當，=0，=0，=； 當,對于偏離可行域的點所以很容易顯現(xiàn)出來，這也就是懲罰的作用，因此迭代點只能向可行域方向不斷靠近。求解無約束問題的題二就能得到有約束問題的題一的近似解，而且當時，得到的解越近似。根據(jù)最優(yōu)化方

21、法題二顯然是增廣的目標函數(shù)。根據(jù)題二的目標函數(shù)的性質(zhì)得知，它是一個關(guān)于的二次函數(shù)，且連續(xù)可微的，查閱相關(guān)資料得知多元二次可微的連續(xù)函數(shù)在凸集上是凸的，當且僅當它的海塞矩陣在凸集的內(nèi)部是正定的，所以關(guān)于是凸函數(shù)。在求解此無約束最優(yōu)化方法的問題上，采用共軛梯度法選擇搜索方向比較簡單快速。2.3 共軛梯度法簡介及步驟共軛梯度法是針對二次函數(shù)如下 的無約束極小問題，考慮出一種搜索方向的合理選取方法，然后形式地推廣到一般的可微函數(shù)首先注意到，對于變量分離函數(shù) 則從任意一點出發(fā)，分別沿每個坐標軸方向進行一維搜索，進行一遍（共進行n次線搜索）以后，一定能得到的最優(yōu)解。而對于形為的二次函數(shù)，其中為實對稱正定矩

22、陣，只要我們是當選取的一組基，使得滿足條件 則易見在新的基下，就成為變量分離的形式。從任何一個初始點出發(fā)，分別沿每個方向做線搜索，經(jīng)過一輪后，肯定就能得到最優(yōu)解.我們把滿足條件的維方向稱為是-共軛的?；谏厦婵紤]，現(xiàn)在的問題是如何構(gòu)造出兩兩-共軛的方向？共軛梯度法就是在每個迭代點處，以負梯度-和前一個搜索方向的適當組合，構(gòu)造和前面?zhèn)€搜索方向均兩兩-共軛的搜索方向，故以此命名.下面進行具體推導關(guān)于，其中為實對稱正定針，為實常向量，為實數(shù)，有 ，于是對，有 ， 從任意初始點和出發(fā)，得到且非零向量兩兩-共軛，于是令 其中.因此對， 除式外還還能證明都成立.事實上對，由式總有=， =+ 由 ，由式 ，

23、 當時再令 ， 其中由 確定，得 . 下面證明不僅滿足式，還對所有，也有 事實上由和式，有 由式有 由已知兩兩-共軛，故后一項為零.再由式 由，即有式成立.歸納上述，求解 的共軛梯度法的步驟為1.任選初始點，令；2.若，則停；否則， ， ；3.，回2在中途不停機的情況下，由上證明可知，這樣得到的是兩兩-共軛的，因此一定就是所求的最優(yōu)解.對于一般二階可微函數(shù)，因在每一點的局部，可以近似的視為二次函數(shù) 因此設(shè)想利用共軛梯度法也能得到好的效果.但如果以上面的形式套用，則式子中的就應(yīng)該以處的Hesse矩陣，則計算量大.因此在將共軛梯度法推廣于一般的函數(shù)的極小化問題之前，先修改公式，使之不含，改寫辦法之

24、一是 由式 由式 由，式 所以，對于 min的共軛梯度法的步驟為1.任選，；2.若，則停；否則 ，argmin, ； 3.，回2 為了保證算法具有某種收斂性，注意到共軛梯度法的第一步和最速下降法是相同的，而最速下降法具有收斂性，于是通常的采用如下的起點周期性變化的共軛梯度法：當從初始點出發(fā)依次用共軛梯度法產(chǎn)生了迭代點后，以作為新的，周期性重復以上步驟。2.4 參考共軛梯度求解模型觀察題一和題三，已知=+，是變量分離函數(shù)，分別提取和中的的一次項和二次項，讓同次項進行合并得到新的： =所有常量的和即為，結(jié)合2.3共軛梯度法的介紹，則同理有在點處的梯度即為 為了計算簡便引入，令= 當帶入給的初始點時

25、，如果=0，計算終止，不然令 以為搜索方向，搜索出，算出在點處的梯度模，即，如果0，繼續(xù)以和為基礎(chǔ)，建立下一個搜索方向，然后再沿著這個方向搜索，平常情況下，如果知道和，則可以得到即： 為步長，并且滿足： 可以求出則的表達式，讓 求關(guān)于的極小點，讓 根據(jù)二次梯度的表達式有： 因此， 求出在點的梯度，如果，就終止計算，如果則用和建立下一個搜索方向，并使和關(guān)于共軛，即： ，令 對上式子進行化簡，等式兩邊的左端都乘以，由于，所以 ，化簡得到的表達式： 再次從出發(fā)沿著方向進行搜索。綜上所述總結(jié)出求解模型的以下幾個步驟：1. 給出投資者偏好系數(shù)，給出銀行同期無風險收益率，根據(jù)股票收益率計算出收益率向量，協(xié)

26、方差矩陣,給出初始罰因子1,精確度的值。對中的分別求偏導由公式得到矩陣向量標量。2. 給一個初始點,令。3. 計算，如果，終止計算，得到最優(yōu)解，如果。4. 構(gòu)造搜索方向，令 ，當時，當時，用計算出。5. 令，其中的步長用方法求出。6. 如果，則停止計算，得到，否則返回第2步。 3 實證分析 簡單隨意選取四只股票，也就是=4，在附錄中有2015年全年12個月的20只股票的月收益率，隨機選取中國聯(lián)通、龍凈環(huán)保、同仁堂、貴州茅臺 這四只股票，由收益率求出這四只股票的協(xié)方差矩陣,假設(shè)老K是一位穩(wěn)建的投資者，偏好系數(shù)分別為0.3；0.2；0.5，最低收益率就是無風險利率，以中國銀行2015年一年定期存款

27、利率為標準，選取=3，因此即為：，投資權(quán)重，則題一可以寫成題三： min (題三) 0.2 ,1,2,3,4 根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式得出 由題二得知，對題三進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為無約束問題 min , （題四）給出=103，初始值，題四可以寫成為 min 分別對求導：把代入上式觀察結(jié)果得知不是最優(yōu)解，所以求下一個迭代點，讓所以會有，當 時，所以，所以有，然后把帶入到分別對求導后的式子中分別得到 且由于對含有的式子求導時，中的的這一項對進行了少許改變，改變?nèi)缦拢?分別對求偏導結(jié)果如下：對原修改后的為所以所以不是題三的最優(yōu)解。繼續(xù)構(gòu)造迭代點，令，則，當時，按照上文2.4中和的公式計算因子和步長，則有所以因此，

28、按照此種方法繼續(xù)反復迭代四次后，得到題三的解： 盡管計算過程比較復雜，但是本問題的解決說明了組合投資數(shù)學模型對于現(xiàn)實市場具有可行性，在考慮最低收益的基礎(chǔ)上，為投資者進行組合投資管理時提供了很好的管理方法，對現(xiàn)實證券投資市場是很有實際意義的。 致 謝從本論文的選題、模型的建立、以及求解的方法的選用都是在趙許培老師的悉心知導下完成的，在此對他表示衷心的感謝和崇高的敬意。本論文的完成花費了不少的時間與精力，尤其是在進行實證分析求解組合最優(yōu)模型時進行最優(yōu)解的迭代過程中，是非常耗用時間的，在這要感謝我的同學給予的幫助，教我如何使用matlab軟件，節(jié)省了很多的時間。我認為本論文還有一些另外可以創(chuàng)新改進的

29、地方，在x的約束條件中可以考率買跌賣空，在迭代方法的選取中可以使用其他方法進行最優(yōu)解的搜索。最后感謝陪伴了我四年之久的室友，無論是生活還是學習以及論文的完成，在我面對困難時都對我給與心靈上的鼓勵與支持。感謝我的家人對我經(jīng)濟上的支持使我順利完成我的學業(yè)，謝謝您們！參考文獻1劉超.現(xiàn)代證券投資組合理論在我國應(yīng)用的局限與思考J經(jīng)濟經(jīng)緯，2006（1）2Markowitz.H.Porfolio selection J.Journal of dinancial,1952,7(3):77-913田素華，吳士軍.中國證券市場風險特征的實證研究J經(jīng)濟科學，2003,3（1）4郭俊艷，不允許賣空的證券組合投資風

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