第七章量綱分析與動(dòng)力相似

1、1第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似 對于一個(gè)復(fù)雜的流動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，實(shí)驗(yàn)中的可變對于一個(gè)復(fù)雜的流動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，實(shí)驗(yàn)中的可變因素很多，另外受實(shí)驗(yàn)條件的限制，多數(shù)不可能在實(shí)物上進(jìn)因素很多，另外受實(shí)驗(yàn)條件的限制，多數(shù)不可能在實(shí)物上進(jìn)行。因此，在進(jìn)行一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)時(shí)，就會(huì)碰到諸如行。因此，在進(jìn)行一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)時(shí)，就會(huì)碰到諸如：如何更有效如何更有效地設(shè)計(jì)和組織實(shí)驗(yàn)，如何正確處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，以及如何把模地設(shè)計(jì)和組織實(shí)驗(yàn)，如何正確處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，以及如何把模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果推廣到原型等一系列問題。本章的量綱分析和相型實(shí)驗(yàn)結(jié)果推廣到原型等一系列問題。本章

2、的量綱分析和相似理論為這些問題的解決提供了理論依據(jù)。似理論為這些問題的解決提供了理論依據(jù)。 量綱分析和相似理論不僅在流體力學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，量綱分析和相似理論不僅在流體力學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，而且也廣泛地應(yīng)用于其它力學(xué)、傳熱傳質(zhì)、燃燒等許多物理而且也廣泛地應(yīng)用于其它力學(xué)、傳熱傳質(zhì)、燃燒等許多物理化學(xué)過程的研究中。故掌握量綱分析和相似理論，對于一個(gè)化學(xué)過程的研究中。故掌握量綱分析和相似理論，對于一個(gè)自然科學(xué)工作者來說是十分必要的。自然科學(xué)工作者來說是十分必要的。2第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似7-1 7-1 量綱分析量綱分析 量綱是物理量的類別和本質(zhì)屬性。量綱是物理量的類別和本質(zhì)

3、屬性。同一物理量，可以用同一物理量，可以用不同的單位來度量，但只有唯一的量綱，例如長度可以用米、不同的單位來度量，但只有唯一的量綱，例如長度可以用米、厘米、英尺、英寸等不同單位度量，但作為物理量的種類，厘米、英尺、英寸等不同單位度量，但作為物理量的種類，它屬于長度量綱。其它物理量，如時(shí)間、速度、密度、力等它屬于長度量綱。其它物理量，如時(shí)間、速度、密度、力等也各屬一種量綱。這里約定在物理量的代表符號前面加也各屬一種量綱。這里約定在物理量的代表符號前面加“dim”表示量綱，例如速度量綱表示為表示量綱，例如速度量綱表示為dim v。 由于許多物理量的量綱之間有一定的聯(lián)系，在量綱分析由于許多物理量的量

4、綱之間有一定的聯(lián)系，在量綱分析中常需選定少數(shù)幾個(gè)物理量的量綱作為基本量綱，其它的物中常需選定少數(shù)幾個(gè)物理量的量綱作為基本量綱，其它的物理量的量綱就都可以由這些基本量綱導(dǎo)出，稱為導(dǎo)出量綱。理量的量綱就都可以由這些基本量綱導(dǎo)出，稱為導(dǎo)出量綱?；玖烤V應(yīng)當(dāng)是互相獨(dú)立的，即不能互相表達(dá)，基本量綱應(yīng)當(dāng)是互相獨(dú)立的，即不能互相表達(dá)，在流體力學(xué)在流體力學(xué)中常用長度中常用長度時(shí)間時(shí)間質(zhì)量質(zhì)量(L-T-M)為基本量綱。為基本量綱。一、一、量綱量綱3第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似長度長度時(shí)間時(shí)間質(zhì)量質(zhì)量(L-T-M)作為基本量綱時(shí)有如下的導(dǎo)出量綱作為基本量綱時(shí)有如下的導(dǎo)出量綱:對于任何物理量對

5、于任何物理量(如以如以A表示表示)的量綱可寫作的量綱可寫作速度速度加速度加速度密度密度力力壓強(qiáng)壓強(qiáng)dtdlu dtdua dVdm22dtldmmaFdAdPp 1dim LTu2dim LTa3dim ML2dim MLTF21dimTMLpTMLA dim(7-1)4第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似 在量綱分析中，把一個(gè)物理過程當(dāng)中那些彼此互相獨(dú)立在量綱分析中，把一個(gè)物理過程當(dāng)中那些彼此互相獨(dú)立的物理量稱為基本量，其它物理量可由這些基本量導(dǎo)出，稱的物理量稱為基本量，其它物理量可由這些基本量導(dǎo)出，稱為導(dǎo)出量，基本量與導(dǎo)出量之間可以組合成無量綱量，無量為導(dǎo)出量，基本量與導(dǎo)出量

6、之間可以組合成無量綱量，無量綱量具有如下的特點(diǎn)綱量具有如下的特點(diǎn):量綱表示式中的指數(shù)均為零；量綱表示式中的指數(shù)均為零；沒沒有單位；數(shù)值與所采用的單位制無關(guān)，故無量綱量也稱為無有單位；數(shù)值與所采用的單位制無關(guān)，故無量綱量也稱為無量綱數(shù)。量綱數(shù)。 設(shè)設(shè)A、B、C為三個(gè)基本量，它們成立的條件是為三個(gè)基本量，它們成立的條件是Ax、By、Cz的冪乘積不是無量綱量，即不能找到不全為的冪乘積不是無量綱量，即不能找到不全為0的的x、y、z來來滿足下式滿足下式二、無量二、無量綱量綱量1)(dim)(dim)(dim000TMLCBAzyx(7-2)5第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似(7-3)3

7、21)(dim)(dim)(dimbbbzyxTMLCBA而滿足下式，且而滿足下式，且b1、b2、b3不全為不全為0。采用式采用式(7-1)來表示物理量來表示物理量A、B、C的量綱的量綱333222111dimdimdimTMLCTMLBTMLA代入式代入式(7-2)和和(7-3) ，對照兩邊的指數(shù)，可寫出如下方程，對照兩邊的指數(shù)，可寫出如下方程000321321321zyxzyxzyx(7-4)6第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似332123211321bzyxbzyxbzyx方程組方程組(7-4)和和(7-5) 的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式0321321321D(7-6)因此變

8、量因此變量A、B、C是互相獨(dú)立的，它們可以作為是互相獨(dú)立的，它們可以作為基本變量基本變量。(7-5)是使方程組是使方程組(7-4)為全零解的充分必要條件，也是方程組為全零解的充分必要條件，也是方程組(7-5)存在一組非零解的充分必要條件。存在一組非零解的充分必要條件。7第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似三、三、物理方程的量綱一致性物理方程的量綱一致性 在自然現(xiàn)象當(dāng)中，互相聯(lián)系的物理量可構(gòu)成物理方程。物在自然現(xiàn)象當(dāng)中，互相聯(lián)系的物理量可構(gòu)成物理方程。物理方程可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，同一方程中各項(xiàng)又可以由不同理方程可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，同一方程中各項(xiàng)又可以由不同量組成，但是各項(xiàng)的單位

9、必定相同，量綱也必然一致；另一方量組成，但是各項(xiàng)的單位必定相同，量綱也必然一致；另一方面，由于物理方程的量綱具有一致性，可以用任意一項(xiàng)去除等面，由于物理方程的量綱具有一致性，可以用任意一項(xiàng)去除等式兩邊，使方程每一項(xiàng)變?yōu)闊o量綱量，這樣原方程就變?yōu)闊o量式兩邊，使方程每一項(xiàng)變?yōu)闊o量綱量，這樣原方程就變?yōu)闊o量綱方程，但所表達(dá)的物理現(xiàn)象與原方程相同，這一點(diǎn)極為重要，綱方程，但所表達(dá)的物理現(xiàn)象與原方程相同，這一點(diǎn)極為重要，這也是量綱分析的理論依據(jù)。例如，動(dòng)能方程這也是量綱分析的理論依據(jù)。例如，動(dòng)能方程221mvE 可改寫為可改寫為212mvE8第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似理想流體伯努

10、利方程理想流體伯努利方程gvagpzgvagpz222222221111a1=a2= 1，也可改寫為，也可改寫為12221221212121vvvppgvzz可以驗(yàn)證各項(xiàng)也都是無量綱量?？梢则?yàn)證各項(xiàng)也都是無量綱量。量綱一致性原理，或量綱齊次性原理、量綱和諧原理量綱一致性原理，或量綱齊次性原理、量綱和諧原理。量綱。量綱一致性原理要求凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項(xiàng)一致性原理要求凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項(xiàng)的量綱必須是一致的。從量綱一致性原理可以得到一個(gè)重要的量綱必須是一致的。從量綱一致性原理可以得到一個(gè)重要推論：一個(gè)正確反映客觀規(guī)律的物理方程必然可以寫成量綱推論：一個(gè)正確反映客觀

11、規(guī)律的物理方程必然可以寫成量綱為一的形式。為一的形式。 9第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似7-2 7-2 泊金漢泊金漢定理定理 設(shè)一個(gè)流動(dòng)過程涉及設(shè)一個(gè)流動(dòng)過程涉及n個(gè)變量，個(gè)變量，v1、v2、v3、vn，其，其中中v2、v3、vn是相互獨(dú)立的自變量，它們是實(shí)驗(yàn)中可以是相互獨(dú)立的自變量，它們是實(shí)驗(yàn)中可以控制的量，實(shí)驗(yàn)的目的是依次改變其中的一個(gè)而保持其他變控制的量，實(shí)驗(yàn)的目的是依次改變其中的一個(gè)而保持其他變量不變，從而確定它們各自對變量量不變，從而確定它們各自對變量v1的影響；的影響；v1是實(shí)驗(yàn)中待是實(shí)驗(yàn)中待確定或測量的量，它是自變量的函數(shù)，稱為因變量。如在上確定或測量的量，它

12、是自變量的函數(shù)，稱為因變量。如在上節(jié)提到的圓球在粘性流體內(nèi)運(yùn)動(dòng)的例子中，阻力節(jié)提到的圓球在粘性流體內(nèi)運(yùn)動(dòng)的例子中，阻力FD是實(shí)驗(yàn)中是實(shí)驗(yàn)中要確定的因變量，要確定的因變量，、和和U則是相互獨(dú)立的自變量。這里說則是相互獨(dú)立的自變量。這里說、和和U相互獨(dú)立，是指它們之間不能用任意一個(gè)或兩個(gè)來相互獨(dú)立，是指它們之間不能用任意一個(gè)或兩個(gè)來表示另外一個(gè)。不是所有的變量都相互獨(dú)立，比如表示另外一個(gè)。不是所有的變量都相互獨(dú)立，比如、和和三個(gè)量中只有三個(gè)量中只有2個(gè)獨(dú)立，因?yàn)閭€(gè)獨(dú)立，因?yàn)?/ 。實(shí)驗(yàn)的最終目的是尋。實(shí)驗(yàn)的最終目的是尋求關(guān)系式求關(guān)系式 nvvvfv , , 321 依據(jù)依據(jù)量綱一致性原理量綱一致性

13、原理，上式一定可以表示成量綱為一的形式，上式一定可以表示成量綱為一的形式，量綱為一的關(guān)系式中量綱為一的組合量數(shù)將少于原式中的變量綱為一的關(guān)系式中量綱為一的組合量數(shù)將少于原式中的變量數(shù)。量數(shù)。 (7.5)10第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似泊金漢泊金漢定理定理 將式將式(7.5)改變?yōu)榱烤V為一的形式的方法有多種，這里改變?yōu)榱烤V為一的形式的方法有多種，這里首先介紹首先介紹1914年由泊金漢年由泊金漢(E. Buckingham)提出的方法，提出的方法，稱為泊金漢稱為泊金漢定理。在數(shù)學(xué)上，大寫希臘文字母定理。在數(shù)學(xué)上，大寫希臘文字母表示變表示變量相乘，由于量綱為一的組合量總是以物理

14、量的冪次乘積量相乘，由于量綱為一的組合量總是以物理量的冪次乘積形式出現(xiàn)，于是習(xí)慣上將量綱為一的組合量表示為形式出現(xiàn)，于是習(xí)慣上將量綱為一的組合量表示為 1、 2、 3、。 泊金漢泊金漢定理可表述如下：如果一個(gè)量綱一致的方程定理可表述如下：如果一個(gè)量綱一致的方程中包含中包含n個(gè)變量，則這一方程可以表示成個(gè)變量，則這一方程可以表示成k個(gè)量綱為一的組個(gè)量綱為一的組合量或合量或之間的關(guān)系式，變量減少數(shù)之間的關(guān)系式，變量減少數(shù)j=n-k是相互不能組成是相互不能組成量綱為一的組合量或量綱為一的組合量或的最多變量數(shù)，的最多變量數(shù)，j總是等于或小于描總是等于或小于描述這些變量所需的最少基本量綱數(shù)。述這些變量所

15、需的最少基本量綱數(shù)。 11第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似 泊金漢泊金漢定理的第二部分告訴我們?nèi)绾未_定這定理的第二部分告訴我們?nèi)绾未_定這k個(gè)量綱個(gè)量綱為一的組合量：首先確定為一的組合量：首先確定j，然后選取，然后選取j個(gè)相互不能組成個(gè)相互不能組成的變量，每一個(gè)的變量，每一個(gè)都可用這都可用這j個(gè)變量與另外一個(gè)變量的冪次個(gè)變量與另外一個(gè)變量的冪次乘積組成，如此得出的每一個(gè)乘積組成，如此得出的每一個(gè)都是獨(dú)立的。都是獨(dú)立的。 以式以式(7.5)為例，假設(shè)基本量綱數(shù)為為例，假設(shè)基本量綱數(shù)為3，即，即M、L和和T，經(jīng)過觀察，經(jīng)過觀察，n個(gè)變量中相互不能形成個(gè)變量中相互不能形成的最大變量數(shù)

16、也是的最大變量數(shù)也是3，j = 3，依據(jù)，依據(jù)定理，定理，n個(gè)變量可以組成而且只能組成個(gè)變量可以組成而且只能組成(n - j)個(gè)個(gè) 。選取。選取3個(gè)不能形成個(gè)不能形成的變量，如的變量，如v1、v2和和v3，于是可，于是可以用這以用這3個(gè)變量與另外一個(gè)變量的冪次乘積組成一個(gè)個(gè)變量與另外一個(gè)變量的冪次乘積組成一個(gè). ，(n- 3)個(gè)個(gè)可分別表示為可分別表示為 43211vvvvcba53212vvvvcbancbanvvvv3213 ， ， 。 12第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似 令等式兩側(cè)的冪指數(shù)相等，即可求出使每一個(gè)令等式兩側(cè)的冪指數(shù)相等，即可求出使每一個(gè)成為成為量綱為一的

17、組合量的量綱為一的組合量的a、b和和c。這樣確定的。這樣確定的是相互獨(dú)立是相互獨(dú)立的，因?yàn)橹挥械?，因?yàn)橹挥?包含包含v4，只有，只有2包含包含v5，等等。通常稱上，等等。通常稱上述確定述確定的方法為的方法為重復(fù)變量法重復(fù)變量法。 采用重復(fù)變量法確定采用重復(fù)變量法確定的步驟如下：的步驟如下：（1 1）列出所研究流動(dòng)問題涉及的列出所研究流動(dòng)問題涉及的n個(gè)變量。正確地選擇個(gè)變量。正確地選擇相關(guān)變量在很大程度上依賴于研究人員的流體力學(xué)知識和相關(guān)變量在很大程度上依賴于研究人員的流體力學(xué)知識和對所研究問題物理本質(zhì)的理解，如果遺漏了重要的變量，對所研究問題物理本質(zhì)的理解，如果遺漏了重要的變量，便不能得到正確

18、反映流動(dòng)過程的量綱為一的關(guān)系式。便不能得到正確反映流動(dòng)過程的量綱為一的關(guān)系式。 （2 2）寫出每個(gè)相關(guān)變量的基本量綱，流體力學(xué)常用變量寫出每個(gè)相關(guān)變量的基本量綱，流體力學(xué)常用變量的量綱可參閱表的量綱可參閱表 1.2。 13第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似（3 3）確定確定j，則，則的個(gè)數(shù)為的個(gè)數(shù)為k=n-j。 （4 4）選擇選擇j個(gè)變量，這個(gè)變量，這j個(gè)變量應(yīng)包括所有的基本量綱，個(gè)變量應(yīng)包括所有的基本量綱，同時(shí)它們相互之間又不能組成一個(gè)量綱為一的量，如可選同時(shí)它們相互之間又不能組成一個(gè)量綱為一的量，如可選取密度、速度或長度等。由于選取的這取密度、速度或長度等。由于選取的這j個(gè)

19、變量將出現(xiàn)在個(gè)變量將出現(xiàn)在每一個(gè)每一個(gè)中，稱它們?yōu)橹?，稱它們?yōu)橹貜?fù)變量重復(fù)變量。若我們希望因變量。若我們希望因變量v1只只出現(xiàn)在一個(gè)出現(xiàn)在一個(gè)中，注意不要選取中，注意不要選取v1作為重復(fù)變量。作為重復(fù)變量。 （5 5）用選擇的用選擇的j個(gè)變量依次和剩余的個(gè)變量依次和剩余的(n - j)個(gè)變量中的每個(gè)變量中的每一個(gè)組合成冪次乘積形式，求解其冪指數(shù)，使每個(gè)組合量一個(gè)組合成冪次乘積形式，求解其冪指數(shù)，使每個(gè)組合量綱為一化。綱為一化。 14第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似（6 6）寫出最終的量綱為一的組合量關(guān)系式寫出最終的量綱為一的組合量關(guān)系式 jnF , , ,321式中式中，F(xiàn)表

20、示與表示與f不同的函數(shù)形式。注意到只有不同的函數(shù)形式。注意到只有1包含因包含因變量變量v1，式，式(7.6)對于待確定或測量的量叫來說為顯式。對于待確定或測量的量叫來說為顯式。 (7.6)15第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似7-3 7-3 動(dòng)力相似動(dòng)力相似 工程上經(jīng)常遇到的流體力學(xué)問題，比如飛機(jī)的升力、地工程上經(jīng)常遇到的流體力學(xué)問題，比如飛機(jī)的升力、地面車輛和船舶的運(yùn)動(dòng)阻力、大壩瀉洪道的設(shè)計(jì)等，現(xiàn)在還不面車輛和船舶的運(yùn)動(dòng)阻力、大壩瀉洪道的設(shè)計(jì)等，現(xiàn)在還不能單純依賴?yán)碚摲治龌驍?shù)值計(jì)算來解決。為了尋求具體流動(dòng)能單純依賴?yán)碚摲治龌驍?shù)值計(jì)算來解決。為了尋求具體流動(dòng)的規(guī)律，給設(shè)備設(shè)計(jì)積

21、累數(shù)據(jù)，或者為了驗(yàn)證理論和數(shù)值計(jì)的規(guī)律，給設(shè)備設(shè)計(jì)積累數(shù)據(jù)，或者為了驗(yàn)證理論和數(shù)值計(jì)算結(jié)果，往往先需要使用縮小的模型，即使用幾何相似但尺算結(jié)果，往往先需要使用縮小的模型，即使用幾何相似但尺寸較小的模型在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行測試，比如用縮小的飛機(jī)模型在寸較小的模型在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行測試，比如用縮小的飛機(jī)模型在風(fēng)洞內(nèi)吹風(fēng)以測量升力和阻力。如果模型流動(dòng)與實(shí)物流動(dòng)不風(fēng)洞內(nèi)吹風(fēng)以測量升力和阻力。如果模型流動(dòng)與實(shí)物流動(dòng)不同，比如模型流動(dòng)是層流，而實(shí)物流動(dòng)是湍流，或者兩者都同，比如模型流動(dòng)是層流，而實(shí)物流動(dòng)是湍流，或者兩者都是層流，但流線形狀完全不同，則模型實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是無用的。是層流，但流線形狀完全不同，則模型實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是

22、無用的。只有當(dāng)模型實(shí)驗(yàn)的流動(dòng)與實(shí)物流動(dòng)只有當(dāng)模型實(shí)驗(yàn)的流動(dòng)與實(shí)物流動(dòng)動(dòng)力相似動(dòng)力相似時(shí)，在模型實(shí)驗(yàn)時(shí)，在模型實(shí)驗(yàn)中獲得的升力數(shù)據(jù)才可以推廣應(yīng)用于實(shí)際飛行器。中獲得的升力數(shù)據(jù)才可以推廣應(yīng)用于實(shí)際飛行器。16第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似一、一、幾何相似幾何相似 如果兩個(gè)流動(dòng)的線性變量間存在著固定的比例關(guān)系，即如果兩個(gè)流動(dòng)的線性變量間存在著固定的比例關(guān)系，即原型和模型對應(yīng)的線性長度的比值相等，則這兩個(gè)流動(dòng)稱為原型和模型對應(yīng)的線性長度的比值相等，則這兩個(gè)流動(dòng)稱為幾何相似的。幾何相似的。 如以如以l表示某一線性尺度，則有長度比尺表示某一線性尺度，則有長度比尺mplllC 由此可推得

23、其它有關(guān)幾何量的比尺，例如面積和體積，由此可推得其它有關(guān)幾何量的比尺，例如面積和體積，比尺分別為比尺分別為222lmpmpACllAAC333lmpmpVCllVVC17第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似二二 、運(yùn)動(dòng)相似運(yùn)動(dòng)相似 運(yùn)動(dòng)相似是指流體運(yùn)動(dòng)的速度場相似。也就是指兩個(gè)流運(yùn)動(dòng)相似是指流體運(yùn)動(dòng)的速度場相似。也就是指兩個(gè)流動(dòng)各對應(yīng)點(diǎn)動(dòng)各對應(yīng)點(diǎn)(包括邊界上各點(diǎn)包括邊界上各點(diǎn))的速度的速度u方向相同，其大小成一方向相同，其大小成一固定的比尺固定的比尺Cu。即。即mpuuuC注意到流速是位移對時(shí)間注意到流速是位移對時(shí)間t的微商的微商dl/dt，則時(shí)間比尺為，則時(shí)間比尺為ulmptC

24、CttC同理，在運(yùn)動(dòng)相似的條件下，流場中對應(yīng)點(diǎn)處流體質(zhì)點(diǎn)的加同理，在運(yùn)動(dòng)相似的條件下，流場中對應(yīng)點(diǎn)處流體質(zhì)點(diǎn)的加速度比尺為速度比尺為lutumpaCCCCaaC218第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似三、三、動(dòng)力相似動(dòng)力相似 若兩流動(dòng)對應(yīng)點(diǎn)處流體質(zhì)點(diǎn)所受同名力若兩流動(dòng)對應(yīng)點(diǎn)處流體質(zhì)點(diǎn)所受同名力F的方向相同，的方向相同，其大小之比均成一固定的比尺其大小之比均成一固定的比尺CF，則這兩個(gè)流動(dòng)是動(dòng)力相似。，則這兩個(gè)流動(dòng)是動(dòng)力相似。所謂同名力是指具有同一物理性質(zhì)的力。例如，重力所謂同名力是指具有同一物理性質(zhì)的力。例如，重力FG、粘、粘性力性力F、壓力、壓力FP、彈性力、彈性力FE、表面

25、張力、表面張力FT等。等。 為了確定船只運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力，常常利用縮小的模型在為了確定船只運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力，常常利用縮小的模型在水池中進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)水池中進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)(圖圖7.3)。19第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似 實(shí)物流動(dòng)與模型流動(dòng)的動(dòng)力相似首先要求兩個(gè)流動(dòng)的邊實(shí)物流動(dòng)與模型流動(dòng)的動(dòng)力相似首先要求兩個(gè)流動(dòng)的邊界界幾何相似幾何相似，即要求所有的對應(yīng)幾何特征長度成比例，如在，即要求所有的對應(yīng)幾何特征長度成比例，如在圖示的兩個(gè)流動(dòng)中圖示的兩個(gè)流動(dòng)中d/l = d1/l1。動(dòng)力相似還要求。動(dòng)力相似還要求運(yùn)動(dòng)相似運(yùn)動(dòng)相似，即，即兩個(gè)流動(dòng)的流線幾何相似，這意味著在相應(yīng)的空間位置上的兩

26、個(gè)流動(dòng)的流線幾何相似，這意味著在相應(yīng)的空間位置上的速度成比例，如在圖速度成比例，如在圖7.3a中的中的P點(diǎn)速度為點(diǎn)速度為U/2，那么在圖那么在圖7.3b中的對應(yīng)點(diǎn)中的對應(yīng)點(diǎn)P1速度應(yīng)為速度應(yīng)為U1/2。如選取沿吃水線的船長。如選取沿吃水線的船長l作為特作為特征長度，上游的來流速度征長度，上游的來流速度U為特征速度，分別將空間坐標(biāo)和為特征速度，分別將空間坐標(biāo)和速度矢量量綱為一化，運(yùn)動(dòng)相似意味著當(dāng)兩個(gè)流動(dòng)的量綱為速度矢量量綱為一化，運(yùn)動(dòng)相似意味著當(dāng)兩個(gè)流動(dòng)的量綱為一的空間位置一的空間位置 lzzlyylxx , , 相同時(shí)，量綱為一的速度相同時(shí)，量綱為一的速度UuuUuuUuuzzyyxx , ,

27、 20第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似相等，即兩個(gè)流動(dòng)在幾何相似點(diǎn)上的流動(dòng)速度與特征速度的相等，即兩個(gè)流動(dòng)在幾何相似點(diǎn)上的流動(dòng)速度與特征速度的比值相同。當(dāng)滿足上述兩個(gè)條件時(shí)，我們稱兩個(gè)流動(dòng)動(dòng)力相比值相同。當(dāng)滿足上述兩個(gè)條件時(shí)，我們稱兩個(gè)流動(dòng)動(dòng)力相似，在動(dòng)力相似的流動(dòng)中所有的幾何和速度尺度均成比例。似，在動(dòng)力相似的流動(dòng)中所有的幾何和速度尺度均成比例。動(dòng)力相似條件動(dòng)力相似條件雷諾數(shù)雷諾數(shù) 粘性不可壓縮流動(dòng)的連續(xù)方程和粘性不可壓縮流動(dòng)的連續(xù)方程和N -S方程分別為方程分別為0 uupuutu2*1)( 引入一個(gè)特征長度引入一個(gè)特征長度L和一個(gè)特征速度和一個(gè)特征速度U來使上述方程組來

28、使上述方程組量綱為一化。對于圖量綱為一化。對于圖7.3中的流動(dòng)，如上文所述可以選取沿吃中的流動(dòng)，如上文所述可以選取沿吃水線的船長水線的船長l作為特征長度，上游的來流速度作為特征長度，上游的來流速度U作為特征速度；作為特征速度；在管內(nèi)流動(dòng)情形下，則可取圓管直徑在管內(nèi)流動(dòng)情形下，則可取圓管直徑D為特征長度，管截面為特征長度，管截面平均速度平均速度V為特征速度，等等。為特征速度，等等。(7.7a)(7.7b)21第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似 壓強(qiáng)通常隨速度場變化而變化，這里可用壓強(qiáng)通常隨速度場變化而變化，這里可用U2作為壓強(qiáng)的作為壓強(qiáng)的參考量。沒有引入特征時(shí)間尺度，因?yàn)檫@里只限

29、于討論外加參考量。沒有引入特征時(shí)間尺度，因?yàn)檫@里只限于討論外加條件為定常的情形；條件為定常的情形；N -S方程中之所以保留時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，因方程中之所以保留時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，因?yàn)殡m然外加條件定常，非定常的脈動(dòng)仍然可能自發(fā)地出現(xiàn)為雖然外加條件定常，非定常的脈動(dòng)仍然可能自發(fā)地出現(xiàn)(參參閱第閱第10章章10.6節(jié)，卡門渦街節(jié)，卡門渦街)，但此種非定常脈動(dòng)的頻率和幅，但此種非定常脈動(dòng)的頻率和幅度等只與上述特征長度度等只與上述特征長度L和特征速度和特征速度U有關(guān)。有關(guān)。 LzzLyyLxxL , , , 利用利用L和和U將方程中相關(guān)變量量綱為一化，它們的量綱為將方程中相關(guān)變量量綱為一化，它們的量綱為一的形式分別為

30、一的形式分別為 2 , , UppUuuLtUt22第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似 在以上各式中上標(biāo)在以上各式中上標(biāo)“”，表示量綱為一的量，代入連續(xù)，表示量綱為一的量，代入連續(xù)方程和方程和N-S 方程，得方程，得 0 uLU uLUpLUuuLUtuLU 22*222)(對上兩式進(jìn)一步簡化，得對上兩式進(jìn)一步簡化，得 0 u upuutu 2*Re1)(7.8a)(7.8b)23第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似方程方程(7.8b)中出現(xiàn)了量綱為一的組合量雷諾數(shù)中出現(xiàn)了量綱為一的組合量雷諾數(shù)Re =UL/，在，在對邊界條件作量綱為一化處理過程中還可能出現(xiàn)其他的

31、量綱對邊界條件作量綱為一化處理過程中還可能出現(xiàn)其他的量綱為一的組合量。為一的組合量。 由于方程由于方程(7.8a)和和(7.8b)中只顯含量綱為一的組合量中只顯含量綱為一的組合量Re，因此滿足量綱為一的邊界條件的解，速度因此滿足量綱為一的邊界條件的解，速度 和壓強(qiáng)和壓強(qiáng) ，只可能是下列變量的函數(shù)：只可能是下列變量的函數(shù)：u*p (1)量綱為一的坐標(biāo)量綱為一的坐標(biāo)x、y、z與時(shí)間與時(shí)間t； (2)雷諾數(shù)雷諾數(shù)Re； (3)滿足量綱為一的邊界條件所需的量綱為一的組合量。滿足量綱為一的邊界條件所需的量綱為一的組合量。 將基本方程量綱為一化，表面上看只是形式上的變化，將基本方程量綱為一化，表面上看只是

32、形式上的變化，但它卻清楚地提示我們，如果兩個(gè)流動(dòng)滿足相同的量綱為一但它卻清楚地提示我們，如果兩個(gè)流動(dòng)滿足相同的量綱為一的邊界條件，則無論這兩個(gè)流動(dòng)的的邊界條件，則無論這兩個(gè)流動(dòng)的、L，U和和如何不同，只如何不同，只要它們的組合要它們的組合UL/相同，這兩個(gè)流動(dòng)就可以用唯一相同的相同，這兩個(gè)流動(dòng)就可以用唯一相同的量綱為一的形式的解來描述，即兩個(gè)流動(dòng)的幾何尺寸大小、量綱為一的形式的解來描述，即兩個(gè)流動(dòng)的幾何尺寸大小、流體種類和速度可能不同，但只要雷諾數(shù)相同，它們就有相流體種類和速度可能不同，但只要雷諾數(shù)相同，它們就有相同的量綱為一的形式的解。同的量綱為一的形式的解。24第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力

33、相似量綱分析與動(dòng)力相似之所以稱這樣的流動(dòng)為動(dòng)力相似，是因?yàn)閯?dòng)量方程之所以稱這樣的流動(dòng)為動(dòng)力相似，是因?yàn)閯?dòng)量方程(7.8b)中的中的項(xiàng)可視為表示不同的力，粘性力、壓力和慣性力等，而兩個(gè)項(xiàng)可視為表示不同的力，粘性力、壓力和慣性力等，而兩個(gè)流動(dòng)中在相同量綱為一的時(shí)刻位于相同量綱為一的空間位置流動(dòng)中在相同量綱為一的時(shí)刻位于相同量綱為一的空間位置的流體質(zhì)點(diǎn)受到的所有力成同一比例。的流體質(zhì)點(diǎn)受到的所有力成同一比例。 雷諾數(shù)可視為對作用在單位體積流體上的非粘性力與粘雷諾數(shù)可視為對作用在單位體積流體上的非粘性力與粘性力的相對重要性的一個(gè)度量。對于沿性力的相對重要性的一個(gè)度量。對于沿x方向的流動(dòng)，單位體方向的流

34、動(dòng)，單位體積流體的慣性力為積流體的慣性力為Du/Dt，如果為定常流動(dòng)，則為如果為定常流動(dòng)，則為uu/ x ；單位體積流體的粘性力為單位體積流體的粘性力為2u/ 2 x ，壓力為壓力為- p* / x 。 這些力總體上處于平衡狀態(tài)，它們的相對大小可用任意這些力總體上處于平衡狀態(tài)，它們的相對大小可用任意兩個(gè)力的比值來表示，但壓力通常是被動(dòng)力，取決于流場的兩個(gè)力的比值來表示，但壓力通常是被動(dòng)力，取決于流場的速度分布，因此可用慣性力與粘性力的比值作為流動(dòng)中受力速度分布，因此可用慣性力與粘性力的比值作為流動(dòng)中受力平衡的標(biāo)志。在空間任意點(diǎn)慣性力與粘性力的比值為平衡的標(biāo)志。在空間任意點(diǎn)慣性力與粘性力的比值為

35、25第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似22xuxuu 設(shè)流場的特征量是密度設(shè)流場的特征量是密度、粘度、粘度以及上文提到的特征長以及上文提到的特征長度度L和特征速度和特征速度U。由于流場內(nèi)任意點(diǎn)的速度都與特征速度。由于流場內(nèi)任意點(diǎn)的速度都與特征速度U成比例，因此時(shí)成比例，因此時(shí) ， ，于于是是 LUxuu2222LUxuULLULUxuxuu2222可見可見雷諾數(shù)是慣性力與粘性力相對大小的一個(gè)度量雷諾數(shù)是慣性力與粘性力相對大小的一個(gè)度量，對于給，對于給定的邊界條件，改變雷諾數(shù)相當(dāng)于改變了慣性力與粘性力的定的邊界條件，改變雷諾數(shù)相當(dāng)于改變了慣性力與粘性力的相對大小。兩個(gè)流動(dòng)的雷諾數(shù)

36、相對大小。兩個(gè)流動(dòng)的雷諾數(shù)Re=UL/相同，就表示對應(yīng)空相同，就表示對應(yīng)空間點(diǎn)和對應(yīng)時(shí)刻流體所受到的非粘性力與粘性力成比例，即間點(diǎn)和對應(yīng)時(shí)刻流體所受到的非粘性力與粘性力成比例，即兩個(gè)流動(dòng)動(dòng)力相似。兩個(gè)流動(dòng)動(dòng)力相似。 26第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似 量綱為一的因數(shù)量綱為一的因數(shù) 除了速度場和壓強(qiáng)場外，我們也關(guān)心流體對物體的作用除了速度場和壓強(qiáng)場外，我們也關(guān)心流體對物體的作用力。物體表面的法向和切向應(yīng)力力。物體表面的法向和切向應(yīng)力p和和可以用可以用U2量綱一化為量綱一化為p/(U2)和和 /(U2) ，這些量綱為一的組合量與量綱為一的速度這些量綱為一的組合量與量綱為一的速度

37、一樣也是量綱為一的空間坐標(biāo)和雷諾數(shù)的函數(shù)，即一樣也是量綱為一的空間坐標(biāo)和雷諾數(shù)的函數(shù)，即 Re,2zyxfUpRe,2zyxfU 物體受到的總作用力沿來流方向的分量稱為阻力，以物體受到的總作用力沿來流方向的分量稱為阻力，以FD表示，表示，垂直于來流方向的分量稱為升力，以垂直于來流方向的分量稱為升力，以FL表示。通常將阻力和表示。通常將阻力和升力寫成如下量綱為一的形式升力寫成如下量綱為一的形式 AUFCDD221AUFCLL22127第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似分別稱分別稱CD和和CL為阻力因數(shù)和升力因數(shù)，式中為阻力因數(shù)和升力因數(shù)，式中A是物面在來流是物面在來流方向的投影面

38、積方向的投影面積(對于圓球?yàn)閷τ趫A球?yàn)閐2/4， d表示圓球直徑表示圓球直徑)。由于。由于CD和和CL是是p/(U2)和和 /(U2)在物體表面作積分的結(jié)果，因此它在物體表面作積分的結(jié)果，因此它們都只是雷諾數(shù)的函數(shù)們都只是雷諾數(shù)的函數(shù) Re1fCDRe2fCF(7.11)式式(7.11)表示的相似律得到無數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的驗(yàn)證。圖表示的相似律得到無數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的驗(yàn)證。圖7. 4給出給出長圓柱與圓球的阻力因數(shù)與雷諾數(shù)的關(guān)系曲線，不同流體、長圓柱與圓球的阻力因數(shù)與雷諾數(shù)的關(guān)系曲線，不同流體、不同尺寸圓柱和圓球的實(shí)測數(shù)據(jù)點(diǎn)落在同一條曲線上，印證不同尺寸圓柱和圓球的實(shí)測數(shù)據(jù)點(diǎn)落在同一條曲線上，印證了式了式(7

39、.11)表示的雷諾數(shù)相似律的客觀存在。表示的雷諾數(shù)相似律的客觀存在。 28第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似 其他量綱為一的組合量其他量綱為一的組合量 如果不可壓縮流體有彎曲界面，比如水與空氣的彎曲自如果不可壓縮流體有彎曲界面，比如水與空氣的彎曲自由面，則界面上的流體壓強(qiáng)與大氣壓強(qiáng)之間存在差值，這一由面，則界面上的流體壓強(qiáng)與大氣壓強(qiáng)之間存在差值，這一差值與表面張力系數(shù)差值與表面張力系數(shù)成正比，由式成正比，由式(l.17)，pa-p = ( 1/r1 +1/r2 )，式中式中r1和和r2是彎曲自由面的主曲率半徑，曲率中心位是彎曲自由面的主曲率半徑，曲率中心位于大氣一側(cè)，則廣義壓強(qiáng)

40、可寫為于大氣一側(cè)，則廣義壓強(qiáng)可寫為 2111rrgzpgzppa上式兩側(cè)同除以上式兩側(cè)同除以U2使其量綱為一化，以流場某一特征長度使其量綱為一化，以流場某一特征長度L使使r1和和r2量綱為一化，則有量綱為一化，則有 2122211rrLUzUgLUppa上式中出現(xiàn)了上式中出現(xiàn)了3個(gè)新的量綱為一的組合量個(gè)新的量綱為一的組合量，Eu = pa/U2 ，F(xiàn)r= ，We =U2L/，依次稱為，依次稱為歐拉數(shù)歐拉數(shù)、弗勞德數(shù)弗勞德數(shù)和和韋伯?dāng)?shù)韋伯?dāng)?shù)。 gLU29第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似 弗勞德數(shù)弗勞德數(shù)，F(xiàn)r = ，可看作是流動(dòng)慣性力與重力的可看作是流動(dòng)慣性力與重力的比值。在存

41、在自由面的流動(dòng)中，它是起主導(dǎo)作用的量綱為一比值。在存在自由面的流動(dòng)中，它是起主導(dǎo)作用的量綱為一的組合量；而當(dāng)沒有自由面時(shí)，它則完全不重要。在式的組合量；而當(dāng)沒有自由面時(shí)，它則完全不重要。在式(7.8)中由于將重力項(xiàng)吸收進(jìn)廣義壓強(qiáng)中，方程中不再出現(xiàn)重力項(xiàng)，中由于將重力項(xiàng)吸收進(jìn)廣義壓強(qiáng)中，方程中不再出現(xiàn)重力項(xiàng)，因此對于無自由面的流動(dòng)分析可不考慮重力影響。因此對于無自由面的流動(dòng)分析可不考慮重力影響。 gLU 韋伯?dāng)?shù)韋伯?dāng)?shù)，We = U2L/，可解釋為慣性力與表面張力的比，可解釋為慣性力與表面張力的比值。當(dāng)韋伯?dāng)?shù)等于或小于值。當(dāng)韋伯?dāng)?shù)等于或小于1，如液滴、毛細(xì)管內(nèi)流動(dòng)、非常小，如液滴、毛細(xì)管內(nèi)流動(dòng)、非

42、常小的水力模型、細(xì)小的表面波等情形下，韋伯?dāng)?shù)是重要的影響的水力模型、細(xì)小的表面波等情形下，韋伯?dāng)?shù)是重要的影響參數(shù)；其他場合，韋伯?dāng)?shù)影響可以忽略。參數(shù)；其他場合，韋伯?dāng)?shù)影響可以忽略。 歐拉數(shù)歐拉數(shù)，通常以壓強(qiáng)差的形式寫為，通常以壓強(qiáng)差的形式寫為Eu = p/U2 ， p= p - p ref， p ref為參考壓強(qiáng)。在大多數(shù)場合，都可忽略歐拉數(shù)的為參考壓強(qiáng)。在大多數(shù)場合，都可忽略歐拉數(shù)的影響。影響。30第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似 在某些流動(dòng)中，比如在水泵和船舶的螺旋槳推進(jìn)器中，在某些流動(dòng)中，比如在水泵和船舶的螺旋槳推進(jìn)器中，當(dāng)流體壓強(qiáng)降低到飽和蒸汽壓強(qiáng)當(dāng)流體壓強(qiáng)降低到飽和

43、蒸汽壓強(qiáng)pV以下時(shí)，會(huì)出現(xiàn)閃蒸而產(chǎn)以下時(shí)，會(huì)出現(xiàn)閃蒸而產(chǎn)生氣泡，稱為氣穴現(xiàn)象，而當(dāng)壓強(qiáng)再次升高時(shí)，因汽泡的突生氣泡，稱為氣穴現(xiàn)象，而當(dāng)壓強(qiáng)再次升高時(shí)，因汽泡的突然破裂伴隨有巨大的壓強(qiáng)沖擊，會(huì)在螺旋槳或葉輪表面發(fā)生然破裂伴隨有巨大的壓強(qiáng)沖擊，會(huì)在螺旋槳或葉輪表面發(fā)生氣蝕。選取液體飽和壓強(qiáng)作參考壓強(qiáng)，歐拉數(shù)可寫為氣蝕。選取液體飽和壓強(qiáng)作參考壓強(qiáng)，歐拉數(shù)可寫為 2UppCaV稱為氣穴數(shù)。稱為氣穴數(shù)。 對于高速的可壓縮流動(dòng)，方程對于高速的可壓縮流動(dòng)，方程(7.7)和和(7. 8)不再適用，不再適用，因?yàn)榱黧w密度不再為常數(shù)，描寫可壓縮流動(dòng)，除了可壓縮因?yàn)榱黧w密度不再為常數(shù)，描寫可壓縮流動(dòng)，除了可壓縮流動(dòng)

44、的流動(dòng)的N -S方程和連續(xù)方程方程和連續(xù)方程(3.29) 外，還需要能量方程，以外，還需要能量方程，以及及p，和和h之間的熱力學(xué)關(guān)系式。這些關(guān)于可壓縮流動(dòng)的之間的熱力學(xué)關(guān)系式。這些關(guān)于可壓縮流動(dòng)的方程將會(huì)引入新的量綱為一的組合量，其中一個(gè)重要的量方程將會(huì)引入新的量綱為一的組合量，其中一個(gè)重要的量綱為一的組合量是綱為一的組合量是馬赫數(shù)馬赫數(shù) aUMa 31第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似式中，式中，a是當(dāng)?shù)匾羲?，即所考慮點(diǎn)的音速。是當(dāng)?shù)匾羲?，即所考慮點(diǎn)的音速。 當(dāng)存在外加條件導(dǎo)致的脈動(dòng)流動(dòng)時(shí)，如管道進(jìn)口速度為當(dāng)存在外加條件導(dǎo)致的脈動(dòng)流動(dòng)時(shí)，如管道進(jìn)口速度為 tUucos以特征速

45、度以特征速度U和特征時(shí)間和特征時(shí)間L/U分別使速度和脈動(dòng)角頻率分別使速度和脈動(dòng)角頻率量綱量綱為一化，得為一化，得 tULUuucos余弦函數(shù)的自變量中包含一個(gè)新的量綱為一的組合量余弦函數(shù)的自變量中包含一個(gè)新的量綱為一的組合量ULSr稱為稱為斯特勞哈爾數(shù)斯特勞哈爾數(shù)。 32第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似 式式(7.11)僅適用于流動(dòng)中起主導(dǎo)作用的力為慣性力和僅適用于流動(dòng)中起主導(dǎo)作用的力為慣性力和粘性力的情形。如流場中存在自由面時(shí)，重力的影響變得粘性力的情形。如流場中存在自由面時(shí)，重力的影響變得重要起來，弗勞德數(shù)重要起來，弗勞德數(shù)Fr應(yīng)該進(jìn)入應(yīng)該進(jìn)入(7.11)；對于可壓縮流動(dòng)

46、，；對于可壓縮流動(dòng)，還需考慮馬赫數(shù)的影響，等等。在上述情形下還需考慮馬赫數(shù)的影響，等等。在上述情形下 (7.11)可改可改寫為寫為 MaFrfCD,Re,1MaFrfCF,Re,2(7.16)此時(shí)為了使兩個(gè)流動(dòng)動(dòng)力相似，除了雷諾數(shù)外，還要求弗此時(shí)為了使兩個(gè)流動(dòng)動(dòng)力相似，除了雷諾數(shù)外，還要求弗勞德數(shù)和馬赫數(shù)相等。在另外一些場合，則可能還需考慮勞德數(shù)和馬赫數(shù)相等。在另外一些場合，則可能還需考慮其他量綱為一的組合量的影響。其他量綱為一的組合量的影響。 33第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似7-4 7-4 模型實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?shí)驗(yàn) 進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)的目的是為原型設(shè)備的設(shè)計(jì)提供客觀依據(jù)，進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)

47、的目的是為原型設(shè)備的設(shè)計(jì)提供客觀依據(jù)，只有模型流動(dòng)與實(shí)物流動(dòng)之間存在只有模型流動(dòng)與實(shí)物流動(dòng)之間存在動(dòng)力相似動(dòng)力相似，模型實(shí)驗(yàn)中測，模型實(shí)驗(yàn)中測量的數(shù)據(jù)才能推廣應(yīng)用于實(shí)物流動(dòng)。量的數(shù)據(jù)才能推廣應(yīng)用于實(shí)物流動(dòng)。 為了保證兩個(gè)幾何相似的設(shè)備內(nèi)的流動(dòng)動(dòng)力相似，如式為了保證兩個(gè)幾何相似的設(shè)備內(nèi)的流動(dòng)動(dòng)力相似，如式(7.11)和和(7. 16)所示，流動(dòng)的雷諾數(shù)、弗勞德數(shù)以及馬赫數(shù)等所示，流動(dòng)的雷諾數(shù)、弗勞德數(shù)以及馬赫數(shù)等必須保持相等。這些量綱為一的組合量與利用量綱分析方法必須保持相等。這些量綱為一的組合量與利用量綱分析方法得出的得出的數(shù)組是相同的。可以將式數(shù)組是相同的。可以將式(7.11)和和(7. 1

48、6)寫為更一般寫為更一般的形式的形式 nf , , ,321(7.17)34第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似 在相似理論中量綱為一的組合量也稱在相似理論中量綱為一的組合量也稱相似準(zhǔn)則相似準(zhǔn)則，或，或相似相似準(zhǔn)則數(shù)準(zhǔn)則數(shù)。式中。式中1包含實(shí)驗(yàn)中的待測量，或因變量，稱為包含實(shí)驗(yàn)中的待測量，或因變量，稱為“非非定性準(zhǔn)則定性準(zhǔn)則”或或“非獨(dú)立準(zhǔn)則非獨(dú)立準(zhǔn)則”、“非決定性準(zhǔn)則非決定性準(zhǔn)則” ； 2、 3、n中只包含相互獨(dú)立的自變量，即實(shí)驗(yàn)中可以控中只包含相互獨(dú)立的自變量，即實(shí)驗(yàn)中可以控制的量，稱為制的量，稱為“定性準(zhǔn)則定性準(zhǔn)則”，或，或“獨(dú)立準(zhǔn)則獨(dú)立準(zhǔn)則”、“決定性準(zhǔn)決定性準(zhǔn)則則”。對

49、于具有幾何相似邊界的模型和實(shí)物流動(dòng)，只要定性。對于具有幾何相似邊界的模型和實(shí)物流動(dòng)，只要定性準(zhǔn)則數(shù)分別相等，即準(zhǔn)則數(shù)分別相等，即 2m= 2p， 3m= 3p， ， nm= np(7.18) 1m= 1p(7.19)它們便動(dòng)力相似，于是非定性準(zhǔn)則數(shù)也相等它們便動(dòng)力相似，于是非定性準(zhǔn)則數(shù)也相等 式中，下標(biāo)式中，下標(biāo)“m”是英文是英文model的第一個(gè)字母，表示模型；的第一個(gè)字母，表示模型；“p”是英文是英文prototype的第一個(gè)字母，表示原型。的第一個(gè)字母，表示原型。式式(7. 18)是模型設(shè)計(jì)必須滿足的條件是模型設(shè)計(jì)必須滿足的條件，式式(7.19)則用來將模型實(shí)驗(yàn)中則用來將模型實(shí)驗(yàn)中的測量

50、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為實(shí)物流動(dòng)的相應(yīng)數(shù)據(jù)的測量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為實(shí)物流動(dòng)的相應(yīng)數(shù)據(jù)。35第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似模型比例模型比例 幾何相似是動(dòng)力相似的必要條件幾何相似是動(dòng)力相似的必要條件。定義線性比例因數(shù)。定義線性比例因數(shù) pmlll(7.20) 模型與實(shí)物的所有對應(yīng)線性尺寸應(yīng)成同一比例，以保證模型與實(shí)物的所有對應(yīng)線性尺寸應(yīng)成同一比例，以保證幾何相似。幾何相似。 除了長度比外，還可以定義與流動(dòng)有關(guān)的其他變量的比除了長度比外，還可以定義與流動(dòng)有關(guān)的其他變量的比值，如速度比值，如速度比Vm /Vp、密度比、密度比m /p 、時(shí)間比、時(shí)間比Tm /Tp 、粘度比、粘度比m /p等，相應(yīng)的比例因

51、數(shù)則分別寫等，相應(yīng)的比例因數(shù)則分別寫 為為v、 、T和和。 36第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似部分相似部分相似 如果每一個(gè)定性準(zhǔn)則數(shù)都對應(yīng)相等，稱模型流動(dòng)與實(shí)物如果每一個(gè)定性準(zhǔn)則數(shù)都對應(yīng)相等，稱模型流動(dòng)與實(shí)物流動(dòng)完全相似，嚴(yán)格的完全相似常常難以實(shí)現(xiàn)。比如存在自流動(dòng)完全相似，嚴(yán)格的完全相似常常難以實(shí)現(xiàn)。比如存在自由面的流動(dòng)中，要使流動(dòng)動(dòng)力相似，需要滿足雷諾數(shù)和弗勞由面的流動(dòng)中，要使流動(dòng)動(dòng)力相似，需要滿足雷諾數(shù)和弗勞德數(shù)分別相等，即德數(shù)分別相等，即 ppmmglVglVpppmmmlVlV考慮到重力加速度為常數(shù)，由弗勞德數(shù)相等得考慮到重力加速度為常數(shù)，由弗勞德數(shù)相等得 lpmp

52、mllVV雷諾數(shù)相等則要求雷諾數(shù)相等則要求 pmpmpmllVV37第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似由于弗勞德數(shù)相等限制速度比等于長度比的平方根，代入由于弗勞德數(shù)相等限制速度比等于長度比的平方根，代入上式有上式有 23lpm(7.21) 滿足上式要求從理論上講是可能的，但實(shí)際上尋找一滿足上式要求從理論上講是可能的，但實(shí)際上尋找一種流體使它的運(yùn)動(dòng)粘度與實(shí)物流體的運(yùn)動(dòng)粘度之比正好等種流體使它的運(yùn)動(dòng)粘度與實(shí)物流體的運(yùn)動(dòng)粘度之比正好等于線性比例因數(shù)的于線性比例因數(shù)的3/2次方是非常困難的。有自由面的流動(dòng)，次方是非常困難的。有自由面的流動(dòng)，如涉及大壩泄洪道、水面船舶等的流動(dòng)中流動(dòng)介質(zhì)一

53、般是如涉及大壩泄洪道、水面船舶等的流動(dòng)中流動(dòng)介質(zhì)一般是水；考慮到模型實(shí)驗(yàn)中的大壩模型和船舶模型等通常幾何水；考慮到模型實(shí)驗(yàn)中的大壩模型和船舶模型等通常幾何尺寸都較大，所以模型實(shí)驗(yàn)中唯一現(xiàn)實(shí)可選用的流體也是尺寸都較大，所以模型實(shí)驗(yàn)中唯一現(xiàn)實(shí)可選用的流體也是水，此時(shí)粘性比例因數(shù)等于水，此時(shí)粘性比例因數(shù)等于1，則式，則式(7.21)不可能得到滿足。不可能得到滿足。通常在上述流動(dòng)的水力模型實(shí)驗(yàn)中，只保證通常在上述流動(dòng)的水力模型實(shí)驗(yàn)中，只保證弗勞德數(shù)相同弗勞德數(shù)相同，而而允許模型和實(shí)物流動(dòng)的雷諾數(shù)有所不同允許模型和實(shí)物流動(dòng)的雷諾數(shù)有所不同。 38第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似7-5

54、7-5 模型實(shí)驗(yàn)舉例模型實(shí)驗(yàn)舉例通道內(nèi)流動(dòng)通道內(nèi)流動(dòng) 這里通道內(nèi)流動(dòng)指各種不同形狀橫截面管道內(nèi)的流動(dòng)，這里通道內(nèi)流動(dòng)指各種不同形狀橫截面管道內(nèi)的流動(dòng)，也包括通過閥門、孔板等流量測量計(jì)的流動(dòng)。由于流體充滿也包括通過閥門、孔板等流量測量計(jì)的流動(dòng)。由于流體充滿通道截面，不存在自由面，因此起主要作用的力是慣性力和通道截面，不存在自由面，因此起主要作用的力是慣性力和粘性力，雷諾數(shù)是重要的決定性準(zhǔn)則數(shù)，而無需考慮韋伯?dāng)?shù)粘性力，雷諾數(shù)是重要的決定性準(zhǔn)則數(shù)，而無需考慮韋伯?dāng)?shù)和弗勞德數(shù)的影響；如果流動(dòng)速度與音速相比很低和弗勞德數(shù)的影響；如果流動(dòng)速度與音速相比很低(Ma 0.3)則壓縮性影響可以忽略不計(jì)，也不必考

55、慮馬赫數(shù)影響。當(dāng)感則壓縮性影響可以忽略不計(jì)，也不必考慮馬赫數(shù)影響。當(dāng)感興趣的待測量是一段管長的壓強(qiáng)降落時(shí)，則非定性準(zhǔn)則數(shù)可興趣的待測量是一段管長的壓強(qiáng)降落時(shí)，則非定性準(zhǔn)則數(shù)可表示為表示為p/(pV2)，于是在滿足幾何相似的條件下，準(zhǔn)則方程于是在滿足幾何相似的條件下，準(zhǔn)則方程式可寫為式可寫為 VlfVp239第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似雷諾數(shù)相等，雷諾數(shù)相等， (Vl/) m = (Vl/) p，要求，要求 pmpmppmmVllV當(dāng)選用相同的流體時(shí)當(dāng)選用相同的流體時(shí)(m= p， m=p)，上式簡化為，上式簡化為 lpmVV如采用小于如采用小于1的線性比例因數(shù)，則要求模型流

56、動(dòng)速度高于實(shí)物的線性比例因數(shù)，則要求模型流動(dòng)速度高于實(shí)物流動(dòng)速度。滿足動(dòng)力相似時(shí)有流動(dòng)速度。滿足動(dòng)力相似時(shí)有 pmVpVp 2240第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似實(shí)物流動(dòng)的壓強(qiáng)降落實(shí)物流動(dòng)的壓強(qiáng)降落 mmpmpppVVp2 在圓管摩擦壓降實(shí)驗(yàn)中，一個(gè)有趣的現(xiàn)象是當(dāng)雷諾數(shù)很在圓管摩擦壓降實(shí)驗(yàn)中，一個(gè)有趣的現(xiàn)象是當(dāng)雷諾數(shù)很高時(shí)量綱為一的壓強(qiáng)降落不再是雷諾數(shù)的函數(shù)，而只取決于高時(shí)量綱為一的壓強(qiáng)降落不再是雷諾數(shù)的函數(shù)，而只取決于管壁的相對粗糙度管壁的相對粗糙度/D，式中式中D是管道內(nèi)徑，即流動(dòng)處于穆迪是管道內(nèi)徑，即流動(dòng)處于穆迪圖的粗糙區(qū)圖的粗糙區(qū)(第第5章圖章圖5.28)。這是因?yàn)?/p>

57、，雷諾數(shù)很高意味著慣。這是因?yàn)?，雷諾數(shù)很高意味著慣性力遠(yuǎn)大于粘性力，因此可以忽略粘性力的影響，于是模型性力遠(yuǎn)大于粘性力，因此可以忽略粘性力的影響，于是模型與實(shí)物流動(dòng)的動(dòng)力相似不再與雷諾數(shù)有關(guān)。稱這種情形為與實(shí)物流動(dòng)的動(dòng)力相似不再與雷諾數(shù)有關(guān)。稱這種情形為自自?；癄顟B(tài)模化狀態(tài)，在自模化區(qū)壓強(qiáng)降落與速度的平方成正比，因此，在自?；瘏^(qū)壓強(qiáng)降落與速度的平方成正比，因此也稱也稱阻力平方區(qū)阻力平方區(qū)。一個(gè)流動(dòng)進(jìn)入自?；瘏^(qū)的臨界雷諾數(shù)無法。一個(gè)流動(dòng)進(jìn)入自?；瘏^(qū)的臨界雷諾數(shù)無法預(yù)先知道，通常需通過實(shí)驗(yàn)確定。預(yù)先知道，通常需通過實(shí)驗(yàn)確定。 41第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似物體繞流物體繞流

58、模型實(shí)驗(yàn)也廣泛地用來研究完全浸沒在運(yùn)動(dòng)流體中的物模型實(shí)驗(yàn)也廣泛地用來研究完全浸沒在運(yùn)動(dòng)流體中的物體的流動(dòng)特性。研制任何飛機(jī)，包括軍用飛機(jī)、民用飛機(jī)以體的流動(dòng)特性。研制任何飛機(jī)，包括軍用飛機(jī)、民用飛機(jī)以及航天飛機(jī)，都必須首先在風(fēng)洞中進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)以測試其各及航天飛機(jī)，都必須首先在風(fēng)洞中進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)以測試其各項(xiàng)飛行性能；當(dāng)汽車速度達(dá)到項(xiàng)飛行性能；當(dāng)汽車速度達(dá)到180 km/h時(shí)，空氣阻力可占總時(shí)，空氣阻力可占總阻力的阻力的1/3，對小汽車模型進(jìn)行風(fēng)洞試驗(yàn)，優(yōu)化車輛外形，可，對小汽車模型進(jìn)行風(fēng)洞試驗(yàn)，優(yōu)化車輛外形，可使氣動(dòng)阻力減小使氣動(dòng)阻力減小75%；對于橋梁、電視塔、高層建筑群等，；對于橋梁、電視塔

59、、高層建筑群等，則需要進(jìn)行針對建筑物模型的風(fēng)荷載試驗(yàn)；大型工廠、礦山則需要進(jìn)行針對建筑物模型的風(fēng)荷載試驗(yàn)；大型工廠、礦山群等，也要在風(fēng)洞中進(jìn)行防止污染物擴(kuò)散的模型試驗(yàn)。群等，也要在風(fēng)洞中進(jìn)行防止污染物擴(kuò)散的模型試驗(yàn)。 與通道內(nèi)流動(dòng)相類似，風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)中也不存在自由面，無與通道內(nèi)流動(dòng)相類似，風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)中也不存在自由面，無需考慮韋伯?dāng)?shù)和弗勞德數(shù)的影響，如果流速很低，同樣不必需考慮韋伯?dāng)?shù)和弗勞德數(shù)的影響，如果流速很低，同樣不必考慮馬赫數(shù)影響，因此決定性準(zhǔn)則數(shù)也是雷諾數(shù)。如果感興考慮馬赫數(shù)影響，因此決定性準(zhǔn)則數(shù)也是雷諾數(shù)。如果感興趣的待測量是物體受到的阻力趣的待測量是物體受到的阻力FD，可表示成阻力因數(shù)的形

60、式，可表示成阻力因數(shù)的形式 42第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似AUFCDD221式中式中，U是氣流速度是氣流速度，A是物體的某一代表性面積，如物體表是物體的某一代表性面積，如物體表面在來流方向的投影面積，稱為迎風(fēng)面積。于是在滿足幾何面在來流方向的投影面積，稱為迎風(fēng)面積。于是在滿足幾何相似的條件下，準(zhǔn)則方程式可寫為相似的條件下，準(zhǔn)則方程式可寫為 UlfAUFD221當(dāng)滿足雷諾數(shù)相似時(shí)有當(dāng)滿足雷諾數(shù)相似時(shí)有pDmDAUFAUF222121(7.23a)43第七章第七章 量綱分析與動(dòng)力相似量綱分析與動(dòng)力相似mDmpmpmppDFUUAAF,2,與上節(jié)相同，雷諾數(shù)相似要求與上節(jié)相同