函數(shù)的微分1PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1函數(shù)的微分函數(shù)的微分1實(shí)例實(shí)例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 變到變到設(shè)邊長由設(shè)邊長由,20 xA 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且為且為的線性函數(shù)的線性函數(shù)Ax .,很小時(shí)可忽略很小時(shí)可忽略當(dāng)當(dāng)?shù)母唠A無窮小的高階無窮小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 02.4.1 2.4.1 微分的定義微分的定義第1頁/共32頁再如再如,.,03yxxxy 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量時(shí)時(shí)為為處的改變量處的改變量在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)

2、函數(shù)3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng) x .320 xxy ),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計(jì)算又是較好的近似值既容易計(jì)算又是較好的近似值問題問題: :這個(gè)線性函數(shù)這個(gè)線性函數(shù)(改變量的主要部分改變量的主要部分)是否所有函數(shù)的改變量都有是否所有函數(shù)的改變量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?第2頁/共32頁定義定義2.32.3設(shè)函數(shù)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 處有導(dǎo)數(shù)，則稱為在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，則稱為在點(diǎn)處的微分，記作，即處的微分，記作，即)(0 xf xxf)(0)(xfy )(xfy 0 x0 xydxxfy)(d0，(2.4

3、.2)此時(shí)，稱此時(shí)，稱 在點(diǎn)在點(diǎn) 處是可微的處是可微的.)(xfy 0 0 x例如，函數(shù)例如，函數(shù) 在點(diǎn)處的微分為在點(diǎn)處的微分為3xy 2xxxxxxyxx123)(d2223第3頁/共32頁函數(shù)在任意點(diǎn)的微分，叫做函數(shù)的微分，記作函數(shù)在任意點(diǎn)的微分，叫做函數(shù)的微分，記作)(xfy xxxfy)(d(2.4.3)如果將自變量當(dāng)作自己的函數(shù)，則有如果將自變量當(dāng)作自己的函數(shù)，則有xxy xxxyx)(dd，說明自變量的微分就等于它的改變量，于是函數(shù)的微分可以寫成說明自變量的微分就等于它的改變量，于是函數(shù)的微分可以寫成xdx第4頁/共32頁xxfyd)(d，(2.4.4)即即xyxfdd)(， (2

4、.4.5)也就是說，函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此，導(dǎo)數(shù)又叫也就是說，函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此，導(dǎo)數(shù)又叫微商微商xdyd第5頁/共32頁解解221)01. 01 (y11020. 11020. 0；xyy) 1 (d01. 01202. 0.可見可見yyd.例例1 1求函數(shù)在，時(shí)的改變總量及微分求函數(shù)在，時(shí)的改變總量及微分2xy 1x01. 0 x第6頁/共32頁)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 幾何意義幾何意義:(如圖如圖).,對應(yīng)的增量對應(yīng)的增量就是切線縱坐標(biāo)就是切線縱坐標(biāo)坐標(biāo)增量時(shí)坐標(biāo)增量時(shí)是曲線的縱是曲線的縱當(dāng)當(dāng)dyy

5、 xx0 P .,MNMPMx可近似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段的附近的附近在點(diǎn)在點(diǎn)很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng) 第7頁/共32頁dxxfdy)( 求法求法: : 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.1.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 2.4.2 2.4.2 微分的計(jì)算微分的計(jì)算第8頁/共32頁dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxx

6、ddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( arc第9頁/共32頁2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 第10頁/共32頁例例2 2 求下列函數(shù)的微分：求下列函數(shù)的微分：(1) ；xxy23exy1arctan(2)解解(1)23(ee2e3222322xxxxyxxxxxxxyyxd)23(edd22所以所以 (2)22211111xxxy，21ddxxy第11頁/共32頁例

7、例3 3解解.),ln(2dyexyx求求設(shè)設(shè) ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 第12頁/共32頁例例4 4解解.,cos31dyxeyx求求設(shè)設(shè) )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 第13頁/共32頁;)(,)1(dxxfdyx 是自變量時(shí)是自變量時(shí)若若則則微函數(shù)微函數(shù)的可的可即另一變量即另一變量是中間變量時(shí)是中間變量時(shí)若若),(,)2(txtx ),()(xfxfy 有導(dǎo)數(shù)有導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)dttxfdy)()

8、( ,)(dxdtt .)(dxxfdy 結(jié)論結(jié)論：的微分形式總是的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,xfyx 微分形式的不變性微分形式的不變性dxxfdy)( 2.4.3 2.4.3 微分形式的不變性微分形式的不變性第14頁/共32頁例例5 5解解.),12sin(dyxy求求設(shè)設(shè) . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 第15頁/共32頁例例6 6解解.,sindybxeyax求求設(shè)設(shè) )(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdxbxe

9、axax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 第16頁/共32頁利用微分可以進(jìn)行近似計(jì)算利用微分可以進(jìn)行近似計(jì)算.這個(gè)公式可以直接用來計(jì)算函數(shù)增量的近似值這個(gè)公式可以直接用來計(jì)算函數(shù)增量的近似值由微分的定義知，當(dāng)很小時(shí)，有近似公式由微分的定義知，當(dāng)很小時(shí)，有近似公式xxxfyy)(d)()(xfxxfy，xxfxfxxf)()()(，2.4.4 2.4.4 微分的應(yīng)用微分的應(yīng)用第17頁/共32頁xxfxfxxf)()()(即即這個(gè)公式則可以用來計(jì)算函數(shù)在某一點(diǎn)附近的函數(shù)值的近似值這個(gè)公式則可以用來計(jì)算函數(shù)在某一點(diǎn)附近的函數(shù)值的近似值第18頁/共32頁例例7 7.計(jì)計(jì)算算下

10、下列列各各數(shù)數(shù)的的近近似似值值0.0553(1)0.95(2)8.02 (3) e55415xxx5(1)( )0.9 5 f xxx將問題看成求函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值的近似值問題，解：由公式得1,0.05 令 xx()( )( ),f xxf xfxx 第19頁/共32頁50.9555411( 0.05)5 110.01 0.99510 05 (.)第20頁/共32頁3(2) ( )8.02f xxx將將問問題題看看成成求求函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的函函數(shù)數(shù)值值的的近近似似值值問問題題，由由公公式式得得33213xxx333218.0280.023 8()( )( ),f xxf xfxx 8,0

11、.02xx 令令0.01262.0017 第21頁/共32頁(3) ( )0.05xf xex將將問問題題看看成成求求函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的函函數(shù)數(shù)值值的的近近似似值值問問題題，由由公公式式得得xxeex0.05000.05eee()( )( ),f xxf xfxx 0,0.05xx 令令11 0.05 1.05 第22頁/共32頁?,05. 0,10問問面面積積增增大大了了多多少少厘厘米米半半徑徑伸伸長長了了厘厘米米的的金金屬屬圓圓片片加加熱熱后后半半徑徑例例8 8解解,2rA 設(shè)設(shè).05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rr2AdArr 05. 0102 ).(2厘米厘米 第23頁/共32

12、頁練習(xí)練習(xí) 1.求下列函數(shù)的微分：求下列函數(shù)的微分：22arctan2(1) cos (2) ln(1)(3) sin (4) sinln1(5) cos2 (6) 1(7) ln (8) 5sin2(9) sin (10) xaxxxyxyeyebxyxxxyxxyxyxyxyexyx第24頁/共32頁22321(1) (2) 1(3) (4) 1(5) cos (6) (7) (8) 3(9) ( xxxdxda dxdxedxdx dxdxdxdddxxdxdxdxdxde d x22) (10) sec()22xxdd2.在括號內(nèi)填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使下列等式成立。在括號內(nèi)填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，

13、使下列等式成立。第25頁/共32頁24sin411(11) (12) cos(13) () (4 ) (14) ln(32) (32) (15) (sin4 ) (4 ) ( )xxddxddxxxd edxdxdxdxdxdedxdxd x第26頁/共32頁解解f ( x )x 3設(shè)設(shè)3.求求 的近似值。的近似值。31.02( .) 2331110 023 f ( x )x 2313則則 x, x. 010 02已已知知 f(xx )f(x )f (x ) x 000應(yīng)應(yīng)用用公公式式3 f(xx ).f(x )f (x ) x 0001 02第27頁/共32頁4.有一半徑有一半徑 的金屬球，

14、加熱后半徑增的金屬球，加熱后半徑增大了大了0.001cm，問球的體積約增加了多少？，問球的體積約增加了多少？解解34( )3vf RR0 (),ydyfxx 由由公公式式得得34 3vdvRR 24 RR2100.001 4100.001RRv 0.431.2566()cm于是球的體積約增加了于是球的體積約增加了1.2566cm310Rcm第28頁/共32頁微分學(xué)所要解決的兩類問題微分學(xué)所要解決的兩類問題:函數(shù)的變化率問題函數(shù)的變化率問題函數(shù)的增量問題函數(shù)的增量問題微分的概念微分的概念導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué)研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué),叫做叫做微分學(xué)微分學(xué).導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:.可微可微可導(dǎo)可導(dǎo) 第29頁/共32頁導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別:.,)(),()(. 100000它是無窮小它是無窮小實(shí)際上實(shí)際上的定義域是的定義域是它它的線性函數(shù)的線性函數(shù)是是而