函數(shù)的連續(xù)性67679PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性676791. 變量的改變量變量的改變量 設(shè)變量設(shè)變量 t 從初值從初值t0改變到終值改變到終值t1,則稱終值與初值之差則稱終值與初值之差 t1 - - t0為變量為變量 t 的的改變量改變量(也稱為也稱為增量增量),記為記為D Dt= t1 - - t0 D Dt是個完整的記號，不是是個完整的記號，不是D D與與t的乘積的乘積. 改變量可以是正的改變量可以是正的,也可以是負(fù)的也可以是負(fù)的,也可以為零也可以為零.注注x0+Dxx0 xoyD DxD Dyy=f (x)圖圖1D DxD Dyx0+D Dxx0 xoyy=g(x)圖圖2第1頁/共29頁，函數(shù)的相應(yīng)改

2、變量函數(shù)的相應(yīng)改變量時時處的改變量處的改變量自變量在自變量在如果如果0,00D DD Dyxx2. 連續(xù)函數(shù)的概念連續(xù)函數(shù)的概念定義定義2.12,)(0的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxfy 0)()(limlim0000 - -D D D DD DD Dxfxxfyxx即有即有)(xf則稱函數(shù)則稱函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在點在點0 x的的為為并稱并稱)(,0 xfx連續(xù)點連續(xù)點包括包括x0點點 定義定義2.13)()(lim,)(000 xfxfxxfyxx 如果如果的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf則稱函數(shù)則稱函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在點在點0 x的的為為并稱并稱)

3、(,0 xfx連續(xù)點連續(xù)點增量式定義增量式定義極限式定義極限式定義第2頁/共29頁 根據(jù)定義根據(jù)定義2.13可知可知,如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在點在點x0處連續(xù)處連續(xù),那么必須同時滿足三個條件那么必須同時滿足三個條件:注注1)()(lim00 xfxfxx 有定義；有定義；在點在點0)(1)xxf存在；存在；)(lim(2)0 xfxx).()(lim(3)00 xfxfxx xfxxfxx0lim,0則有則有處連續(xù)處連續(xù)在在若若)(0 xf注注2換順序換順序符號與函數(shù)符號可以交符號與函數(shù)符號可以交即對于連續(xù)函數(shù)，極限即對于連續(xù)函數(shù)，極限)lim(0 xfxx 第3頁/共29頁左連續(xù)與右連

4、續(xù)左連續(xù)與右連續(xù)關(guān)系關(guān)系處單側(cè)極限與函數(shù)值的處單側(cè)極限與函數(shù)值的僅考慮僅考慮0 x處處在點在點，則稱，則稱如果如果00)()()(lim0 xxfxfxfxx - -;左左連連續(xù)續(xù)處處在點在點，則稱，則稱如果如果00)()()(lim0 xxfxfxfxx .右連續(xù)右連續(xù) 由定義由定義2.13及左右極限與極限的關(guān)系及左右極限與極限的關(guān)系,可以得到這可以得到這樣一個結(jié)論樣一個結(jié)論:處連續(xù)處連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)0)(xxf又右連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)處既左連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)0)(xxf)()(lim00 xfxfxx )()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx - -第4頁/共29頁則在則在

5、0處連續(xù)了嗎？處連續(xù)了嗎？ .10. 1,4, 10,1, 0,cos22122處的連續(xù)性處的連續(xù)性和和在在討論函數(shù)討論函數(shù) - - - - xxxxxxxxxxf例例處）處）在在、 01解解 - - - 00limlimxxxf - -2cos22xx, 1 .0,0lim0處連續(xù)處連續(xù)在在故故從而從而 xxffxfx , 1lim0 xfx , 10 f又又 00limlimxxxf 21x , 1 第5頁/共29頁 .10. 1,4, 10,1, 0,cos22122處的連續(xù)性處的連續(xù)性和和在在討論函數(shù)討論函數(shù) - - - - xxxxxxxxxxf例例處）處）在在、 01解解 - -

6、- 00limlimxxxf - -2cos22xx1 .0處連續(xù)處連續(xù)在在故故 xxf ,0處即左連續(xù)又右連續(xù)處即左連續(xù)又右連續(xù)在在即即 xf ,0f 00limlimxxxf 21x 1 ,0f 第6頁/共29頁處）處）在在、 12 , 21limlim211 - - -xxfxx ,lim1不存在不存在xfx .1處不連續(xù)處不連續(xù)在在故故 xxf .10. 1,4, 10,1, 0,cos22122處的連續(xù)性處的連續(xù)性和和在在討論函數(shù)討論函數(shù) - - - - xxxxxxxxxxf例例 , 34limlim11 - - xxfxx第7頁/共29頁區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)定義定義2

7、.14 ),()(,1baCxfbaxf內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在開區(qū)間在開區(qū)間稱稱） .,內(nèi)每一點連續(xù)內(nèi)每一點連續(xù)在在baxf ,)(,2baCxfbaxf上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間稱稱） 且且內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在,baxf., 處左連續(xù)處左連續(xù)處右連續(xù)處右連續(xù)在在ba第8頁/共29頁3.函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點v間斷點的定義間斷點的定義 顯然顯然,如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在點在點x0處有下列三種情形之處有下列三種情形之一一,則則f(x)在點在點x0間斷間斷:處沒有有定義；處沒有有定義；在點在點函數(shù)函數(shù)0)(1)xxf不存在；不存在；但但處有定義處有定義在在雖然雖然)(lim,)(2)00 xfxxf

8、xx).()(lim,)(lim,)(3)0000 xfxfxfxxfxxxx 但但存在存在且且處有定義處有定義在在雖然雖然,)(0處不滿足連續(xù)的條件處不滿足連續(xù)的條件在點在點如果函數(shù)如果函數(shù)xxfy 處處則稱函數(shù)在點則稱函數(shù)在點0 x間斷間斷稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的點點0,x間斷點間斷點)(或或不連續(xù)點不連續(xù)點第9頁/共29頁.0,0該函數(shù)的間斷點該函數(shù)的間斷點是是所以所以處沒有定義處沒有定義在在 xxxxy1sin2 函數(shù)函數(shù)例例第10頁/共29頁0y=x+1xy,0,00,1)(3 xxxxfy設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)例例),0()(lim, 0)0(, 1)1(lim00fxffxxx 而而是該函數(shù)的

9、間斷點是該函數(shù)的間斷點)(lim0 xfx因為因為0 x所以所以第11頁/共29頁x 0函數(shù)函數(shù)f(x)的間斷點的間斷點. - - 0, 10, 00, 1)(4xxxxxxf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)例例 - -)(lim0 xfx1)1(lim0- - - - -xx )(lim0 xfx1)1(lim0 xx)(lim)(lim00 xfxfxx - - ,)(lim0不存在不存在xfx第12頁/共29頁是函數(shù)的間斷點，是函數(shù)的間斷點，處沒有定義，所以點處沒有定義，所以點在在22 xxxytan5 正切函數(shù)正切函數(shù)例例第13頁/共29頁4. 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算;,00處連續(xù)處連續(xù)也在

10、也在則則處連續(xù)處連續(xù)均在均在若函數(shù)若函數(shù)xgfgfxgf .,000處連續(xù)處連續(xù)也在也在時時且當(dāng)且當(dāng)xgfxg .,續(xù)續(xù)函數(shù)均在其定義域內(nèi)連函數(shù)均在其定義域內(nèi)連多項式函數(shù)，有理分式多項式函數(shù)，有理分式從而從而 基本初等函數(shù)在其基本初等函數(shù)在其定義域定義域內(nèi)處處連續(xù)內(nèi)處處連續(xù), ,初等函數(shù)在其初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間（含在定義域內(nèi)的最大區(qū)間（含在定義域內(nèi)的最大區(qū)間) )內(nèi)處處連續(xù)，其內(nèi)處處連續(xù)，其中區(qū)間端點處的連續(xù)性是指相應(yīng)的單側(cè)連續(xù)性中區(qū)間端點處的連續(xù)性是指相應(yīng)的單側(cè)連續(xù)性. .注注第14頁/共29頁 因為因為f(x)在在(,2), (2, +)內(nèi)可分段地表示為初等函數(shù)，所以內(nèi)可分段地表示

11、為初等函數(shù)，所以f(x)在在(,2) (2, +)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). 解解 f(x)的定義域為的定義域為(,+)，在其定義域內(nèi)的連續(xù)性在其定義域內(nèi)的連續(xù)性討論函數(shù)討論函數(shù) - - - -2,sin2,1)(621xxxexfx 例例, 1)2(,2 fx處處在在1)1(lim)(lim2122 - - - - - -xxxexf且且1sinlim)(lim22 xxfxx ,2)(,處連續(xù)處連續(xù)在在可見可見 xxf),()(- Cxf故故第15頁/共29頁習(xí)習(xí)復(fù)復(fù)第二個重要極限第二個重要極限exxx )11(lim exxx )(10)()(1lim 型型 1 bvvauu limlimlim函數(shù)

12、在某一點連續(xù)函數(shù)在某一點連續(xù)0)()(limlim0000 - -D D D DD DD Dxfxxfyxx)()(lim00 xfxfxx 增量式定義增量式定義極限式定義極限式定義)(0連續(xù)連續(xù)在點在點xxf第16頁/共29頁函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在點在點x0處有下列三種情形之一處有下列三種情形之一,則則f(x)在點在點x0間斷間斷:處沒有定義；處沒有定義；在點在點函數(shù)函數(shù)0)(1)xxf不存在；不存在；但但處有定義處有定義在在雖然雖然)(lim,)(2)00 xfxxfxx).()(lim,)(lim,)(3)0000 xfxfxfxxfxxxx 但但存在存

13、在且且處有定義處有定義在在雖然雖然第17頁/共29頁 基本初等函數(shù)在其基本初等函數(shù)在其定義域定義域內(nèi)處處連續(xù)內(nèi)處處連續(xù), ,初等函數(shù)在其初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間（含在定義域內(nèi)的最大區(qū)間（含在定義域內(nèi)的最大區(qū)間) )內(nèi)處處連續(xù)，其內(nèi)處處連續(xù)，其中區(qū)間端點處的連續(xù)性是指相應(yīng)的單側(cè)連續(xù)性中區(qū)間端點處的連續(xù)性是指相應(yīng)的單側(cè)連續(xù)性. . 在討論分段函數(shù)的連續(xù)性時在討論分段函數(shù)的連續(xù)性時, 可利用初等函數(shù)的連續(xù)可利用初等函數(shù)的連續(xù)性性, 分段說明函數(shù)在各個分段子區(qū)間上分段說明函數(shù)在各個分段子區(qū)間上（不包括分段點）（不包括分段點）的連續(xù)性的連續(xù)性.分段點處的連續(xù)性，一定要按連續(xù)性的定義進(jìn)分段點處的連續(xù)性

14、，一定要按連續(xù)性的定義進(jìn)行討論行討論第18頁/共29頁v利用連續(xù)性求極限舉例利用連續(xù)性求極限舉例xxx)1ln(lim70 求求例例0,)1ln( xxxxxxxxx100)1ln(lim)1ln(lim 解解)1(limln10 xxx )1(limln10 xxx 1ln e第19頁/共29頁：常用的等價無窮小量有常用的等價無窮小量有xex1- -xx )1ln( xx arctanxx tanxx sinxx arcsinaxaxln1- -xx 1)1(- - 練習(xí)練習(xí)1sintanlim)2(3sin0- - -xxexx)1ln(1lim)1(20 xxxx 221cos1xx-

15、-0 x)!(xx 均可換為無窮小量均可換為無窮小量其中其中第20頁/共29頁xxxx10)21(lim8 求求例例)22(210102)21(lim)21(lim xxxxxxxx解解 12)22(lim21020)21(limexxxxx xxx- -1121)(lim9 求求例例xxxxxxxx- - - - - - - 111120112122)11(lim)(lim解解211lim1121212)11(lim- - - - - - - exxxxxx 1第21頁/共29頁xxx2cot20)(seclim10求求例例xxx2cot20)(seclim解解xxx2cot20)tan1(

16、lim exxx 2tan120)tan1(lim 1第22頁/共29頁 小值小值上必能取得最大值和最上必能取得最大值和最在在則則若若baxfbaCxfy, 5. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理定理2.15 (最值定最值定理理).,)(, ,)(上有界上有界在在則則設(shè)設(shè)baxfbaCxf 定理定理2.14第23頁/共29頁內(nèi)有解”內(nèi)有解”“閉區(qū)間連續(xù)則開區(qū)間“閉區(qū)間連續(xù)則開區(qū)間該定理可概括為該定理可概括為定理定理2.16 (介值定理介值定理)b12amMc 在此區(qū)間在此區(qū)間并記并記設(shè)設(shè)xfbaCxf, ,McmmM ，則對任意，則對任意和和上的最大最小值分別為上的最大最小值分

17、別為 使得使得內(nèi)必至少存在一點內(nèi)必至少存在一點在在, ba cf 注注零值定理零值定理bamM第24頁/共29頁推論推論 (零值定理零值定理)()(,)(bfafbaCxfy和和且且設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 使得使得則至少存在一點則至少存在一點即即異號異號),(),0)()(babfaf 0)( f注注1注注2 即即個方法個方法內(nèi)有根的一內(nèi)有根的一在在程程零值定理提供了判定方零值定理提供了判定方,0baxf baCfbfaf, 0 且且在端點處有在端點處有.,否則結(jié)論未必成立否則結(jié)論未必成立“連續(xù)于閉區(qū)間”“連續(xù)于閉區(qū)間”要求要求介值定理及零值定理均介值定理及零值定理均第25頁/共29頁 .2 , 112

18、115內(nèi)至少有一個實根內(nèi)至少有一個實根在在證明方程證明方程 - -xx例例確定閉區(qū)間確定閉區(qū)間構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)函數(shù),10證證 2 , 1, 125 - - - xxxxf令令逐條驗證條件逐條驗證條件02 ,2 , 11Cxf 顯然初等函數(shù)顯然初等函數(shù)）則則 , 021,272, 212 - - ffff故故）并還原為原命題并還原為原命題準(zhǔn)確寫出結(jié)論準(zhǔn)確寫出結(jié)論,30 , 0,2 , 1, f使得使得內(nèi)至少一根內(nèi)至少一根在在從而從而, 0)()(,)( bfafbaCxfy且且設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)使得使得則至少存在一點則至少存在一點),(ba 0)( f(零值定理零值定理) .2 , 1125內(nèi)至少有一個實根內(nèi)至少有一個實根在在即方程即方程 - -xx第26頁/共29頁.)()(),(),()(),()(,)()(12至少有一個交點至少有一個交點和和內(nèi)內(nèi)則在則在且且上連續(xù)上連續(xù)在在和和設(shè)設(shè)xgxfbabgbfagafbaxgxf 例例),()()(xgxfxh- - 設(shè)設(shè)證證，且，且則則,)(baCxh 0)()()(, 0)()()( - - - - bgbfbhagafah0)()()(,),(