函數(shù)的連續(xù)性66858PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性66858設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點在點0 x的某一領(lǐng)域內(nèi)有的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義定義1定義定義.個領(lǐng)域內(nèi)從個領(lǐng)域內(nèi)從0 x變到變到 )時時,xx 0相應(yīng)地相應(yīng)地, 函數(shù)函數(shù))(xfy 從從)(0 xf變到變到),(0 xxf 則稱則稱)()(00 xfxxfy 為函數(shù)為函數(shù))(xfy 的對應(yīng)的對應(yīng)增量增量當(dāng)自變量當(dāng)自變量x在在0 x處取得增量處取得增量x (即即 x在這在這第1頁/共27頁連續(xù)函數(shù)的概念連續(xù)函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在點在點0 x的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義.定義定義2如果當(dāng)自變量在點如果當(dāng)自變量在點 的增量的增量 趨于零時趨于零時,

2、0 xx 函數(shù)函數(shù))(xfy 對應(yīng)的增量對應(yīng)的增量y 也趨于零也趨于零, 即即0lim0 yx或或, 0)()(lim000 xfxxfx則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在在 處處連續(xù)連續(xù),)(xf0 x0 x稱為稱為 的的連續(xù)點連續(xù)點.)(xf注注: 該定義表明該定義表明, 函數(shù)在一點連續(xù)的本質(zhì)特征是函數(shù)在一點連續(xù)的本質(zhì)特征是:自自變量變化很小時變量變化很小時, 對應(yīng)的函數(shù)值的變化也很小對應(yīng)的函數(shù)值的變化也很小.第2頁/共27頁例如例如, 函數(shù)函數(shù) 在點在點 處是來連續(xù)的處是來連續(xù)的,2xy 20 x因為因為 )2()2(limlim00fxfyxx 2202)2(lim xfx 20)(4limxxx

3、在定義在定義2中中, 若令若令,0 xxx 即即,0 xxx 則當(dāng)則當(dāng) 時時,0 x即當(dāng)即當(dāng) 時時,0 xx 有有).()()()(000 xfxfxfxxfy 第3頁/共27頁因而因而, 函數(shù)在點函數(shù)在點 處連續(xù)的定義又可敘述如下處連續(xù)的定義又可敘述如下:0 x定義定義3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點在點0 x的某一個領(lǐng)域內(nèi)的某一個領(lǐng)域內(nèi)有定義有定義. 如果函數(shù)如果函數(shù) 當(dāng)當(dāng) 時的極限存在時的極限存在,)(xf0 xx 且等于它在點且等于它在點0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值),(0 xf即即),()(lim00 xfxfxx 則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf在點在點x處處連續(xù)連續(xù).第4頁/共27頁例例

4、1試證函數(shù)試證函數(shù) 0, 00,1sin)(xxxxxf在在0 x處連續(xù)處連續(xù).證證, 01sinlim0 xxx又又, 0)0( f),0()(lim0fxfx 由定義由定義2知，知，函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處連續(xù)處連續(xù).第5頁/共27頁函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)若函數(shù)若函數(shù))(xf在在,(0 xa內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,且且)(lim0 xfxx ),(0 xf 則稱則稱)(xf在點在點0 x處處左連續(xù)左連續(xù);若函數(shù)若函數(shù))(xf在在),0bx內(nèi)有定義內(nèi)有定義, , 且且)(lim0 xfxx ),(0 xf 則稱則稱)(xf在點在點0 x處處右連續(xù)右連續(xù). .定理定理1 函

5、數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處連續(xù)的充要條件是處連續(xù)的充要條件是函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù). .第6頁/共27頁例例 2討論討論 0, 20, 2)(xxxxxf在在0 x處的連續(xù)性處的連續(xù)性.解解 2lim)(lim00 xxfxx右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù), ,),0(2f 2lim)(lim00 xxfxx),0(2f 故函數(shù)故函數(shù))(xf在點在點0 x處不連續(xù)處不連續(xù). .第7頁/共27頁例例 3已知函數(shù)已知函數(shù) 0,20, 1)(2xbxxxxf在點在點0 x處連續(xù)，處連續(xù)， 求求b的值的值.解解)(lim0 xfx , 1 )(lim0 xfx

6、 , b 因為因為)(xf點點0 x處連續(xù)，處連續(xù)， 則則 )(lim0 xfx),(lim0 xfx 即即. 1 b)1(lim20 xx)2(lim0bxx 第8頁/共27頁連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù)的函數(shù), ,叫做在該區(qū)間內(nèi)叫做在該區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù), ,或者說函數(shù)在該或者說函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)連續(xù)區(qū)間內(nèi)連續(xù). .如果函數(shù)在開區(qū)間如果函數(shù)在開區(qū)間),(ba內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), , 并且在左端點并且在左端點ax 處右連續(xù)處右連續(xù), ,在右端點在右端點bx 處左連續(xù)處左連續(xù), ,則稱則稱連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是

7、一條連續(xù)而不間斷的曲線. .例如例如, ,有理整函數(shù)在區(qū)間有理整函數(shù)在區(qū)間),(內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)的. .函數(shù)函數(shù))(xf在在閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù). ., ,第9頁/共27頁例例 4證證),( xy ,2cos2sin2 xxx12cos xx2sin2x . 0 y即函數(shù)即函數(shù)對任意對任意都是連續(xù)的都是連續(xù)的.xysin ),( x證明函數(shù)證明函數(shù)xysin 在區(qū)間在區(qū)間內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù).),( x當(dāng)當(dāng)時，時，0 x y,x xxxsin)sin( 第10頁/共27頁例例 5討論討論 0, 20, 2)(xxxxxf在在0 x處的連續(xù)性處的連續(xù)性.解解 2lim)(lim00 xxfx

8、x, 2 2lim)(lim00 xxfxx, 2 所以所以, , 的左、右極限存在但不相等的左、右極限存在但不相等. .即即)(xf在點在點0 x)(xf在點在點0 x處不連續(xù)處不連續(xù). .函數(shù)函數(shù)第11頁/共27頁例例 6解解討論函數(shù)討論函數(shù) 1,11, 110,2)(xxxxxxf在在處的連續(xù)性處的連續(xù)性.1 x, 1)1( f, 2)01( f. 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f 所以所以 在在 處不連續(xù)處不連續(xù)( )f x1x 第12頁/共27頁例例 7處的連續(xù)性處的連續(xù)性.解解討論函數(shù)討論函數(shù) 0,0,1)(xxxxxf在在0 x,)(lim, 0)(lim00 xf

9、xfxx因為因為在在即即)(xf0 x的右極限不存在的右極限不存在. .第13頁/共27頁例例 8討論函數(shù)討論函數(shù)xxf1sin)( 解解在在0 x處的連續(xù)處的連續(xù)性性.)(xf在在0 x處沒有定義處沒有定義, , 且且xx1sinlim0不存在不存在. .所以所以,0 x 在在函數(shù)函數(shù))(xf處不連續(xù)處不連續(xù). .第14頁/共27頁例例 9a取何值時，取何值時， ,0,0,cos)(xxaxxxf在在0 x處連續(xù)處連續(xù).解解,)0(af )(lim0 xfx )(lim0 xfx xxcoslim0 )(lim0 xax , 1 .a 要使要使),0()00()00(fff 必須必須. 1

10、a故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng)時，時，1 a函數(shù)函數(shù)處連續(xù)處連續(xù).)(xf0 x在在第15頁/共27頁連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算定理定理1若函數(shù)若函數(shù))(),(xgxf在點在點0 x處連續(xù)處連續(xù), ,則則),()(xgxf ),()(xgxf )()(xgxf)0)(0 xg在點在點0 x處也連續(xù)處也連續(xù). .例如例如, ,在在,sin xxcos),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,故故,cossintanxxx ,sincoscotxxx ,cos1secxx xxsin1csc 在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù). .第16頁/共27頁復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理定理3設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xu 在

11、點在點0 x處連續(xù)處連續(xù), ,且且,)(00ux 而函數(shù)而函數(shù))(ufy 在點在點0uu 處連續(xù)處連續(xù),則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù))(xf 在點在點0 x處也連續(xù)處也連續(xù). .例如例如, ,xu1 在在), 0()0 ,(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,函數(shù)函數(shù)uysin 在在),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,函數(shù)函數(shù)xy1sin 在在), 0()0 ,(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .所以所以注注: 根據(jù)這個定理根據(jù)這個定理, 求復(fù)合函數(shù)求復(fù)合函數(shù))(xf 的極限的極限第17頁/共27頁例例 10求求. )1cos(limxxx 解解 xxxxxxx1)1)(1(limcos xxx11limcos0cos .1 )1cos(limx

12、xx 第18頁/共27頁初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性定理定理4一切初級函數(shù)一切初級函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定理定理4的結(jié)論非常重要的結(jié)論非常重要, 因為微積分的研究遇到的因為微積分的研究遇到的函數(shù)基本上是初等函數(shù)函數(shù)基本上是初等函數(shù),其連續(xù)性的條件總是滿足其連續(xù)性的條件總是滿足的的,從而使微積分具有強(qiáng)大的生命力和廣闊的應(yīng)用從而使微積分具有強(qiáng)大的生命力和廣闊的應(yīng)用前景前景. 此外此外,根據(jù)定理根據(jù)定理4, 求初等函數(shù)在其定義區(qū)求初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)某點的極限間內(nèi)某點的極限, 只需求初等函數(shù)在該點的函數(shù)值只需求初等函數(shù)在該點的函數(shù)值即即 00)()(lim0 x

13、xfxfxx定義區(qū)間定義區(qū)間).第19頁/共27頁例例11求求.12lim2 xexx因為因為12 xex是初等函數(shù)是初等函數(shù), 且且20 x是其定是其定義區(qū)間內(nèi)的點義區(qū)間內(nèi)的點, 所以所以12 xex在點在點20 x處連續(xù)處連續(xù),于是于是.512212lim222eexexx 第20頁/共27頁最大值和最小值定理最大值和最小值定理定義定義對于在區(qū)間對于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)),(xf如果如果有有,0Ix 使得對于任一使得對于任一Ix 都有都有)()(0 xfxf )()(0 xfxf 則稱則稱)(0 xf是函數(shù)是函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I上的最大上的最大(小小)值值. .例如例

14、如, ,sin1xy ,2 , 0 x, 2max y. 0min y,sgn xy 在在),(上上, , 1max y. 1min y在在), 0(上上, ,. 1minmax yy第21頁/共27頁定理定理5(最大值和最小值定理最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值.定理定理6(有界性定理有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界一定在該區(qū)間上有界.第22頁/共27頁零點定理零點定理定義定義如果如果0 x使使, 0)(0 xf則則0 x稱為函數(shù)稱為函數(shù))(xf的零點的零點. .定理定理7(零點定理零點

15、定理)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,且且)(af與與)(bf異號異號(即即),0)()( bfaf即至少有即至少有一點一點 ),(ba 使使. 0)( f那么在開區(qū)那么在開區(qū)),(ba內(nèi)至少有函數(shù)內(nèi)至少有函數(shù)間間)(xf的一個零點的一個零點, ,即方程即方程0)( xf在在),(ba內(nèi)至少存在一個實根內(nèi)至少存在一個實根. .第23頁/共27頁例例 12證證證明方程證明方程01423 xx少有一個實根少有一個實根 .令令,14)(23 xxxf則則)(xf在在1, 0上連續(xù)上連續(xù) .又又,01)0( f,02)1( f由零點定理由零點定理 , )1, 0( 使使,0)( f即即.01423 方程方程01423 xx根根. 在區(qū)間在區(qū)間)1, 0(內(nèi)至內(nèi)至在在)1, 0(內(nèi)至少有一個實內(nèi)至少有一個實第24頁/