線性代數(shù)課件--11解線性代數(shù)方程組的消元法

1、線性代數(shù)線性代數(shù)第第1 1章章 線性代數(shù)方程組（消元法）線性代數(shù)方程組（消元法）第第2 2章章 矩陣矩陣第第3 3章章 行列式行列式第第4 4章章 矩陣的秩和線性代數(shù)方程組的解矩陣的秩和線性代數(shù)方程組的解第第5 5章章 向量空間初步向量空間初步第第6 6章章 矩陣特征值問題矩陣特征值問題第第7 7章章 線性變換線性變換第一章第一章 線性代數(shù)方程組（消元法）線性代數(shù)方程組（消元法） 歷史上，線性代數(shù)的第一個問題是關(guān)于解線性代歷史上，線性代數(shù)的第一個問題是關(guān)于解線性代數(shù)方程組的問題數(shù)方程組的問題mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111

2、通過通過消元法消元法解最簡單的二元線性代數(shù)方程討論這解最簡單的二元線性代數(shù)方程討論這一應(yīng)用非常廣泛的課題，從而看出研究矩陣的必然性一應(yīng)用非常廣泛的課題，從而看出研究矩陣的必然性. .1.1 解線性代數(shù)方程組的消元法解線性代數(shù)方程組的消元法 1、 二元線性代數(shù)方程組二元線性代數(shù)方程組2、 高斯高斯若爾當(dāng)消元法若爾當(dāng)消元法線性方程組線性方程組（system of linear equation）線性方程組重要的求解方法是線性方程組重要的求解方法是消元法：消元法：通過對方程組做通過對方程組做同解變形同解變形，使各個方程變成，使各個方程變成分別分別各含一個未知數(shù)，并能求出其值，各含一個未知數(shù)，并能求出

3、其值，從而得到整個方程從而得到整個方程組組的解，這個解當(dāng)然的解，這個解當(dāng)然也可以由數(shù)組表示。也可以由數(shù)組表示。1、 二元線性代數(shù)方程組二元線性代數(shù)方程組首先認(rèn)識首先認(rèn)識二元線性方程二元線性方程，如，如82 yx4323yxyx方程組的方程組的等價變形等價變形有三類：有三類：1.1.交換組內(nèi)任意兩個方程的次序；交換組內(nèi)任意兩個方程的次序；2.2.任意一方程乘一非零常數(shù)；任意一方程乘一非零常數(shù)；3.3.任意一方程兩端乘同一常數(shù)后加到另一方程去任意一方程兩端乘同一常數(shù)后加到另一方程去. .例例 試用方程組等價變形法，解下列方程組試用方程組等價變形法，解下列方程組4323 ) 1 (yxyx26443

4、2 )2(yxyx864432 ) 3(yxyx線性代數(shù)方程組的解有線性代數(shù)方程組的解有三種三種可能的情形：可能的情形：(1)(1)惟一確定的解；惟一確定的解；(2)(2)無解；無解；(3)(3)無限多個解無限多個解. .上例三個二元線性方程組上例三個二元線性方程組解的幾何意義解的幾何意義：2x- -3y= - -4yxox+y=3(a)(a)一對相交直線有一對相交直線有 唯一公共點(diǎn)唯一公共點(diǎn)2x- -3y= - -4yxo-4x+6y= 2(b)(b)一對平行直線無一對平行直線無 公共點(diǎn)公共點(diǎn)2x- -3y= - -4yxo-4x+6y= 8(c)(c)一對重合直線每一一對重合直線每一 點(diǎn)都

5、是公共點(diǎn)點(diǎn)都是公共點(diǎn) 將具有相同未知數(shù)個數(shù)的多個線性方程看成一個將具有相同未知數(shù)個數(shù)的多個線性方程看成一個整體，稱為整體，稱為線性方程組線性方程組. . 若一個方程組含有若一個方程組含有m個方程、個方程、n個未知數(shù)，常簡稱個未知數(shù)，常簡稱為為m n方程組方程組. . m n方程組的解方程組的解應(yīng)是應(yīng)是n維數(shù)組，維數(shù)組，將數(shù)組各分量依將數(shù)組各分量依次代入未知數(shù)時能使次代入未知數(shù)時能使m個方程全部成立個方程全部成立. .2、 高斯高斯若爾當(dāng)消元法若爾當(dāng)消元法(Gauss-Jordan)對有解的方程組，稱為對有解的方程組，稱為相容方程組相容方程組，而稱無解的方程組為而稱無解的方程組為不相容方程組不相

6、容方程組或或矛盾方程組矛盾方程組. 通過三類等價運(yùn)算，先用第通過三類等價運(yùn)算，先用第1個方程，將方個方程，將方程組第程組第1個未知數(shù)在各個方程中的系數(shù)變成只在個未知數(shù)在各個方程中的系數(shù)變成只在第第1個方程中成個方程中成1，其他方程中全為，其他方程中全為0； 再用第再用第2個個方程第方程第2個未知數(shù)在各個方程中的系數(shù)變成只在個未知數(shù)在各個方程中的系數(shù)變成只在第第2個方程中成個方程中成1，其他方程中全為，其他方程中全為0，如此等等。，如此等等。 回顧上例，由于求解過程只是通過方程組回顧上例，由于求解過程只是通過方程組等價運(yùn)等價運(yùn)算變各個方程的系數(shù)算變各個方程的系數(shù)，為簡化計(jì)算，可省寫未知數(shù)，為簡化

7、計(jì)算，可省寫未知數(shù)，用用列表形式列表形式凸現(xiàn)其系數(shù)的變化過程凸現(xiàn)其系數(shù)的變化過程. .將方程的系數(shù)及常數(shù)列抽象成如下表：將方程的系數(shù)及常數(shù)列抽象成如下表：xy常數(shù)列常數(shù)列r1 1113r2 22-3-4表表1 14323yxyx重解方程組重解方程組xy常數(shù)列常數(shù)列r1 1113r2 2 0-5-10表表2 2經(jīng)等價運(yùn)算經(jīng)等價運(yùn)算r1（-2）+r2，得，得xy常數(shù)列常數(shù)列r1 1113r2 2 0-5-10表表2 2經(jīng)運(yùn)算經(jīng)運(yùn)算r2 （-1/5），），得得r1 1113r2 2012表表3 3經(jīng)運(yùn)算經(jīng)運(yùn)算r2 （-1）+ r1， 得得r1 1 101r2 2012此時常數(shù)列位置成為方程組的解此時

8、常數(shù)列位置成為方程組的解 21 這樣求方程組解這樣求方程組解的方法稱為的方法稱為消元法消元法(elimination)或一般稱或一般稱為為高斯高斯- -若爾當(dāng)若爾當(dāng)(Gauss-Jordan)消元法。消元法。例例 用高斯用高斯- -若爾當(dāng)消元法解若爾當(dāng)消元法解3 33 3方程方程組組63329223122zyxzyxzyx例例 用高斯用高斯- -若爾當(dāng)消元法（或若爾當(dāng)消元法（或 G J 消元法）解消元法）解方程組方程組 27313423273zyxzyxzyx在表中對方程組所作的等價運(yùn)算所用記號為：在表中對方程組所作的等價運(yùn)算所用記號為：1. 1. 第第1 1類運(yùn)算記成如類運(yùn)算記成如r r1313，表示將第，表示將第1 1、3 3個方程個方程（即表的第（即表的第1 1、第、第3 3行）交換位置；行）交換位置；2. 2. 對第對第2 2類運(yùn)算記成如類運(yùn)算記成如 ，表示將第，表示將第2 2個方個方)101(2r101程（即表的第程（即表的第2 2行）乘常數(shù)行）乘常數(shù)3. 3. 對第對第3 3類運(yùn)算記成如類運(yùn)算記成如 ，表示將組內(nèi)第，表示將組內(nèi)第1 1)2(21 r 個方程乘常