自動控制原理第四章PPT課件

1、41 根軌跡的基本概念 一、根軌跡圖1.定義：根平面：在一個復(fù)平面（s平面）上標出開環(huán)零、極點，并根據(jù)此描述閉環(huán)極點的性質(zhì)，這個復(fù)平面就稱為根平面。根軌跡：指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)（一般為kg）變化時，閉環(huán)特征根在根平面上所走過的軌跡。)2()2(2) 15 . 0()(sskssKssKsGgKkg22.用解析法繪制根軌跡已知：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 第1頁/共41頁開環(huán)有兩個極點： p1= 0， p2=2 開環(huán)沒有零點。1gkj（1）當 kg = 0時，s1 = 0、s2 = 2，此時閉環(huán)極點就是開環(huán)極點。（2）當0kg1時，s1、s2均為負實數(shù)，且位于負實軸的（2，0） 一段上。（3）當k

2、g = 1時，s1 = s2 = 1，兩個負實數(shù)閉環(huán)極點重合在一起。（4）當1kg時，s1，2 =1 ，兩個閉環(huán)極點變?yōu)橐粚曹棌?fù)數(shù)極點。s1、s2的實部不隨kg變化，其位于過（1，0）點且平行于虛袖的直線上。（5）當kg時， s1 = 1+ j、s2 = 1j，此時s1、s2將趨于無限遠處。 gks111gks112閉環(huán)特征方程為： D(s) = s2 +2s + kg = 0解得閉環(huán)特征根（亦即閉環(huán)極點） ；可見，當kg 變化，兩個閉環(huán)極點也隨之連續(xù)變化。當kg 從0變化時，直接描點作出兩個閉環(huán)極點的變化軌跡（p122表4-1）第2頁/共41頁可根據(jù)根軌跡形狀評價系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能：

3、（1）根軌跡增益kg從0時，根軌跡均在s平面左半部，在所有的kg值下系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。（2）當0kg1時，閉環(huán)特征根為共軛復(fù)根，系統(tǒng)呈欠阻尼狀態(tài),其階躍響應(yīng)為衰減的振蕩過程。（5）有一個為0的開環(huán)極點，系統(tǒng)為型系統(tǒng)，其階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差ess為零。由上述分析過程可知，通過系統(tǒng)的根軌跡圖，可以很方便地對系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能進行分析。不足之處是用直接解閉環(huán)特征方程根的辦法，來繪出系統(tǒng)的根軌跡圖，這對高階系統(tǒng)將是很繁重的和不現(xiàn)實的。為了解決這個問題，依據(jù)反饋系統(tǒng)中開環(huán)、閉環(huán)傳遞函數(shù)的確定關(guān)系，通過開環(huán)傳遞函數(shù)直接尋找閉環(huán)根軌跡正是我們下面要研究的。 第3頁/共41頁二、根軌跡方程 繪制根軌跡的實

4、質(zhì)，在于在s平面尋找閉環(huán)特征根的位置。( )( )( )( )1( )( )C sG ssR sG s H s閉環(huán)傳遞函數(shù)為0)()(1sHsG 1)(sGK閉環(huán)特征方程為 即 1)()()(11njjmiigKpszsksG m個開環(huán)零點 n個開環(huán)極點 （根軌跡方程） kg：根軌跡增益在s平面上凡是滿足上式的任意一個點s1、s2、 s，都是閉環(huán)特征根，即閉環(huán)極點。第4頁/共41頁三、根軌跡的幅值條件方程和相角條件方程 1)()()(11njjmiigKpszsksGjs 為復(fù)數(shù)，故根軌跡方程是一個向量方程。，210k 111njjmiigpszskminjjikpszs11 ) 12()()

5、(幅值條件：相角條件：相角條件方程和kg無關(guān)，s平面上任意一點，只要滿足相角條件方程，則必定同時滿足幅值條件，該點必定在根軌跡上，即對應(yīng)不同的kg時的閉環(huán)極點，相角條件是決定閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的充分必要條件。第5頁/共41頁四、幅值條件和相角條件應(yīng)用 解： 不符合相角條件， s1不在根軌跡上。 s2： 21220()()( 116.6 )( 63.4 )180spsp 滿足相角條件， s2在根軌跡上。1.用相角條件求根軌跡（試探法） minjjikpszs11 ) 12()()(，210k相角條件：( ) (1)gKkGss s) 1, 1(1js ) 1, 5 . 0(2js例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳

6、遞函數(shù)如下，試判斷 ， 是否在根軌跡上。minjjipszs11 )()()()(02111psps) 1(11ss22590135s1： 第6頁/共41頁2. 用幅植條件確定kg的值解：21220.500.511.118 1.1181.25gksp spjj 212111量長度之積各開環(huán)零點至測試點向量長度之積各開環(huán)極點至測試點向mnmiinjjgzszszspspspszspsk幅值條件：) 1, 5 . 0(2js例：求上例中根軌跡上 點對應(yīng)的kg 。22ps 12ps 、 也可以用直尺測量向量的長度。 第7頁/共41頁42 繪制根軌跡的基本規(guī)則 由開環(huán)零、極點當kg為可變參數(shù)時，閉環(huán)極

7、點的變化軌跡。0 )(1sGK一、連續(xù)性 是kg或其它參數(shù)的連續(xù)函數(shù)。 當kg從0+連續(xù)變化時，閉環(huán)極點連續(xù)變化，即根軌跡是連續(xù)變化的曲線或直線。二、對稱性 線性系統(tǒng)特征方程系數(shù)均為實數(shù)，閉環(huán)極點均為實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)（包括一對純虛根），根軌跡對稱于實軸。三、根軌跡的分支數(shù) 開環(huán)傳遞函數(shù)為n階，故開環(huán)極點和閉環(huán)數(shù)都為n個，當kg從0+變化時，n個根在s平面上連續(xù)形成n條根軌跡。 一條根軌跡對應(yīng)一個閉環(huán)極點隨kg的連續(xù)變化軌跡。 根軌跡的分支數(shù)=系統(tǒng)的階數(shù)第8頁/共41頁四、 根軌跡的起點和終點111miingjjsznmKsp由幅值條件有：), 2 , 1(njpsj1.起點：kg=0，等式右邊=

8、 ，僅當 成立 n條根軌跡起始于系統(tǒng)的n個開環(huán)極點。), 2 , 1(mizsi01limlimmnsnmssss方程左邊2.終點：kg= ，等式右邊=0 當 成立，m條根軌跡終止于m 個開環(huán)零點處； 由于nm時，只有s 處 另外nm條根軌跡終止于處（，相角可為任意方向）。結(jié)論：根軌跡以n個開環(huán)極點為起點；以m個開環(huán)零點為終點，另外nm條根軌跡終止于無窮遠處。 第9頁/共41頁五、實軸上的根軌跡)(21ps )(31ps 、 兩向量對稱于實軸，引起的相角大小相等、方向相反； 、 兩向量也對稱于實軸，引起的相角大小相等、方向相反 判斷 s1是否落在根軌跡上，共軛零、極點不考慮。)(21zs )(

9、31zs 位于s1左邊的實數(shù)零、極點： 、 向量引起的相角為0 判斷 s1是否落在根軌跡上，位于s1左邊的零、極點不考慮。)(11zs )(41ps 位于s1右邊的實數(shù)零、極點： 每個零、極點提供180相角，其代數(shù)和為奇數(shù)，則滿足相角條件。結(jié)論：s1右邊的實數(shù)零、極點（開環(huán)）個數(shù)的總和為奇數(shù)，則s1位于根軌跡上。第10頁/共41頁六、根軌跡的漸近線 個夾角取夠mnkmnk, 2 , 1 , 012180 若nm，當kg從0+時，有(nm)條根軌跡分支沿著實軸正方向夾角，截距為 的一組漸近線趨向無窮遠處。amnmnzpnjmiija開環(huán)零點和開環(huán)極點和11)()(與實軸交點的坐標： 僅當s足夠大

10、時，根軌跡才向漸近線逐漸逼近， kg，根軌跡才與漸近線重合。第11頁/共41頁例：已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，確定s平面上根軌跡的漸近線方向。 2(1)422gKksGss sss2300118006031218012180kkkkmnk4, 11, 11, 04321pjpjpp11 z3mn3514) 1() 11() 11()0(jja解：開環(huán)極點： 開環(huán)零點： 3條趨于無窮遠處 截距 夾角 第12頁/共41頁七、根軌跡的分離點和會合點,(1z,21pp 1p2p1z1.分析：1.如圖， ， 為實軸上的根軌跡 兩條根軌跡分別由 和 出發(fā)，隨kg的增大，會合于a點繼而又分開，離開實軸，

11、進入復(fù)平面，再回到實軸，會合于b點再離開，一條終止于 ，另一趨于負無窮遠處。 若兩條根軌跡在復(fù)平面上的某一點相遇后又分開，稱該點為根軌跡的分離點或會合點。此點對應(yīng)于二重根（實根和共軛復(fù)數(shù)根）。 一般多出現(xiàn)在實軸上。2.規(guī)律： 若實軸上兩相鄰開環(huán)極點之間存在根軌跡，之間必有分離點； 若實軸上相鄰開環(huán)零點（一個可視為無窮遠）之間存在根軌跡， 之間必有會合點； 若實軸上開環(huán)零點與極點之間存在根軌跡，則其間可能既有分離 點也有會合點，也可能都沒有。第13頁/共41頁4. 分離點的求取 重根法 特征方程： 具有重根， 則 0sA 00sAsA)()( )()()(11sDsNkpszsksGgnjjmi

12、igK0)()( 1sDsNkg0)( )(sNksDg 0)( )(0)( )(sNksDsAsNksDsAgg0 )()()()(sDsNsNsD特征方程：消kg得 s 分離點 ld1803.求分離角（會合角）： 在分離點（會合點）上，根軌跡切 線與正實軸的夾角 l為相分離的根軌跡分支數(shù) 第14頁/共41頁 極值法 牛頓余數(shù)定理的使用（二階以上）最小點（會合點），最大點（分離點），ggkbka 就實軸而言 可以用求極值的方法0)()( 1sDsNkg0 )()()()(sDsNsNsD)()( -sNsDkg0dsdkg 令 得第15頁/共41頁舉例：已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試求根

13、軌跡在實軸上的分離點。 21sssksGgK解：（用重根法）sssssssD23)2)(1( )(231)(sN0263 )()()()(2sssDsNsNsD263 )(2sssD0)( sN577. 1423. 021ss210321ppp2,(0 , 1判斷：開環(huán)極點有三個 在實軸上根軌跡 ， 則 s1滿足，為分離點。第16頁/共41頁八、根軌跡的出射角和入射角出射角：始于開環(huán)極點的根軌跡在起點的切線與正實軸的夾角入射角：止于開環(huán)零點的根軌跡在終點的切線與正實軸的夾角ab說明：靠近 的地方選一個s1點，相距當 0，則 出射角 即：apaaps)(1) 12(1803211ka)() 12

14、(1803211ka通式： ：由其它各開環(huán)零點指向 的向量的幅角 ：由其它各開環(huán)極點指向 的向量的幅角najjjmiiak11) 12(180ijapap入射角：mbiiinjjbk11) 12(180第17頁/共41頁九、根軌跡與虛軸的交點隨著kg，根軌跡可能由s左半平面右半平面，系統(tǒng)會從穩(wěn)定不穩(wěn)定，根軌跡與虛軸的交點，即閉環(huán)特征方程出現(xiàn)純虛根，出現(xiàn)臨界穩(wěn)定。求解方法（兩種方法）： 令 代入閉環(huán)特征方程 ，再令 求出交點坐標和kg。勞斯判據(jù)：第一列有0元素（純虛根），代入輔助方程，此處的增益臨界根軌跡增益kgp。js 0)(sA0)(Im)(ResAsA例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，求根軌跡與

15、虛軸的交點、臨界根軌跡增益kgp。 21sssksGgK解： 令 代入有 得 （舍去） 交點坐標： 0232123ggkssskssssAjs 0)(2)( 3)(23gpkjjj0)2()3(32jkgp020332gpk00gpk62gpk2jj6gpk32gpkK第18頁/共41頁解： 勞斯判據(jù)當 時， s1行等于0，有一對純虛根，輔助方程 6gk032gks1 2 3 0s3s2s1s0 gk36gkgk22s2js第19頁/共41頁十、閉環(huán)極點的和與積 110111101mmimiKggnnnnjjszsbb sbGskksasa sasp設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為11)(nnjjap由

16、根與系數(shù)的關(guān)系： 0011cscssAnnn 111101100nnmmngmA ssasa saksbsbsbmn sAnsss,21系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 是一個n階方程，設(shè)閉環(huán)極點（特征方程根）分別為 ，則閉環(huán)極點之積閉環(huán)極點之和0111) 1()()(cscsnnjjnnjj由根與系數(shù)的關(guān)系：constpsnjjnjj11)()(2mn11nnca當 時， 第20頁/共41頁表明，隨著kg，若閉環(huán)一些特征根增加時，另一些特征根必定減小，以保持其代數(shù)和為常數(shù)。即一些分支向右移動時，另一些分支必向左移動，保持左右平衡。 可根據(jù)部分分支走向，判斷另一些分支的走向。 對于某一 kg，若已知（n-

17、1）個閉環(huán)極點，可求最后一個閉環(huán)極點。例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，根軌跡與虛軸的交點為 ，試求其相應(yīng)的第三個閉環(huán)極點，并求交點處的臨界根軌跡增益kgp 21sssksGgK22, 1js解： 閉環(huán)特征方程： 開環(huán)極點之和： 閉環(huán)極點之和： 又 02323gkssssA3)2() 1(03)2()2()()()()(3213jjssss3)(3sgpnjjkcjjs031) 1()3()2()2()(6gpk第21頁/共41頁小結(jié)： 按10條規(guī)則繪制控制系統(tǒng)從kg=0+時根軌跡的草圖直觀分析kg變化對性能的影響； 進一步根據(jù)幅角條件，采用試探法準確確定若干點的位置（特別是虛軸附近或原點附近） 精

18、確根軌跡。第22頁/共41頁43 控制系統(tǒng)根軌跡的繪制一、單回路系統(tǒng)的根軌跡23mn2,(0 , 13mn2300118006031218012180kkkkmnk3514) 1() 11() 11()0(jja解： 根軌跡對稱于實軸 ，根軌跡有3條，分別始于開環(huán)極點0，1 ，2，止于無窮遠處 按根軌跡上的點其實軸右側(cè)的開環(huán)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，可知根軌跡區(qū)域為 ，漸近線共有3條 漸近線與實軸正方向夾角為： 截距： 21sssksGgK1.例 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，試繪制系統(tǒng)的根軌跡。第23頁/共41頁 實軸上開環(huán)極點1和0之間有根軌跡， 之間有分離點，用重根法或極值法求 解分離點 處

19、分離角： （l：分離支數(shù)） 分離點處時第3個閉環(huán)特征根 0 , 142. 0s902180180ld)2() 1(02)42. 0()(3s16. 23s0 )(1sGK 111njjmiigpszsk )(1量幅值之積各開環(huán)極點與分離點向njjgpsk385. 058. 158. 042. 0gk第24頁/共41頁 可估計根軌跡的走勢a.一條分支以極點2為起點向左移動至無窮遠處，另一條分支以極點0為起點開始向左移動，余下的分支以極點1為起點向右移動，為保持平衡，向右分支必須走得更快，所以分離點在中央偏右0.42處；b.以2為起點的分支不斷向左，所以其它兩條分支經(jīng)分離點后必向右推進，至無窮遠；

20、c. 時，23mn414. 122, 1jjs3)2()2()()(3jjpsj6gpgkk第25頁/共41頁2.例：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) ， 試繪制系統(tǒng)大致的根軌跡。)22)(3()(2ssssksGgk解（1）無開環(huán)零點，開環(huán)極點 在實軸上根軌跡-3，0。 （2） ，有4條分支趨向無窮遠處。漸近線的夾角與交點 （3）實軸上的分離點jppp1,3,04, 3214mn25.141130135,454180)12(jjkaooo)(37. 073. 09021803 . 20)616154()()()()()()()22)(3()(3 , 21232舍去線為根軌跡的分離點，切jssssssDsN

21、sDsNsDsNssssksGdgK第26頁/共41頁（4）起始角（出射角）（5）與虛軸的交點 系統(tǒng)特征方程為 令 代入有6 .719021)190(18090)31()1(180113tgtgjjp6 .714p0685)(234gksssssAjs 0)(6)(8)(5)(234gkjjjj0)56()8(324jkg0824gk05631 . 116. 81 . 1)(002121jskkgg，即舍去第27頁/共41頁0j13 . 23第28頁/共41頁3. 圓弧根軌跡 當系統(tǒng)僅具有兩個開環(huán)極點和一個開環(huán)零點時，這時根軌跡可能是直線或圓弧，但只要根軌跡一旦離開實軸，必然是沿圓弧移動。 圓

22、心：開環(huán)零點 半徑：)(21zpzpR例：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) ， 求根軌跡。)2()4()(sssksGgk解：兩個開環(huán)極點： 一個開環(huán)零點： 根軌跡在實軸上的區(qū)間： 圓心： 半徑： 當閉環(huán)特征根變至實部為4時，其對應(yīng)的2, 021pp41 z0 , 2,4,()0, 4(j83. 2)42)(40(R683. 29 . 447. 3gk第29頁/共41頁4. 典型根軌跡與開環(huán)零極點間關(guān)系（p.140 表4-2） 根軌跡均為直線或弧線（不可能有折線）； 從分離點離開實軸再回到實軸（會合點），一般為圓??； ，左右平衡。2mn二、參量根軌跡 凡是以非根軌跡增益 （或開環(huán)增益K）為可變參數(shù)繪制的根軌

23、跡稱為參量根軌跡。 正確求得等效單回路系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)； 根據(jù)參量的變化，按繪制 變化時的根軌跡規(guī)則，作出系統(tǒng)的根軌跡。gkgk三、正反饋回路的根軌跡 在某些復(fù)雜的控制系統(tǒng)中，可能出現(xiàn)局部正反饋，這可能是控制對象本身的特征，也可能是為了滿足系統(tǒng)的某種性能要求而在設(shè)計系統(tǒng)時附加的。 需要研究正反饋系統(tǒng)根軌跡的性質(zhì)及繪制。第30頁/共41頁在繪制正反饋系統(tǒng)根軌跡時，只需修改與相角條件有關(guān)的3條規(guī)則，其余7條不變。幅值條件與負反饋時一樣相角條件則不同，為零度根軌跡負反饋： 為常規(guī)根軌跡或180根軌跡 1)(sGK根軌跡方程 1)(sGk幅值條件), 2 , 1 , 0(2)(kksGk相角條件0)

24、()(1sHsG閉環(huán)特征方程為( )( )( )( )1( )( )C sG ssR sG s H s閉環(huán)傳遞函數(shù)為第31頁/共41頁1.實軸上的根軌跡：若實軸的某一個區(qū)域是一部分根軌跡，則必有：其右邊（開環(huán)實數(shù)零點數(shù)+開環(huán)實數(shù)極點數(shù)）為偶數(shù)；2.根軌跡的漸近線：（1）漸近線與實軸交點 與常規(guī)根軌跡相同；（2）漸近線與實軸夾角 3. 根軌跡的出射角和入射角（1）離開開環(huán)極點 時的出射角：（2）進入開環(huán)零點 時的入射角：),2, 1,0(1802kmnkoaapbznajjjmiia11mbiiinjjb11第32頁/共41頁44 控制系統(tǒng)的根軌跡分析系統(tǒng)的階躍響應(yīng)與閉環(huán)零、極點的分布密切相關(guān)。

25、根據(jù)根軌跡求已知參數(shù)（一般 ）下的主導(dǎo)閉環(huán)極點系統(tǒng)性能分析可包括：1. 由給定參數(shù)確定閉環(huán)零、極點；2. 分析參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；3. 計算系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能；4. 根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參數(shù)。st、%一、求取閉環(huán)系統(tǒng)極點的方法： 例：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) ，求具有阻尼比 的共軛閉環(huán)主導(dǎo)極點和其它閉環(huán)極點，并估算此時系統(tǒng)的性能指標。) 15 . 0)(1()(sssKsGk5 . 0解：)2)(1()2)(1(2)(sssksssKsGgk第33頁/共41頁 繪制根軌跡第34頁/共41頁58. 033. 02, 1js34. 2)58. 033. 0()58. 033. 0(33

26、jjs05. 1258. 033. 0158. 033. 058. 033. 0312111jjjpspspskg525. 02gkK)0,422. 0(j385. 0578. 1578. 0422. 0422. 0422. 0422. 0321pppkg 分離點 ，6,2gpkj30 , 60Kkg 與虛軸的交點： 穩(wěn)定范圍：5 . 060arccos 作圖求 時三個閉環(huán)極點（ ）第35頁/共41頁非主導(dǎo)極點與主導(dǎo)極點實部之比 模之比 在系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)過程中起著主導(dǎo)性作用，是閉環(huán)主導(dǎo)極點。 （倍）1 . 733. 034. 2（倍）5 . 3667. 034. 221, ss 5 . 0,667. 03sn0525. 0avpKKKK21, ss )(9667. 05 . 033%,3 .16%21stens9 . 11vssKe 性能分析 可根據(jù)由 所構(gòu)成的二階系統(tǒng)來估算三階系統(tǒng)。 型系統(tǒng)：單位斜坡給定作用下穩(wěn)態(tài)誤差：第36頁/共41頁1.系統(tǒng)要穩(wěn)定：閉環(huán)極點全部位于s左半平面，與閉環(huán)零點無關(guān)；2.快速性好：閉環(huán)極點均遠離虛軸，以使每個分量衰減更快；3.平穩(wěn)性好：主導(dǎo)共軛復(fù)數(shù)極點位于 等阻尼線上，其對應(yīng)最佳阻尼系數(shù)為 ；4.若非主導(dǎo)極點與主導(dǎo)極點實部比5，且主導(dǎo)極點附近又