自動(dòng)控制理論—時(shí)域分析PPT課件

1、 時(shí)域分析法在時(shí)間域內(nèi)研究系統(tǒng)在典型輸入時(shí)域分析法在時(shí)間域內(nèi)研究系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)的作用下，其輸出響應(yīng)隨時(shí)間變化規(guī)律的信號(hào)的作用下，其輸出響應(yīng)隨時(shí)間變化規(guī)律的方法。對(duì)于任何一個(gè)穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，輸出方法。對(duì)于任何一個(gè)穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，輸出響響應(yīng)含有瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量。應(yīng)含有瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量。 瞬態(tài)分量瞬態(tài)分量 由于輸入和初始條件引起的，隨由于輸入和初始條件引起的，隨時(shí)間的推移而趨向消失的響應(yīng)部分，它提供了時(shí)間的推移而趨向消失的響應(yīng)部分，它提供了系統(tǒng)在過度過程中的各項(xiàng)動(dòng)態(tài)性能的信息。系統(tǒng)在過度過程中的各項(xiàng)動(dòng)態(tài)性能的信息。 穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量 是過渡過程結(jié)束后是過渡過程結(jié)束后,系統(tǒng)達(dá)到平衡系統(tǒng)達(dá)到平衡

2、狀態(tài)，其輸入輸出間的關(guān)系不再變化的響應(yīng)部狀態(tài)，其輸入輸出間的關(guān)系不再變化的響應(yīng)部分，它反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能或誤差。分，它反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能或誤差。 時(shí)域分析法的物理概念清晰，準(zhǔn)確度較高，時(shí)域分析法的物理概念清晰，準(zhǔn)確度較高，在已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)并建立了系統(tǒng)的微分方在已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)并建立了系統(tǒng)的微分方程后，使用時(shí)域分析法比較方便。不過若用它程后，使用時(shí)域分析法比較方便。不過若用它來設(shè)計(jì)和校正系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求來設(shè)計(jì)和校正系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求來選定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，卻存在一定的困難。來選定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，卻存在一定的困難。 第1頁/共115頁為了研究控制系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，必

3、須了解輸入為了研究控制系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，必須了解輸入信號(hào)的變化形式。在工程實(shí)際中，有些系統(tǒng)的信號(hào)的變化形式。在工程實(shí)際中，有些系統(tǒng)的輸入信號(hào)是已知的（如恒值系統(tǒng)），但對(duì)有些輸入信號(hào)是已知的（如恒值系統(tǒng)），但對(duì)有些控制系統(tǒng)來說，常常不能準(zhǔn)確地知道其輸入量控制系統(tǒng)來說，常常不能準(zhǔn)確地知道其輸入量是如何變化的（如隨動(dòng)系統(tǒng)）。因此，為了方是如何變化的（如隨動(dòng)系統(tǒng)）。因此，為了方便系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)，使各種控制系統(tǒng)有一個(gè)便系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)，使各種控制系統(tǒng)有一個(gè)進(jìn)行比較的基礎(chǔ)，需要選擇一些典型試驗(yàn)信號(hào)進(jìn)行比較的基礎(chǔ)，需要選擇一些典型試驗(yàn)信號(hào)作為系統(tǒng)的輸入，然后比較各種系統(tǒng)對(duì)這些輸作為系統(tǒng)的輸入，然后比較各種系

4、統(tǒng)對(duì)這些輸入信號(hào)的響應(yīng)。常用的試驗(yàn)信號(hào)是入信號(hào)的響應(yīng)。常用的試驗(yàn)信號(hào)是階躍函數(shù)、階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、拋物線函數(shù)、脈沖函數(shù)及正弦函數(shù)。斜坡函數(shù)、拋物線函數(shù)、脈沖函數(shù)及正弦函數(shù)。這些函數(shù)都是簡單的時(shí)間函數(shù)，并且易于通過這些函數(shù)都是簡單的時(shí)間函數(shù)，并且易于通過實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生，便于數(shù)學(xué)分析和試驗(yàn)研究。實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生，便于數(shù)學(xué)分析和試驗(yàn)研究。第2頁/共115頁 如果控制系統(tǒng)的實(shí)際輸入大部分是隨時(shí)間如果控制系統(tǒng)的實(shí)際輸入大部分是隨時(shí)間逐漸增加的信號(hào)，則選用斜坡函數(shù)較合適；如逐漸增加的信號(hào)，則選用斜坡函數(shù)較合適；如果作用到系統(tǒng)的輸入信號(hào)大多具有突變性質(zhì)時(shí)，果作用到系統(tǒng)的輸入信號(hào)大多具有突變性質(zhì)時(shí)，則選用階躍函數(shù)較合適。

5、需要注意的是，不管則選用階躍函數(shù)較合適。需要注意的是，不管采用何種典型輸入型號(hào)，對(duì)同一系統(tǒng)來說，其采用何種典型輸入型號(hào)，對(duì)同一系統(tǒng)來說，其過渡過程所反應(yīng)出的系統(tǒng)特性應(yīng)是統(tǒng)一的。這過渡過程所反應(yīng)出的系統(tǒng)特性應(yīng)是統(tǒng)一的。這樣，便有可能在同一基礎(chǔ)上去比較各種控制系樣，便有可能在同一基礎(chǔ)上去比較各種控制系統(tǒng)的性能。此外，在選取試驗(yàn)信號(hào)時(shí)，除應(yīng)盡統(tǒng)的性能。此外，在選取試驗(yàn)信號(hào)時(shí)，除應(yīng)盡可能簡單，以便于分析處理外，還應(yīng)選擇那些可能簡單，以便于分析處理外，還應(yīng)選擇那些能使系統(tǒng)工作在最不利的情況下的輸入信號(hào)作能使系統(tǒng)工作在最不利的情況下的輸入信號(hào)作為典型實(shí)驗(yàn)信號(hào)。為典型實(shí)驗(yàn)信號(hào)。 本章主要討論控制系統(tǒng)在階躍函

6、數(shù)等輸入本章主要討論控制系統(tǒng)在階躍函數(shù)等輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)。信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)。第3頁/共115頁h(t)t時(shí)間tr上 升峰值時(shí)間tpAB超調(diào)量% =AB100%動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)定義1h(t)t調(diào)節(jié)時(shí)間tsh(t)t時(shí)間tr上 升峰值時(shí)間tpAB超調(diào)量% =AB100%調(diào)節(jié)時(shí)間ts第4頁/共115頁3-2 一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 由一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系由一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)統(tǒng), , 典型閉環(huán)控制一階系統(tǒng)如圖典型閉環(huán)控制一階系統(tǒng)如圖3-3-2 2所示所示. .其中其中 是積分環(huán)節(jié)，是積分環(huán)節(jié)，T T為它的時(shí)間常數(shù)。為它的時(shí)間常數(shù)。圖3-2 一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖C(s)-R(

7、s)Ts1Ts1第5頁/共115頁系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為)(11)().()(sRTssRssC)()()()(trtctdtdcT11)()()(TssRsCs第6頁/共115頁 在零初始條件下，利用拉氏反變換或直接求解微分方程，可以求得一階系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)。一、單位階躍響應(yīng) 設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù)r(t) = 1(t) ,其拉氏變換為 , 則輸出的拉氏變換為 ssR1)(TsssTssC1111.11)(第7頁/共115頁對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，求得單位階躍響應(yīng)為 上式表明，當(dāng)初始條件為零時(shí)，一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的變化曲線是一條單調(diào)上升的指數(shù)曲線,式中的1為穩(wěn)

8、態(tài)分量， 為瞬態(tài)分量，當(dāng)t時(shí) ，瞬態(tài)分量衰減為零。在整個(gè)工作時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)的響應(yīng)都不會(huì)超過起穩(wěn)態(tài)值。由于該響應(yīng)曲線具有非振蕩特征，故也稱為非周期響應(yīng)。一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-2所示。TtetC1)()0( tTte第8頁/共115頁圖3-2中指數(shù)響應(yīng)曲線的初始（t=0時(shí)）斜率為 . 因此，如果系統(tǒng)保持初始響應(yīng)的變化速度不變，則當(dāng)t=T時(shí)，輸出量就能達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。實(shí)際上，響應(yīng)曲線的斜率是不斷下降的，經(jīng)過T時(shí)間后，輸出量C（T）從零上升到穩(wěn)態(tài)值的63.2%。經(jīng)過3T4T時(shí)，C（t）將分別達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%98%?？梢?，時(shí)間常數(shù)T反應(yīng)了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，T越小，輸出響應(yīng)上升越快，響應(yīng)過程的快速性

9、也越好。 T1斜率T11C(t)0.95T3T0.632第9頁/共115頁由式（3-2）可知，只有當(dāng)t趨于無窮大時(shí)，響應(yīng)的瞬態(tài)過程才能結(jié)束，在實(shí)際應(yīng)用中，常以輸出量達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%或98%的時(shí)間作為系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間（即調(diào)節(jié)時(shí)間），這時(shí)輸出量與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差為5%或2%。 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線可用實(shí)驗(yàn)的方法確定，將測得的曲線與圖3-2的曲線作比較，就可以確定該系統(tǒng)是否為一階系統(tǒng)或等效為一階系統(tǒng)。此外，用實(shí)驗(yàn)的方法測定一階系統(tǒng)的輸出響應(yīng)由零值開始到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的63.2%所需的時(shí)間，就可以確定系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)T。第10頁/共115頁 式中，式中，t-Tt-T為穩(wěn)態(tài)分量，為穩(wěn)態(tài)分量， 為瞬態(tài)分量，當(dāng)為瞬

10、態(tài)分量，當(dāng)tt時(shí)，時(shí)，瞬態(tài)分量衰減到零。一階瞬態(tài)分量衰減到零。一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線如圖如圖3-33-3所示。所示。TsTsTssTssC11111)(22)1 ()(TtTteTtTeTttCTtTe21)(ssR第11頁/共115頁顯然，系統(tǒng)的響應(yīng)從t=0時(shí)開始跟蹤輸入信號(hào)而單調(diào)上升，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，它與輸入信號(hào)同速增長，但它們之間存在跟隨誤差。即且可見，當(dāng)t趨于無窮大時(shí)，誤差趨近于T，因此系統(tǒng)在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)以后，在任一時(shí)刻，輸出量c (t) 將小于輸入量r(t)一個(gè)T的值，時(shí)間常數(shù)T越小，系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差也越小。)1 ()()()(TteTtctrteT

11、tet)(lim第12頁/共115頁對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，求得單位脈沖響應(yīng)為由此可見，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)就是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的拉氏變換。一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線如圖3-4所示。 TsTTsSC1111)(TteTtC1)(T1T121T第13頁/共115頁 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是單調(diào)下降的指數(shù)曲線，曲線的初始斜率為 ，輸出量的初始值為 。當(dāng) t趨于時(shí)，輸出量c ()趨于零，所以 它 不 存 在 穩(wěn) 態(tài) 分 量 在 實(shí) 際 中 一 般 認(rèn) 為 在t=3T4T時(shí)過度過程結(jié)束，故系統(tǒng)過度過程的快速性取決于T的值，T越小系統(tǒng)響應(yīng)的快速性也越好。 由上面的分析可見，一階系統(tǒng)的特權(quán)性由參數(shù)T來表述，響應(yīng)

12、時(shí)間為（3-4）T；在t=0時(shí)，單位階躍響應(yīng)的斜率和單位脈沖響應(yīng)的幅值均為 ;單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為T 。T值越小，系統(tǒng)響應(yīng)的快速性越好，精度越高。按照脈沖函數(shù)，階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)的順序，前者是后者的導(dǎo)數(shù)，而后者是前者的積分。21TT1第14頁/共115頁比較一階系統(tǒng)對(duì)上述信號(hào)的輸出響應(yīng)可以發(fā)現(xiàn)，脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng)、斜坡響應(yīng)之間也存在同樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這表明，系統(tǒng)對(duì)某種輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。反之，系統(tǒng)對(duì)某種輸入信號(hào)積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分。這是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)重要特征，它不僅適用于一階線性定常系統(tǒng)，也適用于高階線性定常系統(tǒng)。因此，在后面的分析中，我

13、們將主要研究系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。第15頁/共115頁3-3 3-3 二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。在控制工程實(shí)踐中，二階系統(tǒng)應(yīng)用極為廣統(tǒng)。在控制工程實(shí)踐中，二階系統(tǒng)應(yīng)用極為廣泛，此外，許多高階系統(tǒng)在一定的條件下可以泛，此外，許多高階系統(tǒng)在一定的條件下可以近似為二階系統(tǒng)來研究，因此，詳細(xì)討論和分近似為二階系統(tǒng)來研究，因此，詳細(xì)討論和分析二階系統(tǒng)的特征具有極為重要的實(shí)際意義。析二階系統(tǒng)的特征具有極為重要的實(shí)際意義。 )1(TssKKsTsKsRsCs2)()()(第16頁/共115頁與式（3-5）相對(duì)應(yīng)的微分方程為 可見，該系統(tǒng)是一個(gè)二

14、階系統(tǒng)。為了分析方便，將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)改寫成如下形式式中 ，稱為無阻尼自然振蕩角頻率，（簡稱為無阻尼自振頻率）， 稱為阻尼系數(shù)（或阻尼比）。)()()()(22tKrtKcdttdcdttcdT22222)()()(nnnssRsCsTKnTK21第17頁/共115頁系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 （3-73-7）它的兩個(gè)根為它的兩個(gè)根為 （3-83-8） 二階系統(tǒng)特征根（即閉環(huán)極點(diǎn)）的形式隨著阻尼二階系統(tǒng)特征根（即閉環(huán)極點(diǎn)）的形式隨著阻尼比比 取值的不同而不同。取值的不同而不同。 1. 1.二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出響應(yīng)設(shè)系統(tǒng)的輸入

15、為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出響應(yīng)的拉氏變換表達(dá)式為的拉氏變換表達(dá)式為 （3-93-9） 對(duì)上式取拉氏反變換，即可求得二階系統(tǒng)的單位對(duì)上式取拉氏反變換，即可求得二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)階躍響應(yīng) 。0222nnss122 , 12 , 1nnPsssssRssCnnn1.2)()()(222第18頁/共115頁（一） 過阻尼（ 1）的情況 當(dāng) 1時(shí)，系統(tǒng)具有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)， 它們?cè)赟平面上的位置如圖3-6所示。此時(shí)，（3-9）可寫成 （3-10）121nnP122nnP22110212)()(pspsspspsssCn1P2P1第19頁/共115頁式中 將 、 、 代入式（3-10），并進(jìn)行拉

16、氏反變換，得 （3-11)式(3-11)表明，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量組成，其穩(wěn)態(tài)分量為1，瞬態(tài)分量包含兩個(gè)衰減指數(shù)項(xiàng)，隨著t增加，指數(shù)項(xiàng)衰減，響應(yīng)曲線單調(diào)上升，其響應(yīng)曲線如圖3-7所示。1)(00sssC121112)()(1ppssCnps222212)()(2ppssCnps)(121)(21221pepetCtptpn)0( t0A1A2A第20頁/共115頁當(dāng) 時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn) 比 距虛軸遠(yuǎn)的多，故 比衰減快的多。因此，可以忽略對(duì)系統(tǒng)輸出的影響，從而把二階系統(tǒng)近似看作一階系統(tǒng)來處理。在工程上，當(dāng) 時(shí)，這種近似處理方法具有足夠的準(zhǔn)確度。 通常，稱阻尼比 時(shí)二階系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為

17、過阻尼狀態(tài)。 2p1ptpe2tpe12p5 . 11第21頁/共115頁 它們?cè)赟平面上的位置如圖3-8所示。此時(shí)，式（3-9）可寫成 （3-12）211nnjp221nnjp)()(2dndnnjsjsssC1P2P21njnn1022210)(dnsss1010第22頁/共115頁將它們代入式（3-12）并將式中的第二項(xiàng)分成兩項(xiàng)得因?yàn)?222)()(1)(dnndnnsssssCtessdtdnnncos)(221 -tesdtdndnsin)( 221 -)sin1(cos1)(2ttetCddtn)sincos1(1122tteddtn21nd11n2210第23頁/共115頁令令

18、, , ，其中，其中 角如圖角如圖3-83-8所示。于所示。于是有是有 式中式中 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為1 1，瞬態(tài)分量，瞬態(tài)分量是一個(gè)隨時(shí)間是一個(gè)隨時(shí)間t t的增大而衰減的的增大而衰減的正弦振蕩過程。振蕩的角頻率為正弦振蕩過程。振蕩的角頻率為 它取決于阻尼比它取決于阻尼比 和無阻尼自和無阻尼自然頻率然頻率 。衰減速度取決于。衰減速度取決于 的大小。此時(shí)系的大小。此時(shí)系統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài)。輸出響應(yīng)如圖統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài)。輸出響應(yīng)如圖3-93-9所示。所示。21sincos)143(0)sin(11)(2ttetCdtn21 arctgarccosdnn第24頁/共115頁（三）臨界阻

19、尼 （ ）的情況 當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)具有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)， ，如圖3-10所示。此時(shí)有 將 代入式（3-15），并進(jìn)行拉氏反變換，得11np2, 11)(00sssC1)(21nsnssCdsdnsnnssC)()(2221PPnj1210,221022)()()(nnnnssssssCtntnnteetC1)()1 (1tentn)0( t第25頁/共115頁 該式表明，當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)由零開始單調(diào)上升，最后達(dá)到穩(wěn)態(tài)值1，其響應(yīng)曲線如圖3-11所示。 是輸出響應(yīng)的單調(diào)和振蕩過程的分界，通常稱為臨界阻尼狀態(tài)。（四）無阻尼（ ）的情況 當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)具有一對(duì)共軛純虛數(shù)極點(diǎn) ,它們?cè)赟平面上的位

20、置如圖3-12（a）所示。將 代入式（3-13）得 1100njp2 , 10ttCncos1)(第26頁/共115頁 可見，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)是無阻尼的等幅振可見，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)是無阻尼的等幅振蕩過程，其振蕩頻率為蕩過程，其振蕩頻率為 。響應(yīng)曲線如圖。響應(yīng)曲線如圖3 3 1212（b b）所示。所示。綜上所述，不難看出頻率綜上所述，不難看出頻率 和和 的物理意義。的物理意義。 nndjn1P2P0第27頁/共115頁 當(dāng)當(dāng) , ,系統(tǒng)具有實(shí)部為正的極點(diǎn)系統(tǒng)具有實(shí)部為正的極點(diǎn), ,輸出響應(yīng)是發(fā)輸出響應(yīng)是發(fā)散的，此時(shí)系統(tǒng)已無法正常工作。散的，此時(shí)系統(tǒng)已無法正常工作。 根據(jù)上面的分析可知，在不同的阻尼

21、比時(shí)，二根據(jù)上面的分析可知，在不同的阻尼比時(shí)，二階系統(tǒng)的響應(yīng)具有不同的特點(diǎn)。因此阻尼比階系統(tǒng)的響應(yīng)具有不同的特點(diǎn)。因此阻尼比 是是二階系統(tǒng)的重要特征參數(shù)。若選取二階系統(tǒng)的重要特征參數(shù)。若選取 為橫坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)，可以作出不同阻尼比時(shí)二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲可以作出不同阻尼比時(shí)二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線線, ,nd0tn第28頁/共115頁如圖3-13所示，此時(shí)曲線只和阻尼比 有關(guān)。由圖可見， 越小，響應(yīng)特性振蕩得越厲害，隨著 增大到一定程度后，響應(yīng)特性變成單調(diào)上升的。從過渡過程持續(xù)的時(shí)間看，當(dāng)系統(tǒng)無振蕩時(shí)，以臨界阻尼時(shí)過渡過程的時(shí)間最短，此時(shí)，系統(tǒng)具有最快的響應(yīng)速度。當(dāng)系統(tǒng)在欠阻尼狀態(tài)時(shí)，若阻尼比

22、 在0.40.8之間，則系統(tǒng)的過度過程時(shí)間比臨界阻尼時(shí)更短，而且此時(shí)的振蕩特性也并不嚴(yán)重。 )(tC03 . 01 . 05 . 07 . 012tn第29頁/共115頁 一般希望二階系統(tǒng)工作在 =0.40.8的欠阻尼狀態(tài)下，在工程實(shí)際中，通常選取 作為設(shè)計(jì)系統(tǒng)的依據(jù)。2 2二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標(biāo)二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標(biāo) 在實(shí)際應(yīng)用中，控制系統(tǒng)性能的好壞是通過系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的特征量來表示的。為了定量地評(píng)價(jià)二階系統(tǒng)的控制質(zhì)量，必須進(jìn)一步分析 和 對(duì)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的影響，并定義二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的一些特征量作為評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能指標(biāo)。 除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的系統(tǒng)外，通常希望二階系統(tǒng)工作在 =0.4

23、0.8的欠阻尼狀態(tài)下。21n第30頁/共115頁 此時(shí)，系統(tǒng)在具有適度振蕩特性的情況下，能有較短的過渡過程時(shí)間，因此下面有關(guān)性能指標(biāo)的定義和定量關(guān)系的推導(dǎo)，主要是針對(duì)二階系統(tǒng)的欠阻尼工作狀態(tài)進(jìn)行的?？刂葡到y(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一般來說是與初始條件有關(guān)的，為了便于比較各種系統(tǒng)的控制質(zhì)量，通常假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零。 系統(tǒng)在欠阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)為 (3-18) )sin(11)(2tetCdtn)0( t第31頁/共115頁對(duì)應(yīng)的響應(yīng)曲線如圖3-14所示下面就根據(jù)式（3-18）和圖3-14所示曲線來定義系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)，同時(shí)討論性能指標(biāo)與特征量之間的關(guān)系。1、上升時(shí)間 響應(yīng)曲線從零開始上升，第一

24、次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間，稱為上升時(shí)間。根據(jù)上述定義，當(dāng)時(shí)， ， ，由式（3-18）可得)(trtrtt 1)(rtC第32頁/共115頁即即所以所以 （k=0,1,2k=0,1,2）由于上升時(shí)間由于上升時(shí)間 是是C C（t t）第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間，故取時(shí)間，故取k=1k=1，所以所以 由式由式(3-19)(3-19)可以看出，當(dāng)可以看出，當(dāng) 一定時(shí)，阻尼比一定時(shí)，阻尼比 越大，上升時(shí)間越大，上升時(shí)間 越長，當(dāng)越長，當(dāng) 一定時(shí)，一定時(shí)， 越大，越大， 越小。越小。21rnte0)sin(rdt0)sin(rdtktrdrtnrtnrt21ndrt第33頁/共115頁由定義，

25、將式（由定義，將式（3-183-18）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并令其等于零，即）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并令其等于零，即得得經(jīng)變換可得經(jīng)變換可得所以所以即即 （k=1,2k=1,2，）因?yàn)榉逯禃r(shí)間因?yàn)榉逯禃r(shí)間 是是C(t)C(t)到達(dá)第一個(gè)峰值的時(shí)間，故取到達(dá)第一個(gè)峰值的時(shí)間，故取=1,=1,所以所以tp0)(pttdttdC)sin(pdnt0)cos(pddt)(pdttgnd21tgktpdktpdpt21ddpt第34頁/共115頁可見，當(dāng)可見，當(dāng) 一定時(shí)，一定時(shí)， 越大，越大， 越小，反應(yīng)速度越小，反應(yīng)速度越快。當(dāng)越快。當(dāng) 一定時(shí)，一定時(shí)， 越小，越小， 也越小。由于也越小。由于 是是閉環(huán)極點(diǎn)虛部的數(shù)值，閉

26、環(huán)極點(diǎn)虛部的數(shù)值， 越大，則閉環(huán)極點(diǎn)到越大，則閉環(huán)極點(diǎn)到實(shí)軸的距離越遠(yuǎn)，因此，也可以說峰值時(shí)間實(shí)軸的距離越遠(yuǎn)，因此，也可以說峰值時(shí)間 與閉環(huán)極點(diǎn)到實(shí)軸的距離成反比。與閉環(huán)極點(diǎn)到實(shí)軸的距離成反比。 nptnptddpt21ddpt第35頁/共115頁3 3、超調(diào)量、超調(diào)量 在響應(yīng)過程中，輸出量在響應(yīng)過程中，輸出量C C（t t）超出其穩(wěn)態(tài)值超出其穩(wěn)態(tài)值的最大差量與穩(wěn)態(tài)值之比稱為超調(diào)量。的最大差量與穩(wěn)態(tài)值之比稱為超調(diào)量。超調(diào)量可表示為超調(diào)量可表示為式中式中 為輸出量的最大值，為輸出量的最大值， 為輸出量的穩(wěn)態(tài)為輸出量的穩(wěn)態(tài)值。將式（值。將式（3-203-20）代入式（）代入式（3-183-18）求

27、得輸出量的）求得輸出量的最大值為最大值為所以所以 %100)()()(CCtCpp)(ptC)(C2111)(2etCp)sin(21sin)sin(211)(etCpp第36頁/共115頁根據(jù)超調(diào)量的定義，并考慮到根據(jù)超調(diào)量的定義，并考慮到 ，求得，求得 該式表明，該式表明， 只是只是 的函數(shù)，的函數(shù)，而與而與 無關(guān)，無關(guān)， 越小越小 , ,則則 越大。當(dāng)二階系統(tǒng)的阻尼比越大。當(dāng)二階系統(tǒng)的阻尼比 確定后，即可求得對(duì)應(yīng)的確定后，即可求得對(duì)應(yīng)的超調(diào)量超調(diào)量 。反之，如果給。反之，如果給出了超調(diào)量的要求值，也可出了超調(diào)量的要求值，也可求得相應(yīng)的阻尼比的數(shù)值。求得相應(yīng)的阻尼比的數(shù)值。一般當(dāng)一般當(dāng) 時(shí)

28、，相應(yīng)時(shí)，相應(yīng)的超調(diào)量的超調(diào)量 。 與與 關(guān)系曲線如圖關(guān)系曲線如圖3-153-15所示。所示。 1)(Cpnpp8 . 04 . 0p%5 . 125p%100%100)()()(21eCCtCppp第37頁/共115頁 4 4、調(diào)節(jié)時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間響應(yīng)曲線到達(dá)并停留在穩(wěn)態(tài)值的響應(yīng)曲線到達(dá)并停留在穩(wěn)態(tài)值的 （或（或 ) )誤誤差范圍內(nèi)所需的最小時(shí)間稱為調(diào)節(jié)時(shí)間（或過差范圍內(nèi)所需的最小時(shí)間稱為調(diào)節(jié)時(shí)間（或過渡過程時(shí)間）。渡過程時(shí)間）。 根據(jù)調(diào)節(jié)時(shí)間的定義應(yīng)有下式成立根據(jù)調(diào)節(jié)時(shí)間的定義應(yīng)有下式成立 式中式中 （或（或0.020.02）將式（）將式（3-183-18）及）及 代入上代入上式得式得 為簡

29、單起見，可以采用近似的計(jì)算方法，忽略為簡單起見，可以采用近似的計(jì)算方法，忽略正弦函數(shù)的影響，認(rèn)為指數(shù)項(xiàng)衰減到正弦函數(shù)的影響，認(rèn)為指數(shù)項(xiàng)衰減到0.050.05（或（或0.020.02）時(shí)，過渡過程即進(jìn)行完畢，于是得到）時(shí)，過渡過程即進(jìn)行完畢，于是得到 st%5%2)()()(CCtC)(stt 05. 01)(C)sin(12tedtn)(stt 第38頁/共115頁由此可求得由此可求得若取若取 ，則得，則得 若取若取 ，則得，則得 21tne)(stt )11ln1(ln111ln122nnst05. 0nst211ln302. 0nst211ln4第39頁/共115頁在在 時(shí)，上面兩式可分別

30、近似為時(shí)，上面兩式可分別近似為 和和該式表明，調(diào)節(jié)時(shí)間該式表明，調(diào)節(jié)時(shí)間 近似與近似與 成反比。由于成反比。由于 是閉環(huán)極點(diǎn)實(shí)部的數(shù)值，是閉環(huán)極點(diǎn)實(shí)部的數(shù)值， 越大，則閉環(huán)極越大，則閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸的距離越遠(yuǎn)，因此，可以近似地認(rèn)為點(diǎn)到虛軸的距離越遠(yuǎn)，因此，可以近似地認(rèn)為調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間 與閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸的距離成反比。與閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸的距離成反比。在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)， 通常由要求的超調(diào)量所決定，通常由要求的超調(diào)量所決定，而調(diào)節(jié)時(shí)間而調(diào)節(jié)時(shí)間 則由自然振蕩頻率則由自然振蕩頻率 所決定。也所決定。也就是說，在不改變超調(diào)量的條件下，通過改變就是說，在不改變超調(diào)量的條件下，通過改變 的值可以改變調(diào)

31、節(jié)時(shí)間。的值可以改變調(diào)節(jié)時(shí)間。 9 . 00nst3nst4stnnnststnn第40頁/共115頁5 5振蕩次數(shù)振蕩次數(shù)N N 響應(yīng)曲線在響應(yīng)曲線在 0 0 時(shí)間內(nèi)波動(dòng)的次數(shù)稱為時(shí)間內(nèi)波動(dòng)的次數(shù)稱為振蕩次數(shù)。振蕩次數(shù)。 根據(jù)定義，振蕩次數(shù)根據(jù)定義，振蕩次數(shù) 式中式中 稱為系統(tǒng)的阻尼振蕩周期。稱為系統(tǒng)的阻尼振蕩周期。若取若取 ， ，若取若取 ， 振蕩次數(shù)只與阻尼比振蕩次數(shù)只與阻尼比 有關(guān)。阻尼比有關(guān)。阻尼比 和無阻尼和無阻尼自振頻率自振頻率 是二階系統(tǒng)兩個(gè)重要特征參數(shù)，它是二階系統(tǒng)兩個(gè)重要特征參數(shù)，它們對(duì)系統(tǒng)的性能具有決定性的影響。當(dāng)保持們對(duì)系統(tǒng)的性能具有決定性的影響。當(dāng)保持 不變時(shí)，提高不

32、變時(shí)，提高 可使可使 、 、 下降，從而提高系下降，從而提高系統(tǒng)的快速性，同時(shí)系統(tǒng)的快速性，同時(shí)保持統(tǒng)的快速性，同時(shí)系統(tǒng)的快速性，同時(shí)保持 和和N N不變。不變。dsTtN ddTT202. 0nst3215 . 1N05. 0nst4212Nnnrtptststp第41頁/共115頁當(dāng)保持當(dāng)保持 不變時(shí)，增大不變時(shí)，增大 可使可使 和和 下降下降 , ,但使但使 和和 上升，顯然在系統(tǒng)的振上升，顯然在系統(tǒng)的振蕩性能和快速性之間是存在矛盾的，要使二階蕩性能和快速性之間是存在矛盾的，要使二階系統(tǒng)具有滿意的動(dòng)態(tài)性能，必須選取合適的阻系統(tǒng)具有滿意的動(dòng)態(tài)性能，必須選取合適的阻尼比和無阻尼自振蕩率。通常

33、可根據(jù)系統(tǒng)對(duì)超尼比和無阻尼自振蕩率。通?？筛鶕?jù)系統(tǒng)對(duì)超調(diào)量的限制要求選定調(diào)量的限制要求選定 ，然后在根據(jù)其它要求，然后在根據(jù)其它要求來確定來確定 。 例例3-1 3-1 設(shè)控制系統(tǒng)設(shè)控制系統(tǒng) 如圖如圖3-163-16所示。其中（所示。其中（a a）為無速度反饋系統(tǒng)，（為無速度反饋系統(tǒng)，（b b）為帶速度反饋系統(tǒng)，為帶速度反饋系統(tǒng)，試確定是系統(tǒng)阻尼比為試確定是系統(tǒng)阻尼比為0.50.5時(shí)時(shí) 的值，并比較的值，并比較系統(tǒng)（系統(tǒng)（a a）和和( (b)b)階躍響應(yīng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)。階躍響應(yīng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)。npst)8 . 00(rtptntK第42頁/共115頁將上式與式（將上式與式（3-63-6）相比

34、較得）相比較得解得解得 , ,根據(jù)式（根據(jù)式（3-193-19）、（）、（3-203-20）、）、（3-213-21）、（）、（3-243-24）、）、（3-253-25）計(jì)算上升時(shí)間）計(jì)算上升時(shí)間1010)(2sss12n102n158. 016. 3n)1(10ss) 1(10sssKt55.011221nrtgt第43頁/共115頁峰值時(shí)間峰值時(shí)間 超調(diào)量超調(diào)量調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間 振蕩次數(shù)振蕩次數(shù)系統(tǒng)（系統(tǒng)（b b）的閉環(huán)傳遞函數(shù)為的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 01. 112npt%4 .60%10021ep63nst)05. 0(315 . 12N)05. 0(10)101 (10)(2sKsst第

35、44頁/共115頁將上式與式（將上式與式（3-63-6）相比較得）相比較得將將 代入，解得代入，解得由由 和和 可求得可求得 通過上述計(jì)算可知，采用速度反饋后，可通過上述計(jì)算可知，采用速度反饋后，可以明顯地改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。以明顯地改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。 tnK1012102n5 . 01012ntK216. 010116. 35 . 021016. 3102)(sss5 . 016. 3n%3 .16p183. 0N7 . 0rt15. 1pt9 . 1st第45頁/共115頁例例3 32 2 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為若要求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)為若

36、要求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)為 試確定參數(shù)試確定參數(shù)K K和和a a的值。的值。解解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為由此得由此得 )()(assKsG%10p2%)5(stKassKs2)(KnKaan22第46頁/共115頁由題意即 解得 而即解得 a=3 所以 %10%10021ep3 . 21 . 0ln1259. 0232KKan23nst46. 6)59. 023()2(22aK第47頁/共115頁3-4 高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 若描述系統(tǒng)的微分方程高于二階，則該若描述系統(tǒng)的微分方程高于二階，則該系統(tǒng)為高階系統(tǒng)。在控制工程中，大多數(shù)控制系統(tǒng)為高階系統(tǒng)。在控制工程中，大多數(shù)控

37、制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng)。從理論上講，高階系統(tǒng)也系統(tǒng)都是高階系統(tǒng)。從理論上講，高階系統(tǒng)也可以直接由傳遞函數(shù)求出它的時(shí)域響應(yīng)，然后可以直接由傳遞函數(shù)求出它的時(shí)域響應(yīng)，然后按上述二階系統(tǒng)的分析方法來確定系統(tǒng)的瞬態(tài)按上述二階系統(tǒng)的分析方法來確定系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)。但是，高階系統(tǒng)的分布計(jì)算比較困性能指標(biāo)。但是，高階系統(tǒng)的分布計(jì)算比較困難，同時(shí)，在工程設(shè)計(jì)的許多問題中，過分講難，同時(shí)，在工程設(shè)計(jì)的許多問題中，過分講究精確往往是不必要的，甚至是無意義的。因究精確往往是不必要的，甚至是無意義的。因此，工程上通常把高階系統(tǒng)適當(dāng)?shù)睾喕傻碗A此，工程上通常把高階系統(tǒng)適當(dāng)?shù)睾喕傻碗A系統(tǒng)進(jìn)行分析。下面簡單地介紹高階系統(tǒng)時(shí)

38、域系統(tǒng)進(jìn)行分析。下面簡單地介紹高階系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的確定方法及研究高階系統(tǒng)性能的思路和響應(yīng)的確定方法及研究高階系統(tǒng)性能的思路和途徑。途徑。第48頁/共115頁設(shè)高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為假設(shè)系統(tǒng)所有零點(diǎn)、極點(diǎn)互不相同，且極點(diǎn)中假設(shè)系統(tǒng)所有零點(diǎn)、極點(diǎn)互不相同，且極點(diǎn)中q q個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)和個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)和r r對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)，零點(diǎn)中只有實(shí)數(shù)對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)，零點(diǎn)中只有實(shí)數(shù)極點(diǎn)，則系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為極點(diǎn)，則系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為式中式中 n=q+2rn=q+2r011011.)(asasabsbsbsnnnnmmmmsssPsZsKsRssCrknknkkqiimjjr1)2()

39、()()()()(12211第49頁/共115頁將上式展開成部分分式，得將上式展開成部分分式，得 式中式中 、 、 和和 都是進(jìn)行部分都是進(jìn)行部分分式展開時(shí)所確定的常數(shù)。分式展開時(shí)所確定的常數(shù)。 對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，求得系統(tǒng)在零對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，求得系統(tǒng)在零初始條件下的單位階躍響應(yīng)為初始條件下的單位階躍響應(yīng)為 由此可見，高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)是由穩(wěn)態(tài)值和由此可見，高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)是由穩(wěn)態(tài)值和一些慣性環(huán)節(jié)及振蕩環(huán)節(jié)的瞬態(tài)響應(yīng)分量所組一些慣性環(huán)節(jié)及振蕩環(huán)節(jié)的瞬態(tài)響應(yīng)分量所組成。成。qirknknkkknkknkkkiissCsBPsssC11222021)()(0ikkCqiknkrktktp

40、iteetCnkki1210)1cos()(rknktkteCnkk12)1sin()0( t第50頁/共115頁 各瞬態(tài)分量在過渡過程中所起作用的大小，各瞬態(tài)分量在過渡過程中所起作用的大小，將取決于它們的指數(shù)將取決于它們的指數(shù) 、 的值和相應(yīng)的值和相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)項(xiàng)的系數(shù) 、 、 的大小。如果系統(tǒng)所的大小。如果系統(tǒng)所有極點(diǎn)都分布在有極點(diǎn)都分布在S S平面的左半部分，即所有極平面的左半部分，即所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部，那么，當(dāng)點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部，那么，當(dāng)t t趨于無窮大時(shí)，趨于無窮大時(shí)，式中的指數(shù)項(xiàng)都趨于零，系統(tǒng)的響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)式中的指數(shù)項(xiàng)都趨于零，系統(tǒng)的響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。值。 由式（由式（3-273-27）

41、可以看出，在瞬態(tài)過程中，）可以看出，在瞬態(tài)過程中，某衰減項(xiàng)的指數(shù)某衰減項(xiàng)的指數(shù) 或或 的值越大，則該的值越大，則該項(xiàng)衰減越快，反之亦然。而項(xiàng)衰減越快，反之亦然。而 和和 就是就是系統(tǒng)的極點(diǎn)到虛軸的距離，因此，如果分布在系統(tǒng)的極點(diǎn)到虛軸的距離，因此，如果分布在S S平面左半部分的極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，則它對(duì)應(yīng)平面左半部分的極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，則它對(duì)應(yīng)的分量衰減越快。的分量衰減越快。顯然，對(duì)系統(tǒng)過渡過程影響顯然，對(duì)系統(tǒng)過渡過程影響最大的，是那些離虛軸最近的極點(diǎn)。最大的，是那些離虛軸最近的極點(diǎn)。iPnkkikCkBiPnkkiPnkk第51頁/共115頁 各衰減項(xiàng)的系數(shù)不僅與相應(yīng)的極點(diǎn)在各衰減項(xiàng)的系數(shù)不僅與相

42、應(yīng)的極點(diǎn)在S S平平面中的位置有關(guān)，而且還與零點(diǎn)的位置有關(guān)。面中的位置有關(guān)，而且還與零點(diǎn)的位置有關(guān)。極點(diǎn)的位置距原點(diǎn)越遠(yuǎn)，則相應(yīng)分量的系數(shù)越極點(diǎn)的位置距原點(diǎn)越遠(yuǎn)，則相應(yīng)分量的系數(shù)越小，該分量對(duì)系統(tǒng)過渡過程的影響就越小。如小，該分量對(duì)系統(tǒng)過渡過程的影響就越小。如果某極點(diǎn)與零點(diǎn)很靠近，則相應(yīng)分量的系數(shù)也果某極點(diǎn)與零點(diǎn)很靠近，則相應(yīng)分量的系數(shù)也很小，這對(duì)零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)過度過程的影響也將很小，這對(duì)零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)過度過程的影響也將很小。很小。 因此，因此，高階系統(tǒng)的瞬態(tài)特性主要由系統(tǒng)高階系統(tǒng)的瞬態(tài)特性主要由系統(tǒng)傳遞函數(shù)中那些靠近虛軸而又遠(yuǎn)離零點(diǎn)的極點(diǎn)傳遞函數(shù)中那些靠近虛軸而又遠(yuǎn)離零點(diǎn)的極點(diǎn)來決定。來決定。如

43、果高階系統(tǒng)有一個(gè)極點(diǎn)（或一對(duì)共如果高階系統(tǒng)有一個(gè)極點(diǎn)（或一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)）離虛軸最近，且其附近又無零點(diǎn)軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)）離虛軸最近，且其附近又無零點(diǎn)存在，而其他所有極點(diǎn)與虛軸的距離都在此極存在，而其他所有極點(diǎn)與虛軸的距離都在此極點(diǎn)與虛軸的距離的五倍以上，則可近似的認(rèn)為點(diǎn)與虛軸的距離的五倍以上，則可近似的認(rèn)為系統(tǒng)的瞬態(tài)特性由這個(gè)（或這對(duì)）極點(diǎn)來確定，系統(tǒng)的瞬態(tài)特性由這個(gè)（或這對(duì)）極點(diǎn)來確定，而其它極點(diǎn)的影響可而其它極點(diǎn)的影響可以忽略不計(jì)，這個(gè)（或這以忽略不計(jì)，這個(gè)（或這對(duì)）極點(diǎn)就稱為高階系統(tǒng)的對(duì)）極點(diǎn)就稱為高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。主導(dǎo)極點(diǎn)。第52頁/共115頁 高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)常常是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，高階系

44、統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)常常是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，因此高階系統(tǒng)可以常用主導(dǎo)極點(diǎn)構(gòu)成的二階系因此高階系統(tǒng)可以常用主導(dǎo)極點(diǎn)構(gòu)成的二階系統(tǒng)來近似。相應(yīng)的性能指標(biāo)可按二階系統(tǒng)的各統(tǒng)來近似。相應(yīng)的性能指標(biāo)可按二階系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)來估計(jì)。在設(shè)計(jì)高階系統(tǒng)時(shí)，常利用主項(xiàng)指標(biāo)來估計(jì)。在設(shè)計(jì)高階系統(tǒng)時(shí)，常利用主導(dǎo)極點(diǎn)的概念來選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有預(yù)導(dǎo)極點(diǎn)的概念來選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有預(yù)期的一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，這樣，就可以近期的一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，這樣，就可以近似的用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來設(shè)計(jì)系統(tǒng)似的用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來設(shè)計(jì)系統(tǒng)。第53頁/共115頁3-5 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 在控制系統(tǒng)的分析研究中，最重要的問在控制系統(tǒng)的分析研

45、究中，最重要的問題是系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。不穩(wěn)定的系統(tǒng)在受到題是系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。不穩(wěn)定的系統(tǒng)在受到外界或內(nèi)部的一些因素?cái)_動(dòng)時(shí)，會(huì)使被控制量外界或內(nèi)部的一些因素?cái)_動(dòng)時(shí)，會(huì)使被控制量偏離原來的平衡工作狀態(tài)，并隨時(shí)間的推移而偏離原來的平衡工作狀態(tài)，并隨時(shí)間的推移而發(fā)散。因此，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無法正常工作的。發(fā)散。因此，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無法正常工作的。在這一節(jié)中將討論穩(wěn)定性的定義，穩(wěn)定的充要在這一節(jié)中將討論穩(wěn)定性的定義，穩(wěn)定的充要條件及判別穩(wěn)定性的基本方法。條件及判別穩(wěn)定性的基本方法。一、穩(wěn)定的概念和定義 在自動(dòng)控制理論中，有多種穩(wěn)定性的定在自動(dòng)控制理論中，有多種穩(wěn)定性的定義，這里只討論其中最常用的一種，即

46、漸近穩(wěn)義，這里只討論其中最常用的一種，即漸近穩(wěn)定性的定義。定性的定義。第54頁/共115頁穩(wěn)定與不穩(wěn)定系統(tǒng)的示例穩(wěn)定與不穩(wěn)定系統(tǒng)的示例 AAfdfc第55頁/共115頁二. .穩(wěn)定的充要條件 穩(wěn)定性是系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后，自身具有的一種恢穩(wěn)定性是系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后，自身具有的一種恢復(fù)能力，它是系統(tǒng)的一種固有特性，這種特性只取決復(fù)能力，它是系統(tǒng)的一種固有特性，這種特性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用無關(guān)。于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用無關(guān)。線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性的定義：如果線性定常系統(tǒng)受線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性的定義：如果線性定常系統(tǒng)受到擾動(dòng)的作用，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動(dòng)消到擾動(dòng)的作用，偏離了原來的

47、平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則稱失后，系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的（簡稱為穩(wěn)定）。否則，稱該系該系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的（簡稱為穩(wěn)定）。否則，稱該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 在下面的討論中，如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是建立在在下面的討論中，如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是建立在小偏差線性化的基礎(chǔ)上，則認(rèn)為系統(tǒng)中各信號(hào)的變化小偏差線性化的基礎(chǔ)上，則認(rèn)為系統(tǒng)中各信號(hào)的變化均不超出其線性范圍。此時(shí)，該系統(tǒng)采用上述的穩(wěn)定均不超出其線性范圍。此時(shí)，該系統(tǒng)采用上述的穩(wěn)定性的定義。性的定義。第56頁/共115頁 根據(jù)上述穩(wěn)定性的定義，可以用 函數(shù)作為擾動(dòng)來討論系統(tǒng)的穩(wěn)

48、定性。 設(shè)線性定常系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，輸入一個(gè)理想單位脈沖 ，這相當(dāng)于系統(tǒng)在零平衡狀態(tài)下，受到一個(gè)擾動(dòng)信號(hào)的作用，如果當(dāng)t趨于 時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)C(t)收斂到原來的零平衡狀態(tài)，即該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。 根據(jù)這個(gè)思路分析系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。 設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )(t0)(limtCt011011.)(asasabsbsbsnnnnmmmm)(t第57頁/共115頁特征方程為特征方程為 如果特征方程的所有根互不相同，且有如果特征方程的所有根互不相同，且有q q個(gè)個(gè)實(shí)數(shù)根實(shí)數(shù)根 和和r r對(duì)共軛復(fù)數(shù)根對(duì)共軛復(fù)數(shù)根 , ,則在單位脈沖函數(shù)則在單位脈沖函數(shù) 的作用下，系統(tǒng)輸出量的的作用下，系統(tǒng)輸出

49、量的拉氏變換可表示為拉氏變換可表示為將上式用部分分式法展開并進(jìn)行拉氏反變換得將上式用部分分式法展開并進(jìn)行拉氏反變換得 （3-28）式中式中0.011asasannnni21nknkkj)(t1)2()()()(11221qirknknkkimjjrssPsZsKsCqirkdkkdkkttitCteetCnkki11)sincos()(21nkdk第58頁/共115頁 式（式（3-283-28）表明）表明 當(dāng)系統(tǒng)特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部時(shí)，則各瞬態(tài)分當(dāng)系統(tǒng)特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部時(shí)，則各瞬態(tài)分量都是衰減的，且有量都是衰減的，且有 ，此時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定，此時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。的。 如果特征根中有一個(gè)或一

50、個(gè)以上具有正實(shí)部，則該如果特征根中有一個(gè)或一個(gè)以上具有正實(shí)部，則該根對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量是發(fā)散的，此時(shí)有根對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量是發(fā)散的，此時(shí)有 ，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 如果特征根中具有一個(gè)或一個(gè)以上的零實(shí)部根，而如果特征根中具有一個(gè)或一個(gè)以上的零實(shí)部根，而其余的特征根均有負(fù)實(shí)部，則其余的特征根均有負(fù)實(shí)部，則C C（t t）趨于常數(shù)或作等趨于常數(shù)或作等幅振蕩幅振蕩，這時(shí)系統(tǒng)處于穩(wěn)定和不穩(wěn)定的臨界狀態(tài)，常這時(shí)系統(tǒng)處于穩(wěn)定和不穩(wěn)定的臨界狀態(tài)，常稱之為臨界穩(wěn)定狀態(tài)。對(duì)于大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)，當(dāng)它處稱之為臨界穩(wěn)定狀態(tài)。對(duì)于大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)，當(dāng)它處于臨界狀態(tài)時(shí)，也是不能正常工作的，所以臨界穩(wěn)定于臨界狀態(tài)時(shí)，也是不

51、能正常工作的，所以臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)在工程上屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。的系統(tǒng)在工程上屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根據(jù)都具有負(fù)實(shí)部，或者說閉環(huán)傳遞函數(shù)的程的所有根據(jù)都具有負(fù)實(shí)部，或者說閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于為所有極點(diǎn)均位于為S S平面的左半部分（不包括虛軸）。平面的左半部分（不包括虛軸）。0)(limtCt)(limtCt第59頁/共115頁三.勞斯穩(wěn)定判據(jù) 由以上討論可知，由以上討論可知，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定的充要條件是控制系統(tǒng)的穩(wěn)定的充要條件是其特征方程的根均具有負(fù)實(shí)部。其特征方程的根均具有負(fù)實(shí)部。因此，為了判別系統(tǒng)因

52、此，為了判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就要求出系統(tǒng)特征方程的根，并檢驗(yàn)它們的穩(wěn)定性，就要求出系統(tǒng)特征方程的根，并檢驗(yàn)它們是否都具有負(fù)實(shí)部。但是，這種求解系統(tǒng)特征方程的是否都具有負(fù)實(shí)部。但是，這種求解系統(tǒng)特征方程的方法，對(duì)低階系統(tǒng)尚可以進(jìn)行，而對(duì)高階系統(tǒng)，將會(huì)方法，對(duì)低階系統(tǒng)尚可以進(jìn)行，而對(duì)高階系統(tǒng)，將會(huì)遇到較大的困難。因此，人們希望尋求一種不需要求遇到較大的困難。因此，人們希望尋求一種不需要求解的特征方程而能判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的間接方法，而勞解的特征方程而能判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的間接方法，而勞斯判據(jù)就是其中的一種。勞斯判據(jù)利用特征方程的各斯判據(jù)就是其中的一種。勞斯判據(jù)利用特征方程的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，得出全部特征

53、根具有負(fù)實(shí)部的項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，得出全部特征根具有負(fù)實(shí)部的條件，以此作為判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定的依據(jù)，因此，這條件，以此作為判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定的依據(jù)，因此，這種判據(jù)又稱為代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。至于分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的種判據(jù)又稱為代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。至于分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的其它方法如奈氏判據(jù)、根軌跡圖分析法、伯德圖分析其它方法如奈氏判據(jù)、根軌跡圖分析法、伯德圖分析法等，將在以后的各章中分別予以介紹。法等，將在以后的各章中分別予以介紹。第60頁/共115頁1 1、穩(wěn)定的必要條件、穩(wěn)定的必要條件 設(shè)系統(tǒng)的特征方程為設(shè)系統(tǒng)的特征方程為 式中式中 （當(dāng)（當(dāng) 時(shí)，可將方程兩邊同乘以時(shí)，可將方程兩邊同乘以-1-1）。）。若該方程的特征

54、根為若該方程的特征根為 （1,2,1,2,. .n n）, ,該該n n個(gè)根可以是個(gè)根可以是實(shí)數(shù)也可以是復(fù)數(shù)，則式（實(shí)數(shù)也可以是復(fù)數(shù)，則式（3-293-29）可改寫成為）可改寫成為 將上式展開將上式展開0.0111asasasannnn0na0naip0).()(.210111nnnnnnnpspspsaasaasaas).(211nnnaannnnaa1423231212.nnnaa.) 1(210第61頁/共115頁由此可見，如果特征方程的根由此可見，如果特征方程的根 都具有都具有負(fù)實(shí)部，則式（負(fù)實(shí)部，則式（3-293-29）的所有系數(shù)）的所有系數(shù) 必然都大于零。故必然都大于零。故系統(tǒng)穩(wěn)定

55、的必要條件是其特征方程系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是其特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正，的各項(xiàng)系數(shù)均為正，即即naaa,10), 2, 1 , 0(0niainppp,21第62頁/共115頁2. 2. 勞斯判據(jù)勞斯判據(jù)應(yīng)用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，可按下述方應(yīng)用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，可按下述方法進(jìn)行。法進(jìn)行。將系統(tǒng)的特征方程寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式將系統(tǒng)的特征方程寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式0.0111asasasannnn) 0(0ansna2na6na4na1ns7na5na3na1na2ns1b4b3b2b3ns1c4c3c2c4ns1d4d3d2d2s1e2e1s1f0s1g第63頁/共115頁計(jì)算勞斯表的各系數(shù)

56、 13211nnnnnaaaaab15412nnnnnaaaaab17613nnnnnaaaaabib第64頁/共115頁 這個(gè)計(jì)算過程一直進(jìn)行到這個(gè)計(jì)算過程一直進(jìn)行到n+1n+1行為止。為了簡化運(yùn)算，行為止。為了簡化運(yùn)算，可以用一個(gè)正整數(shù)去乘或除其一行的各項(xiàng)，這將不改變可以用一個(gè)正整數(shù)去乘或除其一行的各項(xiàng)，這將不改變穩(wěn)定性的結(jié)論。穩(wěn)定性的結(jié)論。121211)(ccbbcd131312)(ccbbcd131512bbaabcnn141713bbaabcnn121311bbaabcnn勞斯穩(wěn)定判據(jù)（1）勞斯表第一列所有系數(shù)均不為零的情況勞斯表第一列所有系數(shù)均不為零的情況 如果勞斯表中第一列的系數(shù)

57、都具有相同的符號(hào)，則如果勞斯表中第一列的系數(shù)都具有相同的符號(hào)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。且不穩(wěn)定根的個(gè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。且不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)等于勞斯表中第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)。數(shù)等于勞斯表中第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)。第65頁/共115頁 1 14 10 6 17 2 5s4s3s6676171146658621106677916676586176672s26670626671s7916150677912667658677910s0210171462345sssss第66頁/共115頁 勞斯表第一列的系數(shù)符號(hào)相同，故系統(tǒng)的是穩(wěn)勞斯表第一列的系數(shù)符號(hào)相同，故系統(tǒng)的是穩(wěn)定的。

58、定的。 由于判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定只與勞斯表中第一列系由于判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定只與勞斯表中第一列系數(shù)的符號(hào)有關(guān)，而把勞斯表中某一行系數(shù)同乘以一個(gè)數(shù)的符號(hào)有關(guān)，而把勞斯表中某一行系數(shù)同乘以一個(gè)正數(shù)不會(huì)改變第一列系數(shù)的符號(hào)，所以為簡化運(yùn)算，正數(shù)不會(huì)改變第一列系數(shù)的符號(hào)，所以為簡化運(yùn)算，常把勞斯表的某一行同乘以以一個(gè)正數(shù)后，再繼續(xù)運(yùn)常把勞斯表的某一行同乘以以一個(gè)正數(shù)后，再繼續(xù)運(yùn)算。算。本例中，勞斯表可按如下方法計(jì)算；本例中，勞斯表可按如下方法計(jì)算； 1 14 10 6 17 2 67 58 (同乘以6) 791 134 （同乘以67） 36900 （同乘以791） 134由于第一列系數(shù)的符號(hào)相同，故系統(tǒng)穩(wěn)定，

59、結(jié)論與前由于第一列系數(shù)的符號(hào)相同，故系統(tǒng)穩(wěn)定，結(jié)論與前面一致。面一致。5s4s3s0s1s2s第67頁/共115頁例例3 34 4 已知系統(tǒng)的特征方程為已知系統(tǒng)的特征方程為 s s4 4+2s+2s2 2+s+s2 2+s+1=0+s+1=0試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解 列勞斯表如下列勞斯表如下S4 1 1 1S3 2 1 0S2 (2*11*1)/2=1/2 (2*11*0)/2=1S1 (1*12*2)/1=3S0 (3*21*0)/3= 2 由于勞斯表第一列的系數(shù)變號(hào)兩次，一次由由于勞斯表第一列的系數(shù)變號(hào)兩次，一次由1/21/2變?yōu)樽優(yōu)?3 -3 ，另

60、一次由另一次由-3-3變?yōu)樽優(yōu)? 2，故特征方程有兩個(gè)根在，故特征方程有兩個(gè)根在S S平面右半部平面右半部分，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。分，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第68頁/共115頁(2) 勞斯表某行的第一列系數(shù)等于零，而其余各項(xiàng)不全為零的情況 當(dāng)勞斯表某一行的第一列系數(shù)為零，而其余項(xiàng)不全為零，可用一個(gè)很小的正數(shù) 代替第一列的零項(xiàng)，然后按照通常方法計(jì)算勞斯表中的其余項(xiàng)。第69頁/共115頁例例 3-5 3-5 已知系統(tǒng)的特征方程為已知系統(tǒng)的特征方程為 試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解： 由特征方程列出勞斯表 1 2 5 1 2 0 5 5 當(dāng)?shù)娜≈底銐蛐r(shí)，(2e-5)/e=2-5/e 將取負(fù)值，