函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性

1、 4.4 函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性一、一階導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性二、二階導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)的凹凸性性質(zhì)性質(zhì)4.1),(),0)(0)(baxxfxf 或或證明證明.51 . 4可以得證可以得證節(jié)例節(jié)例充分性類似于充分性類似于.)()(21成立成立有有xfxf 的充要條件是的充要條件是或單減或單減上單增上單增在在則則內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè))(,)(,),(,)(baxfbabaxf一、一階導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性必要性：必要性：,)(上單增上單增在在若若baxf,2121xxbaxx 則對任何則對任何, 0)(),(00 xfbax使得使得假設(shè)有點假設(shè)有點:3 . 3可得可得那么由性質(zhì)那

2、么由性質(zhì)使得當(dāng)使得當(dāng), ),()(00baxOx 的某一鄰域的某一鄰域存在存在.)()(0成立成立有有xfxf .,)(上單增矛盾上單增矛盾在在此與此與baxf例例1 1.),()(3內(nèi)嚴(yán)格單增內(nèi)嚴(yán)格單增在在證明證明 xxf證明證明,),()(3內(nèi)處處可導(dǎo)內(nèi)處處可導(dǎo)在在由于由于 xxf,0)( xf令令23)(xxf 且且03)()0()(2 xxfxf內(nèi)滿足內(nèi)滿足，在在這時這時, 0)(3 xxxf的唯一駐點的唯一駐點得得;0,()(上嚴(yán)格單增上嚴(yán)格單增在在因此因此xf, )(00時時xxxOx .)0)(3上嚴(yán)格單增上嚴(yán)格單增，在在同理可證同理可證 xxf由于由于時時當(dāng)當(dāng),), 0(),0

3、,(21 xx,綜上所述綜上所述,),(,2121xxxx 因此對任何因此對任何,), 00(,21時時和和，同屬于同屬于當(dāng)當(dāng) xx)()(21xfxf 顯然有顯然有)()0(),0()(21xfffxf )()(21xfxf 因此因此.),()(3內(nèi)嚴(yán)格可增內(nèi)嚴(yán)格可增在在 xxf例例2確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：.23)()3(32xxxf ;e)()2(2xxxf ; 11232)()1(23 xxxxf解解1266)(2 xxxf,),(11232)()1(23處處可導(dǎo)處處可導(dǎo)內(nèi)內(nèi)在在 xxxxf, 0)( xf令令且且)2)(1(6 xx的駐點為的駐點為得得)(xf

4、. 2, 121 xx, )2()1,()( ，的單增區(qū)間為的單增區(qū)間為因此因此xf,), 2(時時 x,)2, 1(時時 x,)1,(時時 x, 0)( xf;)(單增單增xf, 0)( xf;)(單減單減xf, 0)( xf.)(單增單增xf. )21(，單減區(qū)間為單減區(qū)間為 xxxf2e )21()( 且且內(nèi)處處可導(dǎo)內(nèi)處處可導(dǎo)，在在,)(e)()2(2 xxxf,21,)( 的單增區(qū)間為的單增區(qū)間為因此因此xf,21時時 x,21,時時 x,0)( xf令令.21)( xxf的駐點為的駐點為得得, 0)( xf;)(單增單增xf,0)( xf.)(單減單減xf.,21 單減區(qū)間為單減區(qū)間

5、為13( )22fxx,)1,(時時 x且且外處處可導(dǎo)外處處可導(dǎo)內(nèi)除了內(nèi)除了在定義域在定義域,0),(23)()3(32 xxxxf, 0)( xf令令, ), 0()1,()( 的單增區(qū)間為的單增區(qū)間為因此因此xf,), 0(時時 x,)0, 1(時時 x)1(23131xx . 1)( xxf的駐點為的駐點為得得, 0)( xf;)(單增單增xf,0)( xf;)(單減單減xf,0)( xf.)(單增單增xf. )0, 1( 單減區(qū)間為單減區(qū)間為例例3.ln)(點點在其定義域內(nèi)有唯一零在其定義域內(nèi)有唯一零證明證明xxxf 證明證明.), 0()(內(nèi)嚴(yán)格單增內(nèi)嚴(yán)格單增在在因此因此 xf011

6、)( xxf)0(ln)( ，的定義域為的定義域為xxxfxxxfln)( 因此因此.), 0(1 ,e1)(上至少有一個零點上至少有一個零點在在 xf, 01e1e1 f.), 0(內(nèi)有唯一零點內(nèi)有唯一零點在定義域在定義域 ,且在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)且在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)另外另外01)1( f定義定義4.2有有121 qq2121,. ),(,),()(qqbaxxbaxf任何非負(fù)數(shù)任何非負(fù)數(shù)若對任何若對任何內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)設(shè) )()()(22112211xfqxfqxqxqf . ),()(,),()(),()(內(nèi)的下凸函數(shù)內(nèi)的下凸函數(shù)是是也稱也稱是上凹的是上凹的內(nèi)內(nèi)在在或稱或稱內(nèi)是下凸的

7、內(nèi)是下凸的在在則稱則稱baxfbaxfbaxf二、二階導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)的凹凸性.),(, )(如圖如圖方方位于這兩點間曲線的上位于這兩點間曲線的上上任意兩點的割線一定上任意兩點的割線一定曲線曲線baxxfy :,),()(在函數(shù)圖形上表現(xiàn)為在函數(shù)圖形上表現(xiàn)為內(nèi)是下凸的內(nèi)是下凸的在在baxfxyO)(xfy abBAxyO)(xfy abAB下凸下凸下凹下凹性質(zhì)性質(zhì)4.2 設(shè)設(shè) 在在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則內(nèi)可導(dǎo)，則 在在(a,b)內(nèi)內(nèi)是下凸是下凸(下凹下凹)的充要條件是的充要條件是( )f x( )f x( )0( )0)fxfx或xyO)(xfy abBAxyO)(xfy abAB推論推論. )(

8、),()()(),()(,),()(或單減或單減內(nèi)單增內(nèi)單增在在函數(shù)的充要條件是函數(shù)的充要條件是或上凹或上凹的下凸的下凸內(nèi)內(nèi)是是則則內(nèi)二階可導(dǎo)內(nèi)二階可導(dǎo)在在baxfbaxfbaxf 遞增遞增)(xf 遞減遞減)(xf 例例4確定下列函數(shù)的凹凸區(qū)間確定下列函數(shù)的凹凸區(qū)間解解xxf6)( ,), 0(時時 x.ln)()4(xxf ;e)()3(2xxxf ;)()2(4xxf ;)()1(3xxf 且且內(nèi)處處二階可導(dǎo)內(nèi)處處二階可導(dǎo)在在,),()()1(3 xxf,)0,(時時 x,0)( xf;)0,()(內(nèi)是上凸的內(nèi)是上凸的在在 xf,0)( xf.), 0()(是下凸的是下凸的在在 xf.)

9、,()(4內(nèi)是下凸的內(nèi)是下凸的在在因此因此 xxf),(, 012)(2 xxxf且且內(nèi)處處二階可導(dǎo)內(nèi)處處二階可導(dǎo)在在,),()()2(4 xxf,), 1(時時 x,)1 ,(時時 xxxxf2e )1(4)( 且且內(nèi)處處二階可導(dǎo)內(nèi)處處二階可導(dǎo)在在,),(e)()3(2 xxxf,0)( xf;)1 ,()(內(nèi)是上凸的內(nèi)是上凸的在在 xf,0)( xf.)1()(內(nèi)是下凸的內(nèi)是下凸的，在在 xf, ), 0(ln)()4( 的定義域為的定義域為xxf ), 1(,1)1 , 0(,1)(22xxxxxf ), 1,ln)1 , 0(,ln)(xxxxxf,)1 , 0(ln)(內(nèi)是下凸的內(nèi)是

10、下凸的在在因此因此xxf ,)(10ln的的不不可可導(dǎo)導(dǎo)點點是是的的點點且且xfxx 且且不不存存在在的的點點因因此此也也是是,)(xf .), 1(內(nèi)是上凸的內(nèi)是上凸的在在 xyO1xyln 例例5證明：證明：)174(.1, ), 0(,)2(11 qpqypxxyqpqpyx成立不等式成立不等式任何正數(shù)任何正數(shù)對任何對任何證明證明. )(),(e)(嚴(yán)格下凸的嚴(yán)格下凸的內(nèi)是下凸的內(nèi)是下凸的在在因此因此 xxf;),(e)()1(內(nèi)的下凸函數(shù)內(nèi)的下凸函數(shù)是是 xxf),0e)( （xxfx且且內(nèi)處處二階可導(dǎo)內(nèi)處處二階可導(dǎo)在在由于由于,),(e)( xxf)184(eee21221121 xxxqxqqq有有xyyxxqxqlnlnln2211 qqpqqyxpxx 2121,ln,ln取取, 1, 0, 0), 0(, qpqpyx因此對任何因此對任何）可得）可得由（由（184 ,),(e)()2(內(nèi)是嚴(yán)格下凸的函數(shù)內(nèi)是嚴(yán)格下凸的函數(shù)在在由于由于 xxf則則),(,2 . 421 xx對任何對任何由定義由定義1,2121 qqqq任何正數(shù)任何正數(shù)qpqypxxy