函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性

1、 4.4 函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性一、一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性二、二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)的凹凸性性質(zhì)性質(zhì)4.1),(),0)(0)(baxxfxf 或或證明證明.51 . 4可以得證可以得證節(jié)例節(jié)例充分性類似于充分性類似于.)()(21成立成立有有xfxf 的充要條件是的充要條件是或單減或單減上單增上單增在在則則內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè))(,)(,),(,)(baxfbabaxf一、一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性必要性：必要性：,)(上單增上單增在在若若baxf,2121xxbaxx 則對(duì)任何則對(duì)任何, 0)(),(00 xfbax使得使得假設(shè)有點(diǎn)假設(shè)有點(diǎn):3 . 3可得可得那么由性質(zhì)那

2、么由性質(zhì)使得當(dāng)使得當(dāng), ),()(00baxOx 的某一鄰域的某一鄰域存在存在.)()(0成立成立有有xfxf .,)(上單增矛盾上單增矛盾在在此與此與baxf例例1 1.),()(3內(nèi)嚴(yán)格單增內(nèi)嚴(yán)格單增在在證明證明 xxf證明證明,),()(3內(nèi)處處可導(dǎo)內(nèi)處處可導(dǎo)在在由于由于 xxf,0)( xf令令23)(xxf 且且03)()0()(2 xxfxf內(nèi)滿足內(nèi)滿足，在在這時(shí)這時(shí), 0)(3 xxxf的唯一駐點(diǎn)的唯一駐點(diǎn)得得;0,()(上嚴(yán)格單增上嚴(yán)格單增在在因此因此xf, )(00時(shí)時(shí)xxxOx .)0)(3上嚴(yán)格單增上嚴(yán)格單增，在在同理可證同理可證 xxf由于由于時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),), 0(),0

3、,(21 xx,綜上所述綜上所述,),(,2121xxxx 因此對(duì)任何因此對(duì)任何,), 00(,21時(shí)時(shí)和和，同屬于同屬于當(dāng)當(dāng) xx)()(21xfxf 顯然有顯然有)()0(),0()(21xfffxf )()(21xfxf 因此因此.),()(3內(nèi)嚴(yán)格可增內(nèi)嚴(yán)格可增在在 xxf例例2確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：.23)()3(32xxxf ;e)()2(2xxxf ; 11232)()1(23 xxxxf解解1266)(2 xxxf,),(11232)()1(23處處可導(dǎo)處處可導(dǎo)內(nèi)內(nèi)在在 xxxxf, 0)( xf令令且且)2)(1(6 xx的駐點(diǎn)為的駐點(diǎn)為得得)(xf

4、. 2, 121 xx, )2()1,()( ，的單增區(qū)間為的單增區(qū)間為因此因此xf,), 2(時(shí)時(shí) x,)2, 1(時(shí)時(shí) x,)1,(時(shí)時(shí) x, 0)( xf;)(單增單增xf, 0)( xf;)(單減單減xf, 0)( xf.)(單增單增xf. )21(，單減區(qū)間為單減區(qū)間為 xxxf2e )21()( 且且內(nèi)處處可導(dǎo)內(nèi)處處可導(dǎo)，在在,)(e)()2(2 xxxf,21,)( 的單增區(qū)間為的單增區(qū)間為因此因此xf,21時(shí)時(shí) x,21,時(shí)時(shí) x,0)( xf令令.21)( xxf的駐點(diǎn)為的駐點(diǎn)為得得, 0)( xf;)(單增單增xf,0)( xf.)(單減單減xf.,21 單減區(qū)間為單減區(qū)間

5、為13( )22fxx,)1,(時(shí)時(shí) x且且外處處可導(dǎo)外處處可導(dǎo)內(nèi)除了內(nèi)除了在定義域在定義域,0),(23)()3(32 xxxxf, 0)( xf令令, ), 0()1,()( 的單增區(qū)間為的單增區(qū)間為因此因此xf,), 0(時(shí)時(shí) x,)0, 1(時(shí)時(shí) x)1(23131xx . 1)( xxf的駐點(diǎn)為的駐點(diǎn)為得得, 0)( xf;)(單增單增xf,0)( xf;)(單減單減xf,0)( xf.)(單增單增xf. )0, 1( 單減區(qū)間為單減區(qū)間為例例3.ln)(點(diǎn)點(diǎn)在其定義域內(nèi)有唯一零在其定義域內(nèi)有唯一零證明證明xxxf 證明證明.), 0()(內(nèi)嚴(yán)格單增內(nèi)嚴(yán)格單增在在因此因此 xf011

6、)( xxf)0(ln)( ，的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閤xxfxxxfln)( 因此因此.), 0(1 ,e1)(上至少有一個(gè)零點(diǎn)上至少有一個(gè)零點(diǎn)在在 xf, 01e1e1 f.), 0(內(nèi)有唯一零點(diǎn)內(nèi)有唯一零點(diǎn)在定義域在定義域 ,且在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)且在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)另外另外01)1( f定義定義4.2有有121 qq2121,. ),(,),()(qqbaxxbaxf任何非負(fù)數(shù)任何非負(fù)數(shù)若對(duì)任何若對(duì)任何內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)設(shè) )()()(22112211xfqxfqxqxqf . ),()(,),()(),()(內(nèi)的下凸函數(shù)內(nèi)的下凸函數(shù)是是也稱也稱是上凹的是上凹的內(nèi)內(nèi)在在或稱或稱內(nèi)是下凸的

7、內(nèi)是下凸的在在則稱則稱baxfbaxfbaxf二、二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)的凹凸性.),(, )(如圖如圖方方位于這兩點(diǎn)間曲線的上位于這兩點(diǎn)間曲線的上上任意兩點(diǎn)的割線一定上任意兩點(diǎn)的割線一定曲線曲線baxxfy :,),()(在函數(shù)圖形上表現(xiàn)為在函數(shù)圖形上表現(xiàn)為內(nèi)是下凸的內(nèi)是下凸的在在baxfxyO)(xfy abBAxyO)(xfy abAB下凸下凸下凹下凹性質(zhì)性質(zhì)4.2 設(shè)設(shè) 在在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則內(nèi)可導(dǎo)，則 在在(a,b)內(nèi)內(nèi)是下凸是下凸(下凹下凹)的充要條件是的充要條件是( )f x( )f x( )0( )0)fxfx或xyO)(xfy abBAxyO)(xfy abAB推論推論. )(

8、),()()(),()(,),()(或單減或單減內(nèi)單增內(nèi)單增在在函數(shù)的充要條件是函數(shù)的充要條件是或上凹或上凹的下凸的下凸內(nèi)內(nèi)是是則則內(nèi)二階可導(dǎo)內(nèi)二階可導(dǎo)在在baxfbaxfbaxf 遞增遞增)(xf 遞減遞減)(xf 例例4確定下列函數(shù)的凹凸區(qū)間確定下列函數(shù)的凹凸區(qū)間解解xxf6)( ,), 0(時(shí)時(shí) x.ln)()4(xxf ;e)()3(2xxxf ;)()2(4xxf ;)()1(3xxf 且且內(nèi)處處二階可導(dǎo)內(nèi)處處二階可導(dǎo)在在,),()()1(3 xxf,)0,(時(shí)時(shí) x,0)( xf;)0,()(內(nèi)是上凸的內(nèi)是上凸的在在 xf,0)( xf.), 0()(是下凸的是下凸的在在 xf.)

9、,()(4內(nèi)是下凸的內(nèi)是下凸的在在因此因此 xxf),(, 012)(2 xxxf且且內(nèi)處處二階可導(dǎo)內(nèi)處處二階可導(dǎo)在在,),()()2(4 xxf,), 1(時(shí)時(shí) x,)1 ,(時(shí)時(shí) xxxxf2e )1(4)( 且且內(nèi)處處二階可導(dǎo)內(nèi)處處二階可導(dǎo)在在,),(e)()3(2 xxxf,0)( xf;)1 ,()(內(nèi)是上凸的內(nèi)是上凸的在在 xf,0)( xf.)1()(內(nèi)是下凸的內(nèi)是下凸的，在在 xf, ), 0(ln)()4( 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閤xf ), 1(,1)1 , 0(,1)(22xxxxxf ), 1,ln)1 , 0(,ln)(xxxxxf,)1 , 0(ln)(內(nèi)是下凸的內(nèi)是

10、下凸的在在因此因此xxf ,)(10ln的的不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)是是的的點(diǎn)點(diǎn)且且xfxx 且且不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)因因此此也也是是,)(xf .), 1(內(nèi)是上凸的內(nèi)是上凸的在在 xyO1xyln 例例5證明：證明：)174(.1, ), 0(,)2(11 qpqypxxyqpqpyx成立不等式成立不等式任何正數(shù)任何正數(shù)對(duì)任何對(duì)任何證明證明. )(),(e)(嚴(yán)格下凸的嚴(yán)格下凸的內(nèi)是下凸的內(nèi)是下凸的在在因此因此 xxf;),(e)()1(內(nèi)的下凸函數(shù)內(nèi)的下凸函數(shù)是是 xxf),0e)( （xxfx且且內(nèi)處處二階可導(dǎo)內(nèi)處處二階可導(dǎo)在在由于由于,),(e)( xxf)184(eee21221121 xxxqxqqq有有xyyxxqxqlnlnln2211 qqpqqyxpxx 2121,ln,ln取取, 1, 0, 0), 0(, qpqpyx因此對(duì)任何因此對(duì)任何）可得）可得由（由（184 ,),(e)()2(內(nèi)是嚴(yán)格下凸的函數(shù)內(nèi)是嚴(yán)格下凸的函數(shù)在在由于由于 xxf則則),(,2 . 421 xx對(duì)任何對(duì)任何由定義由定義1,2121 qqqq任何正數(shù)任何正數(shù)qpqypxxy