單輝祖工力空間力系

1、空 間 任 意 力 系第 五 章1 1、回顧力在直角坐標(biāo)軸上的投影、回顧力在直角坐標(biāo)軸上的投影 X X = = F F sinsin coscos Y Y = = F F sinsin sinsin Z Z = = F F coscos X X = = F F coscos Y Y = = F F coscos Z Z = = F F coscos x xy yz zX XZ ZY YF F X XZ ZY YF F x xy yz z 2. 2. 回顧力對點的矩回顧力對點的矩力力F F 對點對點O O的矩矢的矩矢MMO O(F)(F)=(=(yZyZzYzY ) )i i + ( + (zX

2、 zX xZxZ) )j j + (+ (xY xY yXyX ) )k k 大小為：大小為：| |MMO O ( (F F)|= )|= FhFh =2=2 OABOAB OABOAB為圖中陰影部分的面積為圖中陰影部分的面積 力對軸之矩是力對繞力對軸之矩是力對繞該定軸轉(zhuǎn)動的物體作用該定軸轉(zhuǎn)動的物體作用效果的度量效果的度量 門上作用一個力門上作用一個力 F F 假定門繞假定門繞 z z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 將力將力 F F 向向 z z 軸和軸和 xyxy 面面分解成兩個分力分解成兩個分力 F Fz z 和和 F Fxyxy。 分力分力 F Fxyxy 使門繞使門繞 z z 軸旋軸旋轉(zhuǎn)。轉(zhuǎn)。 F F

3、xyxyF Fz zz zx xy yO Oz z力對軸的矩之定義力對軸的矩之定義 正負可以按右手法則確定正負可以按右手法則確定 F FF FxyxyF Fz zA AB Bh h 即即 M M z z ( ( F F ) ) = M = M O O ( ( F Fxyxy ) ) = = F Fxyxy h h = = 2 2 OAB OAB 力對軸的矩等于零的情形：力對軸的矩等于零的情形： 力與軸相交力與軸相交( ( h h = 0 ) = 0 ) 力與軸平行力與軸平行( ( F Fxyxy = 0 ) = 0 )一句話一句話: : 只要力與軸共面只要力與軸共面, ,力力對軸的矩等于零。對

4、軸的矩等于零。F FxyxyF FxyxyF Fz zF FxyxyF FxyxyF Fz zF Fxyxy 力對軸的矩是一個代數(shù)力對軸的矩是一個代數(shù)量，其絕對值等于該力在垂量，其絕對值等于該力在垂直于該軸的平面上的投影對直于該軸的平面上的投影對于此平面與該軸的交點的矩于此平面與該軸的交點的矩的大小。頂著坐標(biāo)軸看力使的大小。頂著坐標(biāo)軸看力使物體繞軸逆時針旋轉(zhuǎn)為正。物體繞軸逆時針旋轉(zhuǎn)為正。力對軸的矩之解析表達式力對軸的矩之解析表達式設(shè)空間中有一個力設(shè)空間中有一個力 F Fy yx xy yx xO Oz zF Fx xF Fy yF FxyxyX XY YZ ZF FA(x, y, z)A(x,

5、 y, z)力作用點力作用點 A A的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（x x，y y，z z ） 力力 F F 在三坐標(biāo)軸的投影分別為在三坐標(biāo)軸的投影分別為 X X, ,Y Y , ,Z Z A(x, y, z)A(x, y, z)A(x, y, z)A(x, y, z)根據(jù)合力矩定理，得根據(jù)合力矩定理，得M M z z ( ( F F ) = ) = MM O O ( ( F Fxyxy ) ) = = M M O O ( ( F Fy y ) + ) + M M O O ( (F Fx x ) ) = = x Yx Y y X y X 按相同方法可求得的其他兩式，合并寫成：按相同方法可求得的其他兩式，合

6、并寫成： MM x x ( ( F F ) = ) = y Zy Z z Yz Y M M y y ( ( F F ) = ) = z Xz Xx Zx ZMM z z ( ( F F ) = ) = x Yx Y y Xy XX XY YZ ZX XY YZ Z 力對點的矩和力對軸的矩的關(guān)系力對點的矩和力對軸的矩的關(guān)系 力對點的矩矢量可以寫成：力對點的矩矢量可以寫成： 可得可得 M M O O ( ( F F ) ) x x = = M M x x ( ( F F ) ) M M O O ( ( F F ) ) y y = = MM y y ( ( F F ) ) M M O O ( ( F

7、 F ) ) z z = = MM z z ( ( F F ) ) M M O O ( ( F F ) ) = = M M O O ( ( F F ) )x x i i + + M M O O ( ( F F ) )y y j + j + M M O O ( ( F F ) )z z k k = ( = ( yZyZ zYzY ) )i i + ( + ( zXzX xZxZ ) )j j + ( + ( xYxY yXyX ) )k k 而而 M M x x ( ( F F ) = ) = yZyZ zYzY MM y y ( ( F F ) = ) = zXzX xZxZ MM z z (

8、 ( F F ) = ) = xYxY yXyX 力對點O的矩的大小為 力對點O的矩的方向余弦為圖中力F F的大小為10kN，求的力 F F 在 x、y、z三坐標(biāo)軸的投影，以及對三坐標(biāo)軸的矩和對O點的矩。(長度單位為m)Oxyz例 5-1i ij jk k解：1、先求F F的三個方向余弦A(4,9,5)534F F F F F F2、求力的投影3、求力對軸的矩Oxyzi ij jk kA(4,9,5)534F F F FF F已算得：（求力對軸的矩也可以先將力 F 分解為三個分力，再由合力矩定理分別求出力對軸的矩）4、求力F F對O點的矩由 MMO (F F ) = M x i i + M y

9、 j j + M z k k 得：即手柄手柄 ABCE ABCE 在平面在平面 AxyAxy內(nèi)，在內(nèi)，在D D 處作處作用一個力用一個力F F，它垂直，它垂直y y軸，偏離鉛垂線的角度為軸，偏離鉛垂線的角度為 ，若，若CDCD = = a a，BCBC x x軸，軸，CECE y y軸，軸，ABAB = = BCBC = = l l。求力求力F F對對x x、y y和和z z三軸的矩三軸的矩。例 5-2CDEAxzyF FB顯然，顯然， F Fx x = = F Fsinsin F Fz z = = F Fcoscos 由合力矩定理可得：由合力矩定理可得：C CD DE EA Ax xz zy

10、 y B B解法解法1 1將力將力F F沿坐標(biāo)軸分解沿坐標(biāo)軸分解為為F Fx x 和和F Fz z。F Fx xF Fz zM M x x ( ( F F ) = ) = MM x x ( ( F Fz z ) = -) = -F F z z ( (AB+CDAB+CD) = - ) = - F F ( ( l l + + a a )cos)cos MM y y ( ( F F ) = ) = MM y y ( ( F Fz z ) = - ) = - F F z z ( (BCBC) = - ) = - Fl Fl coscos MM z z ( ( F F ) = ) = MM z z (

11、 ( F Fx x) = -) = -F F x x ( (AB+CDAB+CD) = -) = -F F ( ( l l + + a a )sin )sin F Fx xF Fz zF Fx xF Fz z解法解法2 2直接套用力對軸直接套用力對軸之矩的解析表達式：之矩的解析表達式：力在力在 x x、y y、z z軸軸的投影為的投影為X X = = F F sin sin Y Y = 0= 0Z Z = - = - F F cos cos C CD DE EA Ax xz zy y B BF Fx xF Fz zMM x x( ( F F )= )=yZyZzYzY =( =(l l + +

12、 a a)(- )(- F Fcoscos ) - 0 =-) - 0 =-F F( ( l l + + a a )cos )cos MM y y ( ( F F ) = ) =zX zX xZxZ = 0 - ( - = 0 - ( -l l ) (- ) (- F Fcoscos ) = - ) = - FlFlcoscos MM z z ( ( F F ) = ) = xYxYyXyX =0-( =0-(l l + + a a )( )(F Fsinsin )= -)= -F F( ( l l + + a a )sin )sin 力系的主矢力系的主矢力系對簡化中心主矩力系對簡化中心主矩O

13、F3 F1 F2 OF1 , M1F2 , M2F3 , M3 OR , Mo O O : : 簡化中心簡化中心R R = = F F1 1 + + F F2 2 + + F F3 3; ; MM o o= = MM1 1 + + MM2 2 + + MM3 3 ; ; 結(jié)論 空間任意力系向一點簡化，可得一力和一個力偶。空間任意力系向一點簡化，可得一力和一個力偶。這個力的大小和方向等于該力系的主矢，作用線通這個力的大小和方向等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心過簡化中心O O；這個力偶的矩矢等于該力系對簡化；這個力偶的矩矢等于該力系對簡化中心的主矩。中心的主矩。 主矢與簡化中心無關(guān)；主矩與簡化

14、中心的位置有主矢與簡化中心無關(guān)；主矩與簡化中心的位置有關(guān)。關(guān)。1 1、空間力系簡化為一個合力偶、空間力系簡化為一個合力偶 主矢R R = 0；主矩MMO 0 主矩與簡化中心無關(guān)。2 2、空間力系簡化為一個合力、空間力系簡化為一個合力 主矢R R 0；主矩MMO = 0 合力的作用線通過簡化中心。 主矢R R 0；主矩MMO 0 且 MMO R R 取 d= |Md= |MO O| / R| / ROOOR RR RR RR”R R合力矩定理 R =Fi ，d= |MMO| / R力偶（R R，R R）的矩MO等于R R 對O點的矩，即 MMO = MMO(R R) ，而又有 MMO = MMO

15、(F F)得關(guān)系式 MMO( R R ) = MMO(F F )即：將上式向任意軸投影（如 z 軸）得： Mz ( R R ) = M z( F F )OOOR R , ,R R , ,R RR”R R3 3、空間力系簡化為力螺旋的情形、空間力系簡化為力螺旋的情形 主矢R R 0；主矩MMO 0且MMO R ROOOOR RR R , ,R RR RMMOMMOMMOMMO右螺旋左螺旋 力螺旋就是由一個力和一個力偶組成的力系，其中的力垂直于力偶作用面 力螺旋的力作用線稱為力螺旋的中心軸 力螺旋由兩個力學(xué)基本要素組成，不能進一步合成當(dāng)主矩MMO與主矢R R即不平行也不正交時 M”O(jiān) = MO s

16、in；MO = MO cos MMO和R R組成力螺旋，其中心軸距O點的距離為：OOO MM”O(jiān)MMOMMOMMO4 4、空間力系簡化為平衡的情形、空間力系簡化為平衡的情形 主矢R R = 0；主矩MM O = 0 空間力系平衡的充分必要條件： 所有力在三個坐標(biāo)軸中的每一個軸上的投影的代數(shù)和等于零，以及這些力對于每一個坐標(biāo)軸的矩的代數(shù)和也為零。 除了上述的基本方程，還有所謂的 4 力矩、5力矩和 6 力矩式。由：得：幾種特殊情形平衡規(guī)律幾種特殊情形平衡規(guī)律 匯交力系匯交力系有三個平衡方程：有三個平衡方程： X X = 0 = 0， Y Y= 0= 0， Z Z = 0 = 0平行力系（假定力的

17、作用線平行平行力系（假定力的作用線平行 z z 軸）軸） X X00， Y Y0 0 ， MMz z 0 0 平行力系有三個平衡方程：平行力系有三個平衡方程： Z Z = 0 = 0， MM x x = 0 = 0 ， MM y y = 0= 0平面一般力系（假定力的作用面為平面一般力系（假定力的作用面為OxyOxy面）面） Z Z0 0 ， MMx x 0 0 ， MMy y 0 0 平面一般力系有三個平衡方程：平面一般力系有三個平衡方程： X X = 0 = 0， Y Y= 0= 0， MM z z = 0= 0例 5-3 均質(zhì)長方形薄板重 W = 200N，用球形鉸鏈A和蝶形鉸鏈 B 固

18、定在墻上，并用二力桿 EC 將板維持水平。求 EC 桿的拉力和鉸鏈的反力。WWZ ZBX XBZ ZAY YAX XA AT T解：解：受力分析如圖CADBabyxzE3060Z ZAY YAX XA AZ ZAY YAX XA AZ ZBX XBT TZ ZBX XBT T X X = 0 = 0，X XA A + + X XB BT T cos30 sin30 = 0 cos30 sin30 = 0 Y Y = 0 = 0，Y YA A T T cos30 cos30 = 0 cos30 cos30 = 0 Z Z = 0 = 0，Z ZA A + + Z ZB B WW + + T T

19、sin30 = 0 sin30 = 0WWZ ZB BX XB BZ ZA AY YA AX XA AT TC CA AD DB Ba ab bE E3030 6060 Z ZA AY YA AX XA AZ ZA AY YA AX XA AZ ZA AY YA AX XA AZ ZB BX XB BT TZ ZB BX XB BT TZ ZB BX XB BT T MMz z ( ( F F ) = 0 ) = 0， X X B B a a = 0 = 0 M M x x ( ( F F ) = 0 ) = 0，Z Z B B a a + +T T sin30 sin30 a a WW a

20、a / 2 = 0 / 2 = 0 M M y y ( ( F F ) = 0 ) = 0，WW b / 2 b / 2 T T sin30 sin30 b b = 0 = 0 解之得：解之得：X XA A = 86.6N = 86.6N，Y YA A = 150N = 150N， Z ZA A = 100N= 100N X X B B = 0= 0， Z Z B B = 0 = 0 ， T T = 200N = 200NW W = 200N= 200N在圖中，皮帶的拉力 F2 = 2F1，曲柄上作用有鉛垂力 F = 2000N。 已知皮帶輪的直徑D = 400mm，曲柄長R = 300mm，= 30 ，=60 。求皮帶拉力和軸承反力。例 5-4200mm200mm200mmDRF FF F2 2F F1 1AB解: 選坐標(biāo)軸如圖 (= 30 ，=60 )X = 0，F(xiàn)1sin30 + F2sin60 + XA + XB = 0Y = 0，0 = 0Z = 0，ZA + ZB - F - F1cos30 - F2cos60 = 0z yxzxF FRDF F2F F1Z ZAX XAZ ZB