6不可壓有勢流

1、理想流體多維流動基礎(chǔ)引言伯努利積分基本解拉普拉斯方程概 念無粘流理 論無旋流繞圓柱流動繞機(jī)翼流動機(jī)翼升力、誘導(dǎo)阻力復(fù) 勢 理 論平面不可壓縮實(shí) 際歐拉運(yùn)動方程速度勢函數(shù)流函數(shù)速度場壓強(qiáng)場17.1 流體微團(tuán)運(yùn)動分析一、二維流動分析21、線變形速度單位時間微團(tuán)相對伸縮量AB長s，t時間后，AB在x方向投影為則單位時間微團(tuán)x向相對伸縮量為：同理可得2、剪切變形角速度流體線：流體質(zhì)點(diǎn)組成隨流體質(zhì)點(diǎn)一起運(yùn)動，可變形但不能斷裂剪切變形角速度：任意兩相互垂直流體線夾角的時間變化率的一半以AB、AD為例3剪切變形角速度43、旋轉(zhuǎn)角速度兩條相互垂直的流體線角平分線的旋轉(zhuǎn)角速度作為微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度AB線：AD線：逆

2、時針為正，順時針為負(fù)微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度4、速度的散度和旋度散度=體積變形率5旋度67.2 有旋流動流場中流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度不等于0的運(yùn)動，旋渦運(yùn)動。集中渦（物理渦）數(shù)學(xué)渦一、渦量、渦線、渦管和渦通量二、速度環(huán)量流動速度沿給定封閉曲線的線積分旋渦強(qiáng)度7三、有旋流中環(huán)量與旋渦強(qiáng)度的關(guān)系1、數(shù)量關(guān)系沿封閉曲線的速度環(huán)量等于張在該曲線上任意空間連續(xù)曲面的旋渦強(qiáng)度。即為斯托克斯定理2、斯托克斯定理的意義以速度環(huán)量代替渦強(qiáng)度旋度不能測量旋渦強(qiáng)度為面積分速度可測量環(huán)量為線積分3、應(yīng)用限制連續(xù)，單連域87.3 無旋流動有旋無旋取決于微團(tuán)是否旋轉(zhuǎn)，而與軌跡無關(guān)一、無旋流中速度勢函數(shù)有旋流中，環(huán)量積分式無旋流中全微

3、分的充要條件VxVyVz速度勢函數(shù)9對于圓柱坐標(biāo)二、引入速度勢函數(shù)的意義用一個標(biāo)量函數(shù)替代三個速度分量，簡化計算通過勢函數(shù)，可得速度場、壓強(qiáng)場等相關(guān)參數(shù)10有一二維流場，Vxxy+20t，Vy0.5 ( x2y2 )+t2，判斷其是否為無旋場，若是無旋場，求其勢函數(shù)。 解：由勢函數(shù)微分方程:所以為無旋流117.4 平面流動中的流函數(shù)一、流函數(shù)的推導(dǎo)-Vydx+Vxdy成為某函數(shù)全微分的充要條件設(shè)該函數(shù)為，則：令d0 即為常數(shù)，由流函數(shù)方程流線方程等流函數(shù)線就是流線，反之不一定成立12二、流函數(shù)與流量的關(guān)系dQ=VndlVn=Vxcos(n，x)+Vycos(n，y)dy/dl-dx/dl流場中

4、任意兩點(diǎn)流函數(shù)之差等于通過這兩點(diǎn)連線的任意曲線的體積流量13三、 速度勢與流函數(shù)的關(guān)系名稱 : 勢函數(shù) 流函數(shù) 條件: 無旋流 平面不可壓縮流引入:定義:等值線: =C (等勢線) =C (流線）性質(zhì): 等勢線與速度垂直 流線與等勢線正交14沿等流函數(shù)線：沿等勢線：數(shù)值計算中常用來劃分網(wǎng)格15解】 （1）由不可壓流體平面流動的連續(xù)性方程該流動滿足連續(xù)性方程，流動是存在的，存在流函數(shù)。 由于是平面流動 該流動無旋，存在速度勢函數(shù)。 【例4-3】 有一不可壓流體平面流動的速度分布為 該平面流動是否存在流函數(shù)和速度勢函數(shù)；若存在，試求出其表達(dá)式；若在流場中A（1m，1m）處的絕對壓強(qiáng)為1.4105P

5、a，流體的密度1.2kg/m3，則B（2m，5m）處的絕對壓強(qiáng)是多少？ 【16（2）由流函數(shù)的全微分得：積分 由速度勢函數(shù)的全微分得：積分 （3）由于 ，因此，A和B處的速度分別為 由伯努利方程可得17C2 不可壓縮無粘性流體平面勢流平面勢流平面流存在速度勢無旋流不可壓縮存在流函數(shù)平面勢流與基本解 挑選一些基本解i(i)，疊加后若滿足邊界條件即是所求之解。187.5 不可壓平面勢流的勢函數(shù)方程和流函數(shù)方程一、勢函數(shù)方程由不可壓連續(xù)方程對無旋流動：代入連續(xù)方程勢函數(shù)方程梯度的散度19二、流函數(shù)方程無旋流條件：代入上式流函數(shù)方程三、邊界條件外邊界（無窮遠(yuǎn)）：內(nèi)邊界（物面）：207.6 基本解的疊加

6、原理設(shè)有兩個勢函數(shù)1，2則：相加兩勢流疊加得一新勢流，其速度勢函數(shù)216.4 幾種簡單的平面勢流一、直勻流 全流場以等速(U)做平行直線流動速度分布勢函數(shù)流函數(shù)Vx=V，Vy=0Vx=Vcos，Vy= Vsin= Vcosx+ Vsiny+C= -Vsinx+ Vcosy+C= Vx+ C= Vy+C22二 點(diǎn)源與點(diǎn)匯物理背景 點(diǎn)源（Q 0）：流體從一點(diǎn)均勻地流向各方向； 點(diǎn)匯（Q 0）：流體從各方向均勻地流入一點(diǎn)。當(dāng)源匯位于原點(diǎn)O速度分布式為Q=2rVr=CVr=Q/ 2r當(dāng)r0， Vr ，為數(shù)學(xué)中的奇點(diǎn)勢函數(shù)：流函數(shù)：23三、 點(diǎn)渦物理背景 與平面垂直的直渦線（強(qiáng)度為）誘導(dǎo)的流場。當(dāng)點(diǎn)渦位

7、于原點(diǎn)O，勢函數(shù)和流函數(shù)為速度分布式為24四、 偶極子當(dāng)偶極子位于原點(diǎn)等勢線=C流線 =C物理背景 點(diǎn)源點(diǎn)匯無限接近(0)形成的流場。 （偶極矩M = Q= 常數(shù)，源匯）257.7 幾種簡單平面勢流的疊加一、點(diǎn)源和點(diǎn)渦的疊加勢函數(shù)流函數(shù)流線方程：速度分布：26二、直勻流和點(diǎn)源疊加取Vx=V直勻流和位于原點(diǎn)的點(diǎn)源疊加勢函數(shù)流函數(shù)：速度場：疊加場的特征：1、離源越遠(yuǎn)對直勻流影響越??；2、存在速度為0點(diǎn)，即駐點(diǎn)S；27位置確定：3、S點(diǎn)后，流體分成兩路，相當(dāng)此處有一物體，稱半無限體。半無限體輪廓線：將駐點(diǎn)坐標(biāo)代入流線方程：輪廓方程為：采用不同強(qiáng)度的源流沿軸排列，可模擬不同的物面。28例C2.4.4

8、蘭金半體繞流：均流+點(diǎn)源已知: 位于原點(diǎn)的強(qiáng)度為Q（Q0）的點(diǎn)源與沿x方向速度為U的均流疊 加成一平面流場。求： （1）流函數(shù)與速度勢函數(shù)；（2）速度分布式；（3）流線方程； （4）畫出零流線及部分流線圖。解： （1）流函數(shù)與速度勢函數(shù)的極坐標(biāo)形式分別為 （2）速度分布式為 （3）流線方程為 常數(shù)C取不同值代表不同的流線，其中零流線的一部分為該流場繞流物體的輪廓線。(a)(d)(c)(b)(e)29通過駐點(diǎn)A（-b,0）的右半部分零流線由A點(diǎn)的流函數(shù)值決定 （4）零流線的左半支是負(fù)x軸的一部分（=），駐點(diǎn)A（-b,0）由 （c）式?jīng)Q定零流線方程為 零流線及部分流線如圖CE2.4.4所示，右半部

9、分所圍區(qū)域稱為蘭金(Rankine)半體，在無窮遠(yuǎn)處0和2，零流線的兩支趨于平行。由（g）式可確定兩支距x軸的距離分別為 (f)(g)30繞圓柱的平面勢流6.6 直勻流繞不帶環(huán)流圓柱體流動（無環(huán)量圓柱繞流）一、求解流場均 流求流函數(shù)偶極子基本解疊加邊界條件 圓柱面為零流線311、流動邊界條件：外邊界：r內(nèi)邊界：r=R采用速度V直勻流與強(qiáng)度M偶極流疊加，復(fù)合流動勢函數(shù)為：對應(yīng)速度分布為：是否滿足邊界條件？外邊界：r滿足32內(nèi)邊界：r=R若Vr=0，則滿足疊加后的勢函數(shù)為：同理流函數(shù)為：2、勢函數(shù)與流函數(shù)3、速度分布:334. 圓柱面上壓強(qiáng)分布表面壓強(qiáng)系數(shù)5. 壓強(qiáng)合力 Fx=0（達(dá)朗貝爾佯繆）， Fy=0代入上式則：34二、圓柱形測速管原理圓柱各點(diǎn)壓強(qiáng)為：只要測出P1，P2，P3就可求得速度含 有3個未知數(shù)，需開3個孔實(shí)際流體需要校準(zhǔn)，確定儀表系數(shù)357.8 直勻流繞帶環(huán)流圓柱體流動（有環(huán)量圓柱繞流）在無環(huán)量圓柱繞流流場中再疊加一個點(diǎn)渦（順時針）一、求解流場二、流場分析1. 速度分布在圓柱面(S)上36C2.5.2 有環(huán)量圓柱繞流2. 求解駐點(diǎn)位置(cr)3. 表面壓強(qiáng)系數(shù)|4aU 無駐點(diǎn)(自由駐