拉格朗日第二類方程

1、1 第三篇第三篇 完整系統(tǒng)動力學(xué)完整系統(tǒng)動力學(xué)自由度f = 廣義坐標(biāo)數(shù)k2 應(yīng)用動力學(xué)普遍方程求解復(fù)雜的非自由質(zhì)點(diǎn)系的動力學(xué)問題并不方便，由于約束的限制，各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)不獨(dú)立，解題時必須用約束方程消去多余的坐標(biāo)變分。如果先考慮約束條件，采用廣義坐標(biāo)表示動力學(xué)普遍方程，就可得到與廣義坐標(biāo)數(shù)目相同的一組獨(dú)立的微分方程，從而使復(fù)雜的動力學(xué)問題變得簡單，這就是著名的拉格朗日方程。 拉格朗日第二類方程是研究動力學(xué)問題的又一有力手段，在解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動力學(xué)問題時，顯得十分簡捷、規(guī)范。 第六章第六章 拉格朗日第二類方程拉格朗日第二類方程3 質(zhì)點(diǎn)系：n個質(zhì)點(diǎn)，受d個完整約束，取k=3n-d個廣義坐標(biāo)：q1，

2、.， qk ，系統(tǒng)的位形： 6.1 動能的廣義坐標(biāo)表達(dá)式動能的廣義坐標(biāo)表達(dá)式) 1 . 1 . 6(),.,(21tqqqrrkii)2 . 1 . 6(1trqqrrijkjjii于是：系統(tǒng)的動能：)3 . 1 . 6(2121211iniiiiniirmrrmTtrqriji/,/其中 都是qj和t的函數(shù)4 trtrmqtrqrmqqrqqrminiiijinikjjiiijkjkjinii1111112121)()(21111trqqrtrqqrmikiijkjjiniitrtrmqtrqrmqqqrqrminiiijikjnijiijikjkjinii 11111121)()(215

3、顯然，aj、bj、c都是都是qj和t的函數(shù)令再令qrqrmaijiniij1trqrmbinijiij1trtrmciniii1qqaTjkjkj11221jkjjqbT11cT210則系統(tǒng)的動能： T=T2+ T1 + T0 (6.1.5)式中T2、T1 、T0 分別是廣義速度的二次、一次、零次齊次函數(shù)6 對定常系統(tǒng)， 中不顯含時間t，即 ，于是T1 =0，T0 =0ir0/tri)6 . 1 . 6(21112qqaTTjkjkj故定常系統(tǒng)的動能是廣義速度的二次齊次函數(shù)（二次型）。由于動能恒為正，故只有當(dāng)系統(tǒng)所有質(zhì)點(diǎn)全部靜止時動能才有零值，因而以廣義速度表示的動能的二次型是正定的。計(jì)算出系

4、統(tǒng)的動能后，含有 或 的項(xiàng)為T2，含有 的項(xiàng)為T1，不含 的項(xiàng)為T0 。見P143例6-22q qqjq q 6.2 拉格郎日第二類方程拉格郎日第二類方程一 拉格郎日第二類方程7 設(shè)有n個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，受完整約束，具有f=k個自由度，可由k個廣義坐標(biāo)q1， q2，. ， qk 確定其位置。在非定常約束下，質(zhì)點(diǎn)系中任一質(zhì)點(diǎn)Mi的矢徑 )( ), 2 , 1( ),(21anitqqqrrkiiMi的虛位移（固定時間t）：)( ), 2 , 1( .12211bniqqrqqrqqrqqrrkjjjikkiiii代入質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)普遍方程：)1 .1 .3(0)(1niiiiiramF8 )1

5、.1 .3(0)(1niiiiiramF)(11dqQrFkjjjniiininiiiiiicramrF11)( 0得：第一項(xiàng)：主動力在質(zhì)點(diǎn)系的虛位移的元功之和：第二項(xiàng)：慣性力在質(zhì)點(diǎn)系的虛位移的元功之和：)()( 11111eqqramqqramramjjikjniiinijkjjiiiniiii 9)()(fqrdtdvmqrvmdtdqramjiiijiiijiii為簡化上式 , 需要用到以下兩個關(guān)系式：Mi點(diǎn)的速度： 由(a)式)(.12211gtrqqrtrqqrqqrqqrdtrdvikjjjiikkiiiii廣義速度式中：jq jiiijiiijiiiqrdtdvmqramqrvm

6、dtd)(10 trqriji,由（a）知 只是廣義坐標(biāo)和時間的函數(shù)，與廣義速度無關(guān)，故將上式對 求偏導(dǎo)：jq )(hqvqrjiji將（g）對任一廣義坐標(biāo)ql 求偏導(dǎo)：)()()(2121iqtrqqqrtrqqqrqqvlijkjjliiljjikjlli將（a）式先對ql求偏導(dǎo)再對t求導(dǎo)：11 )()()()(.)()()(21212211jqtrqqqrqrtqqrqdtdtqrtdtdqqrqdtdqqrqqrdtdlijkjljilijlikjjlililili比較（i）（j）得)(liliqrdtdqv12 將下標(biāo)l換成j得：)()(kqvqrdtdjiji將（h）（k） 代入（

7、f）得：)()21()21()(22lqvmqvmdtdqvvmqvvmdtdqramjiijiijiiijiiijiii13 于是（e）式為)()21()21()21()21()(1212112211111mqqTqTdtdqqvmqvmdtdqqvmqvmdtdqqramramjjjkjjjiinijiinikjjjiijiikjnijjiikjniiiinii 14 將（d）（m）代入（c）得：),1,2,( kjQqTqTdtdjjj 0 )(11jjjkjjkjjqqTqTdtdqQ 0 )1jjjkjjqqTqTdtdQ（或：由于qj彼此獨(dú)立，所以：這就是拉格朗日第二類方程。(6.

8、2.5)適用范圍：完整系統(tǒng)。15 （2）有勢力、非有勢力都適用（4）不含約束力。),() 1 (tqqTTjjjFjqAQ) 3( 如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的力是有勢力，則： jjqVQ二、保守系統(tǒng)的拉格朗日方程二、保守系統(tǒng)的拉格朗日方程而拉氏方程為：16 jjjqVqTqTdtd由于V=V（q1，q2，.，qk），不含廣義速度，所以0,0jjqVdtdqV jjjjqVqVdtdqTqTdtd上式為： 0 )()(jjqVTqVTdtd或：令L=T-V拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)),1,2,( 0 )(kjqLqLdtdjj保守系統(tǒng)的拉格朗日第二類方程。保守系統(tǒng)的拉格朗日第二類方程。17 應(yīng)用拉氏方程解

9、題的步驟：應(yīng)用拉氏方程解題的步驟： 1. 判定質(zhì)點(diǎn)系的自由度判定質(zhì)點(diǎn)系的自由度 f，選取適宜的廣義坐標(biāo)。必須注意：，選取適宜的廣義坐標(biāo)。必須注意：不能遺漏獨(dú)立的坐標(biāo)，也不能有多余的（不獨(dú)立）坐標(biāo)。不能遺漏獨(dú)立的坐標(biāo)，也不能有多余的（不獨(dú)立）坐標(biāo)。 2. 計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動能計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動能T，表示為廣義速度和廣義坐標(biāo)的函數(shù)。，表示為廣義速度和廣義坐標(biāo)的函數(shù)。 3. 計(jì)算廣義力計(jì)算廣義力 ，計(jì)算公式為：，計(jì)算公式為：),1,2,( kjQj)(1jiijiijiinijqzZqyYqxXQ或jjFjqAQ 若主動力為有勢力，須將勢能若主動力為有勢力，須將勢能V表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。表示為廣義坐標(biāo)的函

10、數(shù)。 4. 建立拉氏方程并加以整理，得出建立拉氏方程并加以整理，得出k個二階常微分方程。個二階常微分方程。 5. 求出上述一組微分方程的積分。求出上述一組微分方程的積分。18 例例 圖示行星齒輪機(jī)構(gòu)位于水平面內(nèi)。均質(zhì)桿OA：重P，可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動；均質(zhì)小齒輪：重Q，半徑 r ，沿半徑為R的固定大齒輪滾動。系統(tǒng)初始靜止，系桿OA位于圖示OA0位置。已知桿OA受大小不變力偶M作用后，求桿OA的運(yùn)動方程。 所受約束皆為完整、理想、定常的，取OA桿轉(zhuǎn)角 為廣義坐標(biāo)。rrRrvrRvAAA)(解解：圖示機(jī)構(gòu)只有一個自由度19 2222222222222)(92121 )(2121)(21)(3121 212

11、121rRgQPrrRrgQrRgQrRgPJvgQJTAAAO0 ; )(9261; )(926122TrRgQPTdtdrRgQPTMAQMA 20由拉氏方程：g)(92(6 0 )(926122rRQPMM rRgQP 積分，得：2122)(92(3CtCgtrRQPM22)(92(3gtrRQPM故：代入初始條件，t =0 時， 得0 0 , 02100C C QTTdtd21例例圖示系統(tǒng)，物塊C質(zhì)量為m1 ，均質(zhì)輪A、B質(zhì)量均為m2，半徑均為R，A作純滾動，求系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。解：解：系統(tǒng)具有一自由度，保守系統(tǒng)。以物塊C的平衡位置為原點(diǎn)，取x為廣義坐標(biāo)：22222121212121

12、BBAAAJvmJxmT2222222221)(2121)2(21)2(212121RxRmxmRxRmxm221)78(161xmm以平衡位置為重力勢能零點(diǎn)，彈簧原長處為彈性勢能零點(diǎn)，則22gxmxkVst12)2(21靜止平衡時彈簧的伸長stgmkst12靜止平衡時有：gxmxkxmmVTLst12221)2(21)78(161xmmxL)78(8121xmmxLdtd )78(8121kxgmxkxLst4121)2(1代入到拉氏方程 得：0 xLxLdtd02)78(21kxxmm 23 例例 與剛度為k 的彈簧相連的滑塊A，質(zhì)量為m1,可在光滑水平面上滑動?；瑝KA上又連一單擺，擺長l

13、 ， 擺錘質(zhì)量為m2 ，試列出該系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。解解：系統(tǒng)為保守二自由度系統(tǒng)。取x , 為廣義坐標(biāo)，x 軸 原點(diǎn)位于彈簧自然長度位置， 逆時針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?。cos2 )sin( )cos(222222l xlxllxvB24cos21)(21 )cos2(2121212122222212222212221l xmlmxmml xlxmxmvmxmTB以彈簧原長為彈性勢能零點(diǎn)，滑塊A所在平面為重力勢能零點(diǎn)，則：cos2122glmkxVkxxLlmxmmxLglmkxl xmlmxmmVTL , cos)(cos21cos21)(21 22122222222125 sincos)(sinsin

14、, cossincos)(22222222222221 l xml xmlmLdtdglml xmLl xmlmLlmlmxmmxLdtdkxxLlmxmmxL , cos)(221由拉氏方程： 0)( 0)(LLdtdxLxLdtd并化簡得：0sin cos0sincos)(22221glxkxlmlmxmm 26 0sin cos0sincos)(22221glxkxlmlmxmm 系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。0 0)(22221glxkxlmlmxmm 上式為系統(tǒng)在平衡位置(x =0, =0)附近微幅運(yùn)動的微分方程。 若系統(tǒng)在平衡位置附近作微幅運(yùn)動，此時 1o, cos 1,

15、 sin ，則27 6.3 拉格朗日方程的第一積分拉格朗日方程的第一積分 拉格朗日方程是關(guān)于廣義坐標(biāo)的二階非線性微分方程組，要求它們的積分一般是很困難的。但是 對于保守系統(tǒng)，可以得到拉格朗日方程的某些統(tǒng)一形式的首次積分，從而使得保守系統(tǒng)動力學(xué)問題的求解過程進(jìn)一步簡化。 保守系統(tǒng)拉格朗日方程的首次積分包括：能量積分、循環(huán)積分。 一、能量積分一、能量積分 設(shè)系統(tǒng)所受的主動力是有勢力，且拉格朗日函數(shù)L = T - V 中不顯含t ，即 ， 則),(jjqqLL28 )(dd1jjjkjjqqLqqLtL 0)(dd 1LqqLtjkjj或?qū)懗?( 1常數(shù)hLqqLjkjj (6.3.8)由保守系統(tǒng)的

16、拉氏方程可知：)(dd jjqLtqLjkjjjjjjkjqqLtqqLqqLttL 11dd)(dddd 上式稱為廣義能量積分或雅可比積分。 稱為廣義能量。)(1LqqLjkjj29于是 L= L2 + L1+ L0 (6.3.9)廣義能量積分的意義：T=T2+ T1 + T0L=T-V=T2+ T1 + T0 -VV(q,t)中不含廣義速度，令L2=T2L1=T1L0=T0-V(6.3.10)L2 、 L1 、 L0分別是廣義速度的二次、一次、零次齊次函數(shù)。 由歐拉齊次函數(shù)定理：齊次函數(shù)對各變量的偏導(dǎo)數(shù)乘以對應(yīng)的變量，相加起來，就等于這函數(shù)乘以它的次數(shù)。30(2L2 + L1)(L2 +

17、L1 + L0 )=h則由式(6.3.8)，得 這是廣義能量積分的另一種表達(dá)形式。1210111212LLqqLqqLqqLqqLjkjjjkjjjkjjjkjj或 (2T2 + T1)(T2 + T1 + T0V )=h即 T2T0 +V =h (6.3.11)對定常系統(tǒng)：對定常系統(tǒng)：(由式6.1.6)， T=T2，T0 =0，則得即 T +V =h (6.3.12)廣義能量積分退化為能量積分能量積分，即機(jī)械能守恒。31對完整保守系統(tǒng)且對完整保守系統(tǒng)且L 中不顯含中不顯含t 廣義能量積分。對非定常系統(tǒng)：對非定常系統(tǒng)：T2T0 +V =h (6.3.11)對定常系統(tǒng)：對定常系統(tǒng)：T +V =h

18、 (6.3.12)能量積分能量積分機(jī)械能守恒。結(jié)論：結(jié)論：T2T0 +V廣義能量32二、循環(huán)積分二、循環(huán)積分 如果保守系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)L中不顯含某一廣義坐標(biāo) qj , 則該坐標(biāo)稱為保守系統(tǒng)的循環(huán)坐標(biāo)或可遺坐標(biāo)。 當(dāng)qj( jk ) 為系統(tǒng)的循環(huán)坐標(biāo)時，必有0jqL于是拉氏方程成為0)(dd jqLtCqLj 或：循環(huán)積分循環(huán)積分 (6.3.15)33 jjqLp 定義：廣義動量廣義動量0jqV因L = T - V，而V中不顯含 ，即jq 因此循環(huán)積分表示廣義動量守恒廣義動量守恒。注意，廣義動量表示動量或動量矩。 jjqTp 一個系統(tǒng)的能量積分只可能有一個；而循環(huán)積分可能不止一個，有幾個循環(huán)坐

19、標(biāo)，便有幾個相應(yīng)的循環(huán)積分。 能量積分和循環(huán)積分都是由保守系統(tǒng)拉格朗日方程積分一次得到的，它們都是比拉格朗日方程低一階的微分方程。34 例如：自由質(zhì)點(diǎn)，f=k=3。q1=x， q2=y，q3=z 。 （由理論力學(xué)知，質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下的軌跡為平面曲線）又例如：萬有引力場中的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動： f=k=2。q1=r， q2=。mgzzyxmL)(21222x、y為循環(huán)坐標(biāo)。1CxmxLpx2CymyLpy動量守恒35 解解：（1）研究對象：小環(huán) f=k=1，q= q例例：半徑R的大圓環(huán)在水平面內(nèi)以勻繞O轉(zhuǎn)動，質(zhì)量為m的小環(huán)在其上無摩擦地滑動，求小環(huán)運(yùn)動微分方程的第一積分。)()(21222rMmGrr

20、mL為循環(huán)坐標(biāo)。CmrLp2動量矩守恒 （2）小環(huán)坐標(biāo)：以上兩例均有能量積分。36 V=0（水平面） (4)計(jì)算L(3)小環(huán)的約束方程非定常約束（方程中顯含t）)cos(cos)cos(cosqqtRtRRRx)sin(sinqtRtRy222)()(RyyxxCC222)sin()cos(RtRytRx即：)(2122yxmT )cos1 ()cos1 (2122222qqqqmRmRmRT2T1T037 (5)L中不顯含t，有廣義能量積分（非定常約束）： T2T0 +V =h )cos1 ()cos1 (2122222qqqqmRmRmRVTL（常量）得：hmRmR)cos1 (212222qq38 例例 楔形體重P，斜面傾角，置于光滑水平面上。均質(zhì)圓柱體重Q，半徑為 r ，在楔形體的斜面上只滾不滑。初始系統(tǒng)靜止，且圓柱體位于斜面最高點(diǎn)。試求：(1)系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程；(2)楔形體的加速度；(3)系統(tǒng)的首次積分。解：解：研究楔形體與圓柱體組成的系統(tǒng)。系統(tǒng)受