高等數(shù)學(xué)-微積分下-課件-華南理工大學(xué)(6).

1、1第六節(jié)第六節(jié) 曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念三、旋轉(zhuǎn)曲面三、旋轉(zhuǎn)曲面二、柱面二、柱面四、二次曲面四、二次曲面2水桶的表面、水桶的表面、曲面方程的定義曲面方程的定義曲面的實(shí)例曲面的實(shí)例(1)曲面曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程;(2) 滿足方程的三元數(shù)組滿足方程的三元數(shù)組(x,y,z)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都如果曲面如果曲面S0),( zyxF有下述關(guān)系有下述關(guān)系:那么那么,0),( zyxF方程方程就叫做曲面就叫做曲面S的方程的方程,而曲面而曲面S就叫做方程的圖形就叫做方程的圖形.一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念臺(tái)燈的罩子面等臺(tái)燈的罩子

2、面等.與三元方程與三元方程xyzOS0),( zyxF在曲面在曲面S上上;3解解RMM |0 202020)()()(zzyyxx2202020)()()(Rzzyyxx 所求方程為所求方程為球心在原點(diǎn)的球心在原點(diǎn)的球面方程球面方程2222Rzyx 的的、半徑為、半徑為建立球心在點(diǎn)建立球心在點(diǎn)RzyxM),(0000.球球面面方方程程例例1特殊特殊),(zyxM設(shè)設(shè)是球面上任一點(diǎn)是球面上任一點(diǎn),R21221221221)()()(zzyyxxMM 4 研究空間曲面有研究空間曲面有(2)已知曲面已知曲面,(1)已知方程已知方程,兩個(gè)基本問(wèn)題兩個(gè)基本問(wèn)題(討論旋轉(zhuǎn)曲面討論旋轉(zhuǎn)曲面)(討論柱面討論柱

3、面, 二次曲面二次曲面)求方程求方程;研究圖形研究圖形.5定義定義二、柱面二、柱面空間中一直線空間中一直線L沿著一條定曲線沿著一條定曲線C平行平行這條定曲線這條定曲線C 稱為柱面的稱為柱面的動(dòng)直線動(dòng)直線L稱為柱面的稱為柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線,母線母線.所產(chǎn)生的軌跡稱為所產(chǎn)生的軌跡稱為移動(dòng)時(shí)移動(dòng)時(shí)柱面柱面. .LC準(zhǔn)線準(zhǔn)線母線母線6因此因此,該方程的圖形是以該方程的圖形是以xOy面上以圓為準(zhǔn)面上以圓為準(zhǔn)線線, 例例2 討論方程討論方程222Ryx 在在xOy面面上上, 222Ryx 解解現(xiàn)在現(xiàn)在空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系中討論問(wèn)題中討論問(wèn)題.母線平行于母線平行于z軸的軸的柱面柱面.表一個(gè)表一個(gè)圓圓C.

4、過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作平行作平行z軸的直線軸的直線L,)0 ,(1yxM設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) 在圓在圓C上上, 對(duì)任意對(duì)任意z,點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)也滿足方程的坐標(biāo)也滿足方程沿曲線沿曲線C, 平行于平行于z軸的一切直線所形成的曲面上的點(diǎn)軸的一切直線所形成的曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)的坐標(biāo)都滿足此方程都滿足此方程, ,在在空間空間, ,222Ryx 就是就是圓柱面方程圓柱面方程. .此曲面稱為此曲面稱為圓柱面圓柱面. .),(zyxMxyzOC 1M M 的圖形的圖形.)0 ,(1yxML,222Ryx 7xyzOxyzOxy 平面平面表示母線平行于表示母線平行于zxy 表示母線平行于表示母線平行于z軸軸.xy 22xy拋物柱面拋物柱面柱

5、面舉例柱面舉例 其準(zhǔn)線是其準(zhǔn)線是xOy面面上的拋物線上的拋物線軸的柱面軸的柱面, 的柱面的柱面,其準(zhǔn)線是其準(zhǔn)線是xOy面上面上的直線的直線22xy22xy8從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征：（其他類推）（其他類推）實(shí)實(shí) 例例12222 czby橢圓橢圓柱面柱面12222 byax雙曲雙曲柱面柱面 pzx22 拋物拋物柱面柱面 , 0),(, yxFzyx的方程的方程而缺而缺只含只含直角坐標(biāo)系中表示母線平行于直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱面軸的柱面,在空間在空間為為xOy面上的曲線面上的曲線C.其準(zhǔn)線其準(zhǔn)線母線平行于母線平行于x軸軸母線平行于母線平行于z軸軸母線平行于母線平行于y

6、軸軸9三、旋轉(zhuǎn)曲面三、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義繞其平面上的一條直線繞其平面上的一條直線這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸軸.此曲線稱此曲線稱稱為稱為旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面. .旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面, ,母線母線. . 為方便為方便,平面取作坐標(biāo)面平面取作坐標(biāo)面, 旋轉(zhuǎn)軸取旋轉(zhuǎn)軸取作坐標(biāo)軸作坐標(biāo)軸. 常把曲線所在常把曲線所在以一條以一條平面曲線平面曲線母線母線軸軸10d),(zyxM設(shè)設(shè)zz 1)1(22yxd 旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的特征：旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的特征：如圖如圖將將,1zz 0),(11 zyf), 0(111zyM0),(22 zyxf得方程得方程軸的距離軸的距離到到點(diǎn)點(diǎn)zM)2(|1

7、y 221yxy 代入代入0),(11 zyfxyzO), 0(111zyM ),(zyxM0),(: zyfC110),( yf22zx 旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程.旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)一周的即為即為0),( zyfyOz坐標(biāo)面上的已知曲線坐標(biāo)面上的已知曲線同理同理,0),( zyfyOz坐標(biāo)面上的已知曲線坐標(biāo)面上的已知曲線旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程為為旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)一周的0),(22 zyxf繞繞z軸軸繞繞y軸軸12 曲線方程中與旋轉(zhuǎn)軸相同的變量不動(dòng)曲線方程中與旋轉(zhuǎn)軸相同的變量不動(dòng), 總之總之,位于坐標(biāo)面上的曲線位于坐標(biāo)面上的曲線C,繞其上的繞其上的一個(gè)一個(gè) 坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng),所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程

8、可以所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程可以這樣得到這樣得到 :而用另兩個(gè)變量的平方和的平方根而用另兩個(gè)變量的平方和的平方根(加正、加正、負(fù)號(hào)負(fù)號(hào))替代曲線方程中另一個(gè)變量即可替代曲線方程中另一個(gè)變量即可.13 解解 cotyz 圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz 所得旋轉(zhuǎn)曲面稱為所得旋轉(zhuǎn)曲面稱為圓錐面圓錐面.兩直線的交點(diǎn)稱為兩直線的交點(diǎn)稱為圓錐面的圓錐面的頂點(diǎn)頂點(diǎn),例例3 兩直線的夾角兩直線的夾角圓錐面的圓錐面的半頂角半頂角.)20( 稱為稱為試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,旋旋半頂角為半頂角為 的的 圓錐面的方程圓錐面的方程.轉(zhuǎn)軸為轉(zhuǎn)軸為z軸軸,yOz面上直線方程為面上直線方程為),(zyx

9、M ), 0(111zyM 直線直線L繞另一條與繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周相交的直線旋轉(zhuǎn)一周yxzOxyzO14圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz 即即 圓錐面方程圓錐面方程)cot()(2222 ayxaz即即,1時(shí)時(shí) a1cot 4 222yxz (用得較多用得較多) cotzy 繞繞y軸軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程及圖形旋轉(zhuǎn)所得曲面方程及圖形.)(cot2222zxy )(222zxa )cot( a cot y即即yOz面上直線方程為面上直線方程為22zx Ozxy 15 將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周,求生成求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.122

10、cz旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面例例4雙曲線雙曲線(1)12222 czax分別繞分別繞x軸和軸和z軸軸;繞繞x軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)2c22zy 22ax1 22yx 2a16繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面(2)12222 czayyOz坐標(biāo)面上的橢圓坐標(biāo)面上的橢圓繞繞y軸和軸和z軸軸;(3)pzyyOz22 坐標(biāo)面上的拋物線坐標(biāo)面上的拋物線繞繞z軸軸.17 選擇題選擇題 B方程方程222)(yxaz (A) xOz平面平面上曲線上曲線 繞繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面軸旋轉(zhuǎn)所得曲面; 22)(

11、xaz (B) xOz平面平面上直線上直線 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；xaz (C) yOz平面平面上直線上直線 繞繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；yaz (D) yOz平面平面上曲線上曲線 繞繞x軸旋轉(zhuǎn)所得曲面軸旋轉(zhuǎn)所得曲面.22)(yaz 表示表示( ).18四、二次曲面四、二次曲面 1. 二次曲面的定義二次曲面的定義 相應(yīng)地平面被稱為相應(yīng)地平面被稱為三元二次方程三元二次方程所表示的曲面稱為所表示的曲面稱為球面、球面、二次曲面二次曲面.如如: :雙曲柱面等雙曲柱面等)某些柱面某些柱面(圓柱面、拋物柱面、圓柱面、拋物柱面、一次曲面一次曲面.都是二次曲面都是二次曲面.19現(xiàn)只研

12、究幾種常見的二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程現(xiàn)只研究幾種常見的二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程.1222222 czbyaxzqypx 22221222222 czbyaxzqypx 22221222222 czbyax或或稱為稱為二次曲面二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程的標(biāo)準(zhǔn)方程.1222222 czbyax20 研究的方法是采用研究的方法是采用截痕法截痕法. 以下用以下用截痕法截痕法討論上面幾種特殊的二次曲面討論上面幾種特殊的二次曲面.從而了解曲面從而了解曲面即用坐標(biāo)面和即用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截, 考察其交線考察其交線(即截痕即截痕)的形狀的形狀,然后加以綜合然后加以綜合,的全貌的全貌.

13、212. 橢球面橢球面1222222 czbyax)0, 0, 0( cba由方程可知由方程可知, 1, 1, 1222222 czbyax即即,|,|,|czbyax 這說(shuō)明橢球面包含在由平面這說(shuō)明橢球面包含在由平面圍成的長(zhǎng)方體內(nèi)圍成的長(zhǎng)方體內(nèi).czbyax ,22先考慮橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的截痕：先考慮橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的截痕： 012222yczax 012222zbyax去截這個(gè)曲面去截這個(gè)曲面,所得截痕的方程是所得截痕的方程是)|0(11czzz 012222xczby1222222 czbyax這些截痕都是這些截痕都是橢圓橢圓.再用平行于再用平行于xOy面的平面面的平面 122122

14、221zzczbyax這些截痕也都是這些截痕也都是橢圓橢圓.23橢圓截面的大小橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化隨平面位置的變化而變化.與平面與平面 ,1xx 1yy 橢圓橢圓.同理同理,的截痕也是的截痕也是1222222 czbyax1x1yzxyOxyzO24橢球面的幾種特殊情況橢球面的幾種特殊情況:)1(1222222 czayax旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)橢球面橢球面12222 czax由橢圓由橢圓旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別區(qū)別：122222 czayx方程可寫為方程可寫為與平面與平面1zz )| (1cz ba 1222222 czbyax繞繞z軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成.的交線為的交線

15、為圓圓.25cba )2(1222222 azayax球面球面2222azyx 12122222)(zzzccayx截面上圓的方程截面上圓的方程方程可寫為方程可寫為xyzO263. 拋物面拋物面zqypx 2222（ 與與 同號(hào)）同號(hào)）pq橢圓拋物面橢圓拋物面用截痕法討論：用截痕法討論：用平面用平面)0( zxOy設(shè)設(shè)0, 0 qp原點(diǎn)叫做橢圓拋物面的原點(diǎn)叫做橢圓拋物面的去截這曲面去截這曲面,頂點(diǎn)頂點(diǎn).(1)截痕為截痕為原點(diǎn)原點(diǎn).用平面用平面1zz 11212122zzqzypzx)0(1 z去截這曲面去截這曲面,截痕為截痕為橢圓橢圓.,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)z截痕退縮為原點(diǎn)截痕退縮為原點(diǎn);,01時(shí)時(shí)當(dāng)

16、當(dāng) z截痕不存在截痕不存在.27用坐標(biāo)面用坐標(biāo)面)0( yxOz 022ypzx截痕為截痕為拋物線拋物線.zqypx 2222(2)去截這曲面去截這曲面,用平面用平面1yy 121222yyqyzpx它的軸平行于它的軸平行于 軸軸z頂點(diǎn)頂點(diǎn) qyy2, 0211去截這曲面去截這曲面, 截痕為截痕為拋物線拋物線.28用坐標(biāo)面用坐標(biāo)面)0( xyOz1xx 同理當(dāng)同理當(dāng)0, 0 qpzqypx 2222(3)時(shí)可類似討論時(shí)可類似討論.去截這曲面去截這曲面,及平面及平面截痕為截痕為拋物線拋物線.0, 0 qp0, 0 qp橢圓拋物面的圖形如下：橢圓拋物面的圖形如下：zxyOOzxyxyzO29,時(shí)時(shí)

17、當(dāng)當(dāng)qp zpypx 2222旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面)0( p(由由 面上的拋物線面上的拋物線xOzpzx22 11222zzpzyx用平面用平面1zz )0(1 z當(dāng)當(dāng) 變動(dòng)時(shí)，這種圓變動(dòng)時(shí)，這種圓的的中心中心都在都在 軸上軸上.1zz特殊地特殊地方程變?yōu)榉匠套優(yōu)閦qypx 2222而成的而成的)去截這曲面去截這曲面,截痕為截痕為圓圓.繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)30zqypx 2222（ 與與 同號(hào)）同號(hào)）pq雙曲拋物面雙曲拋物面用截痕法討論：用截痕法討論：設(shè)設(shè)0, 0 qp圖形如下：圖形如下： 有兩個(gè)異號(hào)的平方項(xiàng)有兩個(gè)異號(hào)的平方項(xiàng),另一變量另一變量方程方程 z = xy表示表示什么曲面？什么曲面？馬

18、鞍面馬鞍面特點(diǎn)是特點(diǎn)是:是一次項(xiàng)是一次項(xiàng), 無(wú)常數(shù)項(xiàng)無(wú)常數(shù)項(xiàng).(馬鞍面馬鞍面)xyzO314. 雙曲面雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax特點(diǎn)是特點(diǎn)是: 平方項(xiàng)有一個(gè)取負(fù)號(hào)平方項(xiàng)有一個(gè)取負(fù)號(hào),另兩個(gè)取正號(hào)另兩個(gè)取正號(hào). 煉油廠、煉焦廠的冷卻塔就是煉油廠、煉焦廠的冷卻塔就是單葉雙曲面單葉雙曲面的形狀的形狀.OxyzxyzO32類似地類似地,1222222 czbyax1222222 czbyax亦表示亦表示想一想想一想單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax單葉雙曲面單葉雙曲面.方程方程以上兩方程的圖形是與以上兩方程的圖形是與此圖形此圖形 一樣嗎一樣嗎?Oxyz33雙葉雙曲面雙葉雙曲面1222222 czbyax1222222 czbyax 或或 特點(diǎn)是特點(diǎn)是:平方項(xiàng)有一個(gè)取平方項(xiàng)有一個(gè)取正號(hào)正號(hào),另兩個(gè)取負(fù)號(hào)另兩個(gè)取負(fù)號(hào).它分成上、下兩個(gè)曲面它分成上、下兩個(gè)曲面.xyzO注注34 類似地類似地,1222222 czbyax或或1222222 czbyax亦表示亦表示1222222 czbyax1222222 czbyax雙葉雙曲面雙葉雙曲面 或或方程方程雙葉雙曲面雙葉雙曲面.xyzO35方程方程表示表示( )(A) 雙曲柱面雙曲柱面;(D) 錐錐面面.(C)雙葉雙曲面雙葉雙曲面;(B)旋轉(zhuǎn)