直線的兩點式方程(2)講課教案

1、直線的兩點式方程(2) 解：設直線方程為：解：設直線方程為：y=kx+b例例1.已知直線經過已知直線經過P1(1,3)和和P2(2,4)兩點兩點,求直求直線的方程線的方程一般做法：一般做法：342kbkb 由已知得：由已知得：12kb解方程組得：解方程組得：所以所以:直線方程為直線方程為: y=x+2方程思想方程思想還有其他做法嗎？ 為什么可以這樣做，這樣做的為什么可以這樣做，這樣做的根據是什么？根據是什么？02)1(123431234 yxxyk化化簡簡可可得得再再由由直直線線的的點點斜斜式式方方程程由由斜斜率率公公式式得得到到斜斜率率123413 xy即：即： 得得: y=x+2 設設P(

2、x,y)為直線上不同于為直線上不同于P1 , P2的動點的動點,與與P1(1,3)P2(2,4)在同一直線上在同一直線上,根據斜率相根據斜率相等可得：等可得：211ppppkk 二、直線的二、直線的兩點式方程兩點式方程 已知兩點已知兩點P1 ( x1 , y1 ),P2(x2 , y2),求通過這求通過這兩點的直線方程兩點的直線方程解：設點解：設點P(x,y)是直線上不同于是直線上不同于P1 , P2的點的點NoImage211121xyyxyyxx 可得直線的兩點式方程：可得直線的兩點式方程：211121yyxxyyxx kPP1= kP1P2記憶特點：記憶特點：1.左邊全為左邊全為y，右邊

3、全為，右邊全為x2.兩邊的分母全為常數兩邊的分母全為常數 3.分子，分母中的減數相同分子，分母中的減數相同 推廣推廣 不是不是! ! 121121yyyyxxxx 是不是已知任一直線中的兩點就能用兩是不是已知任一直線中的兩點就能用兩點式點式 寫出直線方程呢？寫出直線方程呢？ 兩點式不能表示平行于坐標軸或與坐兩點式不能表示平行于坐標軸或與坐標軸重合的直線標軸重合的直線注意：注意： 當當x1 x2或或y1= y2時時,直線直線P1 P2沒有兩點式程沒有兩點式程.(因因為為x1 x2或或y1= y2時時,兩點式的分母為零兩點式的分母為零,沒有意義沒有意義) 那么兩點式不能用來表示哪些直線的方程呢那么

4、兩點式不能用來表示哪些直線的方程呢? 若點若點P1 (x1 , y1 ),P2( x2 , y2)中有中有x1 x2,或或y1= y2,此時過這兩點的直線方程是什么此時過這兩點的直線方程是什么?當當x1 x2 時方程為：時方程為： x x當當 y1= y2時方程為：時方程為： y = y 例例2:已知直線已知直線 l 與與x軸的交點為軸的交點為A(a,0),與與y軸的軸的交點為交點為B(0,b),其中其中a0,b0,求直線求直線l 的方程的方程解解:將兩點將兩點A(a,0), B(0,b)的坐標代入兩點式的坐標代入兩點式, 得得:0,00yxaba 1.xyab即即所以直線所以直線l l 的方

5、程為：的方程為：1.xyab 四、直線的截距式四、直線的截距式方程方程截距可是正數截距可是正數, ,負數和零負數和零 注意注意：不能表示過原點或與坐標軸平行或重合的直線不能表示過原點或與坐標軸平行或重合的直線 直線與直線與 x 軸的交點軸的交點(a, o)的橫坐標的橫坐標 a 叫做叫做直線在直線在 x 軸上的截距軸上的截距是不是任意一條直線都有其截距式方程呢是不是任意一條直線都有其截距式方程呢?1.xyab 截距式直線方程截距式直線方程: 直線與直線與 y 軸的交點軸的交點(0, b)的縱坐標的縱坐標 b 叫做叫做直線在直線在 y 軸上的截距軸上的截距 過過(1,2)并且在兩個坐標軸上的截距并

6、且在兩個坐標軸上的截距相等的直線有幾條相等的直線有幾條?解解: 兩條兩條例例3:那還有一條呢？那還有一條呢？y=2x (與與x軸和軸和y軸的截距都為軸的截距都為0)所以直線方程為：所以直線方程為：x+y-3=0a=3121aa 把把(1,2)代入得：代入得：1xyaa 設設:直線的方程為直線的方程為: 舉例舉例 解：解：三條三條 (2) 過過(1,2)并且在兩個坐標軸上的截距的絕并且在兩個坐標軸上的截距的絕對值相等的直線有幾條對值相等的直線有幾條? 解得：解得：a=b=3或或a=-b=-1直線方程為：直線方程為：y+x-3=0、y-x-1=0或或y=2x1xyabab 設設截距可是正數截距可是

7、正數, ,負數和零負數和零 例例4:已知角形的三個頂點是已知角形的三個頂點是A(5，0)，B(3，3)，C(0，2)，求，求BC邊所在的直線邊所在的直線方程，以及該邊上中線的直線方程方程，以及該邊上中線的直線方程.解：過解：過B(3,-3),C(0,2)兩點式方程為：兩點式方程為：203230yx 整理得：整理得：5x+3y-6=0這就是這就是BC邊所在直線的方程邊所在直線的方程. 舉例舉例 1212,22xxyyxy BC邊上的中線是頂點邊上的中線是頂點A與與BC邊中點邊中點M所連所連線段，由中點坐標公式可得點線段，由中點坐標公式可得點M的坐標為：的坐標為：31,22M 即即整理得：整理得：

8、x+13y+5=0這就是這就是BC邊上中線所在的直線的方程邊上中線所在的直線的方程.05130522yx 過過A(-5,0),M 的直線方程的直線方程31,22 M中點坐標公式：中點坐標公式：則則121222xxxyyy 若若P1 ，P2坐標分別為坐標分別為( x1 ，y1 ), (x2 ，y2)且中點且中點M的坐標為的坐標為(x, y).B(3,-3),C(0,2) M 3032(,)22 即即 M 31( ,)22 已知直線已知直線l :2x+y+3=0,求關于點求關于點A(1,2)對對稱的直線稱的直線l 1的方程的方程. 解：當解：當x=0時,y=3.點(0,-3)在直線在直線l上上,關

9、于關于(1,2)的的對稱點對稱點為為(2,7). 當當x=-2時時,y=1. 點點(-2,1)在直線在直線l上上,關于關于(1,2)的的對稱點對稱點為為(4,3). 那么那么,點點 (2,7) ,(4,3)在在l 1上上.因此因此, ,直線直線l l 1 1的方程為：的方程為：723742yx 化簡得化簡得: 2x + y -11=0 思考題思考題 還有其它的方法嗎？還有其它的方法嗎？ l l 1，所以所以l 與與l 1的斜率相同的斜率相同 kl1=-2經計算，經計算，l 1過點過點(4,3)所以直線的點斜式方程為：所以直線的點斜式方程為：y-3=-2(x-4)化簡得：化簡得： 2x + y

10、-11=0名名 稱稱 幾幾 何何 條條 件件 方程方程 局限性局限性 斜截式點斜式兩點式截距式byk軸上的縱截距斜率 ,bkxy軸的直線不垂直于xkyxP和斜率，點)(001)(00 xxkyy軸的直線不垂直于x)()(222111yxPyxP，和點，點211211xxxxyyyy軸的直線、不垂直于yxbyax軸上的截距在軸上的截距在1byax不過原點的直線軸的直線、不垂直于yx 歸納歸納直線方程的四種具體形式直線方程的四種具體形式(1) 平面直角坐標系中的每一條直線平面直角坐標系中的每一條直線都可以用一個關于都可以用一個關于x , y的的二元一次二元一次方程方程表示嗎？表示嗎？(2) 每一個

11、關于每一個關于x , y的的二元一次方程二元一次方程都表示直線嗎？都表示直線嗎？ 思考思考分析：分析：直線方程直線方程 二元一次方程二元一次方程(2) 當斜率不存在時當斜率不存在時L可表示為可表示為 x - x0=0,亦可亦可看作看作y的系數為的系數為0的二元一次方程的二元一次方程.(x-x0+0y=0)結論結論1：平面上任意一條直線都可以用一個關平面上任意一條直線都可以用一個關于于 x , y 的二元一次方程表示的二元一次方程表示.(1) 當斜率存在時當斜率存在時L可表示為可表示為 y=kx+b 或或 y - y0 = k ( x - x0 ) 顯然為二元一次方程顯然為二元一次方程.即：對于

12、任意一個二元一次方程即：對于任意一個二元一次方程 Ax+By+C=0 (A.B不同時為不同時為0)，判斷它是否表示一條直線？，判斷它是否表示一條直線？BCxBAy （1）當）當B 0時，方程可變形為時，方程可變形為它表示過點它表示過點 ，斜率為，斜率為 的直線的直線.),0(BC BA （2）當）當B=0時，因為時，因為A,B不同時為零，所以不同時為零，所以A一定不一定不為零為零,于是方程可化為于是方程可化為 ，它表示一條與，它表示一條與 y 軸平軸平行或重合的直線行或重合的直線.ACx 結論結論2: 關于關于 x , y 的二元一次方程的二元一次方程,它都表示它都表示一條直線一條直線.直線方

13、程直線方程 二元一次方程二元一次方程由由1，2可知：可知： 直線方程直線方程 二元一次方程二元一次方程定義定義：我們把關于我們把關于 x , y 的二元一次方程的二元一次方程 Ax+By+C=0(其中其中A,B不同時為不同時為0) 叫做直線的一般式方程，簡稱一般式叫做直線的一般式方程，簡稱一般式. 定義定義 在方程在方程Ax+By+C=0中，中，A，B，C為何值為何值時，方程表示的直線時，方程表示的直線 （1）平行于）平行于x軸：（軸：（2）平行于）平行于y軸：軸： （3）與）與x軸重合：（軸重合：（4）與）與y軸重合：軸重合：分析分析: (1)直線平行于直線平行于x軸時軸時,直線的斜率不存在

14、直線的斜率不存在,在在x軸上的截距不為軸上的截距不為0即即 A=0 , B 0,C 0. (2) B=0 , A 0 , C 0.(3) A=0 , C=0 , B 0.(4) B=0 , C=0 , A 0. 探究探究例例 1 已知直線過點已知直線過點A(6，4)，斜率，斜率為為 ,求直線的求直線的點斜式和一般式點斜式和一般式方程方程.34 解：代入點斜式方程有解：代入點斜式方程有 y+4= (x-6). 化成一般式，得化成一般式，得 4x+3y-12=0. 舉例舉例34 例例2 把直線把直線L的一般式方程的一般式方程 x-2y+6=0 化成斜化成斜截式截式,求出求出L的斜率以及它在的斜率以

15、及它在x軸與軸與y軸上的截距軸上的截距,并畫出圖形并畫出圖形.解：化成斜截式方程解：化成斜截式方程 y= x+3 因此，斜率為因此，斜率為k= ,它在它在y軸上的截距是軸上的截距是3. 令令y=0 得得x=6.即即L在在x軸上的截距是軸上的截距是6. 由以上可知由以上可知L與與x 軸軸,y軸的交點軸的交點分別為分別為A(-6，0)B(0，3),過過A，B做直線做直線,為為L的圖形的圖形.2121 舉例舉例m , n 為何值時為何值時,直線直線mx+8y+n=0和和2x+my-1=0垂直垂直?解解:（1）若兩條直線的斜率都存在，則）若兩條直線的斜率都存在，則m不等于不等于0， 且兩條直線的斜率分別為且兩條直線的斜率分別為 但由于但由于 所以兩條直線不垂直所以兩條直線不垂直. .28mm 、141)2()8( mm （2）若）若m=0，則兩條直線中一條直線的斜率為，則兩條直線中一條直線的斜率為0，另一條斜率不存在，這時兩條直線垂直，方程分別另一條斜率不存在，這時兩條直線垂直，方程分別為為.21,8 xny綜上知：綜上知：m=0，n為全體實數時，兩條直線垂直為全體實數時，兩條直線垂直.點評點評:分類討論思想的