關于二次函數(shù)最值問題的討論

1、關于二次函數(shù)的最值問題的討論學生姓名：xxx 指導教師：xxx摘 要：本文討論了一元二次函數(shù)與二元二次函數(shù)的最值問題，首先研究了一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，討論了在四種不同情況下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值的變化，其次研究了運用構(gòu)造法解決二次函數(shù)最值問題，詳細給出了構(gòu)造兩點間的距離、構(gòu)造斜率、構(gòu)造點到直線的距離、構(gòu)造直線方程以及構(gòu)造圓錐曲線的方法以及所要注意的細節(jié)關鍵詞：二次函數(shù) 最值 構(gòu)造法 在生產(chǎn)實踐及科學中，常常遇到“最好”、“最省”、“最大”、“最小”等問題，例如如何進行資源調(diào)動，才能使成本最小，利潤最大；怎樣規(guī)劃建筑藍圖，才能使材料使用最少，空間占用最大等等，這類問題在數(shù)學上常常歸結(jié)為

2、求函數(shù)的最大值或最小值問題研究函數(shù)的最值不僅是要研究其理論意義，更重要的是用理論來服務現(xiàn)實，因此更要透徹的掌握理論，掌握其求解方法求函數(shù)最值的方法靈活多樣且綜合性強，選擇正確的方法進行求解很重要，幾何圖形作為研究函數(shù)性質(zhì)的一個重要輔助工具，能直觀的反應函數(shù)本身的特性，使函數(shù)形象化，對于某些最值問題利用幾何方法求解會更加簡捷形象許多的數(shù)學問題都隱含著“形”方面的信息，如果能充分利用這個“形”把復雜的數(shù)學問題變?yōu)楹唵蔚膸缀螁栴}，便可使問題輕松獲解一、一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題一元二次函數(shù)的一般形式為，所表示的圖形是一條拋物線，我們可以通過分析函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性來分析最值是否存在，若存在在什

3、么情況下取得最大值或最小值1、軸定區(qū)間定（對稱軸及定義域不變）對函數(shù)在上的最值問題有三種情況（此時拋物線開口向上）：第一種情況:若對稱軸在區(qū)間內(nèi)，即，則在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，如圖1，故的最小值為，最大值為與中較大的一個第二種情況:若對稱軸在區(qū)間左側(cè)，即，則在上是增函數(shù)，故的最小值為，最大值為第三種情況:若對稱軸在區(qū)間右側(cè)，即，則在上是減函數(shù)，故的最小值為，最大值為對函數(shù)在上的最值問題也有三種情況（此時拋物線開口向下）：第一種情況:若對稱軸在區(qū)間內(nèi)，即，則在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，如圖2，故的最大值為，最小值為與中較小的一個 圖1 圖2第二種情況:若對稱軸在區(qū)間左側(cè)，即，則在上是減函數(shù)，

4、故的最大值為，最小值為第三種情況:若對稱軸在區(qū)間右側(cè)，即，則在上是增函數(shù)，故的最大值為，最小值為2、 軸定區(qū)間動例1 求函數(shù)在的最大值及最小值解析：的對稱軸是，當時，在定義內(nèi)是減函數(shù)，故，；當時，即時，在上單增，在上單減，故，是與中較小的一個；當時，即時，；當時，即時，；故當時，當時，；當時，在定義域內(nèi)是增函數(shù)，故，綜上,，對稱軸固定，則拋物線的位置是固定的，定義區(qū)間從左向右沿軸正方向運動，對開口向下的拋物線依次進行截取，得到增函數(shù)部分，包含頂點的部分和減函數(shù)部分，從而將問題轉(zhuǎn)化為“軸定區(qū)間定”的問題來解決3、 軸動區(qū)間定例2 求函數(shù)在上的最大值及最小值解析：對稱軸是，當時，在定義域內(nèi)是增函數(shù)

5、，故，； 當時，在上單減，在上單增，故，為與中較大的一個，若，則，若，則；當時，在定義域內(nèi)是減函數(shù)，故， 綜上，,定義區(qū)間固定，對稱軸從左向右沿軸正方向運動，對開口向上的拋物線依次進行截取，得到減函數(shù)部分，包含頂點的部分和增函數(shù)部分，從而見問題轉(zhuǎn)化為“軸定區(qū)間定”的問題來解決4、 軸動區(qū)間動例3 在區(qū)間上的最小值為，求的值解析：拋物線開口向下，對稱軸為 當時，即時，函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，故，得滿足； 當時，即時，函數(shù)在上單增，在上單減，故最小值是與中較小的一個，由于，故，則，得但不滿足；當時，即，與題意不符 綜上，對稱軸與定義區(qū)間都在變化，解決問題的關鍵仍是對對稱軸在區(qū)間內(nèi)外的討論二、運用構(gòu)

6、造法決二次函數(shù)最值問題“構(gòu)造法”即構(gòu)造性解題方法，是根據(jù)數(shù)學問題的條件或結(jié)論的特征，以問題中的數(shù)學元素為“元件”，數(shù)學關系為“框架”，構(gòu)造出新的數(shù)學對象或數(shù)學模型，從而使問題轉(zhuǎn)化并得到簡便解決的方法1、構(gòu)造兩點間的距離解題例4 求函數(shù)的最小值解析：函數(shù)的解析式可改寫為，當變化時，它表示動點到兩定點與的距離之和如圖3，點在軸上移動，有，當且僅當三點共線時取等號、三點共線的條件是，即故當時，取最小值，最小值為圖3 我們可以得到： 形如的函數(shù)的幾何意義是軸上的動點到兩定點與的距離之和，其中與在軸的同側(cè)，當、三點共線時，取最小值形如的函數(shù)的幾何意義是軸上的動點到兩定點與的距離之差，其中與在軸的異側(cè)，且

7、，當、三點共線時，取最大值我們還可以將此推廣到二元函數(shù)中：例5 已知，求的最小值解析：將化為，它表示以為圓心，以為半徑的圓表示圓上的點到點與的距離之和如圖4，點在圓外，點在圓內(nèi)，線段與圓交于原點，點到、的距離之和最小因此，當時，最小為 圖42、構(gòu)造斜率解題例6 已知實數(shù)，求的最大值和最小值解析：如圖5，方程表示以為圓心，以為半徑的圓，表示該圓上的動點與原點連線的斜率過原點作圓的兩條切線，切點分別為、，則斜率為所求最大值，斜率為最小值由于，、為兩切點，故，點、的坐標分別為和，故的最大值為，最小值為圖5 聯(lián)想直角坐標平面內(nèi)兩點連線的斜率公式，我們可以得出：如上題所給，給定限制的條件，求的最值，即求

8、動點與定點連線的斜率的最值我們也可以將的限制條件直接加入所求函數(shù)中，像是“求函數(shù)的最值”，即是求定點 與動點連線的斜率的最值，而動點是單位圓的參數(shù)坐標3、構(gòu)造點到直線的距離解題例7 設，則的最小值為多少？圖6解析：由于，故可以看作是一條線段，則可以看作是該線段上一點到原點的距離的平方由圖6可知，其最小值顯然是原點到線段的距離的平方，故. 本題解法較多，可轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)再配方求最值，也可用均值不等式求最值，還可用構(gòu)造法解題但較之其他方法，構(gòu)造法更具一般性且計算簡單例如將本題改為“設，求的最小值”，由于不具備這個條件，使得均值不等式不能使用，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)再配方也顯得麻煩，但用構(gòu)造法仍十分

9、簡單4、構(gòu)造直線方程解題例8 已知實數(shù)滿足，求的最值解析：可變?yōu)?，這可看作是以為圓心，為半徑的圓的方程，且點在該圓上可設，則，若求的最值即是求的最值，而取最大值時，直線在軸上的截距最小反之，取最小值時，最大，所以只要求直線與圓有公共點時，該直線與軸上的截距的最值即可由圖7可知，當直線與圓相切時，該直線與軸的截距達到最大或最小，由，有或，所以的最小值為，最大值為圖7 對于“給定二次函數(shù)，求的最值”這類問題，令，經(jīng)過變形得到直線方程，然后根據(jù)與直線在軸上的截距的關系，通過二次函數(shù)對的限制求得最值5、構(gòu)造圓錐曲線解題例9 ，求的最大值解析：可以把 化為，其幾何意義為直角平面坐標內(nèi)點到點的距離之和為，

10、于是我們可以認為點是以定點為焦點，以為長軸長的橢圓上任一點，而可以認為是該橢圓上的點到原點距離的平方，由橢圓幾何性質(zhì)可知的最大值為這類問題所給條件與構(gòu)造兩點間的距離頗為相似，我們可以得出：形如的幾何意義是直角平面坐標內(nèi)點到點的距離之和為，其中兩定點對稱且在坐標軸上，故由橢圓的定義，我們可認為是以定點為焦點，以為長軸長的橢圓上任一點，再由橢圓的性質(zhì)解題形如的幾何意義是直角平面坐標內(nèi)點到點的距離之差為，其中兩定點對稱且在坐標軸上，故由雙曲線的定義，我們可認為是以定點為焦點，以為實軸長的雙曲線上任一點，再由雙曲線的性質(zhì)解題利用幾何的知識對二次函數(shù)的最值問題進行求解，就是要揭示其幾何意義尋找問題所具有

11、的幾何意義是非常重要的，因為它直接影響到我們能否構(gòu)造出合適的幾何模型,從而將一個函數(shù)的最值問題通過這個模型轉(zhuǎn)化為一個可解的幾何問題,使求解問題的方法更為簡潔而有效構(gòu)造法是構(gòu)建數(shù)學模型的重要方法，不僅能夠解決二次函數(shù)的最值問題，對于其他函數(shù)，例如次數(shù)大于二的多次函數(shù)，無理函數(shù)，三角函數(shù)，不等式等的最值問題，也可以通過構(gòu)造法得以解決三、生活中的最優(yōu)化問題 在生產(chǎn)生活中，要在盡力節(jié)省人力，物力，財力和時間的前提下，爭取獲得在可能范圍內(nèi)的最佳效果，這類問題稱為最優(yōu)化問題在某些情況下，最優(yōu)化問題也就是最值問題，以下示例給出了我們在生產(chǎn)生活中所常見的最值問題1、例11 小區(qū)門前有片空地，空地外有面長為十米

12、的圍墻，為美化生活環(huán)境，要修建一矩形花圃，已買回了米的不銹鋼管準備作為花圃的圍欄，為了澆花和賞花的方便，準備在花圃的中間在圍出一條寬為一米的通道以及在左右花圃各放一個一米寬的門，花圃如何設計才能使面積最大解析：設花圃寬為米，面積為平方米 有，由于，故，又由于且拋物線開口向下，故定義區(qū)間在對稱軸左側(cè)且在其上單減，故面積最大值為2、例12 欲做一個容量一定的長方形箱子，應選擇怎樣的尺寸，才能使此箱子的材料最省解析：設箱子的長寬高分別為，容量為，則，箱子的表面積，要是使用的材料最少，應求的最小值由于，所以，這是一個關于的二元函數(shù)令，得唯一駐點根據(jù)問題的實際意義可知一定存在最小值，故可以斷定即為的最小

13、值點，即當時，函數(shù)取得最小值此時，所以長方體實際上是正方體，這表明在體積固定的長方體中，以正方體的表面積最小，最小值求函數(shù)最值的方法多種多樣，諸如配方法，判別式法，導數(shù)法，線性規(guī)劃法，向量法都是求函數(shù)最值的方法，本文所運用的單調(diào)性法，構(gòu)造法只是其中的兩種，所能解決的函數(shù)問題也只是一小部分，但其中蘊含的轉(zhuǎn)化思想很值得我們學習和借鑒，對提高我們的思維能力很有幫助參考文獻1 2溫鎮(zhèn)輝. 談“數(shù)形結(jié)合”法的運用J. 中學數(shù)學研究, 2003(3): 31-32.3馬富強.巧用幾何直觀解題.中學生數(shù)學，2002（12）:14.4倪玲, 雷冰. 構(gòu)造解幾模型求函數(shù)最值J. 池州師專學報. 2003(6):

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16、nformation Of Science and TDiscussion about the problem of the most value of quadratic functions Student: Hu Huiyun Tutor: He BinAbstract: This article focuses on the problem of the most value of unitary quadratic function and binary quadratic functions. Firstly, we studied the problem of the most value of quadratic function on a closed interval, discusses changes of a monotonous interval and the most value of function in four different situations. Secondly, we studied the use of construction to solve the problem of the most value of quadratic function, Given det