把數(shù)學建模的思想和方法融入到大學數(shù)學教學中去

1、把數(shù)學建模的思想和方法融入到大學數(shù)學教學中去北京理工大學 葉其孝一.數(shù)學和數(shù)學建模的重要性二.為什么要把數(shù)學建模的思想和方法融入大學的主干數(shù)學課程? 三.怎樣融入?融入的幾個原那么具體做法: 兩個例子1. 復利和抵押貸款買房問題2. 易拉罐問題 一個想法改變了可口可樂易拉罐的形狀四. 幾個值得注意的問題五. 困難和可能的解決方法一.數(shù)學和數(shù)學建模的重要性高技術(shù)本質(zhì)上是數(shù)學技術(shù).戴維(E. David, 1972年曾任尼克松總統(tǒng)的科學參謀，1966年入選美國工程院院士)在1984年說的一段話：“對數(shù)學研究的低水平的資助只能來自對于數(shù)學研究帶來的好處的完全不妥的評價，顯然，很少有人認識到當今被如此

2、稱頌的高技術(shù)本質(zhì)上是數(shù)學技術(shù)。. the low levels of support for mathematics research can only flow from a totally inadequate preciation of the benefits it confers. Apparently, too few people recognize that the high technology that is so celebrated today is essentially mathematical technology.E. E. David Jr., Notices

3、 of American Mathematical Society, v. 31(1984), no. 2, p. 142.*21世紀是科學和工程數(shù)學化的世紀.美國科學基金會數(shù)學部主任Eisenstein在評述該基金會把數(shù)學科學列為2002-2006該基金會五大創(chuàng)新項目(其他四個分別為: 環(huán)境中的生物復雜性,信息技術(shù)研究,納米科學和工程,以及21世紀的勞動力)之首時所說的,“該重大創(chuàng)新工程背后的推動力就是一切科學和工程領(lǐng)域的數(shù)學化(Mathematization).The driving force behind the initiative is the mathematization of

4、 all areas of science and engineering.NSF Launches Major Initiative in Mathematics, Allyn Jackson, Notices of AMS, v. 48(2001), no. 2, 190 - 192.Eisenstein 說.“還有，數(shù)學帶給其他科學的附加值現(xiàn)在是比過去更加看得見了. 其他科學認識到的這種附加值是該創(chuàng)新項目的主要推動力量. Also, the value-added that mathematics brings to other sciences is more visible toda

5、y than it has been in the past. This value-added that other sciences perceive is a major driver in this initiative. *把對外部世界各種現(xiàn)象或事件的研究化歸為數(shù)學問題的數(shù)學建模的方法在各種研究方法, 特別是與電子計算機的出現(xiàn)有關(guān)的研究方法中, 占有主導地位. 數(shù)學建模的方法能使人們在解決復雜的科學技術(shù)問題時設(shè)計出在最正確情勢下可行的新的技術(shù)手段, 并且能預測新的現(xiàn)象. A. H. , Mathematical Model,?Encyclopaedia of Mathematics?

6、, Kluwer Academic Publishers, 1995, Vol. 3, pp.784-785. ?數(shù)學百科全書?第三卷, p. 648. *一切科學和工程技術(shù)人員的教育必須包括數(shù)學和計算科學的更多的內(nèi)容. 數(shù)學建模和與之相伴的計算正在成為工程設(shè)計中的關(guān)鍵工具. 科學家正日益依賴于計算方法，而且在選擇正確的數(shù)學和計算方法以及解釋結(jié)果的精度和可靠性方面必須具有足夠的經(jīng)驗. 對工程師和科學家的數(shù)學教育需要變革以反映這一新的現(xiàn)實.Friedman A., J. Glimm, J. Lavery, The mathematical and computational sciences i

7、n emerging manufacturing technologies and management practices (新興的的制造技術(shù)和管理實踐中的數(shù)學和計算科學) SIAM Report on Issues in the Mathematical Sciences, SIAM, 1992, p. 62-63. The education of technical personnel of all branches of science and engineering must include increased exposure to the mathematical and co

8、mputational sciences. Mathematical modeling and associated computations are being critical tools in the engineering design process. Scientists rely increasingly on computational methods and must have sufficient experience in mathematical computational methods and reliability of the results. The math

9、ematical education of engineers and scientists needs to change to reflect this new reality.*鑒于數(shù)學研究的范圍無限廣闊，這門科學，即使是現(xiàn)代數(shù)學，也還處于嬰兒時期。如果文明繼續(xù)進步, 在今后兩千年內(nèi)，在人類思想領(lǐng)域里具有壓倒性的新情況，將是數(shù)學地理解問題占統(tǒng)治地位.Having regard to the immensity of its subject- matter mathematics, even modern mathematics, is a science in its babyhood.

10、 If civilization continues to advance, in the next two thousand years the overwhelming novelty in human thought will be the dominance of mathematical understanding.Alfred North Whitehead (阿爾弗雷德諾思懷特黑德,1861, 2, 15 1947, 12, 30) 1939年12月15日在哈佛大學的講演: Mathematics and the Good in P. A. Schilpp ed., 1951.

11、The Philosophy of Alfred North Whitehead, 2nd. ed. New York, Tudor Publishing Company: 666-81.胡世華，信息時代的數(shù)學，數(shù)學進展，1988, 17(1): 12-20. 錢學森, 開展我國的數(shù)學科學, 數(shù)學進展, 1990, 19(2): 129-135.* 數(shù)學等于機會Mathematics Equals Opportunity“我今天給你們的統(tǒng)計資料清楚地表明：“數(shù)學等于機會。當我們?yōu)榧磳砼R的世紀作準備時，不可能再送給美國父母和學生別的更關(guān)鍵的信息了。 “As the statistics I h

12、ave related to you today make clear, Mathematics Equals Opportunity. There could be no more crucial massage to send to the parents and students of America as we prepare for the coming century. Richard W. Riley (克林頓任總統(tǒng)時的教育部長), The state of mathematics education: Building a strong foundation for the 2

13、1st century, a speech presented at the invitation of the AMS Committee on Science Policy and the AMS Committee on Education,Notices of the AMS, v. 45(1998), no. 4, 487- 491. Richard W. Riley, 數(shù)學教育的現(xiàn)狀：為 21 世紀建立強大根底，應美國數(shù)學會 (AMS)科學政策委員會和教育委員會的邀請于 1998 年 1 月 8 日在美國 Baltimore 舉行的美國數(shù)學會和美國數(shù)學協(xié)會(MAA) 聯(lián)合數(shù)學會議上

14、發(fā)表的演說，Notices of the AMS, v. 45 (1998), no. 4, 487 - 491. 中譯文登在：數(shù)學譯林 國際數(shù)學進展，v.17 (1998), no. 3, 252 - 256, 207. 數(shù)學和數(shù)學建模無處不在、日益重要, 作為數(shù)學教師我們有義務盡快讓學生學習初步掌握數(shù)學建模的思想和方法. 二.為什么要把數(shù)學建模的思想和方法融入大學的主干數(shù)學課程?1. 社會開展和科技進步、提高數(shù)學教學質(zhì)量和提高學生學習數(shù)學的積極性和提高能力的需要. 盡早(通過一年級的高等數(shù)學課程等)讓大學生了解: 良好的數(shù)學根底, 特別是對數(shù)學建模是用數(shù)學去解決各種實際問題的橋梁, 了解數(shù)

15、學建模三要點: 合理假設(shè)、數(shù)學問題和解釋驗證, 對于他們一生的事業(yè)都有好處的. 也是數(shù)學教學改革、提高教學質(zhì)量的需要, 有利于講清重要的數(shù)學概念、方法的來龍去脈, 進一步提高教學質(zhì)量. 當然要做到這一點, 應該說, 途徑不是唯一的, 而是“條條大路通羅馬(All roads lead to Rome). 但是在適當?shù)牡胤健⑦\用恰當?shù)臄?shù)學建模實例和適宜的教學方法進行教學是有可能給學生留下深刻的印象, 提高他們的學習積極性, 從而到達上述目的. 2. 有助于提高數(shù)學教師、數(shù)學教研室、數(shù)學(院)系在學校和社會上的地位和發(fā)言權(quán). 特別是為青年教師的提高創(chuàng)造條件, 特別是培養(yǎng)青年教師的個人教學風格. 但

16、是, 現(xiàn)實的情況是令人擔憂的.3. 為了進一步提高大學生數(shù)學建模競賽的質(zhì)量, 實現(xiàn)一種良性循環(huán). 三. 怎樣融入? 2002 2005 全國大學生數(shù)學建模競賽組委會曾經(jīng)組織執(zhí)行了由李大潛牽頭的教育部教改立項“將數(shù)學建模思想和方法融入大學數(shù)學主干課程教學中的研究與試驗, 取得了一定的成果和經(jīng)驗. A. 融入的幾個原那么:1. 實例要簡明易懂結(jié)合日常生活感覺得到的與工程或現(xiàn)代技術(shù)有關(guān), 或者結(jié)合專業(yè)且簡明易懂, 能引起學生的興趣; 2. 要能夠結(jié)合課程(微積分)的今后可能用到的主要概念、思想和方法, 能提高學生學習的積極性和主動性; 適當?shù)墓噍斠彩潜匾?3. 不拘形式(不強求統(tǒng)一)、因地制宜(不

17、同學校、專業(yè)不同對待)、因材施教(特別是要培養(yǎng)優(yōu)秀學生, , 可以在習題(課外作業(yè)、小的研究課題等)上做文章)、追求實效. 在不增加學時或至多增加2學時的前提下八仙過海、各顯神通. 與時俱進, 逐步提高層次. 4. 要和教學研究相結(jié)合, 不斷發(fā)現(xiàn)問題, 不斷改良教學. 5重點放在一年級第一學期, 因為這時候的大學生易于接受教師的教育和引導.結(jié)合容易懂的實際問題入手, 諄諄善誘、由淺入深與適當灌輸相結(jié)合, 特別強調(diào)加深理解微積分的重要概念、思想和方法,通過建模的逐步深入使學生明白為什么一定要認真學好、掌握好數(shù)學的思想和方法.尤其對于青年教師來說, 這個學期的教學和教學研究對于自己的成長和教學風格

18、的確立是極其重要的. B. 具體做法: I. 發(fā)動更多的教師編寫可以融入的教學單元, 特別是為高等數(shù)學、線性代數(shù)和概率統(tǒng)計初步三門課程編寫可以融入的教學單元, 主要是提供可以融入各種課程的實際問題的建模教學的素材(問題的陳述、建模過程、求解和驗證; 習題、小的研究課題和考題的建議等), 以供有心做的教師參考和鉆研, 從而能夠結(jié)合學生情況進行富有成效的教學, 特別是培養(yǎng)個人的教學風格. 以下我們通過舉例說明, 我們將結(jié)合國內(nèi)用得比較多的兩本教材:同濟大學應用數(shù)學系編, 微積分, 上冊, 高等教育出版社, 1999; 王綿森、馬知恩主編, 工科數(shù)學分析根底, 高等教育出版社, 1998. 我們按照

19、相應的頁碼提出建議.包括為什么要讓大學生盡早了解和使用計算器和數(shù)學軟件等. 對于學生要因材施教, 不一定人人都一樣要求, 要為優(yōu)秀學生創(chuàng)造更好的學習條件和環(huán)境.兩個例子數(shù)學建模最關(guān)鍵的是：合理假設(shè)，數(shù)學問題，解釋驗證復利和抵押貸款買房問題復利應用實例 一位使用工商銀行國際信用卡的張姓用戶, 2004年12月用工商銀行的信用卡, 刷卡消費39771.52元，由于記錯了還款額，他在還款日期(2005年1月25日) 到期之前, 分屢次共計還款39771.28元, 少還了0.24元事后才發(fā)現(xiàn). 但就是這區(qū)區(qū)0.24元, 工商銀行在他1月份的賬單里記賬兩筆共計853元的利息. 張先生從網(wǎng)上查到賬單后,

20、立即致電工商銀行95588, 得到的答復是最新的國際信用卡章程已將原來只對逾期沒有還的欠款局部收取利息改為對消費款全部從消費發(fā)生日起收取每日萬分之五的利息. 我們先不說張先生是否及時知道新的章程, 這種收費是否合理. 這里, 我們只問一個問題: 工商銀行按多少天來收的利息? 解. ,由 (3.1 - 2)中的, 代入計算得 天. 在“第二節(jié) 數(shù)列極限的定義中強調(diào)等比數(shù)列，特別是在p.31的例3中，加上最重要的幾何(等比)級數(shù)局部和的求和公式的內(nèi)容, 然后提出下面的問題:例1. 在“文曲星電子詞典(或類似的電子詞典)中，翻開其目錄,在“計算目錄下有一項“貸款計算，翻開后有下列顯示：貸款金額 20

21、0,000貸款年數(shù) 20年利率(%) 0.5325%)如果是上述輸入，那么會見到如下“計算結(jié)果每月應付款數(shù)(記為x問題: 用數(shù)學建模的方法來回答: 這是怎么算出來的. 假設(shè): 月等額還款提示:借款模型是按月利率，按月計算的。用符號表示，設(shè)一開始的貸款金額記為，貸款年數(shù)記為，年利率記為R = 0.0639，月利率記為r = R/12 = 0.005325確定變量以及變量之間的關(guān)系, 即數(shù)學模型的建立：這個月(記為第n個月)尚欠銀行的款數(shù)記為, 上個月(記為第n - 1個月)結(jié)余欠款記為加上利息記為，減去這個月的還款, 還欠.所以數(shù)學模型為: 這個月的欠款等于上個月欠款加上利息, 再減去這個月的(

22、等額)還款; 一開始的借(欠)款; 20年必須還清. 用數(shù)學語言表示, 即數(shù)學模型為: 表示20年 = 240個月還清貸款. 求解這個數(shù)學模型只需要用到等比級數(shù)局部和的求和公式. 解: 容易觀察出規(guī)律, 并用數(shù)學歸納法證明, 對于任何n有由等比級數(shù)局部和的求和公式()于是有由于, 所以驗證“文曲星電子詞典顯示的結(jié)果是否正確.不算出數(shù)值, 怎么讓人相信? 但是, 手算是不現(xiàn)實的, 這就涉及到在教學中要不要(允許不允許)使用計算器和計算機及相應的數(shù)學軟件這個不可回避的問題(實際上也是不應該回避的問題). 我認為, 做課外作業(yè)應該允許, 考試不允許. 到底應該怎么做, 值得認真研究, 但這不是今天在

23、這里要討論的問題. 不過, 我們必須及時關(guān)注于2009年5月18日由Wolfram Research(沃爾弗拉姆研究)公司正式推出(發(fā)行)的一個基于Mathematica數(shù)學軟件和A New Kind of Science(一種新科學, 厚達1280頁, 縮寫為NKS)名為Wolfram|Alpha的新的計算型知識(搜索)引擎(Computational knowledge engine) 以及它將對科學研究和教育產(chǎn)生的影響. Wolfram|Alpha的作者Stephen Wolfram (1959 , 8, 29 , 1979年在加州理工學院(CIT)獲理論物理學博士學位, 1988年他推

24、出了強大的計算機軟件Mathematica), 他最近撰文表示：“(Wolfram|Alpha的)用戶所要做的就是用自然的語言問問題，而搜索引擎那么能準確進行答復.我很快樂地宣布，通過綜合使用多種啟發(fā)性的算法algorithms and heuristics和語法發(fā)現(xiàn)linguistic discovery，我們很可能取得了一些重要的理論突破，并能實際上使其運轉(zhuǎn). 我們將最終形成一個網(wǎng)站： HYPERLINK :/ wolframalpha 通過這個網(wǎng)站，只要簡單輸入問題，我們就可以接入到一個巨大的系統(tǒng)，這個系統(tǒng)是擁有極其龐大信息量的數(shù)據(jù)庫. 關(guān)于它將對數(shù)學教育產(chǎn)生的影響, 例如, 可以看,

25、由Jeffrey R. Young寫的發(fā)表在2021年6月12日Chronicle of Higher Education(高等教育記事)上的文章“A Calculating Web Site Could Ignite a New Campus Math War(計算搜索網(wǎng)站可能會點燃新一輪的數(shù)學戰(zhàn)爭).用Mathematica數(shù)學軟件的輸入和輸出輸入:Clearr, n, N, x 輸出: 更多的應用可參考1:?大學生數(shù)學建模競賽輔導教材(五)?第3章，葉其孝主編，湖南教育出版社，2021.模型的變形: 1 p. 33, (3.1-4) (3.1-9), 4個變量中知道任何3個就可以求出另一

26、個. (3.1 - 4) (3.1 - 6) (3.1 - 7) 或 (3.1 - 7)* (3.1 - 8)為求的, 需要求解下面的代數(shù)方程式 (3.1- 9) 例2. 根據(jù)報道, 喬先生向銀行貸了22萬元, 貸款期限是2003年9月 - 2021年9月共120期, 采用等額本息還款法, 月供2338元. 目前, 已還16期, 還剩104期，貸款余額為198155元, 喬先生手頭正好有5萬元可用, 因此提出申請?zhí)崆斑€款5萬元. 如果提前還款5萬元. 得到批準, 喬先生又想保持貸款期限不變, 即再繼續(xù)105期, 那么按照新的利率6.12%他的月還款是多少?解: 該報道中沒有說月利率r為多少,

27、因此我們首先要求r. 因為= 220000, = 120, = 2338. 解方程(3.1 - 9), 即解我們可以利用 Mathematica 數(shù)學軟件來求解. 首先定義(3.1 - 9 )右端的函數(shù)如下Cleara0,f,n,r,xfa0_,n_,x_,r_:=a0 (1+r)(n+1)-(a0+x)(1+r)n+x也可以單擊“File菜單，把光標移到“Palettes選項，在彈出的子菜單中再單擊 “BasicCalculation項，按屏幕上出現(xiàn)的根本命令選擇窗口，可以直接輸入以下數(shù)學公式的形式fa0,n,x,r然后給的a0, n, x 賦值, 并畫圖. 根據(jù)我們對利息的了解, r 的變

28、化范圍為一定大于0,小于0.2.a0=220000;n=120;x=2338;Plotfa0,n,x,r,r,0,0.02,AxesLabelr,f 可見 f 的零點大約在0.005附近。我們可以再精細一點畫圖看得更清楚一點, r 的變化范圍為 0.004,0.005，畫圖如下Plotfa0,n,x,r,r,0.004,0.005, AxesLabe l-r,f因此, 我們可以用0.0042作為初值, 求 f 的零點FindRootfa0,n,x,r=0,r,0.0042r 0.00420197注意，利用FindRoot 語句，初值確定的好壞是很重要的, 所以上述做法的步驟是很有效的. 思考題

29、: 能否用 Solvefa0, n, r, x = 0, r 或 NSolvefa0, n, r, x = 0, r 來求 r. 進行比擬, 哪個更好些，或者說它們各自的優(yōu)點是什么？r 0.00420197, 或者 r 4), 分別令k = 16 和 k = 15 計算之, 分別計算 和 得到的結(jié)果分別為: 196656和198161. 如果報道中的198155沒有錯誤, 那么198161非常接近198155. 這就說明報道有誤. 實際上, 喬先生只還了15期, 還有105期要還. 現(xiàn)在的= 148, 155, = 105, 利用(3.1 - 6)按照新的月利率r = 0.0051計算, 他的

30、月還款是1825.86. 如果他不還5萬元, 繼續(xù)還105期的話, 他的月還款是 2442.06. 對Mathematica 有興趣的讀者可以做下面的思考題。綜上所述, 如果我們能應用模型(3.1-3)到(3.1 - 9)的話, 我們可以解決許多相關(guān)的問題. 習題1. 如果不是等額還款, 例如, 每月先還利息再加還等分的本金 , 數(shù)學模型將會怎樣?2. 你當前的信用卡欠款余額為12,000美元, 而當前的利率為19.9%/年. 利息是按月計算的. 確定什么樣的月還款p美元才能在a. 2年, 假定不會有新的信用卡支付. b. 4年, 假定不會有新的信用卡支付.還清欠款. 現(xiàn)在假定你每月用信用卡支

31、付105美元. 確定什么樣的月還款p美元才能在a. 2年b. 4年 還清欠款. 考試題某人想貸款買房, 他在10年里每月的還款能力x = 3000沒有問題, 貸款年利率r = 5%, 貸款年數(shù)N = 10 15年. 請通過數(shù)學建模的方法答復: 如果N = 10, 請你估算一下他應該借(貸款)多少? (提示: ) 如果N = 15, 請你估算一下他應該借(貸款)多少? (提示: ) 答案分別約為270220(或264000 270000, 10年), 355511 (或36000, 15年), 為什么? 用手算做估算是應該要求的, 因為1.8194 0 時刻所欠金額. 我們來建立模型, 先不考慮

32、等額還款. 在時間區(qū)間 上, 時刻所欠金額為, 時刻所欠金額為, 因此在區(qū)間 里所欠金額的增加為 , 應該有或如果的長度越來越小, 并趨于零時, 即時, 就得到以下連續(xù)模型(微分方程模型)它的解為 如果設(shè)單位時間的長度為1, 等于個單位時間, 即 , 從而有如果 比擬小, 那么可以認為有一次近似式或由 pp.141149 “第六節(jié) 泰勒(Taylor)公式, 特別是 p.142的 (5)在和之間.假設(shè),那么有如果 比擬小, 那么可以認為有一次近似式現(xiàn)在來考慮等額還款, 即單位時間里還固定的金額 , 于是模型變成令 , 就得到 (3.1 - 11)由兩邊乘 , 即從 0 到 t 積分就得到當 時

33、, 再利用 的一次近似就得到假設(shè)，那么連續(xù)模型中相應的公式分別為為求的, 需要求解下面的代數(shù)方程式現(xiàn)在我們以1中例3的數(shù)據(jù)來計算之，即 = 220000, = 120, r = 0.0042, = 2338. 我們以計算r 為例Cleara0,n,r,xga0_,n_,r_,x_:=a0 r Expn r-x Expn r+xga0,n,r,xa0=220000;n=120;x=2338;Plotga0,n,r,x,r,0,0.01FindRootga0,n,r,x =0,r,0.0042r0.00423133.r 差約為 0.00003133.由 r=0.00423133;2338.其他留作

34、習題. 所以, 在經(jīng)濟、管理類專業(yè)的課程中一定要學習這些連續(xù)模型(微分方程模型)2. 易拉罐問題 一個想法改變了可口可樂易拉罐的形狀在 pp. 166 176 “第九節(jié) 函數(shù)的極值與最大、最小值中, 把“二、最大值與最小值問題改為“二、最優(yōu)化問題，并插入“例? 易拉罐問題.簡化假設(shè): 易拉罐用材的體積與其外表積成正比.簡化模型 1分析和假設(shè)：首先把飲料罐近似看成一個直圓柱體是有一定合理性的. 要求飲料罐內(nèi)體積一定時, 求能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比. 實際上, 用幾何語言來表述就是: 體積給定的直圓柱體, 其外表積最小的尺寸 (半徑和高)為多少? 外表積用 S

35、 表示, 體積用 V 表示, 那么有于是我們可以建立以下的數(shù)學模型：其中 S 是目標函數(shù)，是約束條件. V 是的(即罐內(nèi)體積一定), 即要在體積一定的條件下, 求罐的體積最小的 r, h.如果考慮材料厚度的話, 如果假設(shè)所用材料與罐的外表積成正比, 那么其中心斷面的圖形如下:F=AbsoluteThickness1,Line-3.2,12.4,-3.2,0,3.2,0,3.2,12.4,-3.2,12.4,-3,12.2,-3,0.2,3,0.2,3,12.2,-3,12.2mygrapg = ShowGraphicsF,AxesLabel-x,y,AspectRatio-Automatic,

36、 PlotRange-1,12.9F=AbsoluteThickness1,Line-3,0.2,-3,0,3,0,3,0.2,3.2,0.2,3.2,12.2,3,12.2,3,12.4,-3,12.4,-3,12.2,-3.2,12.2,-3.2,0.2,-3,0.2,-3,0,3,0,3,0.2,3,12.2,-3,12.2,-3,0.2,3,0.2mygrapg = ShowGraphicsF,AxesLabel-x,y,AspectRatio-Automatic, PlotRange-1,12.9 把 代入 , 得到求駐點(臨界點,critical point)又由于，.所以由 pp

37、.141149 “第六節(jié) 泰勒(Taylor)公式, 特別是 p.142的 (5)知道是一個局部極小值點。實際上，它也是全局極小值點，因為臨界點是唯一的。最小面積為有沒有直徑等于高的易拉罐嗎？沒有!簡化模型 2分析和假設(shè)：用手摸一下頂蓋就能感覺到它的硬度要比其他的材料要硬(厚, 因為要使勁拉), 假設(shè)除易拉罐的頂、底蓋外, 罐的厚度相同, 記作, 頂、底蓋的厚度相同為 . 想象一下, 硬度表達在同樣材料的厚度上(前面的). 因此, 我們可以進行如下的數(shù)學建模. 這時必須考慮所用材料的體積. F=AbsoluteThickness1,Line-3.2,0,3.2,0,3.2,12.8,-3.2,

38、12.8,-3.2,0,3.2,0,3,0.2,3,12.2,-3,12.2,-3,0.2,3,0.2mygrapg = ShowGraphicsF,AxesLabel-x,y, AspectRatio-Automatic, PlotRange-1,12.9 明確變量和參數(shù)：設(shè)飲料罐的半徑為 r因此，直徑為 d = 2r, 罐的高為 h. 罐內(nèi)體積為 V. b 為除頂、底蓋外(即側(cè)面體積)的材料的厚度. 其中 r, h 是自變量, 所用材料的體積 SV 是因變量, 而 b 和 V 是固定參數(shù), 是待定參數(shù). 飲料罐側(cè)面所用材料的體積為飲料罐頂蓋所用材料的體積為 飲料罐底部所用材料的體積為 所以

39、, SV 和 V 分別為, 因為 , 所以帶 的項可以忽略(極其重要的合理假設(shè)或簡化, 為什么?). 因此記 . 于是我們可以建立以下的數(shù)學模型：其中 S 是目標函數(shù)，是約束條件, V 是的(即罐內(nèi)體積一定), 即要在體積一定的條件下, 求罐的體積最小的 r, h 和 使得 r, h 和測量結(jié)果吻合. 這是一個求條件極值的問題. 模型的求解：一種解法(從約束中解出一個變量，化約束(條件)極值問題為求一元函數(shù)的無約束(無條件)極值問題)從 解出 ,代入 S, 使原問題化為：求 d : h 使 S 最小, 即, 求 r 使最小. 求臨界點: 令其導數(shù)為零得解得臨界點為 , 因此測量數(shù)據(jù)大致為h/r

40、=2, 即相當于, 即頂、底蓋的厚度是其他材料厚度的2倍. 為驗證這個 r 確實使 S 到達極小。計算 S 的二階導數(shù)所以, 這個 r 確實使 S 到達局部極小, 因為臨界點只有一個, 因此也是全局極小. 習題(或思考題)如果不忽略高級無窮小量，結(jié)果將會怎樣?代入 h 的表達式, (死算)得到解得同樣的結(jié)果！在求區(qū)間上分段光滑函數(shù)的最大值問題時，有的教材, 例如Frederick R. Adler (Department of Mathematics and Department of Biology, University of Utah)Modeling the Dynamics of L

41、ife Calculus and Probability for life scientists, Brooks/Cole Publishing Company, 1998. (該書2005年出了第2版)提出了連續(xù)函數(shù)求最大、最小的如下算法：p. 200, Algor(Finding global maxima and minima)1. Compute the value of the function at the endpoints and anywhere the function is not differentiable. 計算函數(shù)在端點和不可微點處的值.2. Find all c

42、ritical points. 求全部臨界點.3. Compute the value of the function at all critical points. 計算所有臨界點處的值.4. The largest of the numbers found in step 1 and 3 is the global maximum. The smallest of the numbers found in step 1 and 3 is the global minimum. 第1、3步求得的最大(小)值就是該連續(xù)函數(shù)的整體(全局) 最大(小)值.p. 202, Algor(Finding

43、 local maxima and minima with the second derivative)1. Find all critical points.2. Compute the sign of the secong derivative at all critical points.3. Critical points where the second derivative is positive correspond to local minima, and critical points where the second derivative is negative corre

44、spond to local maxima. 這就可能引起我們對如下問題的思考:什么是算法? 算法為什么重要? 上述算法在實際中都是可行的嗎? 值得向同學介紹. 算法(algorithm) 定義計算過程的一組詳細指令(從而這個過程也稱為算法(algorithmic)過程), 它開始于(給定的算法的一定數(shù)量的可能輸入中的)一個任意輸入(input), 而且其目的在于得到一個完全由輸入和指令決定的結(jié)果(result)(或輸出(output). ?數(shù)學百科全書?, 卷1, 科學出版社1994, pp. 119 121.簡化模型 3易拉罐可以簡化為圓臺加圓柱形罐(黏接長度短一些, 就降低本錢了!) 我

45、們假設(shè)圓臺局部是個直圓臺, 實際上, 它也可能是某個曲線段(例如, 雙曲線的一段)繞中軸線旋轉(zhuǎn)而得的圓臺.假設(shè)所用材料與罐內(nèi)的外表積成正比,即,各局部的材料體積與該局部的面積成正比來近似制罐材料的體積，見以下圖(該圖比擬夸張!)由普通的數(shù)學手冊可以查得：直角梯形繞其垂直底邊的腰旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體稱為圓臺.對于上為圓臺下為圓柱半徑為 r, 下底半徑為 R, 高為 b, 圓柱體局部的高為 h, 那么有圓臺的體積 = 圓臺的側(cè)面積 = 上為圓臺下為圓柱體的立體(簡稱圓臺加圓柱體)的體積 = 實際上, 在 pp 242 257“第三章 第八節(jié) 定積分的幾何應用舉例中可以加一個習題：求圓臺的體積和側(cè)面積

46、, 因為 pp 250 255 “三、平面曲線的弧長已經(jīng)有.圓臺加圓柱體的外表積 = 底半徑為 R, 高為 H 的圓柱體的體積 = 用定積分可以計算平面曲線 y = y(x) 繞 x 旋轉(zhuǎn)所得立體的體積和外表積也可以得到上述公式. 底半徑為 R, 高為 H 的圓柱體的外表積 = 圓柱體的上底往里縮小一點,如果外表積比同體積的圓柱體小,那么黏結(jié)費用就會省一點,就提高了效益! 是這樣嗎? 算一下!現(xiàn)在 過點的直線方程為所以圓臺的體積為圓臺加圓柱體的體積 = 由圓臺加圓柱體的體積 = 圓柱體體積解得由繞 x 軸旋轉(zhuǎn)得到的圓臺的側(cè)外表積為因為圓柱體的表面積 = 圓臺加圓柱體的外表積 =圓柱體的表面積

47、-圓臺加圓柱體的外表積 = k=3; R=4; ?大學生數(shù)學建模競賽輔導教材(五)?第3章，葉其孝主編，湖南教育出版社，2021. 附錄 pp. 57 64. 習題或研究課題1. 試證明, 在周長相等的矩形中, 正方形的面積最大. 試證明, 外表積相等的長方體中, 正方體的體積最大. (到市場上去考察各種箱包、容器的尺寸, 并給予一定的解釋.) 2. 正橢圓柱形狀的飲料罐的設(shè)計. 求長軸為短軸K倍的正橢圓柱體積一定時能使其外表積最小的短軸和高的比. (提示: 長軸為 a，短軸為 b (a b0)的橢圓的面積為，它的周長為 .雖然它不能用初等函數(shù)表示, 但是當給出 a 和 b 的具體數(shù)值時, 可

48、以用數(shù)學軟件來計算它的值. 假設(shè)令稱為第二類不完全橢圓積分, 或Legendre第二類橢圓積分, 是一類重要的特殊函數(shù). 橢圓函數(shù)是橢圓積分的反函數(shù).) pp. 252 253 例11. 怎樣組織編寫更好的可以融入的例子, 需要大家做更多的努力. 四. 幾個值得注意的問題1. 與時俱進: 一個值得注意的動向: 最近Springer出版社開始出版一套完全是從教學角度寫的“Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology(施普林格數(shù)學和技術(shù)大學生教材), 第一本是譯自法文的Christiane Rousseau, Yvan Sai

49、nt-Aubin Mathematics and TechnologySpringer | 2021-08-19 | ISBN: 0387692150 | 582 pages | PDF | 22,2 MB 目錄(Table of contents)序言(Preface)1. 地球上和空間中的定位(Positioning on Earth and in Space)2. 裝飾帶和鑲嵌(Friezes and Mosaics)3. 機器人運動(Robotic Motion)4. 骨架和伽瑪射線放射外科手術(shù)(Skeletons and Gamma-Ray Radiosurgery)5. 儲蓄和貸款

50、(Savings and Loans)6. 糾錯碼(Error-Correcting Codes)7. 公開密鑰密碼學(Public Key Cryptography)8. 隨機數(shù)生成(Random-Number Generators)9. Google (谷歌)和PageRank (Page 排序)算法(Google and the PageRank Algorithm)10. 為什么每秒44,100個樣本就可以了? (Why 44,100 Samples per Second?)11. 圖象壓縮: 迭代函數(shù)系(Image Compression: Iterated Function Sys

51、tems)12. 圖象壓縮: JPEG標準(Image Compression: The JPEG Standard)13. DNA(脫氧核糖核酸)計算機(The DNA Computer)14. 變分法(Calculus of Variations)15. 科學閃光篇(Science Flashes)索引(Index)實際上, 我國也已經(jīng)出版了一些與現(xiàn)代技術(shù)有關(guān)的數(shù)學建模的案例的書, 例如姜啟源、謝金星主編, 數(shù)學建模案例選集, 高等教育出版社, 2006.譚永基等編寫, 經(jīng)濟管理數(shù)學建模案例教程, 高等教育出版社, 2006.等等.但是, 從實際教學可行的角度去編寫做得不夠, 需要大大加強

52、. COMAP(Consortium for Mathematics and its Applications, 數(shù)學及其應用聯(lián)合會及其執(zhí)行總裁Solomon A. Garfungel 其人, 值得我們學習什么!2. 與教學研究相結(jié)合, 加強交流. 講稿(學生的具體反響)、習題(有多少學生做了, 做的情況)、小的研究課題(有學生做了嗎? 做得怎樣)、考題(成績分布), 教師自己對這樣融入的利弊的思考、反思和總結(jié), 提出進一步做好的建議等. 可以在兩年一次的全國數(shù)學建模教學與應用會議上進行交流. 把融入課程的教學和研究相結(jié)合, 具體建議如下：1寫好1-2次講把數(shù)學建模的思想和方法融入課程的講稿;2習題：幾個，有多少學生做了，從教師的角度看完成的情況如何;3期中或期末考試的考題，1