山東省近五年高考試題研究--三角函數(shù)

1、三三 角角 函函 數(shù)數(shù) 2009-2013年山東省高考數(shù)學(xué)試題分析年山東省高考數(shù)學(xué)試題分析前前 言言 三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)一個(gè)重要的模塊；是高中數(shù)學(xué)代數(shù)部三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)一個(gè)重要的模塊；是高中數(shù)學(xué)代數(shù)部分中一大主要的支撐點(diǎn)；分中一大主要的支撐點(diǎn)； 三角函數(shù)部分在歷年高考中都占有不少的比重，一般在選三角函數(shù)部分在歷年高考中都占有不少的比重，一般在選擇題、填空題和解答題中都有考題；選擇填空題一般考查擇題、填空題和解答題中都有考題；選擇填空題一般考查三角函數(shù)的基本運(yùn)算，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)或者是三角函數(shù)的基本運(yùn)算，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)或者是解斜三角形；解答題一般是第解斜三角形；解答題一般是第

2、17題，是解答題第一道題目，題，是解答題第一道題目，屬于容易題，一般考查三角函數(shù)的圖形和性質(zhì)以及斜三角屬于容易題，一般考查三角函數(shù)的圖形和性質(zhì)以及斜三角形的問(wèn)題，經(jīng)常與向量結(jié)合形的問(wèn)題，經(jīng)常與向量結(jié)合。 三角函數(shù)部分以三角定義為主體，繁衍出一系列知識(shí)：誘三角函數(shù)部分以三角定義為主體，繁衍出一系列知識(shí)：誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式、然后三角函數(shù)的導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式、然后三角函數(shù)的圖形和性質(zhì)，兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角公式等；形圖形和性質(zhì)，兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角公式等；形成了三角函數(shù)定義式為根本，以三角函數(shù)圖形和性質(zhì)為主成了三角函數(shù)定義式為根本，以三角函數(shù)圖形和性質(zhì)

3、為主干，以三角恒等變換為考查重點(diǎn)的系統(tǒng)體系。干，以三角恒等變換為考查重點(diǎn)的系統(tǒng)體系。0909年年3.將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移 個(gè)單位, 再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式是( ).A. y=cos2x B. y=2cos2x C. D.y=2sin2x【解析】:將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移 個(gè)單位,得到函數(shù) 即 的圖象,再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式為 ,故選D. 【命題立意】【命題立意】:本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)解析式的基本知識(shí)和基本技能倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)解析式的基本知識(shí)和基本技

4、能,學(xué)會(huì)公式的變形學(xué)會(huì)公式的變形.4)42sin(1xy4sin2()4yxsin(2)cos 22yxx21 cos22sinyxx 17.(本小題滿分本小題滿分12分分)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x+ )+sinx. (1)求函數(shù)求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期的最大值和最小正周期.（2）設(shè)）設(shè)A,B,C為為ABC的三個(gè)內(nèi)角，若的三個(gè)內(nèi)角，若cosB= , f( )= ，且，且C為銳角，求為銳角，求sinA. 3313C41解解: （1）f(x)=cos(2x+ )+sinx= 所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)的最大值為的最大值為 ,最小正周期最小正周期.（2）f( )= = ,所以所以

5、,因?yàn)橐驗(yàn)镃為銳角為銳角,所所以以 ,所以所以 ,所以所以sinA =cosB= .【命題立意】【命題立意】:本題主要考查三角函數(shù)中兩角和差的弦函數(shù)公式、二本題主要考查三角函數(shù)中兩角和差的弦函數(shù)公式、二倍角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角形中的三角關(guān)系倍角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角形中的三角關(guān)系.31 cos213cos2 cossin2 sinsin233222xxxx 1323C132sin223C4123sin32C233C2C31 09年分析：年分析：1、09年，三角函數(shù)部分在高考中僅考了年，三角函數(shù)部分在高考中僅考了2道試題，一道選擇，一道道試題，一道選擇，一道解解答；題號(hào)分別為答；題

6、號(hào)分別為3、17；都處于同類(lèi)別題型的前列，屬于容易題；都處于同類(lèi)別題型的前列，屬于容易題；2、考查的主要內(nèi)容是：三角函數(shù)圖像變換、誘導(dǎo)公式、兩角和與差、考查的主要內(nèi)容是：三角函數(shù)圖像變換、誘導(dǎo)公式、兩角和與差公式以及二倍角公式等，主要體現(xiàn)在解答題中的三角恒等變換上，而公式以及二倍角公式等，主要體現(xiàn)在解答題中的三角恒等變換上，而后，進(jìn)一步考察三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，比如：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、周期后，進(jìn)一步考察三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，比如：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、周期性、最值等；性、最值等；3、選擇題選擇題考查的是考查的是三角圖像變換三角圖像變換，而，而解答題解答題2個(gè)小題，第一問(wèn)考察三個(gè)小題，第一問(wèn)考察三角恒等變換

7、以及三角函數(shù)有關(guān)性質(zhì)；第二問(wèn)考查的是角恒等變換以及三角函數(shù)有關(guān)性質(zhì)；第二問(wèn)考查的是解三角形解三角形，是對(duì)，是對(duì)正余弦定理的運(yùn)用。正余弦定理的運(yùn)用。10年年（15）在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若 ，則角A的大小為_(kāi).解析： ，即 在 ABC 中， ， ，又a0)在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減，則=A3 B2 C D 【解】：由y=sinx的單調(diào)性和題意可知，當(dāng)x=/3 時(shí)，x=/2，所以，= 【點(diǎn)評(píng)】：此題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性?！军c(diǎn)評(píng)】：此題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性。( )sinf xx0 ,3,3232233217（本小題滿分12分）在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)

8、邊分別為a，b，c已知 （I）求 的值； （II）若cosB= ，b=2， ABC的面積S。解：（I）由正弦定理，設(shè) 則 所以 即 （cosA-2cosC)sinB= (2sinC-sinA)cosB,化簡(jiǎn)可得sin(A+B)=2sin(B+C);又A+B+C=，所以sinC=2sinA因此 cosA-2cosC 2c-a=cosBbsinsinCA14,sinsinsinabckABC22 sinsin2sinsin,sinsinc akC kACAbkBBcos2cos2sinsin.cossinACCABBsin2 .sinCA（II）由 得c=2a,由余弦定理可得： 解得a=1。因此c

9、=2，又因?yàn)?所以 因此 【點(diǎn)評(píng)】：本題是解三角形的題型，重點(diǎn)考察了正余弦定理在解三角【點(diǎn)評(píng)】：本題是解三角形的題型，重點(diǎn)考察了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用形中的應(yīng)用 ；突出了利用正余弦定理施行邊角互化的作用，結(jié)合考；突出了利用正余弦定理施行邊角互化的作用，結(jié)合考查了三角恒等變換等知識(shí)。查了三角恒等變換等知識(shí)。 sin2sinCA22222212coscos,2,4144.4bacacBBbaa及得4=a1cos,.4BGB且15sin.4B111515sin1 2.2244SacB 11年分析：年分析：1、2011年三角函數(shù)模塊依然只是考查了年三角函數(shù)模塊依然只是考查了2道題目，題號(hào)分別為道

10、題目，題號(hào)分別為6、17.居于同類(lèi)別之前列，屬于簡(jiǎn)單題；居于同類(lèi)別之前列，屬于簡(jiǎn)單題；2、選擇題選擇題第第6題考查的是三角函數(shù)的基本題考查的是三角函數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)單調(diào)性單調(diào)性，解答題解答題第第17題則是考查題則是考查了解三角形了解三角形；通過(guò)對(duì)解三角形問(wèn)題的設(shè)計(jì)，考查了；通過(guò)對(duì)解三角形問(wèn)題的設(shè)計(jì)，考查了三角三角恒等變換和正余弦定理的運(yùn)用；恒等變換和正余弦定理的運(yùn)用；3、比較與以前的考察，今年這、比較與以前的考察，今年這2道題目，較之以前稍微增加了一點(diǎn)難道題目，較之以前稍微增加了一點(diǎn)難度，單就總體而言，仍然屬于容易題、送分題。度，單就總體而言，仍然屬于容易題、送分題。12年年(7)若 ， ，則

11、sin=（A） （B） （C） （D） 解析：由 可得 ， ， 答案應(yīng)選D。 點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式和：本題主要考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式和 二倍角公式；屬于中等題目。二倍角公式；屬于中等題目。42，3 7sin2 =8354574344 2 ，,22812sin12cos24322cos1sin（17）（本小題滿分12分）已知向量m=（sinx，1）， ，函數(shù)f（x）=mn的最大值為6.（）求A；（）將函數(shù)y=f（x）的圖象像左平移 個(gè)單位，再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象。求g（x）在 上的值域。解：（） 則

12、A=6; （）函數(shù)y=f（x）的圖象像左平移 個(gè)單位得到函數(shù) 的圖象，再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù) 121262sin2cos22sin232cos2sincos3)(xAxAxAxAxxAnmxf126)12( 2sin6xy12)34sin(6)(xxg當(dāng) 時(shí)， ， .故函數(shù)g（x）在 上的值域?yàn)?3,6 . 點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)：此題是三家函數(shù)與向量的結(jié)合問(wèn)題。此類(lèi)問(wèn)題一般是由向量知識(shí)（一此題是三家函數(shù)與向量的結(jié)合問(wèn)題。此類(lèi)問(wèn)題一般是由向量知識(shí)（一般是數(shù)量積）進(jìn)入，然后轉(zhuǎn)化成三角恒等變換問(wèn)題；再加上對(duì)其他問(wèn)般是數(shù)量積）進(jìn)入，然后轉(zhuǎn)化成三角恒等變換問(wèn)題；再加上對(duì)其他問(wèn)

13、題的考查題的考查-圖像變換、求三角函數(shù)性質(zhì)、解三角形等。屬于高考常圖像變換、求三角函數(shù)性質(zhì)、解三角形等。屬于高考常見(jiàn)見(jiàn)形式的考題，屬于容易題。形式的考題，屬于容易題。245,0 x 1 ,21)34sin(,67,334xx6 , 3)(xg 12年分析：年分析：1、12年的高考，對(duì)三角函數(shù)模塊的考查，出乎意料地年的高考，對(duì)三角函數(shù)模塊的考查，出乎意料地沒(méi)有考查解三沒(méi)有考查解三角形角形；不過(guò)依舊只是考查了；不過(guò)依舊只是考查了2道題目，題號(hào)分別為道題目，題號(hào)分別為7、17,；2、選擇題選擇題第第7題考查的是題考查的是基本的三角函數(shù)求值基本的三角函數(shù)求值，涉及知識(shí)主要有，涉及知識(shí)主要有同角同角三角

14、函數(shù)基本關(guān)系式、二倍角公式三角函數(shù)基本關(guān)系式、二倍角公式；而；而解答題解答題第第17題則是題則是與向量結(jié)與向量結(jié)合合，由向量的知識(shí)給出，轉(zhuǎn)化為對(duì)，由向量的知識(shí)給出，轉(zhuǎn)化為對(duì)三角恒等變換的考查三角恒等變換的考查，涉及到的主，涉及到的主要知識(shí)有：要知識(shí)有：向量的數(shù)量積、三角函數(shù)圖像變換，兩角和與差公式、二向量的數(shù)量積、三角函數(shù)圖像變換，兩角和與差公式、二倍角公式等的綜合運(yùn)用，并繼續(xù)對(duì)三角函數(shù)給定倍角公式等的綜合運(yùn)用，并繼續(xù)對(duì)三角函數(shù)給定x x的范圍而求值進(jìn)行的范圍而求值進(jìn)行了考查；了考查；3、這、這2道題目都不難，屬于容易題，送分題。道題目都不難，屬于容易題，送分題。13年年5將函數(shù) 的圖象沿軸向

15、左平移 個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則 的一個(gè)可能取值為 (A) (B) (C)0 (D) 【解析】將函數(shù)y=sin（2x + ）的圖像沿x軸向左平移 個(gè)單位，得到函數(shù) ，因?yàn)榇藭r(shí)函數(shù)為偶函數(shù)，所以 ，即 ，所以選B.【點(diǎn)評(píng)】：此題考查了三角函數(shù)圖像變換和奇偶性，屬于容易題?！军c(diǎn)評(píng)】：此題考查了三角函數(shù)圖像變換和奇偶性，屬于容易題。sin(2)yx834448sin2() sin(2)84yxx,42kkZ,4kkZ17（本小題滿分12分）設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且a+c=6,b=2,cosB=7/9.(1)求a、c的值； （2）求sin(A-B)的值解析：（1）

16、由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得b2=(a+c)2-2ac(1+cosB)，又a+c=6, b=2,cosB=7/9,所以，ac=9,解得：a=c=3;(2)在ABC中, ,由正弦定理得: 因?yàn)閍=c,所以為銳角，所以 因此 24 2sin1 cos9BBsin2 2sin3aBAb21cos1 sin3AA10 2sin() sin coscos sin27A BABAB 【點(diǎn)評(píng)】：此題考查的題型是解三角形，運(yùn)用正余弦定理【點(diǎn)評(píng)】：此題考查的題型是解三角形，運(yùn)用正余弦定理 仍然是主體；同時(shí)，依然穿插了對(duì)三角變換以及求值方面仍然是主體；同時(shí)，依然穿插了對(duì)三角變換以及求值方面 的考

17、查。的考查。 此題難度較低，屬于容易題。此題難度較低，屬于容易題。 13年分析年分析：1、13年的高考，三角函數(shù)模塊又按照年的高考，三角函數(shù)模塊又按照“正常規(guī)律正常規(guī)律”出題，仍然是出題，仍然是2道道題目，一道選擇題，一道解答題；題號(hào)分別是題目，一道選擇題，一道解答題；題號(hào)分別是5、17；2、選擇題選擇題考查的是考查的是三角函數(shù)圖像變換三角函數(shù)圖像變換，結(jié)合了三角函數(shù)的奇偶性進(jìn)，結(jié)合了三角函數(shù)的奇偶性進(jìn)行了綜合考查；行了綜合考查；解答題解答題則完全是一道則完全是一道解三角形解三角形的題目，很中規(guī)中矩地的題目，很中規(guī)中矩地考查了考查了正余弦定理正余弦定理在解三角形中的運(yùn)用，同時(shí)結(jié)合考查了兩角差的正在解三角形中的運(yùn)用，同時(shí)結(jié)合考查了兩角差的正弦公式。弦公式。3、兩道題目都比較簡(jiǎn)單，容易題，送分題。、兩道題目都比較簡(jiǎn)單，容易題，送分題。年份年份20092010201120122013選擇題號(hào)選擇題號(hào)3675分分 析析圖像變換圖像變換三角函數(shù)性質(zhì)三角求值三角求值圖像變換圖像變換性質(zhì)填空題號(hào)填空題號(hào)15分分 析析解三角形解三角形解答題號(hào)解答題號(hào)1717171717分分 析析三角恒等變?nèi)呛愕茸儞Q換、求性質(zhì)求性質(zhì)解三角形解三角形三角恒等變?nèi)呛愕茸儞Q換、圖像變圖像