概率論課堂講義

1、概率論與隨機(jī)過(guò)程概率論與隨機(jī)過(guò)程理學(xué)院理學(xué)院 鞠紅杰鞠紅杰 課程介紹重要專業(yè)基礎(chǔ)課理工科大學(xué)生的必修課程必修課程，其中概率論是考研考研數(shù)學(xué)中重要內(nèi)容之一概率論與生活實(shí)踐和科學(xué)試驗(yàn)有著緊密的聯(lián)系，是許多新發(fā)展的前沿學(xué)科(如控制論、信息論信息論、可靠性理論、人工智能等)的基礎(chǔ)隨機(jī)過(guò)程論目前已得到廣泛的應(yīng)用，在諸如天氣預(yù)報(bào)、統(tǒng)計(jì)物理、天體物理、運(yùn)籌決策、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、安全科學(xué)安全科學(xué)、人口理論、可靠性及計(jì)算機(jī)科學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)等很多領(lǐng)域都要經(jīng)常用到隨機(jī)過(guò)程的理論來(lái)建立數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)方法注重概念，抓住對(duì)概念的引入和背景的理解，建立用“不確定性不確定性”的思維方法處理問(wèn)題不要為解題而解題，要理解題目所涉及的概念及

2、解題的目的。具體計(jì)算中的技巧基本上在高等數(shù)學(xué)中都已學(xué)過(guò)。因此概率論學(xué)習(xí)的關(guān)鍵不在于做許多習(xí)題，而要把精力放在理解不同題型涉及的概念及解題的思路上去注意事項(xiàng)教材：概率論與隨機(jī)過(guò)程 史悅 孫洪祥 主編 北京郵電大學(xué)出版社成績(jī)：平時(shí)30%+期末70%紀(jì)律：上課別遲到，手機(jī)別出聲關(guān)于作業(yè)周一課前交作業(yè)學(xué)委收作業(yè)，按學(xué)號(hào)排好獨(dú)立完成主要內(nèi)容概率論 基本概念，隨機(jī)變量(一維、多維)，數(shù)字特征，大數(shù)定律與中心極限定理隨機(jī)過(guò)程 概念，平穩(wěn)過(guò)程，譜分析，馬氏鏈，泊松過(guò)程1.1 隨機(jī)事件及其運(yùn)算1.2事件的概率及其性質(zhì)1.3 條件概率1.4事件的獨(dú)立性 研究對(duì)象：隨機(jī)現(xiàn)象研究?jī)?nèi)容：概率論與隨機(jī)過(guò)程是研究和揭示 隨

3、機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。在個(gè)別實(shí)驗(yàn)中呈不確定性，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中又有規(guī)在個(gè)別實(shí)驗(yàn)中呈不確定性，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中又有規(guī)律的現(xiàn)象。律的現(xiàn)象。1.1 隨機(jī)事件及其運(yùn)算1.隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)定義一：定義一：所謂隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)是指具有下面三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)：（1）可重復(fù)性；（2）全體試驗(yàn)結(jié)果的可知性試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；（3）一次試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性 隨機(jī)試驗(yàn)在本課中簡(jiǎn)稱為試驗(yàn)，常用E表示。1.1.1 隨機(jī)試驗(yàn)、樣本點(diǎn)、樣本空間2. 隨機(jī)事件、樣本空間和樣本點(diǎn)隨機(jī)事件、樣本空間和樣本點(diǎn)定義二定義二 在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情（結(jié)果）稱為隨機(jī)事件隨機(jī)事件。一

4、般用大寫字母A,B,C等表示。例 ：1. “擲得奇數(shù)點(diǎn)”，“擲得點(diǎn)數(shù)6”，“擲得點(diǎn)數(shù)不超過(guò)2”等都是隨機(jī)事件，將它們依次記為A,B,C。 2.在“測(cè)試燈泡壽命”這一試驗(yàn)中，“燈泡的壽命超過(guò)500小時(shí)”是一隨機(jī)事件，我們可用A表示此事件。 定義三定義三 在試驗(yàn)中,可直接觀察到的結(jié)果稱為基本事件基本事件。由基本事件構(gòu)成的事件稱為復(fù)合事件，簡(jiǎn)稱事件事件。特別（1）不可能事件不可能事件：在試驗(yàn)中不可能出現(xiàn)的事件，記為。如擲色子“出現(xiàn)6”的事件。 （2）必然事件必然事件：在試驗(yàn)中必然出現(xiàn)的事件，如擲色子“出現(xiàn)6”的事件，記為。例 ：E1：拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況。E2：將一枚硬幣拋擲三次

5、，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況。E3：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。E4：拋一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。E5：紀(jì)錄電話交換臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。E6：在一批燈泡中任意抽取一個(gè)，測(cè)試它的壽命。例 ：寫出E1到E6的樣本空間： 1 1 ：H, TH, T 2 2 ：HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTTHHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT 3 3 ：0, 1, 2, 30, 1, 2, 3 4 4 ：1, 2, 3, 4, 5, 61, 2, 3, 4, 5, 6 5 5 ：0, 1, 2, 3, 0, 1, 2

6、, 3, 6 6 ：t|t0t|t0例：試驗(yàn)E4的事件“擲得奇數(shù)點(diǎn)”： A=1,3,54 3.概率論基本事件等概念與集合論中元素等的對(duì)應(yīng)關(guān)系表： 概率論 集合論 記號(hào) 樣本點(diǎn) 元素 ei ( i) 基本事件 單元素集 ei 樣本空間 全集 S () 隨機(jī)事件 子集 A 不可能事件 空集 1.1.2事件間的關(guān)系和運(yùn)算1.事件之間的關(guān)系事件之間的關(guān)系 定義1. 若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱B B包含包含A A，記為BA或AB。 BA定義2.若AB且AB，則稱事件事件A A與事件與事件B B相相等等，記為AB。A=B定義定義3 3 如果A，B兩事件不能同時(shí)發(fā)生，即AB ，則稱事件A與事件B是

7、互不相容事件互不相容事件或互斥事件互斥事件。推廣推廣 對(duì)有限個(gè)事件或可列個(gè)事件A1，A2，An ，如果對(duì)任意ij, Ai Aj,則稱A1，A2，An或A1，A2，An 兩兩互不相容。兩兩互不相容。BA定義定義4 4 若在每次試驗(yàn)中，事件A，B必有一個(gè)發(fā)生且僅有一個(gè)發(fā)生,則稱為A與B互為對(duì)立事件對(duì)立事件.若A，B互為對(duì)立事件 AB= S，AB注：對(duì)立事件一定互不相容，但互不相容事件未必是對(duì)立事件。BA定義5 “事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生”是一事件，稱此事件為事件A與事件B的和和事件事件，記為AB。 用集合表示為: AB=e|eA或eBABAB2.事件之間的運(yùn)算事件之間的運(yùn)算 推廣：推廣：事件的

8、和可推廣至有任意有限和可列個(gè)事件的和的情況。 nnkkAAAA211 nkkAAAA211 定義定義6 稱事件“事件A與事件B都發(fā)生”為A與B的積事件，記為AB或 AB，用集合表示為AB=e|eA且eB。 推廣：推廣： nnkkAAAA211 nkkAAAA211 例例 在直角坐標(biāo)系圓心在原點(diǎn)的單位圓內(nèi)任取一點(diǎn)，記錄其坐標(biāo)，令 2221| ),(nyxyxAn,B B表示表示“取取到到(0,0)(0,0)點(diǎn)點(diǎn)”,”,則則 1kkAB定義定義7 7 稱“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生,這一事件為事件A與事件B的差事件,記為A-B,用集合表示為 A-B=e|eA，e B 定義定義8 8 稱事件稱事件“A

9、 A不發(fā)生不發(fā)生”為事件為事件A A的的逆事件逆事件，記為，記為 。 易見(jiàn)易見(jiàn)A A與與滿足：滿足：AA= S,= S,且且A A=，即，即A A，B B互為對(duì)立事件。用集合表示為互為對(duì)立事件。用集合表示為 = =e|e AA1.,;2.B;3.,;4.ASA SSABAABAABABCAABABCABABAAB 相關(guān)性質(zhì)還有：相關(guān)性質(zhì)還有：例例1: 1: 袋中裝有編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8的八張卡片中任取一張，設(shè)事件為“抽得一張標(biāo)號(hào)不大于的卡片”，事件為“抽得一張標(biāo)號(hào)為偶數(shù)的卡片”，事件為“抽得一張標(biāo)號(hào)為奇數(shù)的卡片”。請(qǐng)用樣本點(diǎn)的集合表示下列事件:,-,-,() 解: 將,表示集合

10、形式為,所以 , (), ,;-,-,例例2 2: :A,B,C三個(gè)事件，用運(yùn)算關(guān)系表示：（1）僅有B發(fā)生； （2）恰有兩個(gè)發(fā)生；（3）都發(fā)生； （4）都不發(fā)生；（5）A,B,C沒(méi)都發(fā)生； （6）至少兩個(gè)發(fā)生。 事件A發(fā)生導(dǎo)致B也發(fā)生 A是B的子集 A與B相等 A與B相等 A與B不相容 A與B無(wú)公共元素 A的對(duì)立事件 A的余集 A與B至少有一個(gè)發(fā)生 A與B的并集 A與B同時(shí)發(fā)生 A與B的交集 A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生 A與B的差集BA BA ABABABABA 記號(hào)記號(hào) 概率論概率論 集合論集合論在進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常要用到下述定律，設(shè)A，B，C為事件，則有（1）交換律：AB=BA，AB=BA （2）結(jié)合律：A(BC)=(AB)C=ABC A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC)= ABAC（4）德.摩根律(對(duì)偶律)：BABABABA3 . 事件的運(yùn)算法則事件的運(yùn)算法