線性代數(shù)第一章

1、線性代數(shù)課程的重要性線性代數(shù)課程的重要性1 1、線性代數(shù)是討論代數(shù)數(shù)學(xué)中有關(guān)、線性代數(shù)是討論代數(shù)數(shù)學(xué)中有關(guān)線性關(guān)系線性關(guān)系經(jīng)典理論的經(jīng)典理論的 課程。課程。2 2、線性問(wèn)題廣泛存在于生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中。、線性問(wèn)題廣泛存在于生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中。3 3、掌握線性代數(shù)的、掌握線性代數(shù)的基本概念基本概念、基本理論基本理論和和基本方法基本方法， 為解決工科各專業(yè)的實(shí)際問(wèn)題，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)相關(guān)為解決工科各專業(yè)的實(shí)際問(wèn)題，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)相關(guān) 課程及擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識(shí)都將奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。課程及擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識(shí)都將奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。4 4、線性代數(shù)作為大學(xué)理工科的一門(mén)主要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，、線性代數(shù)作為大學(xué)理工科的一門(mén)

2、主要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課， 也是碩士研究生入學(xué)考試的一門(mén)重要課程也是碩士研究生入學(xué)考試的一門(mén)重要課程?；A(chǔ)課基礎(chǔ)課專業(yè)基礎(chǔ)課專業(yè)基礎(chǔ)課數(shù)學(xué)類數(shù)學(xué)類 專業(yè)課專業(yè)課線性代數(shù)線性代數(shù)復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)概率論、隨機(jī)過(guò)程概率論、隨機(jī)過(guò)程00022112222112121211122112222211211212111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxabxaxaxabxaxaxabxaxaxa齊次線性方程組：非齊次線性方程組：如何學(xué)好線性代數(shù)？如何學(xué)好線性代數(shù)？1 1、線性代數(shù)的、線性代數(shù)的概念多概念多、具有較強(qiáng)的、具有較強(qiáng)的抽象性抽象性。從一開(kāi)。從一開(kāi) 始學(xué)習(xí)就要充分重視始

3、學(xué)習(xí)就要充分重視概念與理論的理解及記憶概念與理論的理解及記憶。2 2、要、要獨(dú)立完成習(xí)題作業(yè)獨(dú)立完成習(xí)題作業(yè)。3 3、學(xué)習(xí)上以課本為主，學(xué)會(huì)利用參考書(shū)。、學(xué)習(xí)上以課本為主，學(xué)會(huì)利用參考書(shū)。4 4、可適當(dāng)試用工具軟件、可適當(dāng)試用工具軟件(MATLAB)(MATLAB)。5 5、在知識(shí)的運(yùn)用上與知識(shí)的聯(lián)系上注意、在知識(shí)的運(yùn)用上與知識(shí)的聯(lián)系上注意類比、總結(jié)。類比、總結(jié)。 1 1、教材：、教材：線性代數(shù)線性代數(shù)第四版，同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系第四版，同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 編編2 2、參考書(shū)、參考書(shū): : 線性代數(shù)要點(diǎn)與解題線性代數(shù)要點(diǎn)與解題 作者：魏戰(zhàn)線；西安交通大學(xué)出版社，作者：魏戰(zhàn)線；西安交通大學(xué)出版社，

4、20062006年年3 3、線性代數(shù)附冊(cè)線性代數(shù)附冊(cè) 學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解 （同濟(jì)第四版），同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，（同濟(jì)第四版），同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系， 高等教育出版社，高等教育出版社，2004.72004.7教教材材與與參參考考書(shū)書(shū)課程的基本內(nèi)容及課程的基本內(nèi)容及課時(shí)分配課時(shí)分配教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容課堂講授課堂講授 習(xí)題課習(xí)題課第一章第一章 行列式行列式6 62 2第二章第二章 矩陣矩陣6 62 2第三章第三章 矩陣初等變換與線性方程組矩陣初等變換與線性方程組8 82 2第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性10102 2第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型10

5、102 2總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí)2 22 2合計(jì)合計(jì)5454總成績(jī)平時(shí)成績(jī)總成績(jī)平時(shí)成績(jī)30%30%期末成績(jī)期末成績(jī)70%70%基本內(nèi)容基本內(nèi)容1 1二、三階行列式。二、三階行列式。2 2全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)3 3n n階行列式的定義。階行列式的定義。4 4對(duì)換對(duì)換5 5行列式的性質(zhì)。行列式的性質(zhì)。6 6行列式按行行列式按行( (列列) )展開(kāi)定理。展開(kāi)定理。7 7克拉默法則。克拉默法則。內(nèi)容要求：內(nèi)容要求： 理解行列式的理解行列式的定義定義，掌握行列式的，掌握行列式的性質(zhì)性質(zhì)，會(huì)用行列式，會(huì)用行列式 的性質(zhì)和按行的性質(zhì)和按行( (列列) )展開(kāi)定理展開(kāi)定理計(jì)算計(jì)算行列式，會(huì)用行列式，會(huì)用克

6、拉默克拉默 法則法則解解n n元線性方程組。元線性方程組。第一章第一章 行列式行列式第一章第一章 行列式行列式1 1 二階與三階行列式二階與三階行列式列；為列標(biāo)表明在第行；為行標(biāo)表明在第數(shù)，元素：行列式中的每個(gè)律運(yùn)算所得值。行列式的值：數(shù)表按規(guī)。列數(shù)行數(shù)排成列的數(shù)表行列式：橫排成行，豎jjiianij)(33323123222113121122211211aaaaaaaaaaaaa三階行列式：二階行列式：2221121122221211212111aaaabxaxabxaxa二二階階行行列列式式：由由解解 定義：定義：對(duì)角線法則對(duì)角線法則：（1 1）二、三階行列式適用）二、三階行列式適用“對(duì)角

7、線法則對(duì)角線法則”；（2 2）二階行列式含）二階行列式含2 2項(xiàng)，三階行列式含項(xiàng)，三階行列式含6 6項(xiàng)，每一項(xiàng)均為項(xiàng)，每一項(xiàng)均為不同行不同行、不同列不同列的元素的乘積；的元素的乘積；（3 3）平行于）平行于主對(duì)角線主對(duì)角線的項(xiàng)為的項(xiàng)為正正號(hào)，平行于號(hào)，平行于副對(duì)角線副對(duì)角線的項(xiàng)為的項(xiàng)為負(fù)負(fù)號(hào)。號(hào)。333231232221131211aaaaaaaaa111213111221222321223132333132aaaaaaaaaaaaaaa(+)(+)(+)(+)(+)(+)(-)(-)(-)(-)(-)(-)3122133321123223113221133123123322113332312

8、322211312112112221122211211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa112111222212121112111221222122,baabbaabxxaaaaaaaa則上述方程組的解可表示為 11 1122121 12222,a xa xba xa xb 372122DDx, 271411DDx,21243121232D()()07431223D由于解12122312121xxxx、解方程組：例()() ()()()()() ()14842432642221413242443122212431224212、計(jì)算行

9、列式：例D32065122918430943211132222xxxxxxxxDxx或得到方程左端的三階行列式解、求解方程：例階階行行列列式式如如何何求求？n2 2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)全排列：把全排列：把 n n 個(gè)個(gè)不同不同的自然數(shù)的自然數(shù)( (元素元素如數(shù)如數(shù)2 2就是一個(gè)元素）排就是一個(gè)元素）排成一列，叫做這成一列，叫做這 n n 個(gè)元素的全排列個(gè)元素的全排列。排列數(shù)：排列數(shù)： n n 個(gè)不同的元素所有排列的種數(shù)。個(gè)不同的元素所有排列的種數(shù)。逆序：在任一排列中，當(dāng)逆序：在任一排列中，當(dāng)某兩個(gè)某兩個(gè)元素的先后次序與元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序標(biāo)準(zhǔn)次序（標(biāo)準(zhǔn)次序是規(guī)定好的，例如本書(shū)

10、中規(guī)定各元素由小到大（標(biāo)準(zhǔn)次序是規(guī)定好的，例如本書(shū)中規(guī)定各元素由小到大 為標(biāo)準(zhǔn)次序）為標(biāo)準(zhǔn)次序）不同時(shí)，稱有不同時(shí)，稱有1 1個(gè)逆序個(gè)逆序。逆序數(shù)：逆序數(shù)：一個(gè)排列一個(gè)排列中所有元素的逆序的總和叫這個(gè)排列的中所有元素的逆序的總和叫這個(gè)排列的 逆序數(shù)逆序數(shù)。!npn ？沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)三個(gè)數(shù)可以組成多少個(gè)、 321奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列。奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列。偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列。偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列。階階行行列列式式如如何何求求？n如何計(jì)算某一個(gè)排列的逆序數(shù)？如何計(jì)算某一個(gè)排列的逆序數(shù)？ （1 1） 先分別計(jì)算出該排列中先分別計(jì)算出該排列中每個(gè)元素每個(gè)元素前面比前面比

11、它大的數(shù)的個(gè)數(shù)它大的數(shù)的個(gè)數(shù), ,得到某個(gè)元素的逆序數(shù)得到某個(gè)元素的逆序數(shù)t ti i， （2 2） 再將每個(gè)元素的逆序數(shù)相加得到該排列再將每個(gè)元素的逆序數(shù)相加得到該排列的逆序數(shù)的逆序數(shù)。 （3） 判斷是奇排列還是偶排列判斷是奇排列還是偶排列 ntttt 2112345325144標(biāo)準(zhǔn)排列的逆序數(shù)。、求排列例奇排列奇排列513010 t 3 n 3 n 階行列式的定義階行列式的定義三階行列式的通用表示法：三階行列式的通用表示法：321321332112322311312213322113312312332211333231232221131211) 1(ppptaaaaaaaaaaaaaaaa

12、aaaaaaaaaaaaaa （列）逆序數(shù)為奇數(shù)。項(xiàng)列）逆序數(shù)為偶數(shù)；負(fù)正項(xiàng)、不同列；各個(gè)元素分別為不同行個(gè)元素每項(xiàng)有項(xiàng)共有：(,36!3np( )()nnpppntnnnnnnijaaaaaaaaaaaaDa2121!2122221112111det列逆序數(shù)為奇數(shù)。列逆序數(shù)為偶數(shù)；負(fù)項(xiàng)正項(xiàng)為這個(gè)排列的逆序數(shù)。的一個(gè)排列為自然數(shù)；分別為不同行、不同列個(gè)元素每項(xiàng)有）元的（為行列式項(xiàng)，其中數(shù)共有tnpppnjiDannij;, 2 , 1,!21n n 階行列式的定義：階行列式的定義：aa 一階行列式 ，注意不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆。()2) 1(1210115212)1(1 ,2, 31,2, 1

13、212121nnntaaaannnnnnntnnn其中）（：對(duì)角行列式：例()()()nntnntnniipijnnnnnnnnnnaaaDaaaDnpppnpppipaDaijaaaaaaaaaaaaaaai221102211212122112221121121222111111.1123.,2, 1,00000006所以此項(xiàng)的符號(hào)有一項(xiàng)中可能不為零的項(xiàng)只，所以只有一個(gè)排列排列中，能滿足上述關(guān)系的在所有排列即其下標(biāo)應(yīng)有中可能不為零的元素故時(shí)，由于當(dāng)證明：三角形行列式：例下下三三角角形形上三角形上三角形總結(jié)總結(jié)1. 知道知道pnn!代表代表n個(gè)個(gè)元素元素組成的排列共有多少組成的排列共有多少不同

14、項(xiàng)不同項(xiàng); 2. 知道一個(gè)元素的逆序數(shù)計(jì)算方法以及一個(gè)排列知道一個(gè)元素的逆序數(shù)計(jì)算方法以及一個(gè)排列的逆序數(shù)的計(jì)算方法。的逆序數(shù)的計(jì)算方法。3. n階行列式的表示方法以及它和全排列、逆序階行列式的表示方法以及它和全排列、逆序數(shù)的關(guān)系數(shù)的關(guān)系.第一節(jié)課第一節(jié)課/10月月6日日作業(yè)作業(yè)p261、(1、3小題）；小題）；2、（、（2、4、6小小題）；題）；3題題4 4 對(duì)對(duì) 換換對(duì)換對(duì)換：在排列中，將任意：在排列中，將任意兩個(gè)元素兩個(gè)元素對(duì)調(diào)位置，其余的元素不動(dòng)，對(duì)調(diào)位置，其余的元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換對(duì)換。將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換，叫做。將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換，叫做相鄰對(duì)

15、換相鄰對(duì)換。定理定理1 1：一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性。：一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性。證明證明: :(1)(1)相鄰對(duì)換相鄰對(duì)換 設(shè)排列設(shè)排列a a1 1a al lababb b1 1b bm m對(duì)換對(duì)換a a與與b b，變?yōu)?，變?yōu)?a a1 1a al lbabab b1 1b bm m, , 其中其中a a1 1a al l和和b b1 1b bm m 這些元素的逆序數(shù)經(jīng)這些元素的逆序數(shù)經(jīng)過(guò)對(duì)換并不改變，過(guò)對(duì)換并不改變， a,ba,b兩元素改變?yōu)椋喝魞稍馗淖優(yōu)椋喝鬭b,abab時(shí)，對(duì)換后時(shí)，對(duì)換后a a的逆序數(shù)不變，的逆序數(shù)不變，b b的逆序數(shù)減少的

16、逆序數(shù)減少1 1。 所以排列所以排列a a1 1a al labbabb1 1b bm m與排列與排列a a1 1a al lbabbab1 1b bm m的的奇偶性不同奇偶性不同. . (2) (2)一般對(duì)換一般對(duì)換 設(shè)排列設(shè)排列a a1 1a al la ab b1 1b bm mb bc c1 n, ,把把b b作作m m次相鄰變換移動(dòng)到次相鄰變換移動(dòng)到b1b1前面；然后作前面；然后作m+1m+1次相鄰變換移動(dòng)次相鄰變換移動(dòng)a a到原來(lái)到原來(lái)b b的位置，即經(jīng)過(guò)的位置，即經(jīng)過(guò)2m+12m+1次相鄰對(duì)換后排列變?yōu)榇蜗噜弻?duì)換后排列變?yōu)閍 a1 1a al lb bb b1 1b bm ma

17、ac c1 n所以所以這兩個(gè)這兩個(gè)排列奇偶性相反排列奇偶性相反。階行列式有哪些性質(zhì)？n推論推論：奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)；奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)； 偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)。偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)。 證明：證明： 標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列，其逆序數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列，其逆序數(shù)為0 0 對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)。對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)。定理定理2 2：n n階行列式也可定義為階行列式也可定義為 其中其中t t為行排列為行排列p p1 1 p p2 2 p pn n的逆序數(shù)。的逆序數(shù)。列標(biāo)準(zhǔn)行標(biāo)準(zhǔn)個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：階行列式可以定義為兩nppptnpp

18、ptnnaaaaaaDn21212121) 1() 1(列標(biāo)準(zhǔn)nppptnaaaD2121) 1()的逆序數(shù)，為排列為自然排列，其中對(duì)于行列式的任一項(xiàng)njinpjpipptpppptnjiaaaanji11111()對(duì)換。這時(shí)這一項(xiàng)的值不變，成與對(duì)換元素作了一次相 應(yīng)列同 時(shí)因?yàn)闉樾袠?biāo)排列與列標(biāo)111nijjinpipjpptjpipaaaaaa()() ()()111111111trtrtnijtpppprrnij則的逆序數(shù)為設(shè)新的排列為奇數(shù)；，則的逆序數(shù)為設(shè)新的行標(biāo)排列()()nijnjinpipjpptrnpjpipptaaaaaaaa1111111即改變奇偶性。排列的逆序數(shù)之和并不換，

19、則行標(biāo)排列與列標(biāo)排列同時(shí)作了相應(yīng)的對(duì)次序，行標(biāo)排列與列標(biāo)對(duì)換乘積中兩個(gè)元素的()()；為逆序數(shù)變?yōu)樽匀慌帕心嫘驍?shù)為：列標(biāo)排列于是經(jīng)過(guò)若干次對(duì)換后，經(jīng)過(guò)多次對(duì)換還是如此經(jīng)過(guò)一次對(duì)換是如此，0121ttpppn()()nqqqsnppptnnnaaaaaasqqq212121212111,，則有其逆序數(shù)為列，設(shè)此新排列為然排列變?yōu)槟硞€(gè)新的排行標(biāo)排列則相應(yīng)地從自nnnnnnTnnnnnnaaaaaaaaaDaaaaaaaaaD2122212121112122221112115 5 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)行與列具有同等地位。：性質(zhì)DDT1()()nppptnppptTjiijijTijnnaaabb

20、bDabbDaD2121212111)det()det(則；轉(zhuǎn)置行列式記證明()DDaaaDTnppptn212112有：由定理行列式變號(hào)。()于是有時(shí)，當(dāng)相對(duì)于未對(duì)換項(xiàng)來(lái)講時(shí)，即當(dāng)。兩行得到對(duì)換由行列式證明,)det(21222211121111ipjpjpipkpkpnnnnnnijababjikabjikbbbbbbbbbDDjiaD()()()()()()DaaaaDtpppppppptnjiaaaaaaaajiaaaabbbbDnijnijnjnjnjinpjpipptnijnjinpjpipptnpipjpiptnpipjpiptnpjpippt111111111111111111

21、11111),(11則，的逆序數(shù)的逆序數(shù)。設(shè)排列為排列為自然排列，其中行互換()，列：互換行列式的兩行性質(zhì)20 D兩行（列）完全相等推論：如果0DDD故證：把這兩行互換，有kDDkckrkkii1)(3則：以該行列式乘，等于用數(shù)，即如果同一數(shù)乘以）中所有的元素都：行列式的某一行（列性質(zhì))(kckrkiiciriiii或記作行（列）乘以第列表示第行，以表示行列式的第以)(kckrkikii或，記作行（列）提出公因子第到行列式外面。可以提有元素的公因子推論：某行（列）的所04DD則：成比例中有兩行（兩列）元素：如果行列式性質(zhì)215DDDD則：都是兩數(shù)之和，的某一行（列）的元素：如果行列式性質(zhì)nnn

22、niniinnnnniniinnnnnininiiiinaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD21211121121211121121221111211)()()(即：04DD則：成比例中有兩行（兩列）元素：如果行列式性質(zhì)215DDDD則：都是兩數(shù)之和，的某一行（列）的元素：如果行列式性質(zhì)nnnniniinnnnniniinnnnnininiiiinaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD21211121121211121121221111211)()()(即：04DD則：成比例中有兩行（兩列）元素：如果行列式性質(zhì)215DDDD則：都是兩數(shù)之和，的

23、某一行（列）的元素：如果行列式性質(zhì)DDkcckrrjiji1)(6則：即（乘加行或列）如果式不變。對(duì)應(yīng)的元素上去，行列然后加到另一行（列）各元素乘以同一數(shù)，：把行列式的某一行的性質(zhì)應(yīng)用：利用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式（應(yīng)用：利用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式（計(jì)算行列式第二種計(jì)算行列式第二種方法方法）。）。（1 1）任何）任何n n階行列式總能利用階行列式總能利用(r(ri i+kr+krj j) (c) (ci i+kc+kcj j) )化成化成上上（下）三（下）三 角形行列式角形行列式。（2 2）利用三角行列式的結(jié)論計(jì)算出行列式的結(jié)果）利用三角行列式的結(jié)論計(jì)算出行列式的結(jié)果。 DDkcckrrjiji

24、1)(6則：即（乘加行或列）如果式不變。對(duì)應(yīng)的元素上去，行列然后加到另一行（列）各元素乘以同一數(shù)，：把行列式的某一行的性質(zhì)應(yīng)用：利用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式（應(yīng)用：利用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式（計(jì)算行列式第二種計(jì)算行列式第二種方法方法）。）。（1 1）任何）任何n n階行列式總能利用階行列式總能利用(r(ri i+kr+krj j) (c) (ci i+kc+kcj j) )化成化成上上（下）三（下）三 角形行列式角形行列式。（2 2）利用三角行列式的結(jié)論計(jì)算出行列式的結(jié)果）利用三角行列式的結(jié)論計(jì)算出行列式的結(jié)果。 DDkcckrrjiji1)(6則：即（乘加行或列）如果式不變。對(duì)應(yīng)的元素上去，行

25、列然后加到另一行（列）各元素乘以同一數(shù)，：把行列式的某一行的性質(zhì)應(yīng)用：利用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式（應(yīng)用：利用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式（計(jì)算行列式第二種計(jì)算行列式第二種方法方法）。）。（1 1）任何）任何n n階行列式總能利用階行列式總能利用(r(ri i+kr+krj j) (c) (ci i+kc+kcj j) )化成化成上上（下）三（下）三 角形行列式角形行列式。（2 2）利用三角行列式的結(jié)論計(jì)算出行列式的結(jié)果）利用三角行列式的結(jié)論計(jì)算出行列式的結(jié)果。 性質(zhì)性質(zhì)1 1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。 性質(zhì)性質(zhì)2 2 行列式互換兩行（列），行列式變號(hào)。行列式互換兩行（

26、列），行列式變號(hào)。 推論推論 行列式有兩行（列）相同，則此行列行列式有兩行（列）相同，則此行列式為零。式為零。 性質(zhì)性質(zhì)3 3 行列式的某一行（列）的所有元素乘行列式的某一行（列）的所有元素乘以數(shù)，等于用數(shù)乘以該行列式。以數(shù)，等于用數(shù)乘以該行列式。 推論推論 行列式的某一行（列）所有元素的公行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)外。因子可以提到行列式符號(hào)外。 性質(zhì)性質(zhì)4 4 行列式中有兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)成行列式中有兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例，則此行列式為零。比例，則此行列式為零。 性質(zhì)性質(zhì)5 5 若行列式中某一行（列）的元素都是若行列式中某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行

27、列式等于兩個(gè)行列式之和。兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個(gè)行列式之和。 性質(zhì)性質(zhì)6 6 把行列式某一行（列）的元素乘以數(shù)把行列式某一行（列）的元素乘以數(shù)再加到另一行（列）上，則該行列式不變。再加到另一行（列）上，則該行列式不變。、計(jì)算：、計(jì)算：例例73315112043512131335111024315211321ccD7216011206480213151412rrrr7216064801120213132rr1510001080011202131842423rrrr402500010800112021314534rr、計(jì)算：、計(jì)算：例例83111131111316666311113111131

28、11134321rrrrD；對(duì)對(duì)稱稱個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)之之和和為為特特點(diǎn)點(diǎn)：各各行行643111131111311111661r4820000200002011116141312rrrrrrdcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD3610363234232、計(jì)計(jì)算算：例例 9后行減前行后行減前行cbabaacbabaacbabaadcbarrrrrr363023200122334baabaacbabaadcbarrrr300200023344340002000aabaacbabaadcbarr、設(shè)：、設(shè)：例例10211111111111110000DDDbbccbbccaa

29、aaDnnnnknnkkkkk 證證明明：kkkkkjijippppppDkccDkrrD22111111210做列運(yùn)算，對(duì)做行運(yùn)算對(duì)2122112211221111120DDqqqpppDqqqqqqDkkkkkkkkk其中未寫(xiě)出的元素為零階行列式、計(jì)算例dcdcbabaDnn2211nbcad)()21)(Dbcadn ()222)(nDbcaddcdbcabadcbaDnnnnnnDnn000000002122222212222列對(duì)換，得、第列、列依次與第第列依次與次相鄰對(duì)換），再把第對(duì)換（作行、第行、行依次與第中的第解：把)1(2)(nDbcad小結(jié) (行列式中行與列具有同行列式中行與

30、列具有同等的地位等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立同樣成立). 計(jì)算行列式常用方法：計(jì)算行列式常用方法：(1)利用定義利用定義;(2)利用利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值列式的值行列式的行列式的6個(gè)性質(zhì)個(gè)性質(zhì)遞遞推推公公式式。階階行行列列式式計(jì)計(jì)算算通通常常用用到到njijijirrrrrr 行行）一一次次在在前前一一次次基基礎(chǔ)礎(chǔ)上上進(jìn)進(jìn)運(yùn)運(yùn)算算次次序序不不能能顛顛倒倒（后后注注意意：6)2 , 1(526P性質(zhì)應(yīng)用例：性質(zhì)應(yīng)用例：)1(5 ,4 , 34）（作作業(yè)業(yè)：習(xí)習(xí)題題一一三

31、種方法算？即計(jì)算行列式的第行列式能否進(jìn)行降階運(yùn) 6 6 行列式按行（列）展開(kāi)行列式按行（列）展開(kāi)111121222211111000) 1 , 1 (),MaDkaaaaaaaDjinnnnn的特殊情況，中這相當(dāng)于例的情況，此時(shí)證：先證（ijjiijijijijijMAAaMajinji) 1(),) 1(：的代數(shù)余子式；元素的余子式元階行列式叫做（列劃去，留下的行和第將第ijijijAaDain則：外都為零，行除階行列式，如果第引理：一個(gè)：的余子式元素ijijMa.1) 1(,11ijijijijjiijijAaMaDDMaDji）（于是111111111111) 1(AaDMMA從而又。）

32、元的余子式中（余子式就是）元的，中（而）（）元，所得的行列式，調(diào)成（次調(diào)換，把數(shù)。總之，經(jīng)過(guò)）元，調(diào)換的次數(shù)為，就調(diào)成（數(shù)列對(duì)調(diào)，這樣、第列、列、第列依次與第。再把第調(diào)換的次數(shù)為）元，就調(diào)成（行對(duì)換，這樣數(shù)第行、行、行依次與第的第把的行列作如下變換：調(diào)換為了利用前面的結(jié)果，再看一般情況，此時(shí)ijjijiijijijnnnjnijnjMjiDDDDDajijajjjijaiiiDDaaaaaaaD,11,1) 1(112111121111210012111111njnjjjjjininiiiiAaAaAaDAaAaAaD221122113。的代數(shù)余子式乘積之和應(yīng)（列）的各元素與其對(duì)行列式等于它的

33、任一行定理和上面的引理即得。性質(zhì)明時(shí)可以結(jié)合簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算。證列式的性質(zhì)可以利用這一法則并結(jié)合行（列）展開(kāi)法則。該定理叫做行列式按行5也成立成立，證明、或假設(shè)、導(dǎo)出遞推公式；時(shí)成立；、用數(shù)學(xué)歸納法：證明：、證明范德蒙德行列式例nnjinjinnnnnnnnVVnxxxxxxxxxxxxxV111121122221211323 , 21)(111),(12()121221211jijixxxxxxD證明：.,1.2立階范德蒙德行列式也成要證明對(duì)于階范德蒙德行列式成立現(xiàn)在假設(shè)對(duì)于時(shí)成立所以nnn)()()(0)()()(001111,;12132312221133122113121xxxxxxx

34、xxxxxxxxxxxxxxxxxDxnDnnnnnnnnnn有倍后行減去前行的行開(kāi)始從降階設(shè)法把2232232113121111)()(,)(,nnnnnnnixxxxxxxxxxxxDxx就有提出并把每列的公因子按第一列展開(kāi). )()()()(. 2)(,11211312jinjijinjinnjixxxxxxxxxxDjinxxn故其中因子的乘積它等于所有按歸納加上階范德蒙德行列式上式右端的行列式是jiAaAaAajiAaAaAanjnijijijninjiji0022112211式乘積之和為零。的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子列）列）的元素與另一行（推論：行列式某一行（可得換成把上式有行展開(kāi)按第把

35、行列式證明,)det(:1111112211ikjknnnjnjininjnjnjjjjijaaaaaaaaaaAaAaAaDjaD.,1111112211故行列式為零有兩行對(duì)應(yīng)元素相同時(shí)行當(dāng)行和第即第jijiaaaaaaaaAaAaAannniniininjninjiji)(0:)(022112211jiAaAaAajiAaAaAanjnijijijninjiji同樣按列進(jìn)行可得即得 jijiDDAajijiDDAaijkjnkkiijjknkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng), 0, 0,11 jijiij01 代數(shù)余子式的重要性質(zhì)代數(shù)余子式的重要性質(zhì)314231315011125313D、例計(jì)計(jì)算算行

36、行列列式式更更靈靈活活性性質(zhì)質(zhì)展展開(kāi)開(kāi)法法則則 4131211114131211MMMMAAAA及求：可得依次代替我們用解,21212211niiinininiiiiaaabbbAaAaAaD.22111,11,11,11,1111列的形式來(lái)表示同理可以第jAbAbAbaaaabbaaaainniinnnniinniin3142313150111111,11 , 1 , 1 , 11413121114131211AAAADAAAA即行所得的行列式的第代替等于用由此知00112022501111111334rrrr0112225114205200120252112cc41312111413121

37、11AAAAMMMM0010313150111251314131315011125134rr03115015012311501121) 1(21rr?00103010021321111211nnAAAnnD求：題考研題nAAAn00103010021111111211解：nnnjcjcj00003000020111)131211(),3,21(1)131211(43210030002)131211(nnnn?270513422111542131122254321245444342415AAAAAD求：、題053140000154123110025421105134001115421311222

38、54321001312454443424124ccccAAAAArr 和注意：25530651152001253111212105315112100051210531541211005421131243cccccc16259270513433333542131122254321051342211154213112225432145444342414544434241425AAAAAAAAAArrD)6 , 4(7 ,5 , 35）（作作業(yè)業(yè)：習(xí)習(xí)題題一一個(gè)個(gè)線線性性方方程程組組的的解解？元元回回到到一一開(kāi)開(kāi)始始的的問(wèn)問(wèn)題題，nn7 克拉默法則克拉默法則)11(22112222211211212

39、111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxann個(gè)個(gè)線線性性方方程程組組：元元nnjnnjnnjjjnnnnnnaabaaaabaaDDDxDDxDDxaaaaDCramern1,1,11, 111, 122111111111,011，則方程組有唯一解。零，）的系數(shù)行列式不等于）法則：如果方程組（克拉默（1,1,4,3270741512090318512276041252069311812;1086701215060911582816740212560391518;2767412120603115120674522963852144321432143214324214

40、321xxxxDDDDDxxxxxxxxxxxxxx于是、例個(gè)系數(shù)。個(gè)系數(shù)。求求點(diǎn)：點(diǎn)：通過(guò)通過(guò)、曲線、曲線例例4),3, 4(),3 , 3(),4 , 2(),3 , 1(415332210 xaxaxaay）法則的定理敘述：）法則的定理敘述：克拉默（克拉默（Cramer004DD（無(wú)解、多解）不是唯一解則有唯一解、非齊次線性方程組定理 005DD有有非非零零解解只只有有零零解解、齊齊次次線線性性方方程程組組定定理理00022112222112121211122112222211211212111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxabxaxaxabxaxaxabxaxaxa齊次線性方程組：非齊次線性方程組： 0)4(20)6(2022)5(?16zxyxzyx 非非零零解解。時(shí)時(shí)，齊齊次次線線性性方方程程組組有有、