線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)提綱

1、 線性代數(shù)基本內(nèi)容、方法及要求第一部分 行列式【主要內(nèi)容】1、行列式的定義、性質(zhì)、展開定理、及其應(yīng)用克萊姆法則2、排列與逆序3、方陣的行列式4、幾個(gè)重要公式：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7） ； （8） （其中為階方陣，為常數(shù)）5、行列式的常見計(jì)算方法：（1）利用性質(zhì)化行列式為上（下）三角形；（2）利用行列式的展開定理降階；（3）根據(jù)行列式的特點(diǎn)借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定義，熟記幾個(gè)特殊行列式的值。2、掌握排列與逆序的定義，會(huì)求一個(gè)排列的逆序數(shù)。3、能熟練應(yīng)用行列式的性質(zhì)、展開法則準(zhǔn)確計(jì)算3-5階行列式的值。4、會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的階行列式。5、知道

2、并會(huì)用克萊姆法則。第二部分 矩陣【主要內(nèi)容】1、矩陣的概念、運(yùn)算性質(zhì)、特殊矩陣及其性質(zhì)。2、方陣的行列式3、可逆矩陣的定義、性質(zhì)、求法（公式法、初等變換法、分塊對(duì)角陣求逆）。4、階矩陣可逆為非奇異(非退化)的矩陣。為滿秩矩陣。只有零解有唯一解的行（列）向量組線性無(wú)關(guān)的特征值全不為零?？梢越?jīng)過(guò)初等變換化為單位矩陣?？梢员硎境梢幌盗谐醯染仃嚨某朔e。5、矩陣的初等變換與初等矩陣的定義、性質(zhì)及其二者之間的關(guān)系。6、矩陣秩的概念及其求法（1）定義法；（2）初等變換法）。7、矩陣的分塊，分塊矩陣的運(yùn)算：加法，數(shù)乘，乘法以及分塊矩陣求逆。【要求】1、 了解矩陣的定義，熟悉幾類特殊矩陣（單位矩陣，對(duì)角矩陣，上

3、、下三角形矩陣，對(duì)稱矩陣，可逆矩陣，伴隨矩陣，正交矩陣）的特殊性質(zhì)。2、熟悉矩陣的加法，數(shù)乘，乘法，轉(zhuǎn)置等運(yùn)算法則，會(huì)求方陣的行列式。3、熟悉矩陣初等變換與初等矩陣，并知道初等變換與初等矩陣的關(guān)系。4、掌握矩陣可逆的充要條件，會(huì)求矩陣的逆矩陣。5、掌握矩陣秩的概念，會(huì)求矩陣的秩。6、掌握分塊矩陣的概念，運(yùn)算以及分塊矩陣求逆矩陣。第三部分 向量組的線性相關(guān)性【主要內(nèi)容】1、向量、向量組的線性表示：設(shè)有單個(gè)向量，向量組：，向量組：，則（1）向量可被向量組線性表示（2）向量組可被向量組線性表示（3） 向量組與向量組等價(jià)的充分必要條件是：（4）基本題型：判斷向量或向量組是否可由向量組線性表示？如果能，

4、寫出表達(dá)式。解法：以向量組：以及向量或向量組:為列向量構(gòu)成矩陣，并對(duì)其進(jìn)行初等行變換化為簡(jiǎn)化階梯型矩陣，最終斷定。2、向量組的線性相關(guān)性判別向量組的線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的常用方法：方法一：（1）向量方程只有零解向量組 線性無(wú)關(guān)；（2）向量方程有非零解向量組 線性相關(guān)。方法二：求向量組的秩（1）秩小于個(gè)數(shù)s向量組線性相關(guān)（2）秩等于個(gè)數(shù)s 向量組線性無(wú)關(guān)。（3）特別的，如果向量組的向量個(gè)數(shù)與向量的維數(shù)相同，則向量組線性無(wú)關(guān)以向量組為列向量的矩陣的行列式非零；向量組線性相關(guān)以向量組為列向量的矩陣的行列式為零。3、向量組的極大無(wú)關(guān)組的概念（與向量空間的基、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的關(guān)系）及其求法。基本

5、題型：判斷向量組的相關(guān)性以及求出向量組的極大無(wú)關(guān)組。4、等價(jià)向量組的定義、性質(zhì)、判定。5、向量組的秩與矩陣的秩之關(guān)系?！疽蟆?、掌握向量組、線性組合和線性表示的概念，知道兩個(gè)向量組等價(jià)的含義。2、掌握向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的定義，并會(huì)判斷一個(gè)具體向量組的線性相關(guān)性。3、知道向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系，會(huì)求一個(gè)具體向量組的秩及其極大無(wú)關(guān)組。4、了解向量空間及其基和維數(shù)的概念。第四部分 線性方程組【主要內(nèi)容】1、齊次線性方程組只有零解系數(shù)矩陣的秩未知量個(gè)數(shù)n；2、齊次線性方程組有非零解系數(shù)矩陣的秩未知量個(gè)數(shù)n.3、非齊次線性方程組無(wú)解增廣矩陣秩系數(shù)矩陣的秩；4、非齊次線性方程組有解增廣矩陣秩系

6、數(shù)矩陣的秩 特別地，1）增廣矩陣的秩系數(shù)矩陣的秩未知量個(gè)數(shù)n非齊次線性方程組有唯一解；2）增廣矩陣的秩系數(shù)矩陣的秩 未知量個(gè)數(shù)n非齊次線性方程組有無(wú)窮多解?！疽蟆?、掌握齊次線性方程組解的性質(zhì)、基礎(chǔ)解系的求法，2、掌握非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，熟悉非齊次線性方程組有解的等價(jià)條件。3、知道齊次與非齊次線性方程組的解之間的關(guān)系。4、會(huì)求解非齊次線性方程組。第五部分 相似矩陣及二次型【主要內(nèi)容】1、向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度、夾角等概念及其計(jì)算方法。2、向量的正交關(guān)系及正交向量組的含義。3、施密特正交化方法。4、方陣的特征值與特征向量的概念及其計(jì)算方法。（1）特征值求法：解特征方程；（2）特征向量的求法：求

7、方程組的基礎(chǔ)解系。5、相似矩陣的定義（）、性質(zhì)(相似、有相同的特征值)。6、判斷矩陣是否可以對(duì)角化以及對(duì)角化的步驟，找到可逆矩陣P使得為對(duì)角矩陣。7、用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟:（將實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化）（1）寫出二次型的矩陣.（2）求出的所有特征值（3）解方程組（）求對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量（4）若特征向量組不正交，則先將其正交化，再單位化，得標(biāo)準(zhǔn)正交的向量組，記，對(duì)二次型做正交變換,即得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形8、正定二次型的定義及其判定方法常用判定二次型正定的方法：（1）定義法（2）特征值全大于零（3）順序主子式全大于零【要求】1、掌握向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度、夾角，正交向量組的性質(zhì)，會(huì)利用施密特正交化

8、方法化線性無(wú)關(guān)向量組為正交向量組。2、掌握方陣特征值、特征向量的概念、求法，3、了解相似矩陣的概念、掌握化對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣的方法。4、掌握二次型的概念、會(huì)用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。5、知道正定二次型的概念及其判定方法。線性代數(shù)練習(xí)題一、單項(xiàng)選擇題 1、行列式中，元素的代數(shù)余子式是 （A） （B ） （C ） （D） 2、二階行列式的值為 (A) (B) (C) (D)3、設(shè)行列式，則k的取值為（ ）（A）2 （B）-2或3 （C）0 （D）-3或24、若行列式=1，則= （A）1 （B）2 （C）0 （D）5、設(shè)a，b，c，d為常數(shù)，則下列等式成立的是 （A） （ B） （C） （D） 6

9、、設(shè)階行列式=，是中元素的代數(shù)余子式，則下列各式中正確的是 (A) (B) (C) (D) 7、設(shè)均為階可逆矩陣，則下列各式成立的是 （A） (B)(C) (D) 8、設(shè)為3階方陣，且行列式，則 (A)-8(B)-2 (C) 2(D)89、設(shè)為階方陣且滿足，則 (A) 或 (B) (C) 或 (D) 10、設(shè)為階可逆方陣，則下列各式必成立的是 （A） （B） （C） （D）11、設(shè)矩陣，則 (A) (B) (C)（1,0,6） (D) 712、設(shè)行矩陣, ， 且則 （A） 1 （B） -1 （C） 2 （D） -213、下列命題正確的是 B .（A）若矩陣滿足，則有或（B）若矩陣滿足，則矩陣都

10、可逆。（C）若是階矩陣的伴隨矩陣，則（D）若，則14、設(shè)為三階矩陣, , 則= (A) 4 (B) 1 (C) 16 (D) 15、下列說(shuō)法不正確的是 (A）相似矩陣有相同的特征值。(B）階矩陣可對(duì)角化的充要條件是它有個(gè)不同的特征值。(C）元齊次線性方程組有非零解的充要條件是。 （D）正交的向量組一定是線性無(wú)關(guān)的。16、維向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是 (A) 存在一組不全為零的數(shù)使(B) 中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)(C) 中存在一個(gè)向量可由其它向量線性表出(D) 中任何一個(gè)都不能由其它向量線性表出17、向量組，的秩為 . （A） （B） （C） （D）18、設(shè)均為階可逆矩陣，則分塊矩陣的逆矩陣是 .

11、（A） （B） （C） （D） 19、設(shè)，且，則 (A) (B) (C) (D) 20、設(shè)A可逆，則的解是 (A) (B) (C) (D) 21、下列說(shuō)法正確的是( )。 (A) 任何矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換都可化為單位矩陣。 (B) 設(shè)方陣A是非奇異性的，A經(jīng)過(guò)初等行變換得到階梯陣B，則方陣B為奇異的。 (C) 初等矩陣都是可逆的。 (D) 矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換后，其秩會(huì)發(fā)生改變。22、設(shè)A，B都是可逆矩陣，則AB的逆是 （A） （B） （C） （D） 23、設(shè)，則 (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 024、設(shè)是階方陣,若,則的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)為 (A) 0 (B) 1 (C) 2

12、(D) 25、二次型 的矩陣是 (A) (B) (C) (D) 二、填空題1. 五階行列式的展開式共有 項(xiàng).2.行列式中元素的余子式=_3.四階行列式 的值是 4.矩陣中的元素=_5.若A，B為n階矩陣，則=_6.設(shè)為3階方陣，且，則 7.設(shè)矩陣，則 8.設(shè)，則 9.若A是可逆矩陣，則=_10.設(shè)矩陣，則 11設(shè)，是兩個(gè)可逆矩陣，則分塊矩陣 12設(shè)矩陣的秩，則 13若向量組線性無(wú)關(guān)，且，則數(shù) 14.向量組，中不能由其余向量線性表示的是 15.向量組的秩為_16在線性方程組中，若未知量的個(gè)數(shù)n=5，則方程組的一般解中自由未知量的個(gè)數(shù)為_17設(shè)4元線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，且為其兩個(gè)解，則 的

13、通解為 18設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，則向量組 （填線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)）。19設(shè)元線性方程組有解，則當(dāng) 時(shí)，有無(wú)窮多解。20若3階方陣的特征值分別為1，-1，2，則的特征值為 21已知階矩陣的特征值都不為零，則的特征值為 22設(shè)向量組，線性相關(guān)，則 23.若向量與向量正交，則 24已知三階矩陣 的特征值為，其對(duì)應(yīng)的特征向量分別是，則 25.若方陣與相似，則的特征值為_26若矩陣與相似,則 27若二次型是正定的,則應(yīng)滿足的條件是 三、計(jì)算題1、計(jì)算行列式2、設(shè)，求。3、已知且，求矩陣X。4、設(shè)，其中求矩陣5、求的秩。6、求方陣的特征值與特征向量。7、求向量組，的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。8、已知向量組， ，求該向

14、量組的秩，并求其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。9、判斷線性方程組，當(dāng)k為何值是有解？10、設(shè)線性方程組的一般解為，為自由變量，求的通解。11、設(shè)為3×4矩陣，若非齊次線性方程組 的三個(gè)解分別為： ， ， ，求： （1）齊次線性方程組的通解；（2）非齊次線性方程組的通解.12、求一個(gè)正交變換，把下面的二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形四、證明題1設(shè)，證明：是對(duì)稱矩陣。1. 證明：因?yàn)椋?所以，從而存在又因?yàn)?，所?用左乘等式兩邊得，故是對(duì)稱矩陣。 2. 證明：若向量是方陣的同時(shí)屬于特征值的特征向量，則有 證明： 若 則由 可知： 又因?yàn)?所以，這與為特征向量矛盾所以3設(shè)是階方陣的不同特征值，分別是的對(duì)應(yīng)于的特征向量，

15、證明：不是的特征向量.證明：假若是矩陣的屬于特征值特征向量，即 因?yàn)榉謩e是的對(duì)應(yīng)于的特征向量，所以線性無(wú)關(guān)，并且，所以 ，即 于是 ，這與不同矛盾。4證明：若矩陣相似于，則證明：因?yàn)榫仃囅嗨朴?，所?從而 線性代數(shù)模擬試題答案一、單項(xiàng)選擇題1、A 2、B 3、B 4、D 5、B 6、C 7、A 8、A 9、C 10、B 11、A 12、C 13、B 14、C 15、B 16、D 17、C 18、C 19、C 20、D 21、C 22、D 23、B 24、C 25、B二、填空題1、 5! 2、 3、24 4、1 5、 6、8 7、 8、 9、10、 11、 12、 13、 14、 15、3 16

16、、217、 （注：此題答案不唯一） 18、線性無(wú)關(guān) 19、小于n 20、 21、 22、2 23、5 24、 25、 26、 27、 三、計(jì)算題1、解： 2、解：= 3、解：存在，用右乘方程兩邊，得 又所以， 4、解：= 及存在，且將已知等式整理得：所以 5、解：對(duì)矩陣施行初等行變換得， 所以 6、解：矩陣的特征多項(xiàng)式為： 令，解得的特征值為： 當(dāng)時(shí)，求解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，由得對(duì)應(yīng)的方程組為,從而解得基礎(chǔ)解系 于是屬于特征值的全部特征向量為，其中k為任意非零常數(shù)。當(dāng)時(shí)，求解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系， 由得對(duì)應(yīng)的方程組為 , 從而解得基礎(chǔ)解系 于是屬于特征值的全部特征向量為 ， 其中數(shù)是不同時(shí)為零的任意常數(shù)。7、解：以已知向量組為列向量構(gòu)成矩陣，并對(duì)其進(jìn)行初等行變換得， 所以，所求向量組的極大無(wú)關(guān)組為：。 8、解：記矩陣，對(duì)其進(jìn)行初等變換得 由最后一個(gè)矩陣可知從而所求向量組的秩為3 ，又因?yàn)榉橇阈蟹橇闶自诘牧幸来螢?，2，5列所以為其中一個(gè)極大無(wú)關(guān)組（或也對(duì)） 9、解：已知方程組的增廣矩陣為：對(duì)施行初等行變換得： 所以當(dāng)，即時(shí)，方程組有解。 10、解： 已知方程組對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一般解為 （為自由變量）令得：；令得：；則為齊次方程組的基礎(chǔ)解系；再令，得非齊次方程組的特解：所以的通