線性代數(shù)例題精解

1、第一章到第六章第一章到第六章：復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 要要 點(diǎn)點(diǎn)第一章第一章 逆序數(shù)的計(jì)算、行列式的性質(zhì)及計(jì)算；逆序數(shù)的計(jì)算、行列式的性質(zhì)及計(jì)算；第二章第二章 解矩陣方程、解矩陣方程、伴隨矩陣的性質(zhì)、伴隨矩陣的性質(zhì)、矩陣的初等變換；矩陣的初等變換；第三章第三章 向量的線性相關(guān)性討論、向量的線性相關(guān)性討論、矩陣及向量組的秩的討矩陣及向量組的秩的討 論、論、求向量組的秩和最大無(wú)關(guān)組；求向量組的秩和最大無(wú)關(guān)組；第四章第四章 帶參數(shù)的非齊次線性方程組解的討論、帶參數(shù)的非齊次線性方程組解的討論、 齊次或非齊次解的結(jié)構(gòu)的討論；齊次或非齊次解的結(jié)構(gòu)的討論；第五章第五章 方陣的特征值及特征向量的討論、用正交矩陣化方陣的特

2、征值及特征向量的討論、用正交矩陣化 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣為對(duì)角陣（或用正交變換化二次型為標(biāo)實(shí)對(duì)稱(chēng)陣為對(duì)角陣（或用正交變換化二次型為標(biāo) 準(zhǔn)形）、準(zhǔn)形）、正定性判別。正定性判別。第六章第六章 線性空間的判定線性空間的判定線性代數(shù)中的線性代數(shù)中的 “ “一、二、三、四、五、六一、二、三、四、五、六”一種基本運(yùn)算：一種基本運(yùn)算： 矩陣的初等變換。矩陣的初等變換。兩大主線：兩大主線： 向量與矩陣。向量與矩陣。三種矩陣關(guān)系：三種矩陣關(guān)系： 等價(jià)、相似、合同。等價(jià)、相似、合同。四個(gè)難點(diǎn)：四個(gè)難點(diǎn)： 1. 矩陣和向量組的秩矩陣和向量組的秩; 2. 伴隨矩陣；伴隨矩陣； 3. 相似變換相似變換; 4. 特征值和特征向量的討

3、論特征值和特征向量的討論.五大板塊：五大板塊： 行列式、矩陣、向量、方程組、二次型行列式、矩陣、向量、方程組、二次型六個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)：六個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)： 1. 行列式的性質(zhì)與計(jì)算行列式的性質(zhì)與計(jì)算; 2. 矩陣可逆的各種等價(jià)條件矩陣可逆的各種等價(jià)條件; 3. 矩陣秩與向量組的秩的討論矩陣秩與向量組的秩的討論; 4. 向量組的相關(guān)性討論向量組的相關(guān)性討論; 5. 線性方程組的解的討論線性方程組的解的討論; 6. 二次型化簡(jiǎn)（或?qū)ΨQ(chēng)陣化二次型化簡(jiǎn)（或?qū)ΨQ(chēng)陣化 為對(duì)角陣）。為對(duì)角陣）。一、填空一、填空1、6 階行列式中項(xiàng)階行列式中項(xiàng)645216354123aaaaaa的符號(hào)為的符號(hào)為 。+2、已知向量組

4、、已知向量組 002,112121taa 25403 a線性相關(guān)。則線性相關(guān)。則t= 。33、設(shè)、設(shè)A，B同為同為 n 階矩陣，階矩陣，, 3, 2 BA 1*2BA則則 。12231 n4、設(shè)、設(shè)1, 0 AbcaddcbaA則則且且= 。 acbdbcad15、設(shè)向量組、設(shè)向量組tr,2121與與等價(jià)，且等價(jià)，且t,21線性無(wú)關(guān)，則線性無(wú)關(guān)，則 r 與與 t 間滿足間滿足 。tr 的值的值則則相似相似與與設(shè)方陣設(shè)方陣yxyxA,4512422421 . 65, 4 yx 。7、設(shè)、設(shè)A是是3階矩陣，其特征值為階矩陣，其特征值為1，-1，2，則，則 A2+3A-2E的特征值為的特征值為 。2

5、，- 4，89、若二次型、若二次型322123222132122),(xtxxxxxxxxxf 是正定的，則是正定的，則t的取值范圍是的取值范圍是 。22 t10、若、若n階可逆矩陣階可逆矩陣 A的每行元素之和均為的每行元素之和均為a, 則數(shù)則數(shù) 一一 定是矩陣定是矩陣 的特征值。的特征值。 23a 123AE 1 11 212 122212nnnnnna ba ba ba ba ba bAa ba ba b ，1 .8、設(shè)、設(shè)0,0 (1,2, )iiabin，則矩陣則矩陣A的秩的秩R(A)=05年考研題年考研題 .記矩陣記矩陣維向量維向量均為均為設(shè)設(shè),3,321 ),(321 A)93,4

6、2,(321321321 B |, 1|BA那么那么如果如果2例例 1|5,3,|32323211223 ccccB解解32123233|,3,2|cc |,|232321 |,|2321 . 2|2 A04年考研題年考研題 . |,*,*2*,100021012 BEAEBAABABA則則是單位矩陣是單位矩陣為的伴隨矩陣為的伴隨矩陣其中其中滿足滿足矩陣矩陣設(shè)矩陣設(shè)矩陣 1/9例例 2EBAEA *)2( 將將原原式式化化為為解解1|*|2| EABEA, 1100001010|2| EA.91| B所所以以2|*| |9,AA 2000 1000021001210012 nA解解例例3 設(shè)設(shè)

7、 An 為為 n 階行列式階行列式, 證明證明 A1 ,A2， An , 是是一一 個(gè)等差數(shù)列，并由此求出個(gè)等差數(shù)列，并由此求出 An .112000 1000021001200011)1(2000 10000210012100122 nnnA212000 1000021001210012)1(2 nnnAA212 nnAA即即211 nnnnAAAA.,21是是一一個(gè)個(gè)等等差差數(shù)數(shù)列列所所以以nAAA.132112 ,2 121 AAA又又因因?yàn)闉樗缘炔顢?shù)列的首項(xiàng)為所以等差數(shù)列的首項(xiàng)為2，公差為，公差為1，由此可得，由此可得.1 nAn證證|BA 且且, 1|1| BA，由由條條件件知知.

8、 0|, 0|, , 22 BABAEBEAnBA證明：證明：階方陣，且階方陣，且都是都是設(shè)設(shè)例例 41| BA| EBAEBA |22BAAB |BABA |AB . 0| AB5 設(shè)有方程組設(shè)有方程組 4243212321321xxxxxxxxx問(wèn)問(wèn)為何值時(shí)，該方程組有唯一解，無(wú)解，無(wú)窮多個(gè)為何值時(shí)，該方程組有唯一解，無(wú)解，無(wú)窮多個(gè)解？并在有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)求其通解。解？并在有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)求其通解。解解 增廣矩陣增廣矩陣 4211114112B 8-44 220110112行行 4)-(284 )4)(1(0022011行行 4243212321321xxxxxxxxx當(dāng)當(dāng)= 4時(shí)，時(shí)， 00

9、00411003014211161414411行行B因?yàn)橐驗(yàn)镽(A)=R(B)=2，故此時(shí)有無(wú)窮多個(gè)解。，故此時(shí)有無(wú)窮多個(gè)解。同解方同解方程組為：程組為： 33323143xxxxxx通解通解為：為：)(040113Rkkx 故當(dāng)故當(dāng)4且且1時(shí)，方程組有唯一解。時(shí)，方程組有唯一解。 4243212321321xxxxxxxxx當(dāng)當(dāng)= 1時(shí)，時(shí)， 421150004111421111114111行行B因?yàn)橐驗(yàn)镽(A)=2，而，而R(B)=3，故此時(shí)無(wú)解。，故此時(shí)無(wú)解。綜上：綜上： . ,1; ,4; ,41方方程程組組無(wú)無(wú)解解時(shí)時(shí)方方程程組組有有無(wú)無(wú)窮窮多多解解時(shí)時(shí)方方程程組組有有唯唯一一解解時(shí)

10、時(shí)且且當(dāng)當(dāng) 6 1）設(shè)）設(shè)*,3104252373AA 是其伴隨矩陣，計(jì)算是其伴隨矩陣，計(jì)算.*AA解解 1）3*1EEAAAA 故向量組的秩故向量組的秩 解解2） 41003-0102001531312314342行行A為為3，且，且321,為一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為一個(gè)最大無(wú)關(guān)組3214432 2）求向量組）求向量組的秩和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組且將其余向量用此最大無(wú)關(guān)的秩和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組且將其余向量用此最大無(wú)關(guān)組線性表示。組線性表示。 1514,323,134,31243217 設(shè)設(shè) ,312321rr 證明證明r,21 ,121 rr與與r,21有相同的秩。有相同的秩。證證 只要證只要證r,21與與等價(jià)

11、。等價(jià)。r,21r,21一方面由題設(shè)一方面由題設(shè)r,21可由可由線性線性表示，另方面將題中等式全部加起來(lái)，得表示，另方面將題中等式全部加起來(lái)，得）（* )(1111rrr r,21故故r,21也可由也可由線性表示，線性表示，r,21從而從而r,21與與等價(jià)。等價(jià)。再分別用（再分別用（*）減去題中每一個(gè)等式，可得）減去題中每一個(gè)等式，可得riirrr11)111(111 7 設(shè)設(shè) ,312321rr 證明證明r,21 ,121 rr與與r,21有相同的秩。有相同的秩。 證：由題設(shè)證：由題設(shè)線性無(wú)關(guān)，而線性無(wú)關(guān)，而線性相關(guān)，從而線性相關(guān)，從而線性表示。故可設(shè)線性表示。故可設(shè)321,321321,

12、可可由由332211 現(xiàn)設(shè)現(xiàn)設(shè)0)(4332211 kkkk8 設(shè)設(shè)向量組向量組 的秩皆為的秩皆為3，向量組，向量組321,A: :的秩為的秩為 4。線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)。與與B,321: :C,321: : ,321試證，向量組試證，向量組 00004433422411kkkkkkk04321 kkkk即即線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)。0)()()(4343324221411 kkkkkkk由由線性無(wú)關(guān)，知線性無(wú)關(guān)，知,321 ,3210)(3322114332211 kkkk 9. 設(shè)設(shè) 為線性方程組為線性方程組 的的一個(gè)基礎(chǔ)解系，一個(gè)基礎(chǔ)解系，s ,21OAX 1213221222111, tttt

13、ttss 其中其中 為實(shí)常數(shù)。試問(wèn)滿足什么關(guān)系時(shí)，為實(shí)常數(shù)。試問(wèn)滿足什么關(guān)系時(shí)，s ,2121,tt21,ttOAX 也為也為的一個(gè)基礎(chǔ)解系。的一個(gè)基礎(chǔ)解系。（2001年考研題年考研題 ）解由于解由于), 2 , 1(sii 為為s ,21的線性的線性組合，所以組合，所以), 2 , 1(sii 均為均為OAX 的解。的解。設(shè)設(shè)02211 sskkk （）（）由于線性無(wú)關(guān)，因此有由于線性無(wú)關(guān)，因此有s ,21Oktktktktktktssss )()()(1122211212111 122112211 0, 0, 0.ssst kt kt kt kt kt k 1221212100000000

14、sstttttttt 所以當(dāng)所以當(dāng)0) 1(211 ssstt;21tt 當(dāng)當(dāng)s為奇數(shù)，為奇數(shù)，.21tt 時(shí)，方程組只有零解時(shí)，方程組只有零解，即當(dāng)，即當(dāng)s為偶數(shù)，為偶數(shù)，ssstt211)1( 021 skkk從而從而s ,21線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)。此時(shí)，此時(shí)，s ,21也為方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。也為方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。為對(duì)角陣。為對(duì)角陣。，使，使）求矩陣）求矩陣（，試求，試求的一個(gè)特征值為的一個(gè)特征值為已知已知)()(2. 3 (1)/APAPPyA，所所以以的的一一個(gè)個(gè)特特征征值值為為因因?yàn)闉榻饨? (1)A01100130000310013|3| yAE. 2 y例例10 21001

15、0000010010 yA設(shè)矩陣設(shè)矩陣,)()( 22/PAPAPAPAA 知知）由由（對(duì)于矩陣對(duì)于矩陣,5400450000100001 2 A而而 5445B易求得正交陣易求得正交陣11221122T ，于是于是使使,9001/ BTT,21210021210000100001 P令令.9000010000100001)()( / APAP則則有有。答答：應(yīng)應(yīng)填填 2 ，征征值值為為所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)陣陣的的特特故故知知0 0 6 f,621yf 經(jīng)經(jīng)正正交交變變換換化化成成標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形例例 11323121332221321444)(),( xxxxxxxxxaxxxf 已知實(shí)二次型已知實(shí)二次型 ayfPyx則則可化成標(biāo)準(zhǔn)形可化成標(biāo)準(zhǔn)形經(jīng)正交變換經(jīng)正交變換,621 .02年考研題年考研題 aaaA232222 由由相相似似，知知與與 006 . 2, 63 aa2由于正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變，故由于正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變，故證證 設(shè)設(shè)A 的特征值為的特征值為由定理由定理10知，存在正交變換知，存在正交變換.1,1 yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例 12 證明：二次型證明：二次型1 x時(shí)的最大值